Af læseplanen for 7.-9. klassetrin fremgår det, at beskrivelse af lineære og ikke-lineære sammenhænge indgår i arbejdet med funktionsbegrebet. Det er ligeledes fremhævet, at arbejdet med funktionsbegrebet skal foregå i nært samspil med praktiske problemstillinger fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold. Dette kapitel kan bl.a. ses i lyset af disse hensigter. Omdrejningspunktet er vækst, der beskrives sprogligt, med tabeller, formler og grafer. Eksemplerne vedrører bl.a. fart, salmonellabakterier og renter og omfatter således både lineær vækst og eksponentiel vækst. Første del af kapitlet introducerer begreberne lineær vækst og eksponentiel med udgangspunkt i elevernes egne beskrivelser af forskellige fænomener, der vokser. Eleverne er ikke ubekendte med fænomener, der vokser eksponentielt, men funktionsforskriften for eksponentiel vækst er ny for dem og det er nyt for dem at anvende begrebet eksponentiel vækst. Anden del af kapitlet fokuserer på rentebegrebet. I læseplanen fra Fælles Mål 2009 står der direkte, at eleverne skal arbejde med Rentebegrebet, fx i tilknytning til opsparing, låntagning og kreditkøb. Dette første møde med rentebegrebet handler udelukkende om opsparing. I Kolorit for 9. klasse behandles låntagning og kreditkøb. Set fra et emneperspektiv vedrører arbejdet med kapitlet trinmål fra både tal & algebra, geometri og fra matematik i anvendelse. Det er nærliggende at inddrage regneark i arbejdet med kapitlet, der på den måde også kan komme til at udvikle elevernes hjælpemiddelkompetence. I kapitlet arbejdes med følgende centrale faglige begreber: Lineær vækst Punktvis lineær vækst Stykkevis lineær vækst Eksponentiel vækst Punktvis eksponentiel vækst Rentesats, kapital Huskeliste: Papir (til side 156) Evt. mm-papir (til side 156) Evt. regneark (til side 162, 163, 164, 165, 166) VÆKST 1
FRA FAGHÆFTET Kompetencer: afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelse (repræsentationskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematikkens sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner: I arbejdet med tal og algebra at arbejde med talfølger og forandringer med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer I arbejdet med geometri at arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri Matematik i anvendelse: arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemstillinger Matematiske arbejdsmåder: undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med at beskrive vækst. Målet er, at I får erfaringer med at bruge funktioner til at beskrive vækst. lærer, hvad der forstås ved lineær vækst og eksponentiel vækst. ærer begreberne rentesats, termin og kapital. lærer at bruge to renteformler. får erfaringer med at bruge regneark til arbejdet med vækst. VÆKST 2
FACIT Side 156 1a 1b MUNDTLIG 7-tabellen begynder med 7 og vokser med 7 for hvert trin i tabellen. Trin 1 2 3 4 5 x Tal 7 14 21 28 35 7x 1c y = 7x x er trinnummer, y er resultatet. 2a 2b For hver time bliver turen 100 km længere. Trin 1 2 3 4 5 x Længde i km 100 200 300 400 500 100x 2c y = 100x x er trinnummer, y er resultatet. 3a 3b De første to timer vokser turens længde med 100 km pr. time. I de næste to timer vokser turen med 50 km pr. time og derefter med 80 km pr. time. Trin 1 2 3 4 5 x Længde i 100 200 250 300 380 80x -20 km 3c For 0 x 2 gælder: y = 100x For 2 < x 4 gælder: y = 50x + 100 For x > 4 gælder: y = 80x - 20 x er trinnummer, y er resultatet. VÆKST 3
4a 4b 4c Antallet af lag fordobles med hvert fold. Trin 1 2 3 4 5 x Antal lag 2 4 8 16 32 2 x y = 2 x Side 157 MUNDTLIG 5 og 6 Opgave 1 hører til Punktvis lineær vækst. Opgave 2 hører til Lineær vækst. Opgave 3 hører til Stykkevis lineær vækst. Opgave 4 hører til Punktvis eksponentiel vækst. 7 Fx Lineært: Prisen på bær vokser lineært med vægten. Prisen på euro vokser lineært med antallet af euro. Eksponentielt: Beløbet på en opsparingskonto (med rente) vokser eksponentielt med tiden. Antal bakterier i æg vokser eksponentielt med tiden. Side 158 1a PROBLEM Felt nr. 1 2 3 64 Antal hvedekerner 10000 20000 30000 640000 1b y = 10 000x VÆKST 4
1c 600000 Antal hvedekerner 550000 500000 450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 Felt nr. 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 2a Felt nr. 1 2 3 4 5 64 Antal hvedekerner 2 4 8 16 32 2 64 2b y = 2 x VÆKST 5
2c Antal hvedekorn 4800000 4600000 4400000 4200000 4000000 3800000 3600000 3400000 3200000 3000000 2800000 2600000 2400000 2200000 2000000 1800000 1600000 1400000 1200000 1000000 800000 600000 400000 200000 Felt nr. 0 0 2 4 6 8 10121416182022242628303234363840424446485052545658606264 3a 3b (Punktvis) lineær vækst. (Punktvis) eksponentiel vækst. Side 159 PROBLEM 1 Antal timer, x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Antal bakterier, y 1 8 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 VÆKST 6
2 260000 Antal bakterier 240000 220000 200000 180000 160000 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 Timer 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 3 Mellem 5 timer og 6 timer passerer antallet af bakterier 100 000. 4 Mellem 4 timer og 5 timer passerer antallet af bakterier 100 000. VÆKST 7
Side 160 PROBLEM 1 Trin 1 Trin 2 Trin 3 2 Trin 0 1 2 3 4 n Antal 1 3 9 27 81 3 n 3 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 Antal 50 0 0 1 2 3 4 5 6 Trin 4 VÆKST 8
5 Trin 0 1 2 3 4 n Areal 1 6 Areal 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Antal 7 Grafen falder i en blød bue. Side 161 FÆRDIGHED Facit findes i grundbogen på side 185. VÆKST 9
Side 162 MUNDTLIG 1 Rentebeløbet er 11,11 kr. 2 Antal dage 40 80 120 160 200 240 Rentebeløb 11,11 22,22 33,33 44,44 55,56 66,67 3 Rentebeløb i kr. 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 Antal dage 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 4 Rentebeløbet inden for en termin vokser lineært. Renteformel 1 har formen y = ax + b. VÆKST 10
Side 163 MUNDTLIG 5 Efter første termin står der 2100 kr. på kontoen. 6a 6b Fx Den nye saldo kan beregnes ved 2000 + 2000 0,05 = 2000 (1 + 0,05) = 2000 1,05 Fx Den nye saldo kan beregnes ved 2000 1,05 1,05 = 2000 1,05 2 7 Antal terminer Saldo efter terminsnummer 1 2 3 4 n 2100 kr. 2205 kr. 2315,25 kr. 2431,01 2000 1,05 n 8 2650 Saldo i kr. 2600 2550 2500 2450 2400 2350 2300 2250 2200 2150 2100 2050 2000 1950 Antal terminer 1900 0 1 2 3 4 5 6 9 Vi ved, at saldoens vækst efter n terminer kan beregnes ved VÆKST 11
2000 1,05 n Det svarer til 2000 (1 + 0,05) n Generelt gælder derfor K n = K (1 + r) n 10 Saldoen vokser eksponentielt. Renteformel 2 har formen y = a x Side 164 1a 1b 1c PROBLEM =C7+B8 =C8*$B$4 =C8+B9 2 Der er 2025,82 kr. til barnebarnet på hendes 18 års fødselsdag. VÆKST 12
3 2200 Saldo i kr. 2100 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 Antal terminer 500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4a 4b 4c 4051,63 kr. 5708,68 kr. 21161,50 kr. 5 Fx Startkapital: 3503,44 kr. Rente: 6,0 % Side 165 PROBLEM 1 Det kan bedst betale sig at vælge bank B, fordi saldoen med renters rente vokser hurtigere end i bank A. VÆKST 13
2 Forskellen er 15 605,09 kr. 15 529,69 kr. = 75,40 kr. 3 Hvis bank A hæver sin rentesats til 4,6 %, kan det bedre betale sig at vælge den frem for bank B. Efter 10 år vil der stå 15 678,95 kr. på kontoen. 4 4,55 % Side 166 1a 1b PROBLEM Efter 10 år har Anders flest penge. Efter 20 år har Nikolaj flest penge. VÆKST 14
2 Saldo i kr. 22000 Anders 21000 Nikolaj 20000 19000 18000 17000 16000 15000 14000 13000 12000 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 År VÆKST 15
3 Der går cirka 16 år, før opsparingerne er lige store. Graferne skærer hinanden ved cirka 14 år. 4 Anders opsparing er størst de første 14 år. Her ligger grafen for Anders opsparing ligger over grafen for Nikolajs opsparing. Nikolajs opsparing er størst efter 14 år. Her ligger grafen for Nikolajs opsparing over grafen for Anders opsparing. Side 167 FÆRDIGHED Facit findes i grundbogen på side 186. VÆKST 16