KONSTRUKTION. JF Kennedy Arkaden

JF Kennedy Arkaden KONSTRUKTION De konstruktionsmæssige problemstillinger i forbindelse med opførelsen af Arkaden er beskrevet i hovedrapportens kapitel -5. Bilaget danner grundlag for enkelte konstruktionsområder i forbindelse med byggeriet af Arkaden. Der er behandlet bygningens samlede stabilitet, dimensionering af forspændt TT dæk, samt dimensionering af samlingerne langs etageadskillelser og mellem dækelementer. K1. LASTER... 1.1 EGENLASTER...6 1. NYTTELASTER...7 1. VINDLAST...7 1.4 SNELAST...9 K. BYGNINGENS TOTALSTABILITET...11.1 STABILITET FOR 1. 6. ETAGE...1. INERTIMOMENT FOR HELE BYGNINGEN...1. FORSKYDNINGSCENTERETS PLACERING...16.4 VRIDNINGSSTIVHED...18.5 VRIDNINGSMOMENT...19.6 LASTFORDELING...1.7 BEREGNING AF NORMALSPÆNDINGER VED FUNDAMENT...4.8 BEREGNING AF FORSKYDNINGSSPÆNDINGER VED FUNDAMENT...6.9 BEREGNINGER FOR TÅRNETS 7. OG 8. ETAGE...4.10 NORMAL- OG FORSKYDNINGSSPÆNDINGER FOR VIND FRA ØST...49.11 NORMAL- OG FORSKYDNINGSSPÆNDINGER MED VIND FRA NORD...61 K. DETAILDIMENSIONERING AF TT DÆK...68.1 ETAGEDÆK OVER PREMIEREBIOGRAF...68. BEREGNINGSFORUDSÆTNINGER...71. DIMENSIONERING AF LÆNGDEARMERING...74.4 SVIND, KRYBNING OG RELAXATION...8.5 FORSKYDNINGSARMERING...87.6 VEDERLAGSTRYK...90.7 ARMERING AF FLANGE...91.8 SPALTEARMERING...95.9 NEDBØJNING AF TT DÆK...100.10 BRAND...10 K4. SAMLINGER AF BETONELEMENTER...115 4.1 MATERIALEPARAMETRE OG SIKKERHEDSKLASSE...117 4. RANDARMERING EFTER PUNKT I...117 4. RANDARMERING EFTER PUNKT II...118 4.4 ARMERING MELLEM VÆGELEMENTER EFTER PUNKT III...118 4.5 RANDARMERING EFTER PUNKT IV...119 4.6 FASTLÆGGELSE AF RANDARMERING MHT. PUNKT I, II OG IV...10 4.7 ARMERING MELLEM DÆKELEMENTER, V...10 4.8 ARMERING I HJØRNE AF ETAGEDÆK...15 Side 1

K1. Laster Side

JF Kennedy Arkaden K1. Laster På Figur 1.1 ses en skitse af Arkaden set fra sydøst. En mere detaljeret oversigt over bygningen fremgår af Tegningerne 101 106 i tegningsmappen. Figur 1.1 Busterminalens geometriske udformning. Skitse ikke i mål Til besteelse af de dimensionsgivende laster, er der for hver etagedæk foretaget en optegning af lokaleinddelingen og etagedækkenes spændretning. På de efterfølgende figurer fremgår lokaleindeling til venstre og spændretningen af etagedækkene til højre. For spændretningsfigurerne er en fuldoptrukken linie en bærende væg (skive), mens en stiplet linie betyder, at etagedækket her bæres af et bjælke søjlesystem. Skravering foretages, hvor der ikke er etagedæk på den pågældende etage. Etage 8: Figur 1. Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 8. etage. Spændvidden af taget på 8. etage er som for etagedækket på 8. etage Side

K1. Laster Etage 7: Figur 1. Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 7. etage Etage 5 og 6: Figur 1.4 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 5. og 6. etage Etage 4: Figur 1.5 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 4. etage Side 4

JF Kennedy Arkaden Etage : Figur 1.6 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for. etage Etage : figur 1.7 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for. etage Etage 1: Figur 1.8 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 1. etage Side 5

K1. Laster Kælder: Figur 1.9 Ruminddeling for kælderetage. Kældergulvet in-situ støbes Bygningen der projekteres, vurderes at blive påvirket af følgende laster: Egenlast, nyttelast, vindlast, snelast og ulykkeslast. 1.1 Egenlaster Til besteelse af egenlaster for Arkaden benyttes følgende laster: Tabel 1.1 Egenlaster der påvirker konstruktionen Konstruktionsdel Elementdele Egenvægt [kn/m ] Kilde Indervæg 5 beton 4,95 [Spæncom] Ydervæg 150 isolering 5 beton 4,95 [Spæncom] Skillevæg 160 letbeton,56 [Spæncom] Glasfacade 0 glas 0,78 [DS 410, 1998] Beton over glasfacade 5 beton 4,95 [Spæncom] Etagedæk 0 betonhuldæk 4,6 [Spæncom] Tag 0 betonhuldæk 4,6 [Spæncom] Side 6

JF Kennedy Arkaden 1. Nyttelaster Der er ved projektering af Arkaden brugt følgende nyttelaster, der er bestemt ved brug af DS 410, 1998. Tabel 1. Nyttelaster der virker på konstruktionen Rum Kategori Last Kontorer Kontor og let erhverv,0 kn/m Butikker Mindre butikker,0 kn/m Dagligvarebutikker Større butikker og forretninger 5,0 kn/m Biograf Samlingslokaler med faste pladser 4,0 kn/m Trapper Trapper, for hvilke q mindre end eller lig,0 kn/m,0 kn/m Gangareal Gange, for hvilke q mindre end eller lig,0 kn/m,0 kn/m Parkeringshus Biler med totalmasse indtil 500 kg,0 kn/m Kontorer Kategori A og B 0,5 kn/m Skillevægge Butikker Kategori D1-D 1,0 kn/m Dagligvarebutikker Kategori D1-D 1,0 kn/m 1. Vindlast Da bygningen er placeret over 5 km fra Vesterhavet, bruges v b,0 4 m/s som basisvindhastighedens grundværdi. Bygningen er en permanent konstruktion, hvorfor c års 1 [DS 410, 1998]. Dette giver en basisvindhastighed, v b på: v c v 1 4m/s 4m/s (1-1) b års b, 0 Ud fra basisvindhastigheden beregnes basishastighedstrykket på bygningen til: q b Her er ( 4m/s ) 60N/m 0,5 ρ vb 0,5 1,5kg/m (1-) ρ luftens densitet [kg/m ] Ved brug af basishastighedstrykket bestees det maksimale hastighedstryk på Arkaden. Størstedelen af bygningen har en højde på m jf. Figur 1.1. Sættes dette til referencehøjden, z, findes ruhedslængden, z 0, minimumshøjden z min, og terrænfaktoren, k t, ved brug af [DS 410, 1998] til hhv. z 0 1,0 m, z min 16,0 m og k t 0,4. Side 7

K1. Laster Herefter kan ruhedsfaktoren, c r, bestees til: z c ln r kt 0,4 ln 0,74 (1-) z0 1 Ud fra ruhedsfaktoren og en topografifaktor, c t 1 kan 10 minutters middelhastighedstrykket bestees til: q m cr ct qb 0,74 1 60N/m 198N/m (1-4) Turbulensens indvirkning på hastighedstrykket bestees ud fra turbulensintensiteten, I v : I v 1 z ln z0 1 0,4 ln 1 (1-5) Det karakteristiske maksimale hastighedstryk kan herefter udregnes til: q max ( 1 + 7 I v ) q ( 1 + 7 0,4) 198N/m 647N/m m (1-6) Den karakteristiske vindlast på facaderne beregnes ud fra q max multipliceret med formfaktoren c pe,10. Facadernes formfaktorer og karakteristiske vindlast ses på Figur 1.10. Figur 1.10 Formfaktor og vindlaster på facaderne Side 8

JF Kennedy Arkaden Den karakteristiske last på taget udregnes på sae måde, tagets belastningsområder fremgår af Figur 1.11. Figur 1.11 Belastningsområder på vandret tag [DS 410, 1998] Med en gennemsnitlig bygningshøjde på m høj bliver e 44 m. Dette medfører, at x, y og z bliver hhv. 4,4 m, 11 m og m. Tabel 1.Vindlaster på taget over 4. etage m over terræn Belastningsområde c pe, 10 (mindste / største) Mindste værdi Største værdi [-] [kn/m ] [kn/m ] F -1,8 / 0-1,16 0 G -1, / 0-0,84 0 H -0,7 / 0-0,45 0 I -0,5 / 0, -0, 0,1 1.4 Snelast Ved besteelse af snelasten undersøges for snelast på hele taget. Den jævnt fordelte snelast, S, beregnes ifølge DS 410 af formel [DS 410,1998]: Her er S c C C s (1-7) i e t k c i C e C t s k formfaktoren for snelast beliggenhedsfaktoren termisk faktor sneens karakteristiske terrænværdi Beliggenhedsfaktoren og den termiske faktor sættes på den sikre side til 1. Sneens karakteristiske terrænværdi beregnes af formlen [DS 410,1998]: s k c års sk,0 (1-8) Her er c års s k,0 årstidsfaktor for sneens terrænværdi grundværdi for sneens terrænværdi Side 9

K1. Laster Idet konstruktionen er permanent sættes årstidsfaktoren til c års 1,0. Grundværdien for sneens terrænværdi s k,0 sættes til 0,9 kn/m. Sneens karakteristiske terrænværdi bestees af formel (1-7): s k cårs sk, 0 1,0 0,9kN/m 0,9kN/m Til formfaktoren for snelast anvendes c i, da konstruktionen opføres med fladt tag, denne sættes ifølge DS 410 til 0,8 for taghældningen α 0º. Den samlede snelast bliver dermed: S k c1 s 0,8 0,9kN / m 0,7kN / m (1-9) Side 10

JF Kennedy Arkaden K. Bygningens totalstabilitet I dette afsnit behandles bygningens totalestabilitet for vandret lastpåvirkning. Den vandrette last, hidrørende vindlast, er beregnet i afsnit (1-). Totalstabiliteten eftervises i form af en spændingsberegning. Beregningerne foretages ud fra følgende forudsætninger: Skiverne optager de vandrette kræfter Saenhængende vægge er forbundet med stive samlinger Plan spænding- og tøjningsfordeling Konstruktionsmaterialet er et lineærelastisk materiale Vægprofilerne indspændes i fundamenterne Forskydningsdeformationerne er negligerbare Negative spændinger regnes som tryk, positive spændinger regnes som træk. De bærende vægges højde og placering i bygningen er illustreret på Figur.1. Væggene er bestemt med udgangspunkt i udleveret tegningsmateriale og ruminddeling, jf. Bilag K1. Figur.1 Vægprofilernes variation i højden Der tages udgangspunkt i [Montage, 00] ved beregningerne af spændingerne fra 1.- 6. etage. Denne metode er en tilnærmelses metode, der bygger på en antagelsen om, at de enkelte vægprofiler er vridningsslappe, og at deres hovedinertiakse er parallel med vægsystemets hovedretninger [Montage, 00, s. 10]. Side 17 af 15

K. Bygningens totalstabilitet For 7. og 8. etage tages udgangspunkt i en metode, der bygger på en elasticitetsteoretisk betragtning af profilet. [Rumbjælker, 00].1 Stabilitet for 1. 6. etage Til besteelse af spændingerne bestees først bygningens inertimoment, herefter bestees vridningsstivheden, forskydningscenteret og vridningsmomentet. Til sidst bestees de vandrette kræfter, der påvirker de enkelte vægge, hvorefter spændingerne over disse beregnes. I det følgende henvises til de enkelte vægprofiler i henhold til nuereringen på Figur. -.4. Figur. Grundplan med bærende vægge for1- etage. Et modul lig m Figur. Grundplan af de bærende vægge med for 4-6 etage. Et modul lig m Figur.4 Grundplan af de bærende vægge for 7-8 etage. Et modul lig m 16 af 15

JF Kennedy Arkaden. Inertimoment for hele bygningen Til besteelse af bygningens samlede inertimoment bestees først inertimomentet for de enkelte vægprofiler, hvorefter det samlede inertimoment for bygningen findes som suen af disse. Vægprofilerne er opbygget af rektangler og inertimomentet bestees ved König's flytningssætning: I n i 1 1 1 b i h i + A i i η (-1) Her er I inertimomentet for retangulært vægprofilet b bredden af det enkelte element [m] h højden af det enkelte element [m] A arealet af det enkelte vægelement [m ] η afstanden fra vægprofils tyngdepunkt til det lokale koordinatsystem [m] Som eksempel på besteelse af inertimomentet udregnes inertimomentet om x-aksen for vægprofil nr. 1. Dimensionerne fremgår af Figur.5 Figur.5 Dimensioner på vægprofil nr.1 Det vælges at udføre beregningerne ud fra vægelementernes centerliner. Det er desuden valgt at se bort fra, at hjørnet mellem to vinkelret vægge, medregnes to gange. Det giver følgende beregninger og resultater for vægprofil 1. Side 1 af 15

K. Bygningens totalstabilitet Arealet af vægprofil 1 med tykkelsen 75: A 75 m 1 9000 + 15000 75 9, 0 Det statiske moment om x - aksen bestees af formlen: Her er ' i, x' j j j S b h y (-) S i b j h j statiskmoment for det i te vægprofil breden af det j te vægelenent højden af det j te vægelement y j afstnden fra det j te vægelements tyngdepunkt til det globale koordinatsystem Det statiske moment for vægprofil 1: S x ( m 9 1, ' 75 9000 8500 + 15000 75 87000) 10 767, 8 Afstanden η fra x -aksen til tyngdepunktet af vægprofil 1 bestees: η 1, y S1, x ' 767,8m 85, m A1 9,0m (-) Vægprofil 1 s inertimoment om x-aksen bestees ved indsættelse i formel (-1): I1, x ' 1 1 1 1 75 15000 6 ( 9000) + (,75m ) 10 ( 8500 8500) 6 4 ( 75) + ( 5,65m ) 10 ( 87000 8500) 65,6m + Inertimomenterne for de resterende vægelementer om de lokale tyngdepunktsakser er opstillet i Tabel.1 og Tabel.. 14 af 15

JF Kennedy Arkaden Tabel.1 Inertimoment for stabiliserende vægelementer for etage 1- Element S i,x S i,y η x η y I i,x I i,y [m] [m] [m] [m] [m4] [m4] 1 4,19 767,81 4,69 85,1 65,56 4,16 194,40 6,15 48,00 8,00 16,1 8,6 186,0 171,11 9,00 84,50 1,5 8,10 4 11,14 14,65,6 45,4 86, 4,1 5 15,90 146,81 9,60 4,50 41,01,84 6 5,06 8,10,50 4,00 8,10 1,5 7 75,94 1,15,50,60 14,18 6,59 8 19,60 6,08 48,00,5,54 16,1 9a 1646, 97,68 85,08 15,8 0,09 54,77 10 57,0 66,19 78,55 0,61 4596,71 077,97 11 117,45 88,09 58,00 4,50 1,67 0,01 1 70,4 57,68 50,06 47,7 81,59 8,4 1 7,60 40,0 69,00 6,00 0,0 59,0 14 7,60 80,70 69,00 70,50 0,0 59,0 Σ 476,01 56,8 - - 497,6 99,14 Tabel.Inertimoment for stabiliserende vægelementer for 4-6 etage Element S i,x S i,y η x η y I i,x I i,y [m ] [m ] [m] [m] [m 4 ] [m 4 ] 1 4,19 767,81 4,69 85,1 65,56 4,16 194,40 6,15 48,00 8,00 16,1 8,6 186,0 171,11 9,00 84,50 1,5 8,10 4 11,14 14,65,6 45,4 86, 4,1 5 15,90 146,81 9,60 4,50 41,01,84 6 5,06 8,10,50 4,00 8,10 1,5 7 75,94 1,15,50,60 14,18 6,59 8 19,60 6,08 48,00,5,54 16,1 9b 1646, 97,68 85,08 15,8 0,09 54,77 Σ 606,85 1960,54 - - 48,4 85,69 Side 15 af 15

K. Bygningens totalstabilitet. Forskydningscenterets placering I dette afsnit fastlægges bygningens forskydningscenter med henblik på besteelse af vridningsstivheden. x F -koordinaten til forskydningscenteret findes af formel (-4) [Montage, 00, s. 10]: Iix x' F I x η x' (-4) Her er η x' afstanden fra det valgte koordinatsystem til det i te elements tyngdepunkt [m] I x det samlede inertimoment om x-aksen [m 4 ] Reusultaterne af beregningerne til I i,x η x' og I i,y η y er opstillet i Tabel. og Tabel.4 fo henholdsvis 1.. og 4. 6. etage. Tabel. Vridningsstivheden V 1-l. for 1.-. etage Element I i,x η i,x' I i,y η i.y' [m 5 ] [m 5 ] 1 07 1914 778 54 140 685 4 0 188 5 89 14 6 0 6 7 19 4 8 1 6 9a 61050 644 10 79 0 11 4085 40 1 160 1 1874 14 0 041 71660 100 16 af 15

JF Kennedy Arkaden Tabel.4 Vridningsstivhed for V 4-61 4.-6. etage Element I i,x η i,x I i,y η i.y [m 5 ] [m 5 ] 1 07 1914 778 54 140 685 4 0 188 5 89 14 6 0 6 7 19 4 8 1 6 9b 18744 865 Σ 19171 0905 I det følgende beregnes forskydningscentrets x F -koordinat for 4.-6. etage ud fra formel (-4). x I ix η x' I 19171m 48,4m 5 ' FC 79, 4 x m Forskydningscenterets y F -koordinat for 4.-6. etage er bestemt efter sae metode og koordinatet til forskydningcentret er: F 4-6 ( x F, y F ) (79, m; 7,0 m) Forskydningscentret F 1- er bestemt til (75,4 m; 1, m), placeringen af dette kan ses på Figur.6 og Figur.7. Figur.6 Placering af forskydningscenter for 1.-. sal. Hvert tern lig med x m Figur.7 Placering af forskydningscenter for 4.-6. sal. Hvert tern lig med x m Side 17 af 15

K. Bygningens totalstabilitet.4 Vridningsstivhed Da den vandrette kraftpåvirkning ikke påvirker konstruktionen i forskydningscentret opstår der vridning af konstruktionen. Der indlægges et xy- koordinatsystem, parallelt med x y - systemet med nulpunkt i FC. Herefter kan vridningsstivheden bestees af formlen: [Montage, 00, s. 11] Her er i i V I x + I y (-5) ix iy I 1x, I iy x i, y i inertimomentet for det i'te element afstsnden fra det i'te vægprofils tyngdepunkt til forskydningscenteret Tabel.5 Vridningsstivhed for 1.-. etage V 1- Element I ix x i [m 6 ] I iy y i [m 6 ] 1 8085 65658 1191 75771 419 9 4 460 84 5 154 4 6 4095 117 7 9717 506 8 1909 1688 9a 44680 541 10 415 1 11 5495 70 1 1 6066 1 1 98048 14 15 5 100065 181905 18

JF Kennedy Arkaden Tabel.6 Vridningsstivhed V 4-6. for 4.-6. etage Element I ix x i [m 6 ] I iy y i [m 6 ] 1 64196 5610 15795 60061 49 1896 4 50944 95 5 848 11 6 4769 1658 7 45611 746 8 47 19549 9b 75709 565 Σ 705661 884588 Vridningsstivheden bestees ud fra Tabel.5 og Tabel.6 og ligning (-5) bestees til: V 4-6 705661 m 6 + 884588 m 6 159049 m 6 V 1-100065 m 6 +181905 m 6 819660 m 6.5 Vridningsmoment Bygningens vridende moment, M v, bestees efter formel (-6), hvor momentet regnes positivt mod uret: M Her er v Py xp Px yp (-6) P x x p P y y p kraften i x-aksens retning, P øst afstanden, i x-aksens retning, fra kraftens angrebspunkt til forskydningscentet kraften i y-aksens retning, P nord afstanden, i y-aksens retning, fra kraftens angrebspunkt til forskydningscentet I det følgende bestees M v,øst for 1.-. etage og 4.-6. etage med vind fra øst. Vindlasten P er i Bilag K1 bestemt til 0,65 kn/m. 19

K. Bygningens totalstabilitet Figur.8 Model med vindpåvirkning fra øst og afstanden y P,1- Ud fra de angivede dimensioner på Figur.8 bestees resultanten af vindpåvirkningen fra øst, for henholdsvis 1- etage og 4-6. etage til: kn P1, øst 0,65 87,0 m 11,1 m 67, 7 kn m kn P4 6, øst 0,65 87,0 m 9,6 m 54. 9 kn m Afstanden fra forskydningscenteret til vindpåvirkningens resultant bestees, idet resultanten angriber midt på bygningen, se Figur.8. 87,0 m y P, 1 yfc,1 4,5 m 1, m 1, m 87,0 m y P, 4 6 y FC,4 6 4, m 7,0 m 6, 5 m Ved indsættelse i formel (-6) giver M v med ovenstående udregninger og P nord lig nul: M øst v,,1 67,7 kn 1, m 7657, 9 knm M øst v,,4 6 54,9 kn 6,5 m 55, 4 knm 0

JF Kennedy Arkaden.6 Lastfordeling Ud fra inertimomentet, vridningsstivheden, forskydningscenteret og vridningsmomentet bestees kraften, der påvirker det enkelte vægprofil i henholdsvis x- og y-retningen, af følgende formler [Montage, 00, s. 11]: Px M v P ix I iy y i I y V (-7) Py M v P + iy I ix xi I x V (-8) Her er P ix I iy P x I y y i M v V P iy I ix P y I x x i kraften på det i'te vægprofil i x-aksens retning, P øst inertimomentet for det i'te vægelement om y-aksen den samlede kraften i x-aksens retning, P øst det samlede inertimomentet om y-aksen y-afstanden fra forskydningscenteret til det i'te vægprofils tyngdepunkt vridningsmomentet vridningsstivhedden kraften på det i'te vægprofil i y-aksens retning, P nord inertimomentet for det i'te vægelement om x-aksen den samlede kraften i y-aksens retning, P nord det samlede inetrimoment om x-aksen x-afstanden fra forskydningscenteret til det i'te vægprofils tyngdepunkt I det følgende bestees kraften, der påvirker vægprofil 1 på 1.-. etage og 4.-6. etage. Udregningerne er foretaget ud fra (-7), idet P x P øst : 4 67,7 kn 7657,9 knm P øst 4,16m 1,,1 97 4 6 6 99, m,8 10 m ( 85,0 m 1, m), kn 4 54,9 kn 55, knm P øst 4,16m 1,,4 6 8 4 6 6 85,7 m 1,6 10 m ( 85, m 7,0 m) 11, kn De øvrige lastfordelinger for 1.-. etage og 4.-6. etage med vind fra øst fremgår af Tabel.7-Tabel.10 1

K. Bygningens totalstabilitet Tabel.7 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 1.-. sal med vind fra øst Vægprofil P x [kn] P y [kn] 1,965-1,570 0,55-1,05 0,15 0,068 4 0,50-17,075 5 0,60,00 6 0,56-1,60 7 1,547 -,04 8,86-0,189 9a 580,478 8,84 10 0,000-0,646 11 0,971-5,609 1 19,104 0,000 1 1,85 0,000 14,88 0,000 Σ 67,047 0,000 Af Tabel.8 fremgår det, at vægprofil 9b optager langt den største last hidrørende den vandrette belastning. Som kontrol på beregningen bemærkes, at suen af lasterne netop steer med den i afsnit.5 fundne komposant fra vind fra øst på 1.. etage. Hermed kan vindlasten på 1.. etage konkluderes som været optaget i væggene. Tabel.8 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 4-6 sal med vind fra øst Vægprofil P x [kn] P y [kn] 1 11,8-10,86 15,504-1,15 4,40 0,04 4,605-14,71 5 1,804 1,11 6 1,101-1,8 7 4,767-1,788 8 11,768-0,176 9b 78,978 8,708 Σ 54,1 0,000 For vind fra nord er lastfordelingen beregnet til, jf. Tabel.9 og Tabel.10.

JF Kennedy Arkaden Tabel.9 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 1- sal med vind fra nord Vægprofil P x [kn] P y [kn] 1-81,471 -,009-9,866-0,716 -,901 0,84 4-0,9-0,94 5-0, 10,775 6 0,80 -,89 7 1,0 -,060 8,170-0,11 9a 1,67 741,946 10-0,001 0,16 11-0,91 -,47 1-55,81 0,000 1-68,65 0,000 14-6,910 0,000 Σ 0,000 691,90 Tabel.10 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 4-6 sal med vind fra nord P x P y Vægprofil [kn] [kn] 1-17,75-41,16-15, -1,967-4,5 0,60 4-0,410-56,69 5-0,18 16,99 6 0,591-5,14 7,585-5,968 8 6,61-0,08 9b 17,970 69,81 Σ 0,000 598,41

K. Bygningens totalstabilitet.7 Beregning af normalspændinger ved fundament I det følgende bestees normalspændingerne ved terræn. Spændingerne bestees ved Navier s formel, idet der kun ses på bidraget fra den vandrette kraftpåvirkning: M y σ x y i (-9) I x Her er σ y spændingen i forhold til y-retnigen [kn/m ] M x y i det bøjende Momentet om x-aksen [knm] asfstand fra vægprofil i s tyngdepunkt til spændingspunktet [m] Eksempel for vægprofil 1 med vind fra øst På Figur.9 er afstanden fra vægprofil 1 s tyngdepunkt til dens endepunkter angivet, samt den valgte retning på akserne. Figur.9 Vægprofil 1 med angivet TP placering om Y-aksen. Mål i meter Det bøjende moment hidrørende vindlasten beregnes af formel (-10): M x P x, i(1 ) h(1 ) + P x, i(4 6) h (1 ) h(4 + 6) (-10) Her er P x,i(1-) h (1-) P x,i(4-6) h (1-) den resulterende kraft fra vind fra øst 1.-. etage [kn] højden af 1.-. etage [kn] den resulterende kraft fra vind fra øst 4.-6. etage [kn] højden af 4.-6. etage [kn] 4

JF Kennedy Arkaden Momenterne for vægprofil 1 beregnes: 11,1 m 9,6 m,965 kn + 11,8kN 11,1 m + M x, øst 1946, 5 11,1 m 9,6 m 1,570 kn + 10,86 kn 11,1 m + knm M y, øst 4, 5 knm Inertimomenterne for vægprofil 1 er jf. Tabel.1 bestemt til: 4 I x 65,5m 4 I y 4,m Spændingen ved fundamentet for væg 1 med vind fra øst bestees: Punkt A: σ σ σ 1946,5kNm 65,5 m y, A 1,687m 45, 9 4 4,5kNm 4,16m m kn m x, A 10,1 1, 4 kn m kn m kn m A σ y, A + σ x, A 45,9 1,, 8 kn m Punkt C: σ σ 1784,7 knm 65,5 m y, C ( 7,1) m 199, 1 4 86,0kNm 4,16m x, C ( 4,688) m 6, 0 4 kn m kn m σ C σ σ kn m kn m y, C + x, C 199,1 + 6,0 19, 0 kn m Punkt B: σ kn m kn m B σ y, A + σ x, C 45,9 + 6,0 51, 9 kn m 5

K. Bygningens totalstabilitet For vægprofil 1 fordeles normalspændingerne som vist på Figur.10. Figur.10 Øverst venstre: Normalspændinger fra komposanten P x. Øverst højre: Normalspændinger fra komposanten P y. Nederst: Samlede normalspændinger for vægprofil 1 med vind fra øst. Spændinger i [kpa] Normalspændingerne for vind fra øst og nord, for de øvrige åbne profiler, er bestemt på tilsvarende måde og fremgår af Figur. og Figur.4 i slutningen af dette kapitel..8 Beregning af forskydningsspændinger ved fundament Ved beregningerne af forskydningsspændingerne benyttes to metoder, en for åbne tyndfligede tværsnit, og en for lukkede tyndfligede tværsnit. For åbne tyndfligede tværsnit benyttes Grashofs formel. Lukkede tyndfligede tværsnit beregnes efter eladtisitetsteorien. 6

JF Kennedy Arkaden.8.1 For åbent tyndfliget tværsnit Forskydningsspændingerne beregnes af Grashofs formel: Py S x Px S y τ + (-11) I t I t Her er x y τ P x forskydningsspændingen [MPa] vandret kraft i x-retningen [kn] S x statiske moment om x, for betragtet punkt [m ] I x inertimomentet om x-aksen [m 4 ] t tykkelsen af tværsnittet [m] Eksempel for vægprofil 1 med vind fra øst. Det vælges at bestee forskydningskraften i følgende punkter jf. Figur.11. Figur.11 Punkterne på vægprofil 1, hvor forskydningskraften findes. Alle mål i m Det statiske moment om x-aksen bestees af formel (-1): S x y da t y ds (-1) Her er y t Afstand i y retningen til tyngdepunktet for betragtede punkt [m] Tykkelsen af profilet [m] 7

K. Bygningens totalstabilitet For strækningen fra A til B er s 1 -x, hvorved det statiske moment bestees ved: S x t y s 1 (-1) På strækningen fra B til C er s y, Det statiske moment bestees ved: S y 1 t s 1 (-14) De statiske momenter i punkterne A, B og C bestees til: S S S S S S A1, x 0,75m 1,687m 10,1m 6,5m B, x 0,75m 1,687m 15m 9,50m m + ( 1,687m) 10,0 B1, x 9,50 0,75m 0,5 m ( 10,1m) A1, y 0,75m 0,5 19,9m ( 4,688m) ( 10,1 ) ) 15,9 m B, y 0,75m 0,5 m m + B1, y 15,9 0,75m 1,687m 4,688m 1,9m For åbne ender af tværsnittet er forskydningsspændingen τ A τ B 0kN/m 14,kN 19,9m,4kN ( 6,5)m kn τ A1 + -, 4 4 4,m 0,75m 65,56m 0,75m m 14,kN 15,9m,4kN ( 9,50)m kn τ B + -17, 4 4 4,m 0,75m 65,56m 0,75m m τ B1 14,kN 1,90m 4 4,m 0,75m,4kN ( 10,0)m + 4 65,56m 0,75m kn 1,9 m På Figur.1 fremgår, hvordan forskydningsspændingerne varierer over vægprofil 1. 8

JF Kennedy Arkaden Figur.1 Forskydningsspændingernes variation ved fundamentet for vægprofil 1, med vind fra øst.[kpa].8. Forskydningsspændinger i vægprofil 11, lukket tyndfliget tværsnit Den samlede forskydningsspænding i et lukket tyndfliget tværsnit er nul. Til besteelse af variationen over tværsnittet bestees den forskydende krafts variation over tværsnittet. Den forskydende kraft i lukkede tyndfligede tværsnit kan bestees ved at integrere rundt i tværsnittet. Dette er givet ved [Rumbjælker, 00, s. 4]: H ds 0 G t (-15) Her er H G t s den forskydende kraft [kn/] forskydningskraftmodulet [MPa] tværsnittets tykkelse [] den tilbagelagte strækning [] Idet egenvægten og tværsnittets tykkelse er konstante over tværsnittet ses bort fra disse i de videre beregninger af formel (-15). Den forskydende kraft pr. længdeenhed bestees af følgende formel: H s x Qy I y t zz k y Qy t hvor k (-16) I zz Her er H x s Q y y t den forskydende kraft [kn/] den tilbagelagte strækning [] kraften der påvirker tværsnittets tyngdepunkt [kn] afstanden til y-aksen [] tykkelsen af tværsnittet [] I zz inertimomentet om z-aksen [ 4 ] 9

K. Bygningens totalstabilitet Eksempel for spændinger i y-aksens retning i vægprofil 11 med vind fra øst. Spændinger i de på Figur.1 angivende punkter bestees. Figur.1 Punkter og afstande for vægprofil 11. Alle mål i m. Alle afstande regnes til centerlinie Den forskydende kraft på strækningen fra B til C bestees med y -0,81-s 1, her giver formel (-16): H x s k ( s ) 1 + 0,81 1 H + x k s1 + 0, 81 s1 H B I punktet C er s 1 4,5 m, den forskydende kraft er her: 1 H C k 4,5 + 0,81 4,5 + H B1 11,09 k + H B1 0

JF Kennedy Arkaden På strækningen fra C til D bestees den forskydende kraft med y -4,781: s H x k 4,781 H k s + x 4,781 H C Med s,0 i punktet D bliver den forskydendekraft: H k H k + H D 4,781,0 + C 5,7 B1 Fra D til E er y s -4,781, dermed bliver den forskydende kraft: H x s k ( s ) 4,781 1 H + x k s 4, 781 s H D Den forskydende kraft i punktet E bliver med s 4,5 1 H E k 4,5 4,781 4,5 + H D 7,1 k + H B1 Med y -0,81 på strækningen fra E til B er den forskydende kraft: s H x k 0,81 H k s + x 0,81 4 H E Med s 4,0 i punktet B bliver den forskydende kraft: H B k 966 + 0,81,0 + H E 7, k H B1 Den forskydende krafts fordeling over tværsnittet BCDE er optegnet på Figur.14. 1

K. Bygningens totalstabilitet Figur.14 Den forskydende krafts for løb over vægprofil 11 Til besteelse af størrelsen H B1 udføres formel (-15) som arealberegning af Figur.14 1 Hds H B1 + 5,7 k 4,5 + ( 4,5 +,0) + 11,90 k 4,5 + 11,90 k,0 + ( 5,7 11,90) H B, 4 k 1 1 ( 7,1 5,7) k 4,5 + 7,1,0 + ( 7,966 7,1) k,0 0 Dermed fås den forskydende kraft i punkterne C, D, E og B til: H B 1 H C H D H E H B, 44 k 11,90,44 k 11, 05 k 5,7 k,44 k, 91 k 7,1 k,44 k 14, 681 k 7,966 k,44 k 15, 54 k 1 k,0 Forskydningskraften over fligen A til B bestees idet y 8,971-s 5. s H x H x k ( 8,971 s ) 1 k 8,971 s1 s 5 1

JF Kennedy Arkaden I punktet B er strækningen s 5 9,0, den forskydende kraft bliver her H B 1 k 8,971 9,0 4,5 7, 971 k (-17) For vindlasten fra øst bestees konstanten k i formel (-16) med en kraftpåvirkning af vægprofil 11 fundet i Tabel.7 og Tabel.8. Idet koordinatsystemets y-akse er vent i forhold til beregningerne af kraftpåvirkningen bliver Q y -0,971 kn, og et inertimoment I zz I x 81,591 m 4 0,971 0,5 kn k 0,007 (-18) 81,591 m Idet den forskydende kraft kan bestees i alle punkter på tværsnittet, findes forskydningsspændingen over tværsnittet at formel H x τ (-19) t Forskydningensspændingen i punkterne A-E bestees ved formel (-19) τ A 0kPa,44 0,007 τ B1 0, 67 kpa 0,5 15,54 0,007 τ B 0, 185 kpa 0,5 7,971 0,007 τ B 0, 45 kpa 0,5 11,05 0,007 τ C 0, 1 kpa 0,5,91 0,007 τ D 0, 09 kpa 0,5 14,681 0,007 τ E 0, 175 kpa 0,5

K. Bygningens totalstabilitet På Figur.15 er spændingerne over tværsnittet optegnet for komposanten i y-aksens retning ved vindpåvirkning fra øst. Figur.15 Spændingsfordeling hidrørende y-komposanten for vægelement 11 for vind fra øst På tilsvarende måde findes forskydningsspændingen for komposanten i x-aksens retning for vindlast fra øst, hvorefter disse adderes, for den samlede forskydningsspænding over tværsnittet. Forskydningsspændingerne for de øvrige profiler er bestemt på tilsvarende måde og fremgår af Figur.5 for hhv. vind fra øst og vind fra nord. I det foregående er størrelsen på normal- og forskydningskræfterne fundet ved bunden af de bærende vægge. Inden fordelingen kan optegnes for tårnets bærende vægge skal normal- og forskydningskræfterne bestees for tårnets 7. og 8. etage..9 Beregninger for tårnets 7. og 8. etage I det følgende bestees spændingerne hidrørende fra tårnet. Tårnet beregnes som værende et stift legeme. Tårnet antages at være et tyndfliget tværsnit idet tykkelsen, t, er meget mindre end længden af tværsnittet. Idet tårnet er fast indspændt med de underliggende etager, regnes tværsnittet udsat for bunden vridning. Tårnets tværsnit fremgår af Figur.16. 4

JF Kennedy Arkaden Figur.16 De bærende vægge på 7. 8. etage, med valgt placering af x- og yaksen, samt systemet i D I det følgende regnes der med betegnelserne t for tykkelsen, samt a for længden svarende til 1 H meter. Normalspændingerne, σ xx, fra vridning bestees af formelen: [Rumbjælker, 00, s. 77]: σ Her er H xx d θ E ωn (-0) dx E elasticitetsmodulet for beton [kn/m ] ω n normaliseret sektorkoordinat [m ] θ vridningsvinklen [-] Forskydningsspændingerne fra vridning bestees af formlen [Rumbjælker, 00, s. 8]: H x Her er d θ E Sω t (-1) dx E elasticitetsmodulet for beton [kn/m ] S ω sektorstatiske moment [m 4 ] θ vridningsvinklen [-] 5

K. Bygningens totalstabilitet For at kunne løse formel (-0) og (-1) skal flere parametre, der skal bestees. I det følgende bestees disse, hvorefter spændingerne findes..9.1 Besteelse af tværsnittets tyngdepunkt, TP Tværsnittets tyngdepunkt samt inertimomenter er bestemt som i afsnit. og fremgår af Tabel.11. Tabel.11 Tværsnitsdata for tårn Inertimomenter Afstand til TP Areal I xx I yy X TP Y TP 60 a t 75 a t 1584 a t 4,5 a 11,85 a Tyngdepunktets placering er skitseret på Figur.17. Figur.17 Tyngdepunktets placering samt nyt koordinatsystem med origo i TP 6

JF Kennedy Arkaden.9. Besteelse af tværsnittes forskydningscenter, FC Koordinaterne til forskydningscentret kan bestees efter formlerne [Rumbjælker, 00, s. ]: x' F Iω y (-) I xx' Her er I ωy sektorcentrifugalmomenter [m 4 ] I xx' Inertimomentet om x -aksen [m 5 ] I ωx y' F (-) I yy' Her er I ωx sektorcentrifugalmomenter [m 4 ] I yy' Inertimomentet om y -aksen [m 5 ] Besteelse af tværsnittets afstandsmæssige variation med x og y. x s variation over tværsnittet er optegnet på Figur.18. Figur.18 x (s).mål i 7

K. Bygningens totalstabilitet y s variation over tværsnittet y (s) bestees. Resultaterne fremgår af Figur.19. Figur.19 y (s).mål i Sektorkoordinaten ω bestees. Det gøres ud fra formlen [Rumbjælker, 00, s. ]: dω r dω r ds ω r s + C (-4) ds Her er r vinkelrette afstand fra betragtet element til TP [m] s strækningen over elementet [m] ω sektorkoordinaten [m ] Formel (-4) anvendes på de enkelte strækninger: Strækning AB: s 6a AB: r dω 10,5a, ω 10,5a ds ds 6a 0 6a [ 10,5a s + C], ω 10,5a 6a + C 6a C 0 B + 8

JF Kennedy Arkaden Strækning BC: dω BC :r 9,15a, ω 9,15a s + C1 ds ω 9,15a s + 6a + C, ω 00,5a C i det for + C s 0 ω ω B Strækning CD: dω CD : r 4,5a, ds ω 4,5a s + 00,5a ω 4,5a s + C + C, ω D 94,75a + C, ω E 54,5a + C Strækning EF: dω EF : r,85a, ds ω,85a s + 54,5a 4 ω,85a s + C, 4 + C ωf 6,8a + C Strækning FG: dω FG : r 1,5a, ω 1,5a s5 + C4 ds ω 1,5a s + 6,8a + C, ωg 76,a + C 5 Strækning GH: dω GH : r 11,85a, ω 11,85a s6 + C5 ds ω 11,85a s + 76,a + C, ωh 47,4a + C 6 Sektorkoordinaten normaliseres, idet der skal gælde, ω t ds 0 (-5) Hermed sikres, at der vil forekoe ren vridning, idet der ikke optræde normalkrafter i tværsnittet. Figur.0 anvendes til besteelse af konstanten, C så (-5) er opfyldt. 9

K. Bygningens totalstabilitet Figur.0 Besteelse af C Konstanten C bestees grafisk ved at multiplicere arealerne: s 1 6 a c + (6-0) a 6a ½ + s (6a + C) 15a + (00,5-6)a 15a ½ + s (00,5a + C) 1a + (94,75-00,5)a 1a ½ + s 4 (54,5a + C) a + (6,8-54,5)a a ½ + s 5 (6,8a + C) 9a + (76,- 6,8)a 9a ½ + s 6 (76,a + C) 6a + (47,4-76,)a 6a ½ 0 14,5 a + 60a C 0 C -07, a 40

JF Kennedy Arkaden Med C bestemt kan den normaliserede sektorkoordinaten ω s variation over tværsnittet optegnes jvf. Figur.1. Figur.1 Den normaliserede sektorkoordinaten ω n (s) variation Besteelse af sektorcentrifugalmomentet I ωx til brug i formel (-), til besteelse af FC s Y F koordinat, sker ved (-6) x( s) ω( s) da x( s) ω( s) t ds t x( s) ω( s I x ) ds ω (-6) Ved brug af Figur. kan løsningen til (-6) findes ud fra Figur.18. Figur. Løsning til integralet [ Rumbjælker, 00, Appendiks] 41

K. Bygningens totalstabilitet Strækning s 1 : ( 07, a ) + 10,5a ( 144, a ) ( 144, a ) + 10,5a ( 07, a ) 6a 1 10,5a t x ds a ω 1 6 a a 11069 6 0 + 10,5 Strækning s : 15a t 0 ( 144, a ) + ( 4,5a) ( 7,0 a ) ( 7,0 a ) 4,5a ( 144, a ) 1 10,5a x ω ds a 15 a a 5975 6 + 10,5 Strækning s : 1a t 0 ( 7,0 a ) 1 ( 4,5a) + ( 4,5a) 87,5 a x ω ds a 1 a a a a ( a ) 804 6 4,5 87,5 4,5 7,0 Strækning s 4 : a 1 ( 4,5a) 47 a + 1,5a 55,6 a t x ds a ω 4 a a a a a 18 6 0 4,5 55,6 + 1,5 47 Strækning s 5 : 9a 1 ( 1,5a ) 55,6 a + ( 1,5a ) 69,1 a t x ds a ω 5 9 a a a a a 84 6 0 1,5 69,1 1,5 55,6 Strækning s 6 : 6a 1 ( 1,5a ) 69,1 a + 1,5a 140, a t x ds a ω 6 6 a a a a a 107 6 0 1,5 140, + 1,5 69,1 4 t 4 t 4 t 4 4 4 t t t I ωx I ωxi ( 11069 5975 804 18 84 + 107) a 4 t 1801 a 4 t Besteelse af sektorcentrifugalmoment, I ωy bestees tilsvarende I ωx og er fundet til: I ωy I ωyi (-694-1076 - 4614-49 - 416-7441) a 4 t 80 a 4 t 4

JF Kennedy Arkaden Den endelige placering af koordinatet til forskydningscentret, FC bestees ved brug af (- ) og (-). I I 80 a 75 a 4 ωy x F xx' I I t t 4 1801 a t 1584 a t ωx y F yy' 9,0 a 1,8 a Placeringen af FC i forhold til tårnet er illustreret på Figur...9. Besteelse af det sektorstatiske moment, S ω Det sektorstatiske moment findes af formlen: Sω t ωn ds (-7) Figur. s-retninger til besteelse af sektorstatiskmoment med afstand til TP, desuden fremgår beliggenheden af det beregnede forskydningscenter 4

K. Bygningens totalstabilitet Da forskydningsspændingerne er 0 ved en fri rand fås følgende randbetingelser. A: H x 0 D: H x 0 H: H x 0 Fra A til B: ωn 07,a + 10,5a s1 1 S ω t ( 07,a s1 + 10,5a s1 + C1) jf. randbetingelser C 1 0 t ( 07, a s + 5,5 a s ) Fra B til C: 1 1 ωn 144,a + 9,15a s 1 S ω t ( 144,a s + 9,15a s + C ) jf. randbetingelser s 0 S ω t a ( 1054,) t ( 144, a s + 4,575 a s a 1054,) Fra C til E: ω n 7,0a + 4,5a s 1 S ω t ( 7,0a s + 4,5a s + C ) jf. randbetingelser s 0 S ω t a ( 187,8) t ( 7,0 a s +,5 a s a 187,8) Fra D til E: ωn 87,5a 4,5a s 4 1 S ω t ( 87,5a s4 + 4,5a s4 + C4 ) jf. randbetingelser s 4 0 C 4 0 t (87,5 a s +,5 a s ) 4 4 Fra H til G: ω n 140,a 11,8a s 5 1 S ω t ( 140,a s5 + ( 11,8) a s5 + C5 ) jf. randbetingelser s 5 0 C 5 0 t (140, a s 5,9 a s ) 5 5 44

JF Kennedy Arkaden Fra G til F: ω n 69,1a 1,5a s 6 1 S ω t ( 69,1a s6 + ( 1,5) a s6 + C6 ) jf. randbetingelser s 6 0 S ω t a 68, 8 t (69,1 a s 0,75 a s + a 68,8) 6 6 Fra F til E: ω n 55,6a,87a s 7 1 S ω t ( 55,6a s7 + (,87) a s7 + C7 ) jf. randbetingelser s 7 0 S ω t a 1190, 0 t (55,6 a s,87 a s + a 1190,0) 7 7.9.4 Besteelse af sektorinertimomentet Iω Sektorinertimomentet, I ω er defineret som [Rumbjælker, 00, s.77] I ω ωnda (-8) A Her er ω n den normaliserede sektorkoordinat, fundet i afsnit.9.. Da s er løbende langs tværsnittet og tykkelsen t er konstant fås: Iω t ωn ds (-9) 45

K. Bygningens totalstabilitet I Figur.4 s-retninger til besteelse af sektorinertimoment. s går fra 0 til 1 og s 4 er derfor ikke med 1a ( 144,a + 9,15a s ) ds + ( 7,0a + 4,5a s ) 6a 9a a ( 140,a 11,8a s5 ) ds5 + ( 69,1a 1,5a s 6 ) ds 6 + ( 55,6a,87a s 7 ) 0 I I ω t ω ω 6a 0 ( 07,a 457518 a 5 t + 10,5a s 1 ) 0 ds 1 + 15a 5 6 ( 1000) 5 1,0 10 457518 0 0 0 ds 7 ds + Besteelse af vridningsinertimomentet Vridningsinertimomentet er givet ved [Rumbjælker, 00, s.70]. I v A t ( s) ds (-0) Her er t s tykkelsen [] tværsnittes længde [] 46

JF Kennedy Arkaden Her fås ved brug af (-0): I v 9 4 ( 5) 7,8 10 0 a t 0 1000 Besteelse af værdier I det følgende regnes med at elasticitetsmodulet for beton er E 1,75 10 4 MPa og poissonsforhold υ 0, I ω [ 6 ] I v [ 4 ] Tabel.1 Værdier af parametre G k [N/ ] [ -1 ] E (1 + ν ) k [ - ] G I v E I ω k [ - ] 1,0 10 7,8 10 9 791,7 9,6 10-7 9, 10-1 8,85 10-19.9.5 Besteelse af m x m x er det konstante moment, der påvirker tværsnittet, jf. Figur.5. Figur.5 Skitsetegning til besteelse af m x, mål i, længden 1450 benævnes d arm 47

K. Bygningens totalstabilitet m x med vind fra øst M v er det resulterende vridende moment: kn M qvind d arm A 0,65 1,45m 1m 6,4 m 1087, m v 6 knm m x er det konstante vridende moment pr. højde af bygning: m M h 1087,6 knm 169, 6,4 m v x 9 knm m m x med vind fra nord d arm er her beregnet til 6000 kn M qvind d arm A 0,65 6 m 1m 6,4 m 54, m m v M h 54, knm 81, 6,4m v x 9 knm m knm d θ d x.9.6 Besteelse af og til brug i formel (-0) og(-1). dx dx Det vridende moment M x for en bjælke med åbent tyndfliget tværsnit og påvirket til ren vridning, er givet ved [Rumbjælker, 00, s.78]: M x dθ d θ G I v E Iω (-1) dx dx M x m x h Da tårnet er fast indspændt er det vridende moment statisk ubestemt. Det betyder at vridningsvinklen θ bestees ved. [Rumbjælker, 00, s.78]: Her er 4 d θ d θ m x k 0 4 (-) dx dx E I ω k E I ω m x I v G I E I v ω elasticitets modulet for beton. sektorinertimomentet. konstant momentpåvirkning. inertimoment for vridning. 48

JF Kennedy Arkaden Differentialligningen (-) har den fuldstændige løsning: θ C sinh(k x) + C cosh(k x) + C x + C 4 1 g(x) (-) hvor g(x) er en partikulær løsning til (-). For m x konstant er: m x x g(x) G I v De afledede til (-) er: dθ dx C 1 k cosh ( k x) + C k sinh( k x) + C m x x G I v (-4) d θ dx C 1 k sinh ( k x) + C k cosh( k x) m x G I v (-5) θ dx d C1 k cosh ( k x) + C k sinh( k x) (-6).10 Normal- og forskydningsspændinger for vind fra øst I det følgende vil normal- og forskydningsspændingerne blive beregnet. Spændingerne bestees i bunden af 7. etage og henføres herfra til fundamentets overkant. Her sueres de med spændingerne fra 1. til 6. etage, hvorved de totale spændinger fra vertikal last er bestemt. Randbetingelserne for tværsnittet: Ved faste understøtninger og simple vridningsunderstøtninger er vridningsvinklen θ 0 dvs. (R1) x 0 θ C + C 4 0 Når hvælving er hindret gælder at u x 0 dvs. dθ/dx 0 dθ (R) x 0 C1 k + C 0 dx H d θ Kan hvælvingen foregå frit gælder, at σ xx 0 0 dx 49

K. Bygningens totalstabilitet d θ m x (R) x h C1 k sinh(k h) + C k cosh(k h) 0 dx G I v For en fri rand er M x M s,x + M H, x. Det giver [Rumbjælker, 00, s.79]: dθ d θ (R4) x h G I v E Iω M 0 x dx dx Det vides af k G I v E Iω G I v E I k ω dvs. dθ G I v d θ G I v M x 0 dx k dx G I v (C 1 k cosh(k h) + C k sinh(k h) + C m x h G I ( C k cosh(k h) + C k sinh(k h) ) M 0 G I v 1 k m x h M x C 0 G I v Konstanterne C 1, C, C, C 4 bliver med vind fra øst ved brug af randbetingelser R1-R4 x v Fra (R4): 6 N 169,9 10 6400 m h C 10 x 4 1 6,55 G I N v 9 4 7,9 10 7,8 10 Fra (R): C m h 169,9 10 6400 x 1 G I N v k 9 4 7 1 7,9 10 7,8 10 9,6 10 6 N 68 Fra (R1) og (R): C C4 111015 50

JF Kennedy Arkaden d x og, med vind fra øst, kan normal- og forskydningsspæn- dx d θ Med de fundne størrelser dx dingerne bestees. Normalspændinger med vind fra øst Normalspændingerne bestees af formlen [Rumbjælker, 00, s.77]. σ Her er E H xx ω n d θ dx d θ E ωn (-7) dx elasticitetsmodulet for beton. normaliseret sektorkoordinat. den anden afledede til vridningsvinklen. Spændingerne bestees i profilets bund, hvorfor x sættes lig 0. Den anden afledede bestees til: d θ dx C 111014 (9,6 10 1 k sinh( k x) + C 7 k 6 169,9 10 ) 1 7,9 10 7,8 10 mx cosh( k x) G I 9 v 1,9 10 1 Normalspændingerne beregnes langs væggen og findes i punkterne vist på (-6). Figur.6 Punkter på væggen 51

K. Bygningens totalstabilitet ω n er bestemt i afsnit.9., og ved indsættelse i (-7) fås, For punkt A ω n -07 a σ N H 4 1 xx 1,75 10 ( 07,) (1000) 1,9 10 6,9 N For punkt B ω n -144, a σ N H 4 1 xx 1,75 10 ( 144,) (1000) 1,9 10 4,8 N For punkt C ω n -7,0 a σ N H 4 1 xx 1,75 10 ( 7,0) (1000) 1,9 10 0, N For punkt D ω n 87,5 a σ H xx 1,75 10 4 N (87,5) (1000) 1,9 10 1,9 N For punkt E ω n 47,0 a σ H xx 1,75 10 4 N (47) (1000) 1,9 10 1 1,6 N For punkt F ω n 55,6 a σ H xx 1,75 10 4 N (55,6) (1000) 1,9 10 1 1,8 N 5

JF Kennedy Arkaden For punkt G ω n 69,1 a σ H xx 1,75 10 4 N (69,1) (1000) 1,9 10 1, N For punkt H ω n 140, a σ H xx 1,75 10 4 N (140,) (1000) 1,9 10 1 4,7 N For at få den samlede spændingsfordeling bestees spændingerne hidrørende det bøjende moment. Det bøjende moment regnes ligeledes for vind fra øst. I beregninger medtages kun horisontal last, dvs. N 0. M σ x (-8) Her er bøj bøj i yy' M bøj i momentet fra den vandrette last fra vind fra øst [knm] I yy inertimomentet for bygningen om TP om y-aksen [m 4 ] x vandret afstand til TP fra betragtet punkt, jf. Figur.18 [m] Figur.7 Figur til besteelse af det bøjende moment M samt den vandrette kraft Q 5

K. Bygningens totalstabilitet For punkt A bliver normalspændingen σ bøj fra det bøjende moment med vind fra øst: Afstanden i x retningen fra TP til punkt A lig 10,5 m, jf. Figur.18. Afstandende på Figur.7 er fundet til: Bredden b 1m. Højden h 6,4m Højden fra fundament d,9m Vertikale kraft fra vind q v 0,65kN/m M I σ x yy' Bøj q v kn b h d 0,65 1,0m 6,4 m,9 m 088kNm m 1584 a t 1584 ( 1m) 088kNm kn 10,5 m 61,5 4 56,4 m m 0,5m 56,4 m 0,06 N 4 Den totale normalspænding bliver dermed: σ σ σ 0,06 MPa + 6,9 MPa 7, H A bøj + xx 0 MPa Værdierne for de øvrige punkter er opstillet i Tabel.1. Disse værdier skal multipliceres med normalspændingerne fra 1. til 6 etage. Tabel.1 De samlede normalspændinger ved fundamentet for horisontal last for vind fra øst σ H xx x-afstand σ Punkt Bøj σ total for tårn [MPa] [m] [MPa] [kpa] A 6,9 10,5 0,06 6960 B 4,8 10,5 0,06 4860 C 0, -4,5-0,0 0 D -,9-4,5-0,0-90 E -1,6-4,5-0,0-160 F -1,8-1,5-0,01-1810 G -, -1,5-0,01-10 H -4,7 1,5 0,01-4710 Normalspændingerne er optegnet på Figur.8. 54

JF Kennedy Arkaden Figur.8 De totale normalspændinger for tårnet hidrørende fra horisontal last fra øst [kpa] Forskydningsspændinger med vind fra øst Den forskydende kraft pr. længdeenhed bestees ud fra formel(-1): d θ H x E S t ω dx Her er E S ω θ elasticitetsmodulet for beton. sektorstatiske moment. vridningsvinklen. Forskydningsspænding τ, fås herved til: H x τ (-9) t Her er t tykkelsen af tværsnittet [m] Til besteelse af den forskydende kraft, bestees: d θ C1 k cosh( kx) + C k sinh( kx) dx 55

K. Bygningens totalstabilitet Da spændingen ønskes bestemt i bunden af 7.etage sættes x 0, jf. Figur.5. dvs. for x 0, d θ dx 19 16 68 8,85 10 6,0 10 For punkt A S ω t s 1 0 ( 07, a s + 5,5 a s ) H x 0 N/ N 0 N dvs. τ 0 5 1 1 For punkt B S ω t a s 0 ( 1054,) ( 5 ( 1000) ( 1054,) ) 4 N 16 H x 1,75 10 6,0 10 50 N 50 N dvs. τ 11,1 5 N For punkt C S ω t a s 0 ( 187,8) ( 5 ( 1000) ( 187,8) ) 4 N 16 H x 1,75 10 6,0 10 5195 N 5195 N dvs. τ 5 N 56

JF Kennedy Arkaden For punkt D s 4 0 H x 0, 0 N N 0 N dvs. τ 0 5 For punkt E t a 970 S ω s 7 0 ( 5 ( 1000) ( 970) ) 4 N 16 H x 1,75 10 6,0 10 0 N 0 N dvs. τ 10 5 For punkt F t a 1190 S ω s 7 0 ( 5 ( 1000) 1190) 4 N 16 H x 1,75 10 6,0 10 85 N 85 N dvs. τ 1,6 5 N N For punkt G t a 68,8 S ω s 6 0 ( 5 ( 1000) 68,8) 4 N 16 H x 1,75 10 6,0 10 149 N 149 N dvs. τ 6,6 5 N 57

K. Bygningens totalstabilitet For punkt H s 5 0 H x 0, 0 N N 0 N dvs. τ 0 5 De ovenstående forskydningsspændinger staer fra det vridende moment. I det følgende findes forskydningsspændingerne fra den vandrette kraft Q. Qy S y τ (-40) I t Her er yy' Q S y I yy t vandrette kraft. statiske moment om x-aksen for betragtet punkt. inertimomentet om y-aksen. tykkelsen af vægprofilerne. Q findes ud fra Figur.7 for vind fra øst. kn Qλ 0,65 1m 6,4 m 91, 4kN m 4 ( 1m) 0,5m 56, I yy 1584 m ' a t 1584 4 t 0,5m Det statiske moment om y-aksen bestees af: Her er S y x da t x s (-41) x t s afstand i x retningen til tyngdepunktet for betragtede punkt [m] tykkelsen af profilet [m] afstand til betragtet punkt fra begyndelsespunktet A [m] De statiske momenter bestees ud fra Figur.9. 58

JF Kennedy Arkaden Figur.9 De statiske momenter bestees ud fra viste buemål s1, s, s, s4, s5, s6 Punkt Længde y x Tabel.14 De statiske momenter. S ytds S x y xtds A 0 0 s 1 6a,15a+6s 1 10,5a,15a s1 t + s1 t 10,5a s1 B C s 15a 9,15a 10,5a -s 16,9 a t + 9,15a s t t 16,9 a t 6 a t 1 6 a t + 10,5a s t t s 64 a t 108 a t H 0 0 s 4 6a -11,85a 4,5a-s 4 11,85a s t 4 4,5a s4 t G F E s 5 9a - 11,85a+s 5-1,5a s 6 a -,85a a-s 6 t 1 s4 t 71,1 a t 9 a t 71,1 a t + a s t s t 1 9 a t 1,5a s t 9 5 5 5 0,6 a t 4,5 a t 0,6 a,85a s6 t 4,5 a t 1 + a s t s t 6 6 9, a t 45 a t D 0 0 59

K. Bygningens totalstabilitet Med a 1m og t 0,5m bliver de statiske momenter om de to akser i [m ]. Tabel.15 De statiske momenter i de valgte punkter S Punkt x S y [m ] [m ] A 0 0 B 8,6 14, C 59,4 10,1 H 0 0 G -16,0,0 F -6,9-1,0 E -8,8-10,1 D 0 0 Det er nu muligt at bestee forskydningsspændingen fra den vandrette last. Eksempel for punkt B, vind fra øst 91,4 kn 8,6 m kn τ,6 4 56,4m 0,5m m B, 6 kpa De øvrige forskydningsspændinger er beregnet og opstillet i Tabel.16 Tabel.16 Forskydningsspændinger fra vandret last vind fra øst Punkt τ px [kpa] A 0 B,6 C 67,7 D 0 E -10,0 F -7,9 G -18, H 0 Med vind fra øst er den samlede forskydningsspænding hidrørende vandret last på tårnet optegnet på Figur.0: 60

JF Kennedy Arkaden Figur.0 Forskydningsspændinger for tårn med vind fra øst [kpa].11 Normal- og forskydningsspændinger med vind fra nord Med vind fra nord skal konstanterne bestees med ny m x. Konstanterne C 1, C, C, C 4 for x 0 bliver med vind fra nord følgende: C 1 [-] Tabel.17 Værdier af konstanterne C C [-] [ -1 ] C 4 [-] m x [N/] -9 5514,16 10-4 -5514 81,9 10 6 d θ dx d θ dx C 1 k sinh x 1 ( k x) + C k cos( k x) 10 C 1 k cosh( kx) + C k sinh( kx m G I ) 58,6 8,85 10 v 19 5, 10 17 Normalspændinger med vind fra nord Normalspændingerne fra det vridende moment med vind fra nord er bestemt ved sae fremgangsmåde som for vind fra øst. Normalspændingerne er opstillet i Tabel.18. 61

K. Bygningens totalstabilitet Tabel.18 Normalspændinger for tårnet med vind fra nord hidrørende fra det vridende moment σ H xx Punkt [MPa] A,0 B,0 C 0,1 D -1, E -0,7 F -0,8 G -1,0 H -,0 For punkt A bliver normalspændingen fra det bøjende moment med vind fra nord, σ Bøj Afstanden x er tidligere fundet jf. Figur.18 til 10,5a 10,5m, se evt. Figur.7 kn x q v b h a 0,65,9m 6,4m 15,0m 1491kNm m M 4 ( 1m) 0,5m 88, I xx 75 m ' a t 75 1 σ 1491 knm 88, 1 m kn m Bøj 10, 5 m 18, 7 0, 0 4 N Den totale normalspænding fra tårnet bliver dermed i punkt A: σ A 0,0 MPa + 0,7 MPa 0,75 MPa 750 kpa Tabel.19 Totale normalspændinger for tårnet med vind fra nord σ H xx x-afstand σ Punkt Bøj σ total [MPa] [m] [MPa] [kpa] A,0 10,5 0,0 00 B,0 10,5 0,0 00 C 0,1-4,5-0,01 110 D -1, -4,5-0,01-110 E -0,7-4,5-0,01-710 F -0,8-1,5 0,0-800 G -1,0-1,5 0,0-1000 H -,0 1,5 0,0-000 Normalspændingerne fra tårnet, med vind fra nord, er optegnet på Figur.1. 6

JF Kennedy Arkaden Figur.1 De totale normalspændinger for tårnet hidrørende fra horisontal last, med vind fra nord [kpa] Forskydningsspændinger med vind fra nord Beregningerne for vind fra nord er fortaget på sae måde, men med m x udregnet for vind fra nord se afsnit.9.5. Tabel.0 Forskydningsspændingerne for tårnet med vind fra nord Punkt H x [N/] τ [N/ ] A 0 0 B 109 5,7 C 508 11, D 0 0 E -111-4,9 F -164-6,1 G -71 -, H 0 0 De ovenstående forskydningsspændinger staer fra det vridende moment. I det følgende beregnes forskydningsspændingerne fra den vandrette kraft Q. Q bestees som for find fra øst. kn Q y 0,65 15m 6,4 m 65, kn m t 0,5m I xx 75 a t 75 1m 0,5m 88, m ( ) 4 ' 1 6

K. Bygningens totalstabilitet Forskydningsspændingerne er beregnet efter formel (-40) og det statiske moment er tidligere beregnet og opstillet i Tabel.15. Tabel.1 Forskydningsspændinger fra vandret last Punkt S y [m ] τ py [kpa] A 0,0 0 B 14, 4,9 C 10,1,5 H 0,0 0 G,0 0,7 F -1,0-0, E -10,1 -,5 D 0,0 0 Ved suation af værdierne for spændingerne fra Tabel.0 og Tabel.1 Figur. Forskydningsspændinger for tårne med vind fra nord Ved beregningerne af forskydningsspændingerne er det valgt at se bort fra beregnet værdier for den del af vægprofil 9, der består af 1.-. etage, da dette delvist er opbygget af et lukket tyndfliget tværsnit. Beregningsmetoden for lukkede tyndfligede tværsnit er anvendt på vægprofil 11, idet denne rapport indgår i en læreproces, er det valgt ikke at gentage denne beregning. 64

JF Kennedy Arkaden I det følgende gives et eksempel for besteelse af den samlede normalspænding for vind fra øst. Der regnes for tårnets punkt B jf. Figur.9. Ud fra den anvendte metode der er benyttet i afsnit.1 er der for punkt B bestemt en normalspænding for 1.-6. etage på 6 kpa. For 7. til 8. etage er der i afsnit.10 bestemt en normalspænding fra det vridende moment på 4800 kpa samt en normalspænding fra det bøjende moment på 60 kpa. Saenlagt giver det for punkt B: 6 kpa + 4800 kpa + 60 kpa 4886 kpa svarende til 4,9 MPa. Den endelige fordeling af normal- og forskydningsspændinger for vindpåvirkning fra hhv. øst og nord, ses på Figur. til Figur.6. Figur. Endelig fordeling af normalspændinger med vind fra øst[kpa]. Er ikke i mål. Træk er positiv. 65

K. Bygningens totalstabilitet Figur.4 Endelig fordeling af normalspændinger med vind fra nord [kpa]. Er ikke i mål. Træk er positiv. Figur.5 Endelig fordeling af forskydningsspændinger med vind fra øst [kpa]. Er ikke i mål 66

JF Kennedy Arkaden Figur.6 Endelig fordeling af forskydningsspændinger med vind fra nord [kpa]. Er ikke i mål 67

K. Detaildimensionering af TT dæk K. Detaildimensionering af TT dæk I dette kapitel detaildimensioneres en del af etagedækket for taghaven. Det er valgt, at detaildimensionere dækket over Premierebiografen hvor spændvidden er 0,4 m. Etagedækket dimensioneres i hht. DS 411 og DS 410..1 Etagedæk over premierebiograf Arkaden opbygges af elementmoduler fra producenten Spæncom. Spæncom leverer vægelementer, med en modulbredde, der er delelig med 600. For at undgå brug af dyre specialelementer vælges at bruge producentens modulmål så der kan anvendes lagervarer. Tages der ikke højde for disse modullængder, vil det medføre, at enkelte elementer skal specialfremstilles, hvilket vil forhøje prisen på elementet væsentligt. På Figur.1 fremgår spændretning for dækket over premierebiografen samt tilstødende dækelementer. Figur.1 Spændretning af etagedæk samt placering af premiere biograf Biografen har en indvendig dimension på (l x b) 0, m x 4 m. Dækket over biografen ligger af på en 00 bred væg. Da der også skal ligge dæk af på væggen fra de tilstødende rum bliver vederlaget 100. Det vælges derfor at benytte et standart TT dæk med en dimension (l x b) på 0,4 m x,4 m. På Figur. er elementerne omkring biografen samt TT dækkene illustreret. 68

JF Kennedy Arkaden Figur. Elementer i præmierebiografen Vægelementerne leveres i modulmål, som er delelig med 600. Herved fås følgende opbygning som vist på Figur.. Figur. Elementer omkring premierebiografen Antallet af elementer, der skal benyttes til Premierebiografen fremgår af Tabel.1. Tabel.1 Elementer til premierebiografen Bredde (incl fuge) Højde Tykkelse Antal [] [] [] [stk] Væg 00a 400 6000 00 55 Væg 00b 400 6000 00 Væg 00c 400 6000 00 1 Væg 00d 100 6000 00 Væg 50 400 000 50 18 69

K. Detaildimensionering af TT dæk Der skal til konstruktionen benyttes 10 stk. TT dæk med l x b på 0,4m x,4m. TT dækket modelleres med fast simpel understøtning ved væggene som vist på Figur.4. Figur.4 Modellering af statisk system for TT dækket.1.1 Laster på etagedæk For at isolere biografen og lave et underlag til taghaven monteres et sandwichelement ovenpå TT dækket som vist på Figur.5. 50 Figur.5 Opbygning af præmiere biografens tagkonstruktion Med udgangspunkt i DS 410 bestees lasterne som TT dækelementerne skal bære. Linielasterne på TT dækket beregnes ud fra dækkets modulmål på 400. Tabel. Laster Rumvægt Tykkelse Linielast pr. TT dækelement [kn/m ] [m] [kn/m] Letbeton 14 0,05 1,7 Isolerings batts. 0, 0,5 0, Letbeton 14 0,06,0 TT-bjælke* - - 8,4 Gipsloft 9 0,05 1,1 * Spæncom angiver egenvægt på,5 kn/m Den samlede permanente last på TT dækket er 1,4 kn/m. I henhold til DS 410 skal der for tagterrasser regnes med en nyttelast på kn/m. Herved fås en linielast på 7, kn/m. På tagterrasser skal der ikke regnes med snelast, idet det forudsættes, at der ikke er personbelastning ved sne på terrassen samt at personbelastning er større end snelasten. 70

JF Kennedy Arkaden Tabel. Laster som påvirker TT-dækelementet [kn/m] Permanent last G 1,4 Nyttelast N y 7,.1. Lastkombinationer Følgende lastkombinationer er vurderet som værende dimensionsgivende for TT dækket. Anvendelsesgrænsetilstand LK 1 : 1. G + 1. Ny Brudgrænsetilstand LK.1: 1. G + 1,. Ny Brand LK.: 1. G + 0,5. Ny På Figur.6 er moment- og forskydningskraftfordeling for de lastkombinationer vist. Lastkombination LK 1: Lastkombination LK.1: Lastkombination LK.: Figur.6 Kraftfordeling for LK 1, LK. og LK.. Beregningsforudsætninger Ved dimensionering af TT dækkene anvendes følgende beregningsforudsætninger: - Høj sikkerhedsklasse. - Passiv miljøklasse. - Normal materialekontrolklasse. 71

K. Detaildimensionering af TT dæk Herved fås følgende partialkoefficienter for armering og beton som vist i Tabel.4. Tabel.4 Partial koefficienter [DS 411, 1999 s. 9] γ b γ s 1,8 1,4 Armering TT dækket længdearmeres med forspændte L1,5 linier. Linens arbejdslinie er vist på Figur.7. Figur.7 Karakteristisk arbejdslinie for L1,5. [Søren Kloch, 001, s..] Tværsnitskonstanterne for L1,5 linerne fremgår af Tabel.5. Tabel.5Tværsnitskonstanter for L1,5 [Søren Kloch, 001, s..] Type Diameter Armerings areal, A s Elasticitetsmodul, E Brudstyrke, f uk [] [ ] [MPa] [MPa] L1,5 1,5 9 1,85. 10 5 1760 Til spaltearmering af TT dækket benyttes tentorstål med en karakteristisk flydespænding, f yk 550 MPa. Der anvendes dimensionerne φ10 og φ1 til spaltearmering. Til armering af flangen for TT dækket benyttes et armeringsnet med en maskevidde på 00 og en armeringsdiameter på φ6. 7

JF Kennedy Arkaden Beton Der anvendes følgende beton i TT dækket jf. Tabel.6. Tabel.6 Betonkarakteristika Nominel maks. korndiameter Trykstyrke, f ck Trækstyrke, f tk [] [Mpa] [Mpa] 15 40 For betonens bøjningstrækstyrke anvendes to gange trækstyrken i henhold til [DS 411, 1999, s.77]...1 TT dækkets tværsnit samt konstanter TT dækket dimensioner fremgår af Figur.8. I beregningerne af TT dækket antages retliniet tværsnit som vist på figuren til højre. Figur.8 Tværsnit af TT60 dæk fra Spæncom samt tilnærmet tværsnit. Mål i Ud fra dimensionerne bestees følgende tværsnitskonstanter, som fremgår af Tabel.7. Tabel.7 Tværsnitskonstanter Tværsnitsareal Inertimoment Modstandsmoment Kerneradier A I x W el,1 W el, k 1 k [ ] [ 4 ] [ ] [ ] [] [],06 10 5 10,81 10 9 5,71 10 7,61 10 7 187 86 Index 1 og referer til hhv. tværsnittet bund og top. 7

K. Detaildimensionering af TT dæk. Dimensionering af længdearmering I dette afsnit bestees først et interval for forspændingskraften i forhold til anvendelsesgrænsetilstanden. Herefter fastsættes en forspændingskraft, og bjælkens brudmoment kontrolleres i brudgrænsetilstand.1. Der tages udgangspunkt i et tværsnit midt på bjælken armeret med 4 liner som vist på Figur.9. Figur.9 Placering af armering ved bjælkens midte. Mål i og er fra centrum af armering Armeringen er placeret i henhold til DS 411 krav til tykkelse af dæklag og armeringsafstande. Anvendelsesgrænsetilstand 1 Der anvendes lastkombinationen 1: LK 1: 1 G + 1 N y Herved fås det maksimale momentet fra henholdvis den permanente last, M g og nyttelast, M p til: M g 697 knm M p 75 knm For at undgå revnedannelser i anvendelsesgrænsetilstanden ønskes forspændingskraften bestemt, så de resulterende spændinger opfylder: Her er σ σ (-1) t σ c σ t σ c den numerisk største værdi af trækspændingerne. den største trykspænding som kan accepteres. 74

JF Kennedy Arkaden I beregningerne forudsættes en elastisk spændingsfordeling i betontværsnittet som vist på Figur.10. Figur.10 Forudsat spændingsfordeling i betonen Der er ingen Norm krav til tilladelige trykspændinger i beton i anvendelsestilstanden, men erfaringsmæssigt bør der ikke vælges større spænding end 55 procent af den karakteristiske trykspænding [Kloch, Note, s..4]. Der anvendes derfor 0,55 f ck for tilladelige trykspændinger i betonen og f tk for bøjningstrækstyrken jf. afsnit.. Ved brug af spændingsfordelingerne i Figur.10 fås følgende krav til forspændingskraften, K [Kloch, Note, s..4]. For tværsnittets overside: M g + M p σ c W M g + σ t W K y k y k k k (-) For tværsnittets underside: M Her er M g M p y k g + M p σ t W1 M g + σ c W K y + k y + k k 1 moment fra nyttelast [knm] moment fra permanent last [knm] Afstand fra tyngdepunktsakse til tyngdepunkt af armering [m] k 1 1 (-) I udtrykkene anvendes index 1 for tværsnitkonstanter hidrørende for den nederste del af tværsnittet og index for den øverste del. Ved indsættelse i formlerne fås: For tværsnittets overside: For tværsnittets underside: 195 kn K 159 kn 1599 kn K 710 kn Herved skal der anvendes en forspænding i intervallet: 195 kn K 159 kn. 75

K. Detaildimensionering af TT dæk Der benyttes 4 armeringsstænger, hvilket betyder, at hver armeringsline skal forspændes med en kraft i intervallet: 81 kn K 11 kn. Brudgrænsetilstand.1 Elementer leveret af Spæncom kan maksimalt forspændes med 160 kn/line. Der er derfor ingen yderligere indsnævring af forspændingsintervallet. Det vælges at forspænde med en kraft på 117 kn/line af hensyn til brudmoment, krybning, svind og relaxation. Begyndelsestøjningen, ε 0 for en forspænding på 117 kn/line bestees ud fra Figur.11 til 6,8. Figur.11 Arbejdskurve for L 1,5 liner. [ Kloch, 001, s..] I det følgende antages en trykzone højde, x hvorefter det kontrolleres ved vandret ligevægt om den statiske betingelse for konstruktionen er opfyldt. På Figur.1 er spændings- og tøjningsfordelingen vist. Figur.1 Tværsnit samt tøjning og spændingsfordeling. (mål i ) 76

JF Kennedy Arkaden Trykzonehøjden, x antages til 64,5. Tillægstøjningen i armeringen bestees: d x ε s ε cu x 59 64,5,5 5, 64,5 (-4) Den totale tøjning i armeringen bliver: ε ε + ε 6,8 + 5,,0 (-5) s 0 s Ved brug af Figur.11 bestees kraften, F s i hver armeringsline til 161,6 kn. Idet antallet af armeringsliner betegnes n, giver vandret projektion for tværsnittet: n F H : γ s s 0,8 x 94 γ c f c 4 161,6 10 1,4 N 0,8 64,5 94 40MPa 1,8,7kN Det accepteres med denne afvigelse. Brudmomentet, M u på midten af bjælken bliver: M M u u Fs ( d 0,4 x) N γ s 161,6 10 N (59 0,4 64,5) 4liner 1,4 line 165kNm (-6) Da det største snitmoment i LK.1 er 1184 knm jf. afsnit.1.1 er der tilstrækkelig styrke. Da momentet hidrørende egenlasten er nul ved bjælkeenden undersøges for brud ved bjælkeenden forårsaget af forspændingen. På Figur.1 ses spændingsfordelingen ved bjælkeenden. Figur.1 Spændingsfordeling fra forspændingskraften ved bjælkeende 77

K. Detaildimensionering af TT dæk Spændingsfordelingen bestees ved brug af Navier, jf. formel (-7): F F a σ + y (-7) A I Her er z F a forspændingskraften [N] Afstanden fra tværsnittets tyngdepunktslinie til tyngdepunktet af armeringen [] Ved indsættelse i formel (-7) bestees spændingen i tværsnittets top og bund: 4 161,6 10 σ 05640 y 189 7,5MPa σ y 411 45,5MPa N 4 161,6 10 N 40 + y 9 4 10,81 10 Da spændingerne ikke ligger i intervallet [-4 Mpa ; MPa] opstår der brud ved bjælkeenden pga. forspænding af armeringen. Derfor vælges det at opbøje længdearmering ud mod bjælkeenden. Dette vil reducere den indre momentarm, hvilket medfører en formindskelse af spændingen ved bjælkeenden. Fremgangsmåden til besteelse af den nødvendige opbøjning af armeringen er: 1. Besteelse af interval for y k. Opbøjning af line. Kontrol af brudmoment Ved besteelse af interval for y k benyttes (-) og (-), der omskrives til: For tværsnittets overside: M g + M p σ c W M g + σ t W + k yk K K + k (-8) 78

JF Kennedy Arkaden For tværsnittets underside: M g + M p σ t W1 M g + σ c W k1 yk K K 1 k 1 (-9) Ved brug af formel (-8) og (-9) bestees øvre og nedre værdier af y k. Værdierne er beregnet pr. løbende meter og fremgår af Tabel.8. På Figur.14 fremgår for hvilket område resultanten af armeringen kan placeres. For at kunne benytte formel (-8) og (-9) bestees momentligningerne for den permanente last og nyttelasten: M M g g x 0,4m 7, kn / m x 7, kn / m x,6kn / m x 7,4 kn x (-10) x 0,4m + M p 0,6 kn / m x 0,6 kn / m x 10, kn / m x 10,1 kn x Ved x 0 bliver intervallet for y k ved brug af formel (-8): For tværsnittets overside: 10, kn / m 0 y k 7 10,1 kn 0 0,55 40MPa,61 10 4 117 kn + 86,6kN / m 0 7 7,4 kn 0 + 4 MPa,61 10 4 117 kn + 86 Intervallet for tværsnittets overside bliver: 10 yk 14 For tværsnittets underside: 10, kn / m 0 y k 7 10,1 kn 0 4MPa 5,71 10 4 117 kn 187,6kN / m 0 7 7,4 kn 0 + 0,55 40 MPa 5,71 10 4 117 kn 187 79

K. Detaildimensionering af TT dæk Intervallet for y k ved tværsnittets underside bliver: 69 yk 61 Intervallet for y k når x 0 er 10 yk 14 De resterende intervaller for y k er beregnet på tilsvarende måde og resultater fremgår af Tabel.8. Figur.14 Markerede areal afgrænser nedre og øvre værdi for y k For at kunne opbøje armeringen i den forspændte konstruktion placere en plade med huller i til armeringsstængerne 7 m fra understøtningen. Det vælges at opbøje armeringen med en vinkel på 1,8º fra pladen og ud til understøtningen. Tabel.8 Øvre og nedre værdier for y k, samt fastlag afstand for y k x Nedre y k Øvre y k Valgt y k [] [] [] [] 0-10 14 10 1000-49 170 151 000 15 11 18 000 71 48 14 4000 11 80 46 5000 16 07 77 6000 197 0 09 7000 4 47 40 8000 44 60 40 9000 56 68 40 1000 6 7 40 Placering af armeringens resultant fremgår Figur.15. 80

JF Kennedy Arkaden Figur.15 Placering af armeringsresultanten Kontrol af brudmoment Til besteelse af brudmoment benyttes sae fremgangsmåde som tidligere anvendt. Der er for hver y k -værdi beregnet en ny trykzonehøjde, x. Dette bevirker at forspændingskraften ændres. Herved kan brudmomentet for de enkelte snit beregnes hvorefter det kontrolleres, om det er større end det beregnede snitmoment ved brudgrænsetilstnad i lastkombination LK.1. Resultater af beregning fremgår af Tabel.9. Tabel.9 Kontrol af momentbæreevne for lastkombination LK.1 x y k Trykzonehøjde, x ε s K M u > M LK.1 [] [] [] [ ] [kn] [knm] [knm] 0 10 61,0 1,0 15,8 70 0 1000 151 61,0,8 154, 818 1 000 18 6,0 4, 155,4 905 419 000 14 6,0 6,1 156,9 996 594 4000 46 6,0 7,5 158,0 1086 747 5000 77 6,0 9, 159,4 1179 876 6000 09 64,0 0,5 160,4 171 98 7000 40 64,5,0 161,6 165 1067 8000 40 64,5,0 161,6 165 119 9000 40 64,5,0 161,6 165 1168 1000 40 64,5,0 161,6 165 1184 Det fremgår af tabellen samt Figur.16, at brudmomentet er større end snitmoment. 81

K. Detaildimensionering af TT dæk Figur.16 Momentkurve for venstre bjælkehalvdel. Stiplede linie viser momentkurve for lastkombination LK.1 mens nederste afgrænsede område beskriver TT dækkets brudmoment.4 Svind, krybning og relaxation Ved svind og krybning opstår der en saentrykning af betonen og dermed en spændingsændring af den forspændte armering. Relaxation beskriver spændingstabet, der opstår i armeringen under konstant tøjning. Det reducerede brudmoment for TT dækket bestees for tiden t. Materialeparametre for TT dækket: Den anvendte beton har følgende karakteristika: - Cementindhold, C 50 kg/m - Vand cementtal, v/c 0,5 - Modenhed, der beskriver den ækvivalente hærdealder ved 0 o, M 0 10 døgn - Cementstyrkeklassen er 5,5 Derudover er der til beregningerne forudsat at: - Relativ luftfugtighed, RF 90% i de første 14 dage og 50% i resten af perioden - Relaxation, R 5% af forspændingskraften [Producentoplysning] 8

JF Kennedy Arkaden Svind Svindtøjningen for TT dækket opstår som følge af udtørring af betonen og er derfor hovedsageligt afhængig af det omgivende klima. Svindet kan beregnes ved den empiriske formel (- 11) [Beton bogen, 1985, s. 110-115]. ε ε k k k (-11) s Her er ε b k b k d b b d t basissvindet, der kun afhænger af den relative luftfugtughed (RF) faktor, der afhænger af betonens saensætning (cementindhold og v/c-tal) faktor, der afhænger af konstruktionsdelen geometri k t faktor, der beskriver svindforløbet som funktion af tiden, for t kt 1 Basissvindet, ε b afhænger af den relative luftfugtighed. Den korte periode med høj luftfugtighed har meget ringe indflydelse på totalsvindet, hvorfor det vælges at benytte RF 50% for hele perioden. 0,089 (1 RF) 0,089 (1 0,50) ε b 0,8 (-1) 1,67 RF 1,67 0,50 Faktoren k b bestees ved: 1 1 k b 7 10 C v / c + v / c 7 10 50 0,5 + 0,5 1,0 (-1) Faktoren k d, der afhænger af konstruktionsdelens geometri er defineret ved den empiriske formel: k d Her er r æ 0,5 (0,85 + ræ ) 0,1 + r æ ækvivalent radius. (-14) Den ævivalente radius er defineret ved gange arealet af tværsnittet divideret med omkredsen af arealet, og bliver for TT dækket, r æ 0,09m. 8

K. Detaildimensionering af TT dæk Faktoren k d, bestees ved brug af formel (-14): k d 0,5 (0,85 + 0,09m) 0,1 + 0,09m 1,06 Svindtøjningen bestees ved brug af formel (-1): ε s 0,08% 1,0 1,06 1 0,48 Dvs. at svindtøjningen for betonen efter tiden t er 0,48. Krybning Krybetøjningen defineres ved [Beton bogen, 1985, s. 91-96]: ε c Her er ψ n E 0 sk σ c (-15) ψ krybetallet [-] n 0 σ c E sk faktor der defineres ved n 1 5,5 1 +. Med f ck 40MPa n 0 7, f o ck gennemsnits spænding i armeringen fra forspænding og egenvægt [MPa] elasticitetsmodulet for armering. For forspændte L1,5 liner er E sk 1,85. 10 5 MPa Krybetallet udtrykkes ved: ψ k k k k k (-16) Her er k a k b k c k d a b c d t faktor, der tager højde for betonens modenhed faktor, der afhænger af betonens saensætning (cementindhold og v/c-tal) faktor, der afhænger af den relative luftfugtighed faktor, der afhænger af konstruktionsdelen geometri k t faktor, der beskriver svindforløbet som funktion af tiden, for t kt 1 84

JF Kennedy Arkaden Faktorer k a, der tager højde for betonens modenshedstal bliver med M 0 10 døgn: k a 0,085 1,75 + ( 54 + M ) M 0 0 0,99 Faktoren k c, der afhænger af den relative luftfugtighed. Med en relativ fugtighed, RF på 90% fås: k c 6,7 (1,15 RF),0 RF 1,48 Faktoren k d, der afhænger af TT dækkets geometri bliver med en ækvivalent radius r æ 0,09m, der er forholdet mellem tværsnittets areal og omkreds. k d 0,56 (0,11+ ræ ) 0,077 + r æ 1,04 Krybetallet bestees ved brug af formel (-16) til Ψ 1,55. Spændingen i armeringen bestees ved brug af Navier. Der medtages kun spændingsbidrag fra forspænding og egenlast. Spændingen fra forspændingen i armering: 4 117 10 N 4 117 10 N 40 σ f + 40 9MPa 10 4 05605 10,81 10 Spændingen fra egenlasten midt på bjælken: 6 697 10 N σ e 40 1, 9MPa 9 4 10,81 10 Spændingen fra forspændingen forudsættes at være konstant over hele TT dækkets længderetning, mens spændingen fra egenlasten varierer parabelformet over TT dækkets længderetning. Derfor regnes der for TT dækket med en middel betonspænding svarende til / af den maksimaleværdi af spændingen fra egenvægten. 85

K. Detaildimensionering af TT dæk Middelbetonspændingen bliver: σ c σ f + σ e 9MPa + 1,9 MPa 4, 4MPa Krybetøjningen kan nu bestees ved brug af formel (-15): 1,55 7, 14,4MPa εc 0,088% 5 1,85 10 MPa Dvs. at krybetøjningen for betonen efter tiden t er 0,88. Relaxation Tøjningen fra relaxation er fra producenten oplyst til 5% af forspændingskraften. Linerne forspændes med 117 kn/line, hvilket betyder, at reduktion af forspændingskraften pr. line er F tab.r 5,9 kn/line. Reduktion af forspændingskraft Nedsættelsen af forspændingskraften fra svind og krybning kan bestees ved Hooks lov, og bliver til tiden t : F 5. E A (0,00048 + 0,00088) 1,85 10 N / 9 / line tab s+ k ε,4kn / line (-17) Det vil sige, at spændingstabet forårsaget af svind og krybning efter t bliver,4 kn/line. Da svind- og krybningstøjningen giver et spændingstab i armeringen, vil der opstå en gensidig påvirkning med relaxationen. Svind og krybning reducerer armeringsspændingen og dermed spændingstabet fra relaxationen. Derfor beregnes en reduktionsfaktor ved formlen: Ftab.. s+ k,4kn γ 1 1 0,6 (-18) F 117kN tab. r Det samlede spændingstab i armeringen bliver: F tab,4kn / line + 0,6 5,9kN / line 6,9kN / line 86

JF Kennedy Arkaden Den beregnede forspændingskraft på 161,6kN/line vil blive reduceret med 6,9kN/line og bliver herved 14,7kN/line til t. Det er kontrolleret, at brudmomentet efter spændingstabet i armeringen ikke er mindre end snitmoentet for TT dækket..5 Forskydningsarmering For at kontrollere om bjælken skal forskydningsarmeres tages der udgangspunkt i kravene til uarmerede bjælker i DS 411. Der skal opfyldes følgende [DS 411, 1999, s.4] : τ sd β τ 0d ½ ν v f cd (-19) Da de indgående faktorer afhænger af yderligere faktorer, der afhænger af afstanden fra bjælkeenden bestees de i det følgende hver for sig, hvorefter de opsueres i en tabel. β er en faktor, der tager hensyn til bueeffekten i bjælken og er defineret ved: d β,5 1 β 5 x Her er (-0) d x den effektive højde. [] afstanden fra understøtningen. [] τ 0, d er defineret ved: τ 0,5 k (1, + 40ρ ) f + 0, 15 σ 0, d l ctd cp (-1) Her er k ρ l σ cp skala effekt det geometriske armeringsforhold den regningsmæssige normalspænding i tværsnittet [MPa] Skalaeffekten, k bestees ved: k 1,6 d 1 (-) Her er d den effektive højde. [] Det geometriske armeringsforhold, ρ l er givet ved: 87

K. Detaildimensionering af TT dæk Asl ρ l 0,0 (-) b d Her er w A sl det effektive areal af trækarmeringen (længdearmeringen) [ ] d bjælkens bredde [] Bjælkebredden, b w er x150 og A sl er 4x9 /line. Herved kan τ 0d bestees ved indsættelse i formel (-1). Effektivitetsfaktoren, υ v er defineret ved: f ck ν v 0,7 (-4) 00 Her er f ck den karakteristiske betontrykspænding [MPa] Da f ck er 40 MPa fås υ v til 0,5. Forskydningsspændingen, τ sd i tværsnittet bestees ved en elastisk betragtning via Grashofs formel. Det anvendte tværsnit samt det statiskemoments variation er vist på Figur.17. Figur.17 Bjælketværsnittes statiskemoment i, samt antaget tværsnit. Øvrige mål i Ved brug af de forrige formler bestees konstanterne som vist i Tabel.10 88

JF Kennedy Arkaden Tabel.10 Konstanter til besteelse af forskydningsstyrken i bjælken. f ctk f ck ν σ cp MPa 40 MPa 0,5 9,18 MPa Afstand Effektiv højde Konstanter x [] d [] β ρl k τ 0d [MPA] 0 09 5 0,0 1,9,14 1000 40 1 0,0 1,6,09 000 40 1 0,0 1,0,01 4000 45 1 0,0 1,17 1,98 5000 466 1 0,0 1,1 1,95 6000 498 1 0,01 1,10 1,9 7000 59 1 0,01 1,07 1,90 8000 59 1 0,01 1,07 1,90 9000 59 1 0,01 1,07 1,90 1000 59 1 0,01 1,00 1,86 Herved fås forskydningsspændingerne ved indsættelse af konstanter i formel (-19). Tabel.11 Forskydningsspændinger Forskydningsstyrke Påvirkning Afstand Forskydningsspænding Resulterende spænding Forskydningskraften, V Aktuelle spænding x [] β τ0d [MPa] 0,5 ν f cd [MPa] [MPa] [kn] Krop [MPa] Flange [Mpa] 0 10,7 5,49 5,49 4 1,70 1,86 1000,09 5,49,09 11 1,54 1,68 000,05 5,49,05 188 1,7 1,49 000,01 5,49,01 165 1,0 1,1 4000 1,98 5,49 1,98 14 1,04 1,1 5000 1,95 5,49 1,95 119 0,87 0,95 6000 1,9 5,49 1,9 96 0,70 0,77 7000 1,90 5,49 1,90 7 0,5 0,58 8000 1,90 5,49 1,90 50 0,7 0,40 9000 1,90 5,49 1,90 8 0,0 0, 1000 1,86 5,49 1,86 0 0,00 0,00 Figur.18 er forskydningsspændingerne vist. Det fremgår at det ikke er nødvendigt at forskydningsarmere bjælken. 89

K. Detaildimensionering af TT dæk Figur.18 Forskydningsspændingernes variation i bjælken.6 Vederlagstryk For at undersøge om der er risiko for knusning af betonen ved understøtningerne bestees vederlagstrykket. Reaktionen ved vederlaget regnes jævnt fordelt over vederlaget. Trykket fra vederlaget optages dels som tryk i skrå betonlameller og som træk i armeringen jf. Figur.19. Figur.19 Vederlagstrykket For at der ikke opstår knusning i betonlamellerne ved vederlaget er kravet til vederlagstrykket [Betonkonstruktioner, 001, s. 4.-15]: σ ν (-5) Her er σ c c f cd tværsnitshøjden. [MPa] υ effektivitetsfaktor, der for almindelige bjælker sættes til 0,8. [Betonkonstruktioner, 001, s. 4.6-1] f cd betonens regningsmæssige trykspænding. [MPa] 90

JF Kennedy Arkaden Kraften i armeringen bestees [Betonkonstruktioner, 001, s. 4.-19]: F s F + 0,5 R cot( θ ) (-6) for AL Her er F for R AL forspændingskraften. [kn] reaktionen ved understøtningen. [kn] Idet forspændingen er 117 kn og cot(θ),5 fås F s til 410 kn. Spændingen i vederlaget fås ved ligevægten af F cw, F s og R AL : σ vederlag F AL A + F vederlag s σ vederlag 4kN + 94KN 150 100 15,MPa Herved fås: σ c ν f cd 40MPa 15,MPa 0,8 1,8 15,MPa 17,6MPa Dvs. der er tilstrækkelig styrke i betonlamellerne til at optage vederlagstrykket..7 Armering af flange Der kontrolleres for forskydningsbrud og bøjningsbrud af TT dækkets flange. Der betragtes en meter af bjælkens længderetning. Flangen moduleres som en bjælke understøttet ved de to kroppe som vist på Figur.0. Figur.0 Modulering af statisk system af flange 91

K. Detaildimensionering af TT dæk Tværsnittet kontrolleres i lastkombination.1 og laster, moment- og forskydningskurve fremgår af Figur.1. Figur.1 Linielast, reaktioner og forskydnings- og momentkurve for tværsnit I det følgende betragtes først bøjningsbrud..7.1 Bøjningsbrud i flangen Bøjningsmomentet fremgår af Figur.1 og herpå fremgår det, at det maksimale moment, der medfører henholdsvis tryk og træk i flangen er 0,0 knm og 1,7 knm. Det undersøges, om betonen har tilstrækkelig styrke i forhold til momentet påvirkningen: M M f t, d W el MPa 1 1000 (60) 1,8 6 0,66kNm (-7) Momentet på 1,7 knm kan ikke optages af betonen, derfor indlægges armeringsnet i flangens overside. Der vælges at benytte et armeringsnet med en maskevidde på 00 og en armeringsdiameter på φ6. Antallet af stænger bliver herved 5 pr. løbende meter bjælke, mens armeringsarealet bliver 141 pr løbende meter bjælke. Armeringen placeres, så der sikres et dæklag på 15. Ved vandret ligevægt bestees nulliniedybden, x jf. Figur.. 9

JF Kennedy Arkaden Figur. Armeret tværsnit med tilhørende tøjnings- og spændingsfordeling samt snitkraftpåvirkning Nuliniedybden beregnes ved: 0 0,8 x b f cd + As f yd 40MPa 550MPa 0 0,8 x 1000 + 141 x, 1 1,8 1,4 (-8) Tøjningen i armeringen bliver: d x ε s ε cu x 4,1,5 0 00 44,1 0 00 (-9) Da brudtøjningen for armeringsnettet er 8 er dette acceptabelt. Brudmomentet for tværsnittet bestees ved: M M u u f yd A ( d 0,4 x) s 550MPa 141 1,4 (4 0,4,1 ),knm (-0) Herved er det eftervist, at tværsnittet armeret med φ6 net har tilstækkelig styrke i forhold til det bøjende moment..7. Forskydning mellem krop og flange For at undgå forskydningsbrud pga. de store forskydningskrafter mellem flange og krop undersøges i det følgende udfra DS 411, hvilke krav der er til armering af flangen. For at be- 9

K. Detaildimensionering af TT dæk stee det nødvendige tværarmeringsareal benyttes formel (-4), der er defineret ved [DS 411 1998, s. 4]: A Her er A f b f b w f g+p z f yd 8 b b g + p ( f w) ( ) b z f f yd armeringsareal pr. meter [ /m] effektive bredden af TT bjælkens trykflange [] kropsbredden [] bjælkens regningsmæssige last pr. længdeenhed [N/m] den indre momentarm [] den regningsmæssige flydespænding [MPa] (-1) De geometriske størrelser, der benyttes fremgår af Figur.. Det er som tilnærmelse valgt at sætte kropsbredden af TT dækket til afstanden mellem kroppen plus de to kroppes bredde jf. Figur.. Den effektive bredde af trykflangen er bestemt ved at vægte bredden af trykzonen (det skraverede område på Figur.) Figur. Geometriske størrelser til beregning af armeringsareal Armeringsarealet pr. længdeenhed bestees ved brug af (-1) og bliver: (75 150) (,8 10 N / m) armering 0 8 550MPa m 75 50 1,4 A f Dvs. at arealet af armeringen minimum skal være 14 pr. løbende meter bjælke, hvilket også er opfyldt med det valgte net. 94

JF Kennedy Arkaden.8 Spaltearmering For at undgå langsgående revner i forbindelse med spændingsomlejringer ved forspændingen af længdearmeringen indlægges spaltearmering. Det forudsættes at forspændingskraften er fordelt over hele tværsnittet i en afstand svarende til højden af bjælken inde i tværsnittet. Først dimensioneres den lodrette spaltearmering, hvorefter den vandrette dimensioneres. Til armering anvendes slap armering med en karakteristisk brudstyrke på 550 MPa. Lodret spaltearmering Denne armering skal sikre at forspændingskraften kan fordeles udover tværsnittets højde. Armering opdeles i en primær og en sekundær armering. Den primære armering fordeler kraften ud over et areal svarende til en trykspredning på 1:, som vist på Figur.4. Figur.4 Fordeling af spændinger i bjælkeenden. Mål i Det antages forspændingen påføres jævnt fordelt over en længde på 75 samt at den i afstanden 5 inde i tværsnittet er jævnt fordelt over en længde på 100. Tværkraften kan herved bestees ved [Kloch, 001, s. 7]: T 1 Her er T 1 K l 1 l l1 0,5 K (1 ) (-) l den primære tværkraft [kn] opspændingskraften [kn] opspændingenshøjden [] højden som kraften skal fordeles på [] Ved indsættelse i formel (-) fås: 75 T1 0,5 1 117kN (1 ) 87, 8kN 100 95

K. Detaildimensionering af TT dæk Det nødvendige armeringareal bestees, idet der anvendes en brudspænding svarende til halvdelen af brudstyrken af armeringen: A nød T σ s 87,8 10 N 19 550MPa (-) Der anvendes en frettering med 4 ø1 armeringsstænger og et samlet areal på 45. Fretteringen placeres 1 fra bjælkeenden, så der sikres et dæklag på 15 jf. Figur.. Type 1 φ1 Figur.5 Primær frettering. Sekundær spaltearmering Den sekundære spaltearmeringen skal sikre, at spændingen kan fordeles videre udover hele bjælkehøjden. Da bjælken er excentrisk belastet kan formel (-) ikke anvendes. Det forudsættes i stedet, at forspændingskraften er jævnt fordelt udover bjælkehøjde i en afstand svarende til bjælkens højde fra bjælkeenden. Spændingsfordelingen er vist på Figur.6. Figur.6 Spændingsfordeling. Mål i 96

JF Kennedy Arkaden De to spændinger bestees ved antagelse om en elastisk spændingsfordeling, og en konstant placering af forspændingskraftens tyngdepunkt på 10 fra bjælkens tyngdepunktsakse. Idet tryk regnes negativt fås: T1 4 117 10 N σ A 100 150 1 9,6MPa σ σ σ T1 M ± y A I 4 117 10 N 5,06 10 10 4 117 10 N ± 9 4 10,81 10 4,5MPa for y 189 1,99MPa for y 411 y Herved fås følgende kraftfordeling pr. bjælkehøjde idet bredden for hele tværsnittet antages at være 150 : Det maksimale moment bestees til: Figur.7 Kraftfordeling. Mål i M M 675 x 0,78x 0,5 + 4,7 x 668,5x 0,5 1 x 14040 + 6718140 x 1.607 10 ( x 478,5) 9 0,5 478,5 x 578,5 Ved differentiation af udtrykket fås det største moment for x lig 55 og det maksimale moment til 187,4 knm. Det forudsættes, at den vandrette spændingsfordeling er fordelt med en afstand på h/ mellem tryk- og trækresultant som vist på Figur.8. 97

K. Detaildimensionering af TT dæk Herved fås trækresultanten til: Figur.8 Vandret spændingsfordeling 6 M max 187 10 N T 65kN h 600 Det nødvendig armeringsareal bestees: A T 65 10 N nød σ 550MPa s 7 Det vælges at anvende 6 fretteringer med 4 φ1 lodrette armeringsstænger som vist på Figur.9. Herved fås et armeringsareal på 714. Type φ1 Figur.9 Sekundær spaltearmering 98

JF Kennedy Arkaden Vandret spaltearmering Denne armering skal sikre at forspændingskraften kan fordeles over bjælkens bredde. Kraften fordeles over hele bredden i forholdet 1: som vist på Figur.0. Ved brug af formel (-) fås: Figur.0 Spændingsfordeling T T l1 0,5 K (1 ) l 8 0,5 1 170kN (1 ) 159kN 150 Det nødvendige spændingsareal bestees til: A T 159 10 N nød σ 550MPa s 579 Der anvendes stk. frettering med 5 vandrette φ10 armeringsstænger med et samlet areal på 785. Type φ10 Figur.1Vandret spaltearmering 99

K. Detaildimensionering af TT dæk På Figur. er placeringen af spaltearmeringen vist. Figur. Placering af spaltearmering På Figur. er afstandene fra centrum af armeringen, og disse fremgår af Tabel.1. Tabel.1 Afstande mellem centrum af armeringsstænger a [] b [] c [] d [] e [] 1 9 0 70 60.9 Nedbøjning af TT dæk Ved beregning af udbøjning medtages kun bidraget fra bøjningsmomentet. Det forudsættes, at det anvendte TT dæk er af lineærelastisk materiale. Elasticitetsmodulet, E antages til 1,75. 10 4 MPa. Nedbøjningen bestees i anvendelsesgrænsetilstand, hvor lastkombinationen er: LK 1: 1. G + 1. Ny Nedbøjningen af TT dækket bestees ved brug af to forskellige beregningsmetoder. Først beregnes nedbøjningen ved brug af arbejdsligningen, hvorefter nedbøjningen bestees ved brug af differentialligninger for flytninger. 100

JF Kennedy Arkaden.9.1 Nedbøjning ved brug af arbejdsligningen. Ved arbejdsligningen, der også benævnes det virtuelle arbejdes princip, sættes det indre arbejde lig det ydre arbejde. Ved beregning af det virtuelle arbejde påføres TT dækket en fiktiv last på 1. Da det kun er bidraget fra bøjningsmomentet, der medtages fås arbejdsligningen: [Notat vedr. Arbejdsligningen, 1995]: Her er l M1 M dx 1 δ (-4) E I δ M 1 M 0 z nedbøjningen af bjælken [] snitmoment fra en fiktiv last på 1 [N] snitmoment fra lastkombination LK 1 [N] I z inertimoment, jf. afsnit..1 er I z 10,81. 10 9 4 Det virtuelle arbejde Den fiktive last placeres midt på TT dækket, hvilket fremgår af Figur.. Figur. Påførelse af fiktiv last på TT dæk Snitmomentet ved snit 1 bliver: M 1 1 x, l 0 x (-5) 101

K. Detaildimensionering af TT dæk Snitmoment fra lastkombination LK 1. Ved beregning af snitmomentet skal der beregnes et snitmoment fra forspændingskraften M f samt et snitmoment fra den permanente last M p. Figur.4 Bøjningsmoment ved lastkombination LK 1 Der forspændes med i alt 4. 117 kn 808 kn. Ved beregning af nedbøjning antages det, at linerne ikke opbøjes, men i stedet placeres med en exentricitet på 40 over hele bjælkelængden. Dette medfører, at det konstante momentbidrag over TT dækket bliver: M 4 117kN 0,40m 954,7kNm f Momentbidraget fra den permanente last bliver i snit 1: 1 M p 10,1kN x 0,6 kn / m x x 10,1kN x 10, kn / m x Ligningen for momentkurven bliver: M M + M 954,7kNm + 10,1kN x 10, kn / m x f p Momentkurven for TT dækket fremgår af Figur.5. Figur.5 Momentkurve for lastkombination LK1 10

Idet belastningen er syetrisk på TT dækket bestees nedbøjningen med: JF Kennedy Arkaden 1 δ δ 10,m 0 δ 17 l 0 M 1 M dx E I z 0 x 10, 0,5 x 954,7kN + 10,1kN x 10,kN 4 9 1,75 10 N 10,81 10 4 m x dx TT dækket vil have pilhøjde på 17, hvilket svarer til en ca. 1/1000 af spændvidden..10 Brand Premierebiografen skal dimensioneres som en BS-bygningsdel 60. Der eftervises derfor i det følgende, at TT dækket opfylder kravene mht. brandmodstandsevnen under et brandforløb på 60 minutter. Der regnes med en brandpåvirkningen virkende fra undersiden af TT dækket, da det vurderes at være til størst ugunst for bæreevnen pga. placeringen af armeringen. TT dækket undersøges ud fra et nominelt brandforløb i hht. DS 411. Ved et nominelt brandforløb tages der ikke hensyn til den geometriske udformning af brandruet samt brændbare materialer i brandruet..10.1 Laster TT dækket undersøges for lastkombination., ulykkeslast brand. LK.: 1 G + 0,5 N y Det maksimale momentet fra hhv. den permanente last, M g og nyttelast, M p er 884 knm, hvilket også fremgår af Figur.6. Figur.6 Momentkurve for lastkombination LK. 10

K. Detaildimensionering af TT dæk.10. Nominelt brandforløb Det nominelle brandforløb bestees ud fra et standard brandforløb, der beregnes ved formel (-6), [DS 410, 1998, s. 9]: ( 8 1) θ 0 + 45 log10 t + (-6) g Her er θ g t brandgassens temperatur i henhold til det aktuelle brandforløb [ C] tiden [min.] Det nominelle brandforløb for 60 minutter er afbilledet i Figur.7, hvor maksimum temperaturen er 945 C. Temperatur i o C 1000 900 800 700 600 500 400 00 00 100 0 0 5 10 15 0 5 0 5 40 45 50 55 60 Brandforløbet i minutter Figur.7 Det nominelle brandforløb.10. Temperaturfordeling i brandrum Opbygningen af loftkonstruktionen i premierebiografen er vist på Figur.8. 50 Figur.8 Loftkonstruktion i premiere biografen 104

JF Kennedy Arkaden Det nedhængte loft består af gipsplader med forskudte samlinger. Gipsloftet har en samlet tykkelse på 50, og består af to stk. 1,5 gipsplader med 5 hulrum. Dette har en god lydisoleringsevne, pga. den store tyngde af materialet, samt det tynde lag stillestående luft. Gipsloftet virker isolerende, og vil derfor ved en brandpåvirkning hindre en hurtig temperaturstigning omkring TT dækkene. For at bestee temperaturen mellem gipsloftet og TT dækket tages der udgangspunkt i formel (-7), [DS 410, 1998, s. 91]. Denne beskriver temperaturforløbet inde i materialet for et ensidet påvirket tværsnit med halvuendelige tykkelse. 1,9 k ( t) x π θ 1( x, t) 1 log10 ( 8t + 1) e sin k( t) x [ C] (-7) Her er x tykkelsen af gipsloftet 0,05[m] t tiden [min.] k(t) k( t) π ρ c p 750 λ t ρ densiteten, sættes til 970 for gips [kg/m ] c p λ varmekapaciteten, sættes til 1090 for gips [J/kg C] varmeledningsevnen, sættes til 0,17 for gips [w/m C] Det antages, at temperaturen mellem gipsloft og TT dæk er konstant. Temperaturen findes ved at beregne temperaturen, θ l (x,t) 5 inde i en halvuendelige tyk gips ved brug af formel (-7). Temperaturforløbet i ruet over det nedhængte gipsloft er ud fra formel (-6) og (-7) skitseret på Figur.9. Temperatur i o C 1000 900 800 700 Temperaturforløb i biografen 600 500 Temperaturforløb imellem 400 gipsloftet og TT dækket 00 00 100 0 0 5 10 15 0 5 0 5 40 45 50 55 60 Brandforløb i minutter Figur.9 Brandforløbet i ruet og imellem gipsloft og TT dæk 105

K. Detaildimensionering af TT dæk Den maksimale lufttemperatur, TT dækket belastes med efter 60 minutter, er 70 C jf. Figur.9..10.4 Temperaturforløb i TT dækket Den del af TT dækket, hvor der sker en temperaturvariation grundet brandforløbet kaldes den svækkede zone, da styrke- og stivhedsegenskaberne formindskes. Grundet TT dækkets udformning vil der under brandforløbet opstå en temperaturpåvirkning på TT dækket fra flere sider. Dette resulterer i, at der ved hjørnerne sker en kraftigere opvarmning og derved en højere temperatur længere inde i TT dækket, jf. Figur.40. Figur.40 Temperaturforløbet inde i TT dækket Til besteelse af temperaturforløbet inde i TT dækket benyttes formel (-8), der gælder for et tresidet påvirket tværsnit. Ved beregning regnes på en temperaturfordeling i et betontværsnit. Der ses bort fra armeringens indflydelse på temperaturfordelingen [DS 410, 1998, s. 9]: θ ( x, y, t) θ ( x, t) θ1( y, t) θ ( x, t) + θ1( y, t) (-8) θ 1(0, t) Her er x og y t indtrængningsdybde i betonen [m] tiden [min.] De to faktorer θ 1 (y,t) og θ (x,t) der indgår i formel (-8) bestees ved: 1,9 k( t) y π θ 1( y, t) 1 log10 ( 8t + 1) e sin k( t) y [ C] (-9) θ ( x, t) θ1(0, t) θ1( x, t) + θ1(w x, t) [ C] (-40) θ + θ 1(0, t) 1(w, t) w tykkelsen at TT dækkets fod, jf. Figur.40. Sættes til 0,15 m k(t) ρ c p λ k( t) π ρ c p 750 λ t densiteten, sættes til 00 kg/m for beton varmekapaciteten, sættes til 1000 J/kg C for beton varmeledningsevnen, sættes til 0,75 w/m C for beton 106

JF Kennedy Arkaden For at tage højde for gipsloftets isolerende effekt, benyttes temperaturen mellem gipsloftet og TT dækket på 70 C som overfladetemperaturen af TT dækket. Dette er gjort ved at indsætte 70 C i stedet for 1 log 10 (8 t + 1), der henviser til overfladetemperaturen jf. formel (-7). Grundet denne antagelse tages der ikke højde for fugtbevægelsernes indflydelse på temperaturen nær tværsnittets overflade, som vil forårsage en lavere overfladetemperatur på betonen. Temperaturforløbet kan beskrives ved: 1,9 k ( t) x π θ 1( x, t) 70 C e sin k( t) x (-41).10.5 Eftervisning af bæreevnen for TT dækket i LK. Ved eftervisning af momentbæreevnen for TT dækket skal følgende krav overholdes: M M max LK. u (-4) Det reducerede brudmoment er beregnet ved at bestee en reduktionsfaktor for armeringen og betonen, som afhænger af temperatur til tiden t 60 min. Reduktionsfaktorerne for hhv. armeringen og betonen benævnes ξs,0, og ξc. Besteelse af reduktionsfaktoren for armeringen For at bestee temperaturen i armeringen opdeles tværsnittet i to zoner, jf. Figur.41. Det forudsættes, at armeringen i hver zone har sae reduktionsfaktor. Figur.41 Zone inddeling for armeringsjernene. Mål i 107

K. Detaildimensionering af TT dæk Temperaturen i zonerne afhænger af placeringen af armeringen. For zone 1 er indtrængningsdybden i x- og y-retningen fastlagt til 7 x 7. I denne indtrængningsdybde vil den maksimale temperaturen i zone 1 opstå. Ved zone to er der antaget en indtrængningsdybden på 5 x 68, der er i tyngdepunktet for armeringsstængerne i denne zone, jf. Figur.41. I det følgende vises beregningseksempel for temperaturen efter 60 min ved zone 1, hvor indtrængningsdybden er 7 x 7. Besteelse af faktoren k(t): π ρ c p π 00kg / m 1000J / kg C k( t) k(60) k(60) 14,7 750 λ t 750 0,75w / m C 60min For at kunne benytte formel (-8) skal følgende størrelser bestees: Størrelsen θ 1(x,t) bliver: θ θ θ 1( x, t) 1(0,07,60) 1(0,07,60) 70 C e 70 C e 117,6 C 1,9 k ( t) x 1,9 14,7 0,07 π sin k( t) x m π sin 14,7 0,07m Størrelsen θ 1(y,t) bliver lig θ 1(x,t), da der benyttes sae tidsinterval og indtrængningsdybde: θ θ 1( y, t) 1(0,07,60) 70 C e 117,6 C 1,9 k ( t) y π sin k( t) y Størrelsen θ 1(0,t) bliver: θ θ θ 1(0, t) 1(0,60) 1(0,60) 70 C e 70 C e 70,0 C 1,9 k ( t) 0 1,9 14,7 0 π sin k( t) 0 π sin 14,7 0 108

JF Kennedy Arkaden Størrelsen θ 1(T-x,t) bliver: θ θ θ 1(ω x, t) 1(150 0,07,60) 1(150 0,07,60) 70 C e 70 C e,0 C 1,9 k ( t) ω x 1,9 14,7 (0,150 π sin k( t) (ω x) 0,07) m π sin 14,7 (0,150 0,07) m Størrelsen θ (x,t) bliver ved brug af formel (-40): θ θ θ ( x, t) ( x, t) ( x, t) θ1( x, t) + θ1( ω x, t) θ 1(0, t) 1(0, t) + θ 1(ω, t) 70,0 C 117,6 C C 70,0 C,44 C 115,6 C θ Herved kan temperaturen i zone 1 bestees jf. formel (-8): θ θ θ ( x, y, t) ( x, t) ( x, t) θ ( x, t) + θ 1( y, t) θ ( x, t) θ 1(0, t) 1( y, t) 115,6 C 117,6 C 115,6 C + 117,6 C 70,0 C 18,8 C θ For zone 1, hvor indtrængningsdybden i x- og y-planen er den sae er der optegnet en graf, jf. Figur.4, udfra formel (-8). Figur.4 viser, at temperaturen for en indtrængningsdybde på 7 x 7 er 18 C. 00 Temperatur i [ o C] 50 00 150 100 50 0 Ensidet påvirket brandforløb Tresidet påvirket brandforløb 0 0,01 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Indtrængnings dybte fra en eller to sider, i [m] C Figur.4 Temperatur faldet ved en- og tresidet brandbelastning 109

K. Detaildimensionering af TT dæk Det fremgår af Figur.4 at der er syetri omkring indtrængningsdybden 0,075m, da dette er den halve bredde af TT dækkets krop. Ud fra en temperatur i zone 1 på 18 C er der ved brug af Tabel.1 bestemt en reduktionsfaktor, ξs,0,, på 0,87, ved lineær interpolation. Tabel.1 Reduktionsfaktorer for armering ved en given temperatur[ds 411, 1999, Tabel V 9..a s.89] Ståltemperatur [ C] ξs,0, 0 1,00 100 1,00 00 0,84 00 0,69 400 0,56 500 0,47 600 0,5 700 0,11 800 0,07 900 0,05 1000 0,0 For zone hvor indtrængningsdybden i x- og y-planen er på 5 x 68, er temperaturen beregnet udfra formel (-8) til 67 C. Dette giver en reduktionsfaktor ξs,0, på 1,00 ved brug af Tabel.1. Besteelse af reduktionsfaktoren for betonen i trykzonen For at bestee trykstyrken i betonen opdeles trykzonen i tre zoner, jf. Figur.4. Det forudsættes, at betonen i hver zone har sae reduktionsfaktor svarende til den gennemsnitlige indtrængningsdybde. Figur.4 Zoneinddeling af betontværsnittet 110

JF Kennedy Arkaden Temperaturforløbet ind i de tre zoner regnes som et ensidet påvirket tværsnit, og temperaturen kan heraf beregnes ved brug af formel (-9). Temperaturen i zone 1, og er hhv. beregnet til 0 C, 106 C og 50 C. Ud fra de tre temperaturer er der, ved aflæsning af Figur.44, bestemt en reduktionsfaktor, ξc, for hver zone på hhv. 0,99, 1,00 og 1,00. Figur.44 Reduktionsfaktoren ξc for betons enaksede trykstyrke [DS 411, 1999, s. 86] Betonens trykstyrke bestees, jf. (-4). f Her er 0,99 + 1+ 1 f cd ξ c MPa 1, MPa (-4) cd, r 9 F cd ξc Betonens regningsmæssige trykstyrke [MPa] Reduktionsfaktor TT dækkets bæreevne i LK.. Beregningen af TT dækkets momentbæreevne i brandtilfældet er analogt med beregningen i brudgrænsetilstanden, jf. afsnit. For at bestee om der er tilstrækkelig bøjningsbæreevne, fastlægges den effektive højde, d, fra oversiden af TT dækket og ned til armeringslinernes resulterende trækkraft. Afstanden bestees ud fra Figur.45 og resultatet er opstillet i ligning (-44). 111

K. Detaildimensionering af TT dæk Figur.45 Afstanden d, fra oversiden af TT dækket til den resulterende trækkraft Besteelse af den effektive højde, d: n s1 f1 + n s f + n s f d (-44) n f + n f + n f 1 6 566 117kN 0,87 + 1 516 117kN 0,87 + 6 516 117kN 1,00 d 58 6 117kN 0,87 + 1 117kN 0,87 + 6 117kN 1,00 Ved en iterativ proces, hvor der skønnes en trykzonehøjde, x, udregnes en tillægstøjning, ε der lægges til forspændingstøjningen, ε 0s på 6,8. Forspændingstøjningen er bestemt i afsnit.. Hvis den totale tøjning i armeringen bliver større end 5, vil der opstå tøjningsbrud i armeringen, jf. Figur.46. Trykzonehøjden sættes til 59, og i det følgende kontrolleres denne højde. Herved er der udregnet en tillægstøjning, jf. (-45). ε ε cu d x x 58 59,5 59 0 0 00 7, 8 00 (-45) Den samlede tøjning i armeringen bliver herved: ε s ε + ε 0 0 0 0s 7,8 00 + 6,8 00 4, 6 00 Herved kan forspændingskraften pr. line bestees ved Figur.46. 11

JF Kennedy Arkaden Figur.46Arbejdslinie for L 1,5 liner Den samlede kraft i armeringen bliver ved brug af reduktionsfaktorerne jf. (-46): Fs ( + 0,8 ) ( 18 ξ + ξ ), reduceret 16 s s,0,, zone1 6 s,0,, zone ε (-46) ( 16 + 0,8 4,6) ( 18 0,87 + 6 1,00) kn F, reduceret s 546 Ud fra den samlede kraft i armeringslinerne er det undersøgt i ligning (-47) om der er vandret ligevægt i tværsnittet. F s, reduceret γ s 0,8 x b f 0 cd (-47) 546 10 N 0,8 59 94 1,9 10 1,4 MPa 5kN 0 Det accepteres med denne afvigelse hvilket bevirker, at den skønnede x-værdi kan benyttes. Det reducerede brudmoment, M u, beregnes på midten af TT dækket jf. (-48). 546kN M u ( d 0,4 x) Fsd, r (58 0,4 59) 10 151kNm 1,4 (-48) 11

K. Detaildimensionering af TT dæk Ved brug af det reducerede brudmoment undersøges bæreevnen ud fra formel (-4): M max LK. M u 884kNm 151kNm Det er eftervist er der er tilstrækkelig momentbæreevne efter et nominelt brandforløb i 60 minutter. For at sikre tilstrækkelig momentbæreevne er det et krav, at gipsloftet i fjernes, da dette vil forøge temperaturen ved TT dækket væsentligt. 114

JF Kennedy Arkaden K4. Samlinger af betonelementer Der tages udgangspunkt i etageadskillelsen mellem.- og 4. sal, samt facaderne i bygningens nordlige kontordel, som er markeret på Figur 4.1. Etageadskillelsen er udført som et PX dæk [Spæncom], som spænder fra ydervæg til ydervæg. Facadeelementer er ligeledes udført i elementer fra Spæncom, hvis egenskaber og udseende anvendes i dimensioneringen. Figur 4.1 Spændretning for etageadskillelse mellem. og 4. sal Der tages udgangspunkt i den 66 m lange strækning som vist på Figur 4.1. På denne strækning ligger der 55 stk. PX-dæk med en bredde på 1, m. Undersøgelsen tager udgangspunkt i de elementer der er vist på Figur 4., hvor de markerede områder undersøges. 115

K4. Samlinger af betonelementer Figur 4. Punkterne der undersøges Samlingerne dimensioneres for punkterne beskrevet i rettelsesbladet Ret.1, til DS 411. Forskydningsarmering samt stødlængden mellem bøjle og længdearmering dimesioneres efter Teknisk Ståbi. Bilaget er opstillet efter besteelser i pkt. 5.1 i Ret.1 til DS 411: I. Etageadskillelser skal være armerede svarende til en karakteristisk last på 0 kn/m i hver retning II. Langs omkredsen af hver etageadskillelse skal der anordnes en randarmering som er i stand til at optage en karakteristisk last på minimum 80 kn. Randarmeringen skal være forankret til etageadskillelsen, således at forskydende kræfter kan overføres III. I vægge, der indgår i det konstruktive system, skal der etableres gennemgående lodrette trækforbindelser, som er i stand til at optage en karakteristisk last på 0 kn/m IV. I top og bund af vægge, der indgår i det konstruktive system, skal der etableres horisontale trækforbindelser anordnet på en sådan måde, at hver enkelt væg kan fungere som en bjælke, der er udkraget over et tænkt lokalbrud i den underliggende etage. Trækforbindelserne skal kunne optage en karakteristisk last på 150 kn og tillades udført som armering i etagekrydsene Ved samling V på Figur 4. undersøges den største forskydningskraft der opstår mellem dækkene, og herudfra dimensioneres længde- og bøjlearmering i fugen mellem dækkene. Ved denne dimensionering af armeringen antages det, at armeringen skal kunne optage kræfter, svarende til den største forskydningskraft, der opstår under vindpåvirkningen. 116

JF Kennedy Arkaden 4.1 Materialeparametre og sikkerhedsklasse Der anvendes normal kontrolklasse og høj sikkerhedsklasse i alle beregninger. For ribbestål B550 bestees den regningsmæssige flydespænding til: f 550MPa 84, MPa (4-1) 1,4 yd, s 6 Der anvendes en fugebeton med en karakteristisk trykstyrke på 0 MPa. Den regningsmæssige tryk- og trækstryke bestees med γ m 1,8 for beton til: f f cd ctd 0MPa 10,99MPa 1,8 1,4 MPa 0,77MPa 1,8 Placering, dæklag og indbyrdes afstande mellem armeringsjern foretages alle ud fra kravene i DS 411. Detailtegninger ses på Tegning 0 i tegningsmappen. 4. Randarmering efter punkt I Det antages, at de 0 kn/m i længderetningen af dækelementerne optages gennem dækkets spændarmering. Det undersøges derfor kun for 0 kn/m i dækelementernes bredderetning. Da dækkene spænder ca. 15 m skal der indlægges armering svarende til en trækkraft på 450 kn. Denne kraft optages langs randen af dækeelementerne, som skitseret på Figur 4.. Det medfører, at kun den halve kraft, svarende til 5 kn i hver side, skal optages af armeringsanordningen langs randen. Randarmering bør bestå af to armeringsjern, hver med en diameter på min. 1 [Bygningsdelsstatik, notat 00]. Figur 4. Undersøgelse af punkt I 117

K4. Samlinger af betonelementer Det nødvendige armeringsareal der skal benyttes for at kunne optage den påførte last bestees ved: A F f 5000N 84,6MPa s yd 585 Der anvendes stk. φ0 armeringsjern, som har et tværsnitsareal på 68. Disse indlægges langs elementernes understøttede rand. Armeringsjernene skal stødes saen på en sådan måde at styrken af stødet svarer til den påførte last. Den nødvendige stødlængde findes vha. [Teknisk Ståbi, 00, s.15]. Forholdet mellem trækforankringslængden og armeringsdiameteren, l/φ, findes som funktion af betonens trykstyrke. I dette tilfælde bestees forankringslængden for trykstyrker svarende til fugemassens trykstyrke, som er fastsat til 0 MPa [Bygningsdelssstatik, notat 00] og for armeringsstål af typen B550. For ribbestål anvendes en forankringsfaktor på 0,8, svarende til ny tentor [Teksisk Ståbi, 00], og forholdet l/φ findes til 44. Med en diameter på 0 findes den nødvendige stødlængde: l / φ 44 l 44 0 880 Stødlængden for randarmeringen er dermed bestem til 880. 4. Randarmering efter punkt II I punkt II skal randarmeringen rundt om etageadskillelser kunne optage en karakteristisk last på minimum 80 kn. Da undersøgelsen af punkt I viste, at det var nødvendigt med stk. φ0 armeringsjern for at kunne optage 5 kn, er kravet på 80 kn også overholdt. Armeringsjernene skal ilægges hele vejen rundt om hver etageadskillelse. 4.4 Armering mellem vægelementer efter punkt III Den karakteristiske last på 0 kn/m, omtalt under punkt II, regnes optaget af armering i fugen mellem de enkelte vægelementer. I disse beregninger antages det, at facadeelementerne ikke har gennemgående montagebolte, som kan optage trækkræfter. Vægelementerne antages at være maksimal 6 m bredde, hvilket svarer til en enkeltkraft i hver fuge på 180 kn, se Figur 4.4. 118

JF Kennedy Arkaden Figur 4.4 Undersøgelse af punkt II Denne kraft på 180 kn undersøges på tilsvarende måde som i afsnit 4.. Det nødvendige armeringsareal findes til 468. Dette svarer til 1 stk. φ5 armeringsjern, som skal stødes 1100 med armeringen mellem de ovenstående vægskiver for at kunne overføre den påførte last. 4.5 Randarmering efter punkt IV Denne undersøgelse sikrer stabiliteten, ved et tænkt lokalbrud i den underliggende etage. Situationen er skitserest på Figur 4.5. Det antages at den underliggende vægskive fjernes, evt. ved en eksplosion. Stabiliteten af bygningen skal stadig opretholdes, hvilket den anses værende, hvis vægskiven over det tænkte brud kan optage en karakteristisk trækkraft på 150 kn. I denne betragtning antages vægskiven over bruddet at virke som en udkraget bjælke. Figur 4.5 Undersøgelse af punkt IV 119

K4. Samlinger af betonelementer Det nødvendige armeringsareal bestees til 90, svarende til stk. φ16, med et armeringsareal på 40. 4.6 Fastlæggelse af randarmering mht. punkt I, II og IV Det fremgår af beregningerne at punkt I bliver dimensionsgivende for randarmeringen. Armeringen i fugen omkring dækkene skal derfor være. stk. φ0, som opfylder de i punkt 5.1 i DS 411/Ret.1, 00 beskrevne tilfælde. Forskydningsarmeringen mellem dækkene er udført, hvor alle etageadskillelserne virker som en bjælke påvirket af en jævnt fordelt last. Der er i denne dimensionering ikke taget højde for vridning og deformationer, som kunne give større forskydningskræfter, men det antages at den benyttede metode er på den sikre side. 4.7 Armering mellem dækelementer, V Ved denne besteelse betragtes etageadskillelsen mellem. og 4. sal, som 66 m lang simpelt understøttet bjælke påvirket af en jævnt fordelt last, svarende til vindlasten, der påvirker bygningen, se Bilag K1. Kraften, der påvirker dækket, er skitseret på Figur 4.6. Figur 4.6 Vindpåvirkning på etageadskillelse Af Figur 4.6 opstilles det statiske system og moment- og forskydningskurve bestees som vist på Figur 4.7. 10

JF Kennedy Arkaden Figur 4.7 Snitkraftfordeling for etageadskillelse. Forskydningsarmeringen mellem dækkene dimensioneres ud fra den største forskydningskraft, der opstår i dækkene. Denne antagelse er analog med skrårevneefffekten i betonbjælker, hvor betonlameller overfører trykkræfter, der skal optages i bøjlearmering. I dette tilfælde er den maksimale forskydningskraft på 7 kn, jf. Figur 4.7. Denne kraft skal optages af armering mellem dækkene. Ligeledes er kraften besteende for stødlængden mellem længdearmeringen og bøjlen, der indlægges i hver ende af fugen mellem dækkene, for at kunne overføre forskydende kræfter. Dette behandles senere. Det undersøges samtidig om momentet giver anledning til større trækkræfter i randarmeringen, end der i punkt I-IV er dimensioneret for. 4.7.1 Forskydningsarmering mellem dæk Den maksimale forskydningskraft på 7 kn, hvilket medfører at det nødvendige armeringsareal bliver 190, svarende til stk. φ1 med et armeringsareal på 6. Her vælges at bruge stk. φ1 i stedet for 1 φ16. Dette skyldes at armeringen skal stødes med en bøjle ved hver ende af dækkene. De to ben i U-bøjlen bør tilsaen kunne optage sae trækkraft, som kan optages i fugearmeringen som U-bøjlen er stødt med [Bygningsdelsstatik, notat 00]. Bøjlen udføres derfor af φ1 armeringsstål. Forankringslængden mellem bøjle og forskydningsarmering mellem dæk, bør mindst regnes som svarende til stød i sae snit. Stødlængden, l s bestees som i afsnit 4. til til 58, se Figur 4.8. Det er ligeledes denne stødlængde der anvendes til stødet af armeringsstængerne mellem dækkene. 11

K4. Samlinger af betonelementer Figur 4.8 Stødlængde l s mellem bøjle og forskydningsarmering mellem dæk 4.7. Momentvirkningen på etageadskillelsen Som det fremgår af Figur 4.7, påvirkes etageadskillelsen af et maksimalt moment på 1198 knm, midt på bjælken. Dette moment giver anledning til et kraftpar på 79,9 kn, hhv. som træk- og tryk i overside og underside, se Figur 4.9. Figur 4.9 Momentpåvirkning af dæk. Trykkraften regnes at kunne optages i betonen og trækkraften vil kunne optages i randarmeringen, der i punkt I er dimensioneret til en trækkraft på 5 kn. 4.7. Optagelse af forskydningspændinger i støbeskel I foregående afsnit blev det fundet at forskydningskraften mellem dækkene optages gennem armeringen. Det er her undersøgt om forskydningsspændingen kan optages gennem fugen. 1

JF Kennedy Arkaden Der regnes forskydningsspændinger mellem PX etagedæk, der spænder over 15 m. Forskydningsspændingen bestees af (4-) [DS 411, 1999, s. 44]: V Sd τ Sd (4-) Aj Her er V Sd regningsmæssig forskydningskraft i snittet[n] A j støbeskellets areal [ ] 79900N τ Sd 0, 017MPa 0 15000 Denne forskydningsspænding skal optages af fugen mellem dækkene, hvor arealet bestees som længden af dækket gange højden af dækket. Da dækelementerne er ekstruderede elementer, regnes der med et jævnt støbeskel iht. DS 411, 1999, s. 44. Den regningsmæssige bæreevne, hvor normalkraft og armering regnes jævnt fordelt over det betragtede areal, bestees som den mindste værdi af (4-) [DS 411, 1999, s.44]: τ Rd k τ + µ ( ρ f sinα + σ ) + ρ f cosα 0, 5 v T cd yd nd yd v f cd (4-) Her er k T τ cd en faktor i hht. Tabel V 6...4 i DS411[-] 0,5 f ctd svarende til den laveste betonstyrke, der indgår [MPa] µ friktionskoefficienten i hht. tabel V 6...4 i DS411 [-] ρ A s /A j [-] A s tværsnitsarealet (målt vinkelret på armeringens retning) af den armering gennem støbeskellet, som deltager i forskydningsoptagelsen [ ] A j støbeskellets areal [ ] σ nd normalkomposanten af den spænding, der virker på støbeskellet svarende til den regningsmæssige last [N/ ] v v effektivitetsfaktoren i hht. tabel V 6...1 i DS411 [-] f cd den regningsmæssige styrke af den laveste betonstyrke der indgår [MPa] α er vinklen den indstøbte armering danner med støbeskellet [ ] I dette tilfælde regnes der ikke med indstøbt armering i dækket, hvorfor vinklen α sættes lig 0. σ nd svarer til spændingen hidrørende tryk- og trækkraften fundet i afsnit 4.7.. Trækkraften er allerede regnet optaget i randarmeringen, og medtages derfor ikke som en negativ spænding. Trykkraften regnes ikke at forøge bæreevnen af støbeskellet, hvilket betyder at beregningerne 1

K4. Samlinger af betonelementer er på den sikre side. Fugearmeringen er i afsnit 4.7.1 bestemt til stk. φ1, med et samlet armeringsareal på 6. I Tabel 4.1 fremgår de anvendte parametre til beregningen af bæreevnen. Tabel 4.1 Parametre til beregning af forskydningsbæreevne i hht. DS 411 f k T µ v cd f ctd v [MPa] [MPa] 1,4 0,6 0,6 10,99 0,77 Bæreevnen af fugen beregnes af formel (4-: τ c τ Rd Rd 1,4 (0,5 0,77MPa) 0,5 0,6 10,99MPa 0,7MPa,0MPa Da bæreevnen er større end den aktuelle forskydningsspænding, beregnet først i afsnittet, overholder styrken af fugen kravet i hht. DS 411. Af Figur 4.10 ses et snit gennem facade og huldæk, hvor dæklag og afstande er påført. Facadeelementet på figuren er ikke dimensioneret. Figur 4.10 Afstande i samling mellem etageadskillelse og facade 14

JF Kennedy Arkaden 4.8 Armering i hjørne af etagedæk Armeringsanordningen ved hjørner af etagedækkene beregnes ikke, men udformes på en sådan måde at armeringsanordningen overholder de krav, der er gennemgået i dette bilag. Hjørnearmeringen kan udformes som vist på Figur 4.11, hvor randarmering (φ0 ) og armering mellem vægelementer (φ5 ), svarer til de før beskrevne. Figur 4.11 Armeringsanordning ved hjørne 15