To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. august 8 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet indeholder point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i nærværende opgavesæt. I hver delopgave skal der kun afkrydses én svarmulighed. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Du bedes også afkrydse det hold som du deltager i. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMER: Hold : LAND ST Horia Cornean Hold LAN (København) Iver Ottosen Hold BBIO MOE (København) Oliver Matte Facit Side af 8
Opgave (6 point) En funktion er defineret ved f (x, y) = x 3y y x for reelle variable x og y. (a) ( point) Definitionsmængden for f består af samtlige punkter (x, y) der opfylder y = x y = x x >, y < x <, y > 3y = x + y = x (b) (4 point) Markér det korrekte udtryk for niveaukurven f (x, y) = 3. En parabel x = y + En parabel x = 3y En cirkel med centrum i (, ) og radius En cirkel med centrum i (, ) og radius, undtagen punktet (, ) En ret linje x = En ret linje x =, undtagen punkterne (, ) og (, ) Opgave (6 point) En parametrisk kurve i rummet er givet ved r(t) = e t, e t, e (t ) hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. (a) (3 point) Hvad er kurvens fart for t =? 3 6 3 (b) (3 point) Hvilken af de følgende vektorer er kurvens accelerationsvektor for t =? e, e, 8e 4 e, e, e 4,, e, e, 4e 4,, e, e, 6e 4 Side af 8
Opgave 3 (6 point) Tre komplekse tal er givet ved z = + i, z = e 3π i og z 3 = + i. (a) (3 point) Hvad er z z 3 på standard form? 6 + 4i + 4i e π 3 i + i + 6i (b) (3 point) Hvad er z z 3 på polær form? e 3π i π 4e 4 i 7π e 4 i e π 4 i 3π e i Opgave 4 ( point) (a) ( point) En homogen anden ordens differentialligning er givet ved y + y =. Herunder er angivet en række funktionsudtryk hvori c og c er arbitrære reelle konstanter. Markér det udtryk som udgør den fuldstændige løsning til differentialligningen. y(t) = c e t + c e t y(t) = c cos( t) + c sin( t) y(t) = c e t + c e t y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) y(t) = c sin(t) + c cos(t) y(t) = c t + c t y(t) = c e 4t + c e t (b) ( point) Markér en partikulær løsning x p til den inhomogene differentialligning x + x = 4t, blandt følgende funktionsudtryk. xp (t) = t xp (t) = 4t xp (t) = t + t + xp (t) = t t xp (t) = 4t t xp (t) = t xp (t) = 3t 4 + t + t xp (t) = cos(t) + sin(t) + t Side 3 af 8
Opgave (8 point) Markér om de følgende udsagn omkring krumning er sandt eller falsk. (a) ( point) En ret linje kan have positiv krumning. Sandt Falsk (b) ( point) En cirkel med radius R har konstant krumning R. Sandt Falsk I delopgaverne (c) og (d) skal følgende tages til eftertragtning: To partikler r A (t) og r B (t) bevæger sig langs den samme kurve der indeholder et punkt P. (c) ( point) Farten for r A (t) er dobbelt så stor som farten for r B (t). Så er krumningen af r A (t) i punktet P den samme som krumningen af r B (t) i P. Sandt Falsk (d) ( point) Accelerationen for r A (t) er dobbelt så stor som accelerationen for r B (t). Så er krumningen af r A (t) i punktet P dobbelt så stor som krumningen af r B (t) i P. Sandt Falsk Opgave 6 (6 point) Et område R i planen består af alle punkter indenfor og på trekanten med hjørner i punkterne A = (, ), B = (, ) og C = (3, ). Et legeme med massetæthed δ(x, y) = xy dækker området R. (a) (3 point) Hvilken af de følgende uligheder viser, at et punkt med koordinater (x, y) tilhører R? x 3, y x 9 3y, y 3 x 3, y = 3 3x y 3 x x, y 3 3x x = 3, y = (b) (3 point) Hvad er den korrekte formel som giver legemets masse? 3 9 3y xy dxdy 3 3x xy dydx 3 3 x 3 xy dydx 3 x dydx 3 3x dydx 3 xy dxdy Side 4 af 8
Opgave 7 (6 point) Et område R i planen består af alle punkterne med koordinater (x, y) som opfylder to uligheder: x + y. Markér værdien af planintegralet R 4(x + y ) da. π π π/ 3π 47 Opgave 8 ( point) En flade F i rummet er bestemt ved ligningen F(x, y, z) =, hvor F(x, y, z) = sin(z) + yz x y + y. (a) ( point) Hvilken af de følgende ligninger udgør tangentplanen til F i punktet P = (,, )? = x + 3 y + z z = y z = z = y = y + z = x y + 3z (b) ( point) Fra ligningen F(x, y, z) =, hvad er den partielle afledede z/ y i punktet P? 3 π 3 Side af 8
Opgave 9 (7 point) En funktion er givet ved f (x, y) = arctan(x + y) = tan (x + y), for variable x og y der begge gennemløber alle de reelle tal. (a) (4 point) Markér om følgende udsagn er sandt eller falsk: Funktionen f har mindst ét kritisk punkt. Sandt Falsk (b) (4 point) Markér om følgende udsagn er sandt eller falsk: Funktionen f har et globalt maksimum. Sandt Falsk (c) (4 point) Hvad er den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (, ) og retning givet ved enhedsvektoren u =,? 3 3 4 4 (d) ( point) Hvilken af de følgende enhedsvektorer peger i den retning hvor f vokser hurtigst i punktet P (retningen v hvor D v f (P) er størst)?,,,,,,,,, Side 6 af 8
Opgave (9 point) En funktion er givet ved for x > /. f (x) = ln( x + ) (a) ( point) Markér det korrekte udtryk for f (x) (hint: husk at bruge kædereglen). ln( x + ) ln( x+) ( x+) x + x+ ln( x+) ( x+) (b) (4 point) Hvilket af de følgende udtryk er anden ordens Taylor polynomiet for f med udviklingspunkt x =? + x + x + x x + x x + x x x x x + x x + x x x Opgave ( point) En kurve i planen er givet ved x = t + 3t, y = 3t t. (a) ( point) For hvilken værdi af parameteren t går kurven gennem punktet P = (4, )? π π 4 (b) (4 point) Hvad er kurvens krumning i P? 3 (c) ( point) For hvilken værdi af parameteren t er krumningen maksimal? 3 π 7 Side 7 af 8
Opgave ( point) Figuren nedenfor viser grafen for en funktion r = f (θ), θ π, afbildet i polære koordinater. En af forskrifterne for f i listen nedenfor svarer til figuren. Hvilken? f (θ) = sin(θ) + f (θ) = cos(4θ) f (θ) = sin(θ) cos(θ) f (θ) = θ + f (θ) = cos(θ) sin(θ) f (θ) = sin(θ) Side 8 af 8