To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. august 7, 9: 3: Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet svarer til point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i dette opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Opgaverne 3., 4, 8,, og 3 kan have mere end et korrekt svar og evalueres der efter følgende princip: Hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Sæt kryds ved det hold du deltager i. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMMER: Hold : BIO BIOT KEMI KEMT MILT MP Nikolaj Hess-Nielsen Hold : BA EGI FYS NANO Jacob Broe Hold BA EN KBT MK (Esbjerg) Ulla Tradsborg Hold CBT ED (Esbjerg) Ulla Tradsborg Side af 9
Opgave (5 point) 5. Hvad er determinanten af matricen A = 3? 5 3-3 -7. En 3 3 matrix B har determinant. Hvilket af følgende tal svarer til determinanten af den inverse matrix B? 8 8 intet af dem Opgave (8 point). Er ligningssystemet konsistent? x +3x x 3 = x +x = x +8x 3x 3 = 3 Ja Nej. Hvor mange løsninger har ligningssystemet? ingen uendelig mange 3. Er ligningssystemet x +3x x 3 = x +x = x +8x 3x 3 = 3 konsistent? Ja Nej 4. Hvor mange løsninger har ligningssystemet? 4 ingen uendelig mange Side af 9
Opgave 3 ( point) Opgaven tager udgangspunkt i matricen A =.. Hvilket af de følgende polynomier er A s karakteristiske polynomium? λ 8λ + 6 λ 3 + 6λ λ + 6 λ 3 + 4λ λ + 4 intet af dem. Hvilke af de følgende vektorer er egenvektorer til matricen A? 3. Er matricen A diagonaliserbar? Ja Nej 4. Hvilket af de følgende tal svarer til det(a)? 4 6 8-6 5. Er matricen A regulær/invertibel? Ja Nej Opgave 4 (6 point) 3 4 Med udgangspunkt i matricerne A = 3 4 og B = 4 3 dannes 4 3 matrix produkterne C = AB og D = BA. Markér de sande blandt de følgende påstande om matricernes indgange c ij i C hhv. d ij i D: c = d c = d c3 = d 3 c = d c3 = d 3 c33 = d 33 Side 3 af 9
Opgave 5 (9 point) En 3 3-matrix A = [a a a 3 ] har tre indbyrdes ortogonale søjlevektorer a =, a = og a 3 = a 3. a 3 a 33. Hvad er de korrekte værdier for a 3, a 3 og a 33? a3 = a 3 = a 33 = a3 = a 33 =, a 3 = a3 =, a 3 =, a 33 = a3 = a 33 =, a 3 =. Hvilken af de følgende matricer svarer til produktet AA T? 9 9 9 7 9 9 9 9 9 6 9 9 9 6 9 9 3. Hvad er determinanten det(a)? 9 7 79 Opgave 6 (8 point) I planen [ ] er der givet en linje l ved ligningen 3x + 4x = og en vektor v =. 5. Hvilken af de følgende vektorer fås som resultat af ortogonalprojektionen af vektoren v på linjen l? [ ] [ ] [ ] 3 [ ] 6 9 5 5 3. Hvilket af de følgende tal er lig med afstanden fra punktet P : (, 5) til linjen l? 5 5 3 3 Side 4 af 9
Opgave 7 (8 point) En drejning/rotation T : R R i planen om Origo mod uret med en drejningsvinkel θ = π 4 har en standardmatrix A.. Hvilken af de følgende matricer svarer til A? [ ] [ ] [ ] [ ] 3 3. Er matricen A regulær/invertibel? Ja Nej 3. Er matricen A diagonaliserbar? Ja Nej [ ] [ 4. Vektorerne v = og v = udgør en ordnet basis B for R ]. Hvilken af de følgende matricer svarer til matricen T B som beskriver rotationen T med hensyn til den ordnede basis B? [ ] [ ] [ ] [ ] Opgave 8 (8 point) Opgaven tager udgangspunkt i de rumlige vektorer v =, v =, v 3 =, v 4 =, v 5 =, v 6 =, v 7 = R 3.. Hvilke af de følgende vektormængder udspænder R 3? v, v v, v, v 7 v, v, v 3 v, v, v 3, v 6 v4, v 5, v 6 v, v 3, v 5. Hvilke af de følgende vektormængder er lineært uafhængige? v v, v v, v, v 7 v4, v 5, v 6 v, v 4, v 5, v 6 v, v 3, v 5 Side 5 af 9
Opgave 9 (6 point) Opgaven tager udgangspunkt i ligningssystemet x + x + x 3 = x + x = x + x + 3x 3 =. Hvilken af de følgende matricer svarer til den udvidede matrix/totalmatrix [A b] som beskriver ligningssystemet? 3 3 3 3. Hvilken af de følgende matricer er den reducerede echelonmatrix/trappematrix som er rækkeækvivalent med [A b]? 7 3 6 3. Hvilken af de følgende påstande er sand? Systemet er inkonsistent. x = 7, x = 3, x 3 = er en blandt flere af systemets løsninger. x = 7, x = 3, x 3 = er systemets eneste løsning. x = 6, x =, x = er en blandt flere af systemets løsninger. x = 6, x =, x 3 = er systemets eneste løsning.. Side 6 af 9
Opgave (5 point) Denne opgave tager udgangspunkt i de tre elementære matricer E =, E =, E 3 = samt matricen A = 3 4 5. 6 7 8 For hvilken af de tre matricer E i, i 3, gælder det at. E i A = 6 8? 6 7 8 E E E3. E i A = 3 4 5? 6 5 4 E E E3 6 7 8 3. E i A = 3 4 5? E E E3 4. Er det sandt at en elementær matrix altid er invertibel/regulær? Ja Nej 5. Er det sandt at produktet af to elementære matricer altid er elementær? Ja Nej Opgave (8 point) Vi tager udgangspunkt i en matrix A. Markér de korrekte påstande i listen nedenfor: Hvis det(a) er et heltal, så er det(a T ) også et heltal. Hvis det(a) er et heltal og det A =, så er det(a ) også et heltal. Hvis A er en drejnings/rotations-matrix, så er det(a) =. Hvis A er en spejlings/refleksions-matrix, så er det(a) =. Side 7 af 9
Opgave (6 point) Opgaven tager udgangspunkt i matricen B = [ ] R samt c = R 3. Markér de korrekte påstande i listen nedenfor: b er indeholdt i søjlerummet Col B. c er indeholdt i søjlerummet Col B. b er indeholdt i nulrummet Null B. c er indeholdt i nulrummet Null B. Søjlerummet Col B er lig med R. Nulrummet Null B er lig med R 3. [ ] 3 5 og vektorerne b = 4 Opgave 3 (6 point) Følgende kommandoer indtastes i MATLABs Command Window: >> a = [; ; ; ]; >> b = [; ; ; ]; >> c = [; ; 3; -4]; >> d = [; ; -; 5]; >> e = [6; -; ; -6]; >> C = [a b c d e]; >> rref(c); ans = - 5 Markér de korrekte blandt de følgende påstande: e er en rækkevektor. e er en søjlevektor. C er en 4 5 matrix. C er en 5 4 matrix. Man beregner C s nullitet (dimension af Null C) ved at indtaste >> 4 - rank (C); Man beregner C s nullitet (dimension af Null C) ved at indtaste >> 5 - rank (C); Side 8 af 9
Problem 4 (6 points) Vi ser på en udvidet/total- matrix [A b] = 4 3.. Hvilket af de følgende ligningssystemer svarer til ligningen Ax = b? x + x 3 + x 4 = x + 4x 3x 3 + x 5 = x x + x 3 = = x + x 3 = 4x 3x + x 4 = x + x + x 5 x + x + x 4 = x + 4x 3x 3 + x 5 = x x + x 3 + x 6 = Når man overfører [A b] på reduceret echelon/trappe-form fås matricen. Hvad er rangen af matricen A? [H c] = 3 3 4 5. 3. Hvad er rangen af den udvidede/total matrix [A b]? 3 4 5 6 4. Hvad er nulliteten af matricen A? 3 4 5 5. Er det sandt at x =, x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = løser systemet svarende til ligningen Ax = b? Ja Nej 6. Er det sandt at x =, x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = er eneste løsning til systemet svarende til ligningen Ax = b? Ja Nej Side 9 af 9