Nøgleord og begreber

Transkript

1 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel Potensreglen Entydig løsning Test entydig løsning Calculus Uge

2 Nem vej til areal Eksempel 9.1 Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Calculus Uge

3 Nem vej til areal Eksempel 9.1 Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Calculus Uge

4 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix Calculus Uge

5 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 Calculus Uge

6 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix 2-matrix a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Calculus Uge

7 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix 2-matrix a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 3-matrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 = a 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Calculus Uge

8 Udregn determinanter Eksempel = ( 1) = Calculus Uge

9 Udregn determinanter Eksempel = ( 1) = = = ( ) 2( ) +3( ) = = 12 Calculus Uge

10 Spejling og drejning Eksempel 9.5 Determinanten af en spejling cos 2θ sin 2θ Matr(S θ ) = sin 2θ cos 2θ = cos 2 2θ sin 2 2θ = 1 Calculus Uge

11 Spejling og drejning Eksempel 9.5 Determinanten af en spejling cos 2θ sin 2θ Matr(S θ ) = sin 2θ cos 2θ Determinanten af en drejning Matr(D θ ) = = cos 2 2θ sin 2 2θ = 1 cosθ sin θ sinθ cosθ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 Calculus Uge

12 Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Calculus Uge

13 Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række A = n ( 1) 1+j a 1j A 1j j=1 Calculus Uge

14 Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række A = n ( 1) 1+j a 1j A 1j j=1 Kan skrives A = ( 1) 1+1 a 11 A 11 + ( 1) 1+2 a 12 A 12 + Calculus Uge

15 Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Calculus Uge

16 Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Calculus Uge

17 Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 12 a 21 a 23 + a 13 a 21 a 22 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 a 22 a 23 = a 11 a 32 a 33 a a 21 a a 31 a 33 + a a 21 a a 31 a 32 Calculus Uge

18 Determinant mange veje Sætning Determinanten kan beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række n A = ( 1) i+j a ij A ij j=1 Calculus Uge

19 Determinant mange veje Sætning Determinanten kan beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række n A = ( 1) i+j a ij A ij j=1 2. Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling efter j-te søjle n A = ( 1) i+j a ij A ij i=1 Calculus Uge

20 Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle = Calculus Uge

21 Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle = = Calculus Uge

22 Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle = = = 2( ) + 5( ) 8( ) = = 0 Calculus Uge

23 Udregn determinant af orden 4 Eksempel = ( 1) Calculus Uge

24 Udregn determinant af orden 4 Eksempel = ( 1) = ( 1) Calculus Uge

25 Udregn determinant af orden 4 Eksempel = ( 1) = ( 1) = 1 Calculus Uge

26 Trekantsmatrix Eksempel række/søjle 0 a 12 0 a = 0 0 a 21 a = 0 Calculus Uge

27 Trekantsmatrix Eksempel række/søjle 0 a 12 0 a = 0 0 a 21 a = 0 øvre trekantsmatrix a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n a nn = a 11 a 22 a nn Calculus Uge

28 Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: = 1 Calculus Uge

29 Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: = 1 Multiplikation af række med tal 0: s = s Calculus Uge

30 Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: = 1 Multiplikation af række med tal 0: s = s Addition af et multiplum af en række til en anden: 1 s 0 1 = 1 Calculus Uge

31 Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Calculus Uge

32 Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Calculus Uge

33 Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus Uge

34 Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en række til en anden: Determinanten er uændret Calculus Uge

35 Søjleregneregler Sætning fortsat Beregning af determinant Calculus Uge

36 Søjleregneregler Sætning fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Calculus Uge

37 Søjleregneregler Sætning fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus Uge

38 Søjleregneregler Sætning fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en søjle til en anden: Determinanten er uændret Calculus Uge

39 Skalering af række eller søjle Eksempel 9.15 ( ) = = 2 7 Calculus Uge

40 Skalering af række eller søjle Eksempel 9.15 ( 1 7 ( ) = 1 7 ) = = = 2 7 Calculus Uge

41 Transponering og skalering Bemærkning 9.17 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den transponerede matrix, så determinanten er den samme A T = A Calculus Uge

42 Transponering og skalering Bemærkning 9.17 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den transponerede matrix, så determinanten er den samme A T = A Bemærkning 9.18 En n n-matrix A skaleres med λ ved at skalere hver række. Så anvendes rækkeskalerings reglen n-gange fås λa = λ n A Calculus Uge

43 Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul Calculus Uge

44 Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 Calculus Uge

45 Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Calculus Uge

46 Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Eksempel = 0 Calculus Uge

47 Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Afkryds: ja nej Calculus Uge

48 Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Afkryds: ja nej Løsning Første og tredje søjle er ens. Calculus Uge

49 Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Løsning Første og tredje søjle er ens. Afkryds: ja nej Calculus Uge

50 Udregn determinanter Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekantsmatrix (1) = 1 2 = ( 1) 10 = Calculus Uge

51 Udregn determinanter Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekantsmatrix (1) = 1 2 = ( 1) 10 = (2) = = = 1 ( 3) ( 4) = 12 Calculus Uge

52 Determinant af matrixprodukt Sætning Produktreglen For to kvadratiske n n-matricer A,B gælder AB = A B Calculus Uge

53 Determinant af matrixprodukt Sætning Produktreglen For to kvadratiske n n-matricer A,B gælder AB = A B Bevis For B fast og A en rækkeoperationsmatrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kan A skrives som produkt af rækkeoperations-matricer samt enten identitetsmatricen eller en matrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger heraf. Calculus Uge

54 Brug produktreglen Eksempel 9.24 A = = 12 Calculus Uge

55 Brug produktreglen Eksempel A = = AA = = AA = A A = = Calculus Uge

56 Determinant af potens Eksempel 9.25 Potensers determinant 1 2 = ( 1) = Calculus Uge

57 Determinant af potens Eksempel 9.25 Potensers determinant 1 2 = ( 1) = ( ) k = k = ( 10) k Calculus Uge

58 Determinant af invers matrix Sætning Inversreglen En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 = 1 A hvis A 0. Calculus Uge

59 Determinant af invers matrix Sætning Inversreglen En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 = 1 A hvis A 0. Bevis Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A 0 så kan A skrives som produkt af rækkeoperationsmatricer, som hver er invertible. A er da invertibel. Calculus Uge

60 Brug inversreglen Eksempel 9.27 Matricen A = har determinant A = 12 Calculus Uge

61 Brug inversreglen Eksempel 9.27 Matricen A = har determinant A = 12 A er invertibel og den inverse har determinant A 1 = A 1 = 1 12 Calculus Uge

62 Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Afkryds: ja nej Calculus Uge

63 Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Løsning Sætning 12 giver svaret direkte. Afkryds: ja nej Calculus Uge

64 Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Løsning Sætning 12 giver svaret direkte. Afkryds: ja nej Calculus Uge

65 Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Afkryds: ja nej Calculus Uge

66 Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Løsning Af produktreglen følger det(a) 2 = det(a 2 ) = 0 Afkryds: ja nej Calculus Uge

67 Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Løsning Af produktreglen følger det(a) 2 = det(a 2 ) = 0 Afkryds: ja nej Calculus Uge

68 Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant = ( 1) = 10 Calculus Uge

69 Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant = ( 1) = 10 ( ) = 1 10 Calculus Uge

70 Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant = ( 1) = 10 ( ) = 1 10 ( ) k = 1 ( 10) k Calculus Uge

71 Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Calculus Uge

72 Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Hvis A 0 så for alle hele tal k. A k = A k Calculus Uge

73 Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Hvis A 0 så for alle hele tal k. Hvis A = 0 så for alle hele tal k > 0. A k = A k A k = 0 Calculus Uge

74 Cofaktormatricen Definition 9.30 Lad A være en n n-matrix og A ij fremkomme ved at slette i-te række og j-te søjle. Cofaktormatricen Cof(A) er n n-matricen: n = 1: identitetsmatricen Cof(A) = I 1. n > 1: med ij-te indgang ( 1) i+j A ji Calculus Uge

75 Cofaktormatricen Eksempel matricen A = ( ) 10 har Cof(A) = ( ) 1 Calculus Uge

76 Cofaktormatricen Eksempel matricen A = ( ) 10 har Cof(A) = ( ) matricen A = ( ) har Cof(A) = ( ) Calculus Uge

77 Cofaktorformlen Sætning 9.32 Lad A være en n n-matrix. Så er produktet A Cof(A) = Cof(A)A = A I n Hvis A 0, så er A invertibel og der gælder A 1 = 1 A Cof(A) Calculus Uge

78 Cofaktormatricen Eksempel 9.33 ( ) a b For matricen A = er cofaktormatricen c d ( ) d b Cof(A) =. Hvis ad bc 0 så er A invertibel med c a A 1 = 1 ad bc Cof(A). Altså ( ) 1 a b = c d 1 ad bc ( d c ) b a Calculus Uge

79 Ligningssystem og determinant Sætning Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning ( 0) (uendelig mange), hvis og kun hvis A = 0. Calculus Uge

80 Ligningssystem og determinant Sætning Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning ( 0) (uendelig mange), hvis og kun hvis A = Det inhomogen ligningssystem Ax = b har en og kun en løsning, hvis og kun hvis A 0. Calculus Uge

81 Bestem entydig løsning Eksempel 9.35 For hvilke tal t har det homogene ligningssystem med koefficientmatrix A = 1 t t en entydig løsning. Find løsningsrummet for alle t. Calculus Uge

82 Bestem entydig løsning Eksempel løsning Beregn determinanten A = 1 t 1 = 1 1 t t t 1 = (t 1) 2 Calculus Uge

83 Bestem entydig løsning Eksempel løsning Beregn determinanten A = 1 t 1 = 1 1 t t t 1 = (t 1) 2 For t 1 har det homogene ligningssystem entydig løsning x = 0. Ax = 0 Calculus Uge

84 Bestem alle løsninger Eksempel løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet x 1 + x 2 + x 3 = 0 Calculus Uge

85 Bestem alle løsninger Eksempel løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet Dette giver løsninger x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 = x x Calculus Uge

86 Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a b har en entydig løsning Afkryds: ja nej Calculus Uge

87 Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a b har en entydig løsning Afkryds: ja nej Løsning 1 a b = ( 1) 1 2 = 2 0 Calculus Uge

88 Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a b har en entydig løsning Løsning 1 a b Afkryds: = ( 1) 1 2 = 2 0 ja nej Calculus Uge

89 Cramers regel Sætning 9.36 Lad A være en kvadratisk n n-matrix med determinant A 0. Det inhomogen ligningssystem Ax = b har løsningen x = A 1 b, hvor den j-te koordinat er givet ved Cramers regel x j = a 1 a j 1 b a j+1 a n A Tælleren er determinanten af den matrix der fremkommer ved at erstatte j-te søjle med søjlevektoren b. Calculus Uge

90 Cramers regel Eksempel Ligningssystemet med a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 0, a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 har løsning Calculus Uge

91 Cramers regel Eksempel Ligningssystemet med a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 0, a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 har løsning x 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a, x 2 = 12 a 21 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22 Calculus Uge