Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den generelle lgevægtsteor søger at beskrve hele økonomen på én gang. En økonom, hvor der kke er nogen produkton, kalder v en ren bytteøkonom, og det er en sådan økonom v tl at starte med betragter. denne forsmplede generelle lgevægtsmodel nøjes v med at betragte forbrugere og varer. En sådan økonom med to varer og to forbrugere kan llustreres den såkaldte Edgeworth box, der er vst et eksempel på nedenfor: Person Person Mulge tlstande Forbruget af vare måles ud af den horsontale akse, og forbruget af vare måles ud af den vertkale akse. Som det er markeret på fguren, så skal person s forbrug måles ud fra nederste venstre hjørne, mens person s forbrug måles ud fra øverste højre hjørne. Hvs v kalder forbruget af en vare for x og ntalbeholdnngen af en vare for ω, så opfylder alle allokernger Edgeworth boxen, at x + x = ω + ω og x + x = ω + ω - -
Mkro. år. semester Hvs denne betngelse er opfyldt, så sger v at tlstanden er mulg, da den samlede ntalbeholdnng af hver enkelt vare er lg med det samlede forbrug af hver enkelt vare efter at de to agenter har handlet ndbyrdes. Dvs. at en smpel bytteøkonom med to varer og to forbrugere, er betngelsen for at en allokerng skal være mulg, at allokerngen lgger nde Edgeworth boxen. V vl nu forsøge at generalsere denne forsmplede model tl at opfatte et større antal varer og forbrugere. V ser nu på en økonom med L varer og forbrugere. Da gælder følgende for at tlstanden skal være mulg: x = = = ω hvor x er en vektor, der repræsenterer forbrugsplanen for forbruger. En anden måde at udtrykke dette på er vha. af overskudsefterspørgslen z, der angver nettoefterspørgslen for en forbruger af en gven vare: = z = 0 ltså er summen af alle forbrugernes nettoefterspørgsel efter en gven vare lg med nul; dette er bare en anden måde at udtrykke, at der kke er nogen produkton økonomen. Senere vl v også se på en stuaton, hvor der er produkton økonomen. Hvs der er J vrksomheder økonomen, der producerer en varevektor y j, så gælder det nu for at en tlstand skal være mulg, at = = x = ω + y J j= j Lgnngen ovenfor repræsenterer blot, at det samlede forbrug økonomen af hver enkelt vare er lg med den ntale beholdnng af den pågældende vare plus det der er blevet produceret af den pågældende vare. Pareto optmale tlstande En Pareto optmal tlstand defnerer v som en mulg tlstand, hvor der kke fndes en anden mulg tlstand x * * for hvlken u ( x ) u ( x ) for alle {,!, } = forbrugere med mndst et strengt ulghedstegn, dvs. alle er mndst lge så godt stllet og mndst én er stllet bedre. Hvs der fandtes en sådan mulg tlstand, så vlle denne tlstand Pareto domnere den gamle tlstand, og dermed kunne den gamle tlstand kke være Pareto optmal. - -
Mkro. år. semester Dermed kan man defnere en Pareto optmal tlstand kort sagt som en mulg tlstand, der kke kan Pareto domneres af nogen anden mulg tlstand. Løsnng af generel lgevægt (Walras lgevægt) En Walras lgevægt er en tlstand og et prssystem, der opfylder at lle forbrugere nyttemaksmerer gvet prsvektoren p * lle vrksomheder proftmaksmerer gvet prsvektoren p * lle markeder clearer (dvs. tlstanden er mulg) Walras lov Walras lov sger, at værden af nettoefterspørgslen ved markedsprser altd er nul, dvs. udtrykt matematsk (og med voksende præferencer): p x z ( p) = p ω eller p z ( p) 0 = L ( p) z ( p) p z( p) = p R hvor p altså er den L-dmensonale prsvektor. = 0 + En mplkaton af Walras lov er, at hvs alle markederne,,,l clearer, da vl marked L automatsk cleare, dvs. ( ) 0 z L p =. Dvs. at v har reduceret problemet tl at man skal løse L lgnnger med L prser. Det lyder måske kke af meget, men hvs man blot betragter en økonom med to varer, så har v faktsk halveret arbejdsbyrden emærk, at det selvfølgelg er de relatve prser der bestemmes på denne måde, og løsnngsmetoden prakss er, at man sætter den ene vares prs som numerare, og løser for de andre varer herudfra. Første velfærdsteorem Første velfærdsteorem lyder: Hvs alle forbrugere har umættelge præferencer, da er en Walras lgevægtstlstand en Pareto optmal tlstand. Markedslgevægten er Pareto optmal. Varan udleder Mcroeconomc nalyss 3 rd ed. 99 s. 330 at en mulg allokerng x * er Pareto optmal hvs og kun hvs x * løser de følgende n maksmerngsproblemer for =,,n: n * ( ) u j ( x j ) u j ( x j ) g g max u x s. t. xh ω g =,!, k g ( x, x ) g j h= j - 3 -
Mkro. år. semester ndet velfærdsteorem Hvs forbrugerne har konvekse præferencer, så kan enhver Pareto optmal allokerng fås som en markedslgevægt gvet den rette fordelng af ntalressourcerne. Forbehold omkrng første og andet velfærdsteorem Selvom markedslgevægten er Pareto optmal, så kan det godt være man har andre krav tl en lgevægt, eller at der gør sg problemer gældende, som modellen kke har taget højde for. Det gælder eksempelvs: Lghed / fordelngsspørgsmålet Eksternalteter Market power på såvel udbuds- som efterspørgselssden Ufuldkommen nformaton Offentlge goder Ufuldstændg markeder Hverken første eller andet velfærdsteorem tager dsse tng betragtnng, og er vgtge forudsætnnger for velfærdsteoremerne. Opgaveløsnng Edgeworthboxen Fnd de Pareto optmale tlstande økonomen. Maksmerngsproblemet lyder: maxu s. t. u ( x, x ) ( x, x ) u x + x = ω x + x = ω Med pæne præferencer dfferentable nyttefunktoner kan problemet reduceres tl: MRS = MRS HUSK at når det alene drejer sg om at fnde de Pareto optmale tlstande, så skal prser kke nddrages. Fnd Walras-lgevægten(e) Edgeworthboxen. Nu skal prserne nddrages. Maksmerngsproblemet lyder: max u x, x s. t. ( x, x ) p x + p x p ω + p ω x 0 x 0-4 -
Mkro. år. semester prakss vl den første bbetngelse være bndende, da en nyttemaksmerende agent naturlgvs bruger hele st budget. Ved hjælp af dette maksmerngsproblem opnås efterspørgselsfunktonerne: x ( p, p ), x ( p, p ), x ( p, p ), x ( p p ), Løs derefter følgende: x ( p p ) + x ( p p ) = ω + ω,, Én lgnng to ubekendte? Nej v er kun nteresseret relatve prser; v sætter en af prser som numerare. Når dette er løst vl markedet for vare automatsk cleare, og for at fnde efterspørgslen kan man bare ndsætte efterspørgselsfunktonerne for vare, jf. Walras lov. - 5 -
Mkro. år. semester CKN-note: Uskkerhed Generel Lgevægt Vores generelle lgevægtsmodel stller ngen forhndrnger op for at v, som når v betragter partelle lgevægte, kan anvende en bred fortolknng af varebegrebet. Det kan v bl.a. bruge tl at opstlle teor for forskrnger og fnanselle kontrakter. Forsmplende ser v første omgang på et tlfælde med to varer, der kan tllægges fortolknngen, at vare er et forbrugsgode tl leverng, hvs tlstand ndtræffer, og vare er et forbrugsgode tl leverng, hvs tlstand ndtræffer. Tlstand og ndtræffer med sandsynlghederne π og π. V kalder forbrugeren s beholdnng for ω. Forbruger s forventede nytte er dermed gvet ved: π u ( ω ) + π u ( ω ) Forbrugeren kan naturlgvs handle med sn beholdnng, og står over for budgetrestrktonen : p x = p ω p z = 0 Fortolknngen af varebegrebet her skal forstås således, at p betales nu for at få leveret én enhed af forbrugsvare betnget af tlstand. Dette åbner tydelgvs for at v kan behandle markedet for kontrakter denne model. V ser nu på et særtlfælde: Særtlfælde ngen aggregeret uskkerhed V starter med at se på en model hvor der kke er nogen aggregeret uskkerhed, dvs. ω = ω. Dermed blver Edgeworth boxen kvadratsk her. en sådan økonom vl de Pareto optmale tlstande være på dagonalen, dvs. dér hvor begge agenter er fuldt forskrede, dvs. x = x og x = x. Dette kan vses ved at udregne MRS for forbruger 3 : MRS = u x u x ( x, x ) ( x, x ) π = π ( x ) ( x ) På dagonalen er x = x, og dermed er π MRS =. π Et helt tlsvarende ræsonnement kan opstlles for forbruger, og da de to forbrugeres MRS dermed er lg hnanden alle steder, hvor dsse allokernger Pareto optmale. x = x x = x, hvlket netop svarer tl dagonalen, så er alle Jf. Walras lov. 3 Under forudsætnng af at forbrugerne har Von Neumann-morgenstern præferencer med tlhørende ernoull nyttefunkton, og har ens sandsynlgheder, dvs. π og π er konstante. - 6 -
Mkro. år. semester Kan et punkt uden for dagonalen så være Pareto optmal? Nej, det kan vses ved at vse, enhver tlstand uden for dagonalen er Pareto domneret af en tlstand på dagonalen. Dermed kan v konkludere, en Edgeworth økonom uden aggregeret uskkerhed, at Pareto optmal tlstand <=> Tlstand på dagonalen Lgevægt på markeder for forskrnger aktuarsk far prser Lgevægt på et Walras k marked for forskrng fndes, og er Pareto optmal, jf. første velfærdsteorem. Før fandt v ud af at hver forbrugers MRS var konstant og gvet ud fra π MRS =. π Desuden haves, at en Walraslgevægt, hvor den enkelte forbruger maksmerer nytte, så er MRS lg det relatve prsforhold. Dvs. en Walraslgevægt gælder at p p π = π Det er kun de relatve prser der afgør lgevægt eller ej, og derfor må v blot sge generelt at lgevægtsprserne er proportonale med sandsynlghederne, dvs. dmensonen som vareantallet, og λ er en postv konstant. p = λ π, hvor p og π er en vektor af ktuarsk far prser vl derfor sge, at prserne på forskrng svarer tl sandsynlghederne for at tlstandene ndtræffer 4. Sætnng: Hvs en strengt rskoavers forbruger står over for aktuarsk far prser, forskrer han sg fuldstændgt 5. ggregeret uskkerhed Hvs der er aggregeret uskkerhed økonomen, så kan det følge sagens natur kke lade sg gøre for alle agenterne at forskre sg fuldt ud, nogen må bære en vs porton rsko. Derfor er der her en oplagt mulghed for handel med rsko, hvor man kan sge, at nogle agenter vl overtage den rsko der 4 Dette ndebærer naturlgvs at forskrngsselskabernes forventede proft er lg nul. 5 evset for sætnngen er ret enkelt, gennemføres ved at antage, at x x og at π x + π x π ω + π ω og dernæst bemærke at u(π x + π x ) > π u(x ) + π u(x ), da forbrugeren er rskoavers, og at dette forbrug lgger budgetmængden, da værden af det er gvet ved π (π x + π x ) + π (π x + π x ) = π x + π x π ω + π ω. Dermed er det vst at for ethvert forbrug hvor x x fndes der et andet strengt foretrukket forbrug (π x + π x, π x + π x ), som også lgger budgetmængden, og her er der fuld forskrng, da forbruget tlstand er lg forbruget tlstand. - 7 -
Mkro. år. semester nødvendgvs må være økonomen, dog ved at tage sg betalt for det naturlgvs. Der er således nctament for handel med rsko her. Hvs der er aggregeret uskkerhed en økonom, og v står med en rskoneutral forbruger og en strengt rskoavers forbruger, så vl den rskoneutrale forbruger bære al rsko økonomen. En anden grund tl at folk handler med rsko er, at deres syn på sandsynlghederne kke er de samme. Hvs en forbruger har stor tltro tl at en gven tlstand ndtræffer, så er han også vllg tl at betale relatvt meget for et gode gvet denne tlstand, mens en forbruger med lavere subjektv sandsynlghed er vllg tl at betale mndre for dette gode gvet tlstandens ndtræffen. Dette forklarer stadg kke forekomsten af spl om penge, hvor der er en helt klart defneret objektv sandsynlghed. Man kan selvfølgelg hævde at nogle forbrugere har andre subjektve sandsynlghedsforestllnger, men det kan kke bruges som generel forklarng. En mere sandsynlg forklarng er, at folk på dette felt er rskoelskere. - 8 -
Mkro. år. semester Varan kap. 30 Koopmannsdagram (generel lgevægt med produkto V vl se nærmere på en generel lgevægt med produkton. V ser på en økonom med L = varer, = forbruger og J = vrksomhed. Forbrugeren skal vælge hvor meget han vl bruge af hver af de to varer og vrksomheden skal vælge hvor meget af den ene vare den vl bruge som nput, der dermed skaber et output. V ser på en typsk vrksomhed, der altså har ét nput (arbejdskraft) og ét output. Der er aftagende grænseprodukt, f () x 0. proftmaksmum gælder det som sædvanlg for vrksomheden, at soproftlnen tangerer produktonsfunktonens graf ( y = f () z ), dvs. f () z = MP W L = p Vare er td. ruges enten tl frtd eller arbejde. Vare er et fyssk forbrugsgode. Som skrevet tdlgere denne note gælder der for at en tlstand skal være mulg, at = = x = ω + y J j= j ltså at samlet forbrug er lg ntalressourcerne plus produktonen. denne tovareøkonom gælder det, at x = ω z x = ω + f(z) Hver forbruger nyttemaksmerer gvet ndkomst = værd af ntalbeholdnng + proftandel. Det må gælde, at Frtdsefterspørgsel + arbejdsefterspørgsel = 4 tmer Vareefterspørgsel = Output + evt. ntalbeholdnng Der udråbes nu et prssæt (W, p). Vrksomheden proftmaksmerer, og dette gver y og π. Gvet denne proft nyttemaksmerer forbrugeren. Hvs (W, p) skal cleare markedet skal udbud være lg efterspørgsel. - 9 -
Mkro. år. semester Pareto optmale tlstande ω De Pareto optmale tlstande fndes (det ntalressourcerne er gvet ved ω = ) ved at 0 maksmere udtrykket: maxu z s. t. ( ω z,0 + f () z ) 0 z ω Hvs f og u er dfferentable funktoner, så er en anden formulerng af maksmerngsproblemet at MRT vrksomhed = MRS forbrug HUSK at når det alene drejer sg om at fnde de Pareto optmale tlstande, så skal prser og proft kke nddrages! Walraslgevægt Vrksomheden skal optmere (mht. arbejdsnput): maxπ = max z s. t. z 0 z ( p f () z W z) Dette gver den optmale proft π ( W, p) ω Forbrugeren skal optmere (mht. x og x ), det ntalressourcerne nu er ω = : ω maxu x, x s. t. ( x, x ) W x + p x W ω + p ω + π ( W, p) Dette gver efterspørgslerne x (W, p) og x (W, p) Markeder skal cleare (jf. Walras lov behøver v kun at cleare det ene marked). Sæt én af prserne som numerare betngelsen x ( p, p ) + z( p p ) = ω, Det er altd dsse tre tng der udgør markedslgevægten en generel lgevægt med produkton:. Vrksomheder proftmaksmerer. genter nyttemaksmerer 3. lle markeder clearer - 0 -
Mkro. år. semester En grafsk llustraton af generel lgevægt med produkton tlfældet med L = varer, = forbruger og J = vrksomhed, er det såkaldte Koopmannsdagram: x y = f(z) forbrugerens ndfferenskurver optmum - Pareto optmal tlstand produktonsfunktonen soproftlne og budgetlne nput z ω x - -
Mkro. år. semester HJWJ-note: Den forvrdende effekt af en lønskat V ser nu nærmere på effekten af en lønbeskatnng. V starter med at se på forbrugeren. Forbrugeren har en ntalbeholdnng på (, 0) og et forbrug på (e, x), e = n, hvor n er arbejdsudbud. Forbrugeren antages at have præferencer der kan repræsenteres af en seperabel nyttefunkton U(e, x) = u(x) + v(e) som er dfferentabel Der gælder om nyttefunktonen, at: v () x > 0 u () x < () e > 0 v () e < 0 0 forbrug hældnng = ω b og desuden grænseegenskaberne, at grænsenytterne for x, e 0. Dvs. ej randløsnng. frtd Dernæst betragter v vrksomheden. Vrksomheden producerer output y ud fra arbejdsnput l med den meget smple produktonsfunkton y = l Pga. konstant skalaafkast, er der nul proft lgevægt output y = f(l) = l nput Nu ser v på skatten. Hver forbruger har en skatteudgft på skat = t w n Nettoskatteudgften er på nettoskat = t w n hvor er en overførsel tlbage tl forbrugeren. Der antages budgetbalance for det offentlge, dvs. = t w n - -
Mkro. år. semester V skal nu løse forbrugerens problem: maxu x, e det () x + v() e w ω p ( t) s. t. b x > 0, p Problemet gver en entydg løsnng: 0 < n < x = ω n + b, x(ω, b) forbrugsgodeefterspørgsel n(ω, b) arbejdsudbud Førsteordensbetngelsen MU MRS = MU p = p dvs. v x = ω n + b (x, skal løse dette for gvent (ω, b). ( () x ω v = ( () x = ω Eks stgnng b Vrknngerne af stgnngen b kan analyseres ved at betragte de to lgnnger førsteordensbetngelsen: b Dvs. x b n () x ( ω, b) v ( () x Dvs. n så v x = ω n + b n( ω, b) < 0 b (, b) ( så () x n ω Eller, hvs n(ω,b) er dfferentabel < 0 b Det vl altså sge, at hvs ndkomstoverførslen fra staten stger, så vl arbejdsudbuddet falde. Hvad sker der så med den samlede efterspørgsel x(ω,b)? På den ene sde stger b, hvlket fører tl større efterspørgsel. På den anden sde, så har v lge set at dette medfører et faldende arbejdsudbud, hvlket fører tl lavere efterspørgsel. Hvad er den samlede vrknng? Man kan vse matematsk 6 at nettoeffekten vl være, at x(ω,b) - altså hvs x(ω,b) er dfferentabel, at (, b) x ω b > 0. 6 Vha. mplct dfferentaton - 3 -
Mkro. år. semester Eks stgnng ω Hvad sker der ved en stgnng reallønnen ω? Substtutonseffekten, effekten af at det er blevet relatvt mere fordelagtgt at arbejde vl føre tl en stgnng arbejdsudbuddet, men ndkomsteffekten går modsat retnng, da x = ω n + b () x v ( ( x) og derefter de samme afledte effekter som vst eksemplet ovenfor, der medfører at n. Derfor kan man kke forudsge nettoeffekten af stgnngen ω. Vrknngen på arbejdsudbuddet kan gå begge retnnger. Generel lgevægt Da vrksomheden har den smple produktonsfunkton y = l, så blver det eneste prssæt der er forenelgt med generel lgevægt det hvor p = w, da der ellers vl være enten overskudsefterspørgsel eller overudbud, hvlket kke er forenelgt med generel lgevægt. Da p = w gælder w ω = p ( t) = t Dette ndsættes førsteordensbetngelsen: v ω = ( () x t = v ( ( t) n + b) Offentlg budgetbalance medfører, at b = t n, gen da p = w. Dvs. t = v ( ( t) n + t v t = ( () n ltså er den repræsentatve agents fysske godeforbrug generel lgevægt x = n, ford nettoskat er nul og gen p = w. n skal altså løse ovenstående lgnng for gvet t. n 0 n v ( () n ( () n v 0 t vokser vokser falder ltså hvs t stger, så vl n falde, dvs. n () t < 0. Mekansmen er, at højere skat => Lavere realløn efter skat => Lavere arbejdsudbud. Kun substtutonseffekten vrker, ford ndkomstvrknngen forsvnder pga. offentlg budgetbetngelse om budgetbalance. Skat forvrder altså. - 4 -
Velfærdsanalyse Note tl Generel Lgevægt Mkro. år. semester V ser på velfærdsfunktonen W () t u( n() t ) + v( n( t ) Påstanden er nu, at W er aftagende t. evs: Da v W n ( () n =. () t = ( n() t ) n ( t) + v ( n( t) ) ( n ( t) ) () t ( ( n() t ) v ( n( t ) = t < () n > v ( n() t ) < &### %### $ W Q.E.D. " 0 > 0 Dvs. () t = n () t ( ( n () t ) v ( n ( t ) < 0 Det vl altså sge, at en skat betyder en mndre samlet velfærd tl samfundet. = - 5 -
Katz & Rosen: Partel kontra generel lgevægt Note tl Generel Lgevægt Mkro. år. semester Partel analyse Ceters parbus (alt andet lge). Ser kun på et marked. Generel analyse Ser på alle markeder. Smultan løsnng på alle markeder. - 6 -
Mkro. år. semester Varan kap. 3: Velfærdsteor Velfærdsfunkton rrow s umulghedsteorem V har ønske om at lave en aggregerng af ndvduelle præferencerelatoner tl en præferencerelaton for hele samfundet. Krav tl denne er:. Total præordnng (bl.a. transtvtet). Hvs alle agenter svagt foretrækker én allokerng X frem for en anden Y, så skal præferencerelatonen for hele samfundet også repræsentere at foretrække denne allokerng X. 3. Samfundets vurderng af X forhold tl Y skal være uafhængg af andre alternatver. Løsnngen: Én borger bestemmer det hele (dvs. dennes præferencer er lg med samfundets), dktatur. Hvs man ser bort fra dktatur er ovenstående ønsker en umulghed, hvlket er rrow s umulghedsteorem. Socal Welfare funkton Eks. U() x = u () x = Egenskaber: Kardnal nytte (skdt) Hvs z maksmerer U, så er z Pareto optmal (godt) Defntoner Equtable / rmelg / msundelsesfr tlstand: u ( x ) u ( x ) j j, Far tlstand. En far tlstand er: o Pareto optmal o Msundelsesfr - 7 -