Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation med konstant:... 4 4) Integration af Naturlig Eksponentialfunktion:... 4 5) Integration af Cosinus og Sinus:... 4 6) Bestemmelse af konstanten:... 5 Partiel Integration eller delvis integration:... 5 7) Integration af den naturlige logaritmefunktion:... 6 8) Integral ved substitution:... 6 2 Bestemte integraler:... 6 Venstre summen:... 7 Højresummen:... 9 Trapez summer:... 10 Regneregler for bestemt integral:... 11 Partiel integration... 12 Indskudsreglen:... 13 Arealebestemelser:... 13 Hovedsætning om Arealbestemmelse... 14 Eksempel... 14 Eksempel:... 15 1
Integral regning: Integral er udvidelser af summering er uendelige mange små dele. Ved hjælp af integral kan vi find arealer for de længder som er svære at regne ud ligesom at finde arealet en bue osv. Ubestemt integral: Der er sammenhænge mellem differentiation og integration hvor vi kan se den på nedenstående model. Differentier F Integrer. f Integrer. Differentier f.f (x) F (x) den afledte af (x) stamfunktion til f (F (X))` = f(x) Skrive måde ved integration: F (x) = Definition: Hvis funktionen F opflyder betingelsen F (x)= f(x), så er F(x) stamfunktion til f eller det ubestemte integral. = f(x ) Da. F (x) = 2
Integrationsprøven: Ved integrationsprøven kan man kontrollere om en funktion F er en stamfunktion til f ved at differentier F og se om vi får f(x). F (x) = f (x) Mængden af stamfunktion: Hvis F er stamfunktion til f så er alle funktioner af typen F + K også er en stamfunktion til f og der findes ikke andre stamfunktioner. K er en vilkårlig konstant. 1) Integration af potensfunktioner: For en potensfunktion f (x) = x a gælder, at For a -1 for a = -1 For x >0 k= є R 2) Integration af sum og Differens: For to funktioner f og g gælder: 1. 2. 3
I disse polynomierne integrer man hver led for sig, og tilsvarende teknik kan anvendes også på andre funktioner som er en sum eller differens af nogle elementære funktioner. 3) Integration ved Multiplikation med konstant: For en funktion f og k gælder. Note: Konstante faktorer sættes udenfor integral tegnet for at give overblik. Hvis integral er en polynomiums brøk, hvor tællers grad er større eller lige med nævnernes udfør polynomiers division. 4) Integration af Naturlig Eksponentialfunktion: For den naturlige eksponentialfunktion f(x) =e x gælder, at Hvor K = R er en vilkårlig konstant. 5) Integration af Cosinus og Sinus: For funktionerne cosinus og sinus gælder, at Hvor K = є R er en vilkårlig konstant. 4
6) Bestemmelse af konstanten: Sker ved hvis stamfunktionen skal går igennem et specifikt punkt. Eksempel: vi vil gerne bestemme stamfunktion F til f(x) = 4x 3 og F(2) =1 F(x) = Hvor K = є R er en vilkårlig konstant. F(2) = 1 Vi sætter 2 i x s plads. 2*2 2-3*2+k=1 K=1-8+6 K=-1 F(x) = 2x 2-3x-1 Partiel Integration eller delvis integration: Funktioner som kan udtrykkes som et produkt eller en brøk af to andre funktioner samt sammensætte funktioner, kan løses ved hjælp af delvis integration. For to funktioner f og g med stamfunktion G gælder at 5
7) Integration af den naturlige logaritmefunktion: For den naturlige logaritmefunktion ln(x) gælder at Bevis:.f(x)= ln (x) hvor f (X)= g(x)= 1 G(x)= x 8) Integral ved substitution: Denne regel benyttes ofte til integration af sammensatte funktioner og betegnes substitution. Hvis vi har en sammensat funktion. Af formen f(g(x))*g (x) så gælder der at..t= g(x) 2 Bestemte integraler: Ved hjælp af bestemt integral kan vi bestemme arealet af en figur som ikke er begrænset af rette linjestykker. For eksempel denne figur. Y A.a.b x 6
Ved hjælp af denne formel kan vi bestem arealet mellem punktet a og punktet b. Under grafen f. I forbindelse med det bestemte integral regning kan vi finde arealer vha. summer. Vi kan finde det vha. venstre, højre og trapez sum. Jo mindre intervallerne er jo tættere kommer man på den rigtigt svar. Vi ønsker at bestemme arealet af det markerede område (A) fra a til b. A er bestemt ved: A =,(x, y) a x b ^ 0 y f(x)- Man kan inddele intervallet *a;b+ i et antal små delintervaller, hver af bredden/intervallængde Δx. Intervallængden bestemmes som: Δx = x i x i-1 = b-a / n, i = 1,2,, n. Venstre summen: For at finde arealet vha. af venstre summen, skal man dele x-aksen i en del intervaller, som bliver til rektangler. Rektanglernes højde er funktionsværdien i venstre endepunkt. Man finder arealet af hver eneste rektangel og ligger dem sammen. I første omgang siger vi, at vores rektanglers bredde er 1 og det skal man gange med højden. Man kan finde arealet endnu mere præcist, hvis man deler A i flere intervaller, hvor bredden bliver til ½. Nu får vi dobbelt så mange intervaller og derfor bliver vores areal mere præcist. På denne måde kan man fortsætte. Jo mindre bredden af intervallerne bliver jo mere præcist resultat får vi. Nedenfor har vi tegnet en graf, hvor vi skal finde arealet af kurven. Først deler vi grafen ud i 7 intervaller og regner arealet, derefter deler vi grafen (A) i 14 intervaller, hvor vi får et andet areal. vi får to forskellige resultater, hvilket beviser at med en forøgelse af intervaller øges præcisionen af resultatet. 7
Nu viser vi, hvordan vi finder arealet af de to grafer med forskellige antal intervaller. Først finder vi den med 7 intervaller og bagefter den med 14 intervaller. V(n) = 1 * (f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)) V(7) = 1*( 3,5+5,6+6,8+7,3+7,5+7+5,3) = 43 V(n)= ½ *( f(1½)+f(2)+f(2½)+f(3)+f(3½)+f(4)+f(4½)+f(5)+f(5½)+f(6)+f(6½)+f(7)+f(7½)+f(8)+f(8,5)) V(14)= ½ *( 2,2+3,5+4,6+5,6+6,1+6,8+7,1+7,3+7,5+7,5+7,3+7+6,2+5,3) = 42 V n A for n Her kan vi se, at vi får to forskellige resultater, da vi har inddelt den ene graf i 7 intervaller og den anden i 14 intervaller. Vi får et mere præcist resultat i den med flere intervaller, så arealet af A er ca. 42. 8
Højresummen: At finde arealer vha. højre summen ligner meget metoden med venstre summen. Her rammer rektanglers højde endepunkterne på deres højre side, som vi har tegnet det nedenfor. Resten er fuldstændig ligesom at venstre summe, hvor man kan dele det i intervaller med 1 i bredde, intervaller med ½ brede eller intervaller med 1/4. Så lægger man alle intervallerne sammen og ganger det med bredden af intervallerne. Vi regner arealet ud på samme måde. Her finder jeg arealet vha. højre summen, hvor jeg har delt grafen i 8 intervaller med bredden en, man kan selvfølgelige også dele i flere intervaller og regne ud. H(n) = 1 * (f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)+f(9)) H(8)= 1* ( 4,3+6+6,5+6,1+5,3+4,3+2,8+1,2 = 42,5 H n A for n 9
Trapez summer: Her deler man det også i intervaller, men som vi kan se på tegningen nedenfor, så er intervallernes sider i forskellige højder. For at finde arealet vha. trapezsummen måler vi begge sider af intervallerne og divider den med en halv. På den måde kommer vi tættest på arealet. Når vi divider den med 2 er det fordi, at vi lægger begge siders højder sammen og dividerer med 2 så vi får en højde, der ligger lige i midten. Vi ganger selvfølgelige med bredden for at finde arealet. På den måde gør man det i alle intervallerne, så har vi et areal til sidst. T(n)= ½h (f(x0)+f(x1)) + ½h (f(x1)+f(x2)) + ½h (f(x n-2 )+f(x n-1 )) + ½h(f (x n-1 ) + f (x n )). Vi kan se, at arealet af de her trapezer er middeltallet mellem vores to rektanglers arealer, som hører til højre- og venstresummen og derfor kan vi skrive formlen for det således: T n = ½ (H n + V n ) T n A for n F er stamfunktion til f så 10
Regneregler for bestemt integral: Vi kan bruge de samme regne regler som vi har brugt ved ubestemt integraler., differens og multiplikation med en konstant. 11
Partiel integration Partiel integration er når der ønskes integreret et produkt af f.eks. f(x) og g(x), eller når det er en kvotient til andre funktioner. Hvis G(x)er en stamfunktion til g(x) er følgende gældende: Bevis: For at bevise ovenstående bruges kontrol af ligninger, hvor højre side af lighedstegnet differentieres, dette skulle gerne være lig med venstre siden integral. Regnereglen for differentiation af en differens benyttes Her er brugt formlen for differentiation af et produkt Det er nu bevist at den højre side af lighedstegnet er stamfunktionen resultat på begge sider. f(x)*g(x), da det bliver det samme Eksempel 1 side 260 A: Eksempel med partiel integration. 12
Indskudsreglen: Lad f være en funktion og a. Arealebestemelser: Her vil vi vise, at arealet kan bestemmes for vilkårlige funktioner uanset deres grafers placering i forhold til hinanden. Det bestemte integral kan bruges til bestemmelse af arealer. For en funktion f, hvis graf sammen med x- aksen, linien x = a og linien x=b, afgrænser visse punktmængder, er det bestemte integral. Arealet af punktmængderne over x-aksen minus arealet af punktmængderne under x-aksen. = A 1 A 2 + A 3 -A 4 Se figuren på side 288 i A-bogen, da tegningen blev ikke særlig flot ;) 13
Hovedsætning om Arealbestemmelse Antag at f(x) g(x) for alle x *a ; b]. Da er arealet af A = {(x, y) a x b ^ g(x) y f(x) } bestemt ved: - g(x)) dx Se beviset på side 290 i A-bogen. Eksempel. Som vi ved at vi bruger integral for at finde arealer, her kan vi se på et eksempel hvor vi ser hvordan vi kan bruge integral i praktisk. Vi bruger integral regning i vores nationale økonomi hvor vi, bestemer udbuds kurve, efterspørgsel kurve, priser, og mængde for produkter. Betragt en efterspørgsels kurve f(x) hvor f er prisen pr. enhed, og x er mængden i antal enheder.f(x) = forbruger overskud. Pris.a P 0 X 0 Mængde 14
Eksempel: En virksomheds overskud i tiden x i år kan beskrives ved f(x) Det samlede overskud de først 10 år er da bestemt ved stamfunktionen til. For x >,= 0 til x=o Samlede overskud efter 10 år =207 millioner 15