Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Transkript

1 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen

2 Lineær regression ved mindste kvadraters metode Ved lineær regression forsøger man at finde den rette linje der bedst passer med de x- og y- værdier man har. Den nok mest normale måde at finde denne linje på er ved mindste kvadraters metode. Vi har en række punkter (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...,( x n, y n ), og en linje y=a x+b der skal passe med disse punkter. For at se hvor godt linjen passer på punkterne, findes summen af kvadraterne på punkternes lodrette afstand til linjen. Den rette linje der passer bedst på punkterne er altså den hvor summen som muligt. Vi skal altså finde en metode der kan beregne denne linje. n (d n ) 2 er så lille i=1

3 Givet en række tal y 1, y 2,..., y n vil kvadratsummen Q(a)=( y 1 a) 2 +( y 2 a) ( y n a) 2 blive mindst hvor a er lig middeltallet y= n i=1 n Q(a) er et andengradspolynomium der er lavest ved den a-værdi hvor den afledte funktion er: Q ' (a)=0. y i. Som eksempel viser billedet herunder funktionen Q(a) med tallene 17,21,19,24,23,28, 24,29,25,30. Middeltallet er her 24, på billedet kan ses at dette passer med hvor grafens hældning er 0. Ved kvadratsætningen (a b) 2 =a 2 +b 2 2 a b kan opløses nogle parenteser og omskrives til: Q(a)=n a 2 2a( y 1 + y y n )+ y y y n 2 Differentieres denne og sættes lig 0 fås: Q ' (a)=2 n a 2( y 1 + y y n )=0 Vi kan så isolere a: 2 n a=2( y 1 + y y n ) a= ( y + y y ) 1 2 n = y n Her kan det altså ses at den mindste sum fås når a er lig middeltallet.

4 For at lave vores rette linje y=a x+b skal findes hældningen a og skæringen med y-aksen b. Til dette bruges formlerne og a= n i=1 n i =1 b= y a x ( x i y i ) n x y (x i 2 ) n x 2 Efter a og b er beregnet sættes de så bare ind i formlen for den rette linje. Numerisk differentiation Ved numerisk differentiation bruges ikke en afledt funktion. For at finde hældningen i et punkt bruges i stedet hældningen af en sekant gennem to omkringliggende punkter. Formlen for numerisk differentiation er: f ' ( x 0 )= f (x 0 +h) f (x 0 h) 2h Den x-værdi hvortil hældningen skal findes kalder vi x 0. Vi finder to omkringliggende punkter, et på højre side af x 0 og et på venstre side. Begge punkters x-værdi er afstand h fra x 0. For at få et brugbart resultat kræver det naturligvis også at funktionen f rent faktisk er differentiabel i x 0. For at kunne finde en hældning ved numerisk differentiation kræver det at man enten kender funktionsforskriften eller kender nogle punkter omkring x 0. Kendes funktionsforskriften vil man kunne benytte en meget lille h-værdi og derved komme meget tæt på den egentlige hældning i punktet. Har man derimod en række punkter vil det som regel være afstanden på x-aksen mellem disse der afgør hvor nøjagtig hældningen er. Hvis for eksempel har funktionen f (x)=x 3 +2x og vil finde hældningen ved x=4 og hvor h=0,1 : f ' (4)= f (4+0,1) f (4 0,1) 2 0,1 = (4, ,1) (3,9 x ,9) =50,1 2 0,1 Den afledte funktion af f (x)=x 3 +2x er f ' ( x)=3x Findes hældningen i stedet med denne fås: f ' (4)= =50 Med en h-værdi på 0,1 var den numeriske i dette tilfælde kun 0,1 fra den egentlige hældning.

5 Numerisk integration Man har ikke altid mulighed for at finde stamfunktion til en funktion der skal integreres. I et sådant tilfælde kan man i stedet benytte sig af numerisk integration. Vi har et interval [a;b] som inddeles i n lige store stykker. Hvert delinterval vil så have en længde h der er: h= b a n Det første vi vil finde er det der kaldes en venstresum. I hvert delinterval [x i ; x i+h ] anbringes et rektangel hvor grundlinjen er lig h og højden er lig f(x i ). Arealet af hvert rektangel udregnes så ved at gange funktionsværdien med grundlinjen h, altså a= f ( x i ) h. Venstresummen er så summen af alle rektanglernes arealer. Grunden til det kaldes en venstresum er at den funktionsværdi der bruges som rektanglets højde, f(x i ), er i venstre side af rektanglet. Bruger man i stedet den højre funktionsværdi i delintervallet, kaldes det en højresum i stedet. Venstresummen findes altså ved: V n = f (x 0 )h+ f (x 1 )h+...+ f (x n 1)h Og højresummen ved: H n = f ( x 1 )h+ f ( x 2 )h+...+ f ( x n )h En anden måde er at finde middelværdien af de to funktionsværdier i hvert delinterval. Det kaldes så en trapezsum og findes ved: n 1 T n = i=1 ( 1 2 h ( f (x i )+ f (x i +1)))

6 Rodbestemmelse Rodbestemmelse handler om at bestemme nulpunkter til polynomier. Hvis man vil finde eksakte nulpunkter skal man bruge polynomiers division. Skal man blot bruge et tilnærmet nulpunkt, kan der gøres brug af numeriske metoder. Til at bestemme et nulpunkt for en funktion der i et interval er differentiabel, kan vi bruge Newton-Raphson metoden. For at kunne bruge Newton-Raphson metoden kræver det at funktionen er differentiabel i det interval metoden gør brug af. Det første der gøres er at vælge et punkt x 0 der ligger nogenlunde tæt på nulpunktet. Derefter findes hældningen i dette punkt, altså f ' ( x 0 ). Der hvor tangenten til x 0 skærer x-aksen er så x 1, vores nye x-værdi. Idéen er at denne x-værdi ligger tættere på nulpunktet. Proceduren gentages så til man er tilpas tæt på. Den generelle formel er: x n +1 =x n f ( x n ) f ' (x n ) Vi tager her udgangspunkt i et eksempel med funktionen f (x)=x 2 2x. Det kan ses den skærer x-aksen 2 steder. Vi starter med at vælge x-værdien 4. Tangenten til dette punkt skærer x-aksen ved x=2,67, så dette er altså vores næste x-værdi.

7 Tangenten skærer her x-aksen ved nærmere funktionens ene nulpunkt. x=2,14. Det kan ses at vi kommer nærmere og Gentages et par gange finder vi at funktionen har et nulpunkt ved x=2 På grafen kan ses at funktionen har endnu et nulpunkt, dette kan findes ved at bruge en x- værdi der ligger tæt på. Man skal være opmærksom på at tangenterne der findes skal skære x- aksen et sted, de må altså ikke være fuldstændig vandrette.

8 Program til lineær regression Dette program laver lineær regression ved mindste kvadraters metode. Brugeren bliver bedt om at indtaste x og y værdier til en række koordinater. Det finder sum og gennemsnit af disse værdier og bruger dem til at finde en forskrift for den bedste rette linje til datasættet. Opbygning Antal koordinatsæt gemmes i en variabel antal og der laves 2 tomme lister, xlist og ylist, til at holde henholdsvis x og y værdier. Listerne fyldes ved et loop der kører kører så mange gange som specificeret i antal, hvor brugeren hver gang indtaster en x og en y værdi. Summen af værdierne i listerne udregnes ved pythons sum() funktion og gemmes i variablerne xsum og ysum. Middelværdierne udregnes ved at dividere summerne med antal og gemmes i xmiddel og ymiddel. For at udregne hældningen af den bedste rette linje skal formlen i

9 a= n i=1 n i =1 ( x i y i ) n x y (x i 2 ) n x 2 mplementeres. Variablen numerator laves til at holde værdien af brøkens tæller. Først summeres produkterne af hvert punkts x og y værdi og gemmes i numerator. Derefter trækkes n x y fra. Samme fremgangsmåde bruges til brøkens nævner. Der laves en variabel denominator til at holde nævnerens værdi. Alle x-værdiernes kvadrater summeres og der trækkes n x 2 fra. Inden tælleren divideres med nævneren for at finde hældningen a, tjekkes om nævneren er lig 0. Hvis ikke den er 0 kan vi fortsætte med at finde a, ved at dividere numerator med denominator. Vi finder derefter en b værdi ved b= y a x, der kun kræver 3 tal vi allerede kender. Resultatet bliver så vist til brugeren. Hvis nævneren derimod er 0 vises i stedet en kort forklaring på hvorfor udregningen ikke kan lade sig gøre. Program til numerisk differentiation

10 Programmet kan beregne hældningen i et punkt for en andengradsligning. Brugeren indtaster først ligningens a, b og c. Derefter indtastes det punkt hvori hældningen skal findes, samt hvilken h-værdi. Selve udregningen er meget simpel og er ikke afhængig af at det er en andengradsligning. Vi har blot valgt en andengradsligning for simplicitetens skyld, programmet ville blive en del mere kompliceret hvis brugeren skulle kunne indtaste en helt vilkårlig ligning.

11 Program til numerisk integration På samme måde som til forrige program indtastes der a, b og c værdier til en andengradsligning. Derefter angiver brugeren i hvilket interval der skal integreres, samt hvor mange inddelinger. Der gives så både en venstre, højre og midtsum, så man evt. kan undersøge hvornår den ene er bedre end den anden. På billedet bruges funktionen f (x)=2x 2 +3x 5 og der findes integralet i intervallet [2;6]. For at finde den præcise løsning, kan vi løse problemet analytisk. Stamfunktionen til f(x) er F ( x)= 2 3 x3 +1,5 x 2 5x+k, så i intervallet [2;6] får vi: 6 2 f (x )=( , k) ( , k)= = I dette tilfælde giver midtsummen altså det mest nøjagtige integrale. Efterhånden som antallet af inddelinger øges bliver det dog af mindre betydning hvilken af summerne der bruges.

12 Program til numerisk rodbestemmelse Brugeren indtaster a, b og c for en andengradsligning, samt en x-værdi der ligger 'tæt' på det nulpunkt der skal findes. Programmet bruger så Newton-Raphsons metode til at finde nulpunktet. Der køres 10 iterationer, men som det kan ses på billedet sker der ikke nogen forbedring vil de sidste iterationer, så ved netop dette eksempel kunne det gøres med færre. På billedet til højre er funktionen tegnet, og det kan ses at højre nulpunkt ca. ligger hvor programmet har fundet det til.

13 Evaluering Evalueringsskema for Lau SO-mål Indhold i praksis Læringsteori og læreprocesser Status Mål Slutevaluering Der er for stor forskel på de to fag lige nu. Lige nu er tingene ikke helt forståelige. Prøver at gøre hvad man kan hjælpe med. Få de to fag til at arbejde sammen på et højere niveau. Kunne forstå programmeringen og matematikken der bliver brugt. Laver det man kan. Vi har fået fagene til at arbejde sammen. Tingene er blevet meget mere forståelige. Har prøvet så godt jeg kunne at støtte gruppen. Arbejdsformer Prøver at samarbejde Samarbejde. Vi har arbejdet sammen og prøvet at lave hver vores ting undervejs. Informationssøgning Videnskab og vidensformer Formidling og formidlingsteori Evaluering og evalueringsværktøjer Vores info får vi nok fra nettet. På nettet. Vi har fået noget info fra nettet og bøger. pas Teknisk/matematisk. Vi har lavet meget matematik. Vi har ikke lavet noget endnu, så der er ikke noget vi har formidlet. Vi skal vel bruge dette skema. Forklare tingene på et plan hvor ale kan være med. Dette skema. Vi har prøvet at formidle det så alle er med. Vi har brugt dette skema. Evalueringsskema for Mikkel SO-mål Status Mål Slutevaluering Har svært ved at overføre min viden fra matematik til programmering. At kunne se logikken i python i forhold til matematik. Indhold i praksis Jeg kan ikke forstå python. At kunne læse og forstå python. Læringsteori og læreprocesser Arbejdsformer Informationssøgning Videnskab og vidensformer Formidling og formidlingsteori Evaluering og evalueringsværktøjer Jeg venter ofte til sidst med at lave hvad jeg skal. Jeg har tendens til at isolere mig fra gruppen. Jeg ved ikke hvordan man googler effektivt. Finde opgaver jeg er god til. Der plejer at være problemer med at holde styr på hvem der laver hvad i grupper. Jeg evaluerer sjældent ved afslutning af projekter. At uddele arbejdsopgaver i forhold til folks spidskompetencer Gruppearbejde Computer/Google Finde opgaver jeg er god til. Dele viden mellem gruppemedlemmerne ved gruppemøder Udfylde slutevaluering ved projektets afslutning Har fået en bedre forståelse for samspillet mellem fagene. Er blevet bedre til at forstå python. Fik lavet min del af opgaverne i god tid. Jeg bidragede godt til gruppearbejdet. Fik lavet noget effektiv informationssøgning. Vi holdt overblik over hvem der lavede hvad. Fik udfylt skemaet.

14 Evalueringsskema for Tobias SO-mål Indhold i praksis Læringsteori og læreprocesser Status Mål Slutevaluering Har en rimelig god forståelse for python Plejer at lære programmering ved at prøve mig frem At få fagene til at spille sammen Vil lære andre måder at løse kendte problemstillinger på Blive bedre ved at forsøge at lære fra mig af hvad jeg ved Det lykkedes meget godt Fik afprøvet nogle nye metoder Lykkedes til dels Arbejdsformer Har At alle i gruppen er med Vi havde et fint gruppearbejde Informationssøgning Videnskab og vidensformer Formidling og formidlingsteori Evaluering og evalueringsværktøjer Er god nok til informationssøgning Der er noget teoretisk matematik der skal bruges sammen med noget mere praktisk programmering Er udmærket til at formidle ting skriftligt Plejer ikke at evaluere projekter Ikke nødvendigt at fokusere på Ikke en prioritet i denne opgave Lave en slutevaluering af dette projekt Samme sted som ved start Uændret Har lavet slutevaluering af projektet

15 Kildekode Numerisk differentiation # -*- coding: cp1252 -*- #===========================# # Numerisk differentiation # # af andengradsligning # #===========================# #========================================# #-!-!-!-!-!-!-! Funktioner!-!-!-!-!-!-!-# #========================================# def rigtigttal(): Funktionen rigigttal bruges til at sikre at det brugeren indtaster rent faktisk er noget vores program kan bruge til at regne på. På den måde forhindres at et forkert input crasher vores program. var = raw_input() try: var = float(var) except: print "Fejl. Prøv igen." var = rigtigttal() return var def f(x): Som navnet antyder, svarer denne funktion til den funktion af x der skal regnes på. y = a * x * x + b * x + c return y def dydx(x_0,h): Det er denne funktion der finder selve hældningen. Dette gøres ved en ret simpel udregning. Til udregning bruges nogle funktionsværdier der beregnes med f(). a = ( f(x_0 + h) - f(x_0 - h) )/ (2 * h) return a #==============================================# #-!-!-!-!-!-!-! Indledende tekst!-!-!-!-!-!-!-# #==============================================# print "Dette program benytter numerisk differentiation til at finde hældningen i et\npunkt for en andengradsligning." print "====*========*========*========*========*========*========*========*========*" #===============================================# #-!-!-!-!-!-!-! Indsamling af tal!-!-!-!-!-!-!-# #===============================================# print "Andengradsligningen har formen ax^2 + bx + c" print "Indtast a: " a = rigtigttal() print "Indtast b: "

16 b = rigtigttal() print "Indtast c: " c = rigtigttal() print "Indtast den x-værdi hvor hældningen skal findes: " x_0 = rigtigttal() # Punktet hvor hældningen skal findes print "Indtast h-værdien: " h = rigtigttal() # Lavere h giver højere præcision #======================?================# #-!-!-!-!-!-!-! Udregning!-!-!-!-!-!-!-# #=======================================# kvotient = dydx(x_0,h) print "Den fundne hældning er:",kvotient Numerisk integration # -*- coding: cp1252 -*- #======================# # Numerisk integration # # af andengradsligning # #======================# def rigtigttal(): Funktionen rigigttal bruges til at sikre at det brugeren indtaster rent faktisk er noget vores program kan bruge til at regne pã. PÃ den mã de forhindres at et forkert input crasher vores program. var = raw_input() try: var = float(var) except: print "Fejl. Prøv igen." var = rigtigttal() return var def f(x): Som navnet antyder, svarer denne funktion til den funktion af x der skal regnes på. y = a * x * x + b * x + c return y #===========================# # Program start # #===========================# print "Andengradsligningen har formen ax^2 + bx + c" print "Indtast a: " a = rigtigttal() print "Indtast b: " b = rigtigttal() print "Indtast c: " c = rigtigttal() print "Beregn integralet fra:" x0 = rigtigttal() print "Til:" x1 = rigtigttal() print "Indtast antal inddelinger, højere tal giver højere præcision: "

17 h = rigtigttal() h = abs(x1 - x0) / h leftsum = 0 i = x0 while i < x1: Looper fra x0 til x1. Regner arealet for hver lille inddeling ud og samler dem i variablen leftsum. leftsum += h * f(i) i += h print "Venstresum: ",leftsum rightsum = 0 i = x0 + h while i < x1 + h: Start og slutværdien er forskudt med h for at regne højresummen. rightsum += h * f(i) i += h print "Højresum: ",rightsum midtsum = 0 i = x0 while i < x1: Start og slutværdien er forskudt med h for at regne højresummen. midtsum += h * f(i+0.5*h) i += h print "Midtsum: ",midtsum Lineær regression # -*- coding: cp1252 -*- #===============================# # Lineær regression ved mindste # # kvadraters metode # #===============================# def rigtigttal(): var = raw_input("indtast antal koordinater (mindst 2): ") try: var = float(var) except: print "Skal være et tal." var = rigtigttal() return var antal = int(rigtigttal()) # Konverterer det indtastede tal til et helt tal, da det skal bruges som variabel i for loop xlist = [] ylist = [] for i in range(antal): xlist.append(input('skriv x-værdi: ')) # Tilføjer den indtastede værdi til listen ylist.append(input('skriv y-værdi: ')) #

18 print "Du indtastede følgende x værdier: ", xlist print "Du indtastede følgende y værdier: ", ylist xsum = sum(xlist) # sum er en indbygget funktion der returnerer summen af værdierne i en liste ysum = sum(ylist) print "Summen af x-værdierne er: ", xsum print "Summen af y-værdierne er: ", ysum ymiddel = ysum / float(antal) # værdien fra antal konverteres til float for at undgå integer division. xmiddel = xsum / float(antal) print "Gennemsnittet af x-værdierne: ", xmiddel print "Gennemsnittet af y-værdierne: ", ymiddel #Herunder er det grundlæggende formlen for mindste kvadraters metode der bruges. #For overskuelighedens skyld udregnes brøkens tæller og nævner hver for sig. numerator = 0 for i in range(len(ylist)): # xlist og ylist er alle 'antal' elementer lang, så det burde # er egentlig ligemeget hvilken der bruges til for loopet numerator += ylist[i] * xlist[i] # Ganger værdierne i listerne ved index i med hinanden # og adderer dem til variablen 'numerator' numerator -= antal * ymiddel * xmiddel denominator = 0 for i in range(len(xlist)): denominator += xlist[i] * xlist[i] denominator -= antal * xmiddel * xmiddel if denominator!= 0 : # Her tages der forbehold for det tilfælde hvor brøkens nævner er 0 a = numerator / denominator # Udregner hældningen a print "a er: ", a b = ymiddel - a * xmiddel # Udregner skæringen med y-aksen b print "b = ",b print "Ligning:" print "y = ",a,"x","+",b else: print "Kunne ikke beregne hældning." print "Muligvis er bedste rette linje en lodret streg med ligningen:" print "x = ", xmiddel Rodbestemmelse # -*- coding: cp1252 -*- # # # - Numerisk nulpunktsbestemmelse - # # # #========================================# #-!-!-!-!-!-!-! Funktioner!-!-!-!-!-!-!-# #========================================# def rigtigttal():

19 Funktionen rigigttal bruges til at sikre at det brugeren indtaster rent faktisk er noget vores program kan bruge til at regne på. På den måde forhindres at et forkert input crasher vores program. var = raw_input() try: var = float(var) except: print "Fejl. Prøv igen." var = rigtigttal() return var def f(x): Som navnet antyder, svarer denne funktion til den funktion af x der skal regnes på. y = fa * x * x + fb * x + fc return y def dydx(x_0): Det er denne funktion der finder selve hældningen. Dette gøres ved en ret simpel udregning. Til udregning bruges nogle funktionsværdier der beregnes med f(). h = a = ( f(x_0 + h) - f(x_0 - h) )/ (2 * h) return a #===========================# # Program start # #===========================# print "Velkommen til dette program, lavet til at bestemme nulpunkter. Du bedes indtaste en andengradsligning,\ samt x-værdien til et punkt tæt på et nulpunkt." print "..." print "Andengradsligningen har formen ax^2 + bx + c" print "Indtast a: " fa = rigtigttal() print "Indtast b: " fb = rigtigttal() print "Indtast c: " fc = rigtigttal() print "..." print "Indtast en x-værdi der ligger tæt på nulpunktet:" x0 = rigtigttal() y0 = f(x0) print "..." for i in range(10): a = dydx(x0) x1 = x0 - (y0 / a) print "x-værdien: ",x1 print "hældningen: ",a x0 = x1 y0 = f(x0) print "Program afsluttet"