Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber og redskaber.... 6 Målestoksforhold og ligedannethed... 66 Rumfang... 68 Omregning mellem rumfangsenheder... 69 Massefylde... 70 Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras sætning)... 7 Rumfang ()... 7 Regne baglæns... 74 I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang. På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne. Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling. Geometri Side 55
Længdemål og omregning mellem længdemål Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i: - decimeter (dm). Der går 0 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del. - centimeter (cm). Der går 00 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del. - millimeter (mm). Der går 000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del. Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse herunder. m = 0 dm dm = 0 cm cm = 0 mm Her er sammenhængen mellem måleenhederne stillet op i en tabel: m = 0 dm = 00 cm =.000 mm dm = 0 cm = 00 mm cm = 0 mm mm Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer. - en kilometer (km) er.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde. Der er altså samme størrelsesforhold mellem en km og en m, som der er mellem en m og en mm. Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. Eksempler på opgaver Omregn 97,5 cm til mm. Omregn.50 m til km. I skemaet står der 0 fordi, hver cm svarer til 0 mm. 97,5 cm = 97,5 mm 0 = 975 mm I skemaet står der :. 000 fordi, hver km svarer til.000 m..50 m =.50 km :.000 =,50 km Geometri Side 56
Omkreds og areal af rektangler og kvadrater Et rektangel er en firkant, hvor: - siderne er parvis lige lange - hjørnerne er rette vinkler Eksempler på rektangler: Et kvadrat er en firkant, hvor: - alle sider er lige lange - hjørnerne er rette vinkler Eksempler på kvadrater: Et kvadrat er et særligt pænt rektangel Eksempler på opgaver Find omkreds og areal af et rektangel med længden 4 m og bredden m. Find arealet af et rektangel med længden 50 cm og bredden,50 m. Omkredsen findes ved: - enten at sige: 4 m + m + 4 m + m = 4 m - eller at sige: 4 m + m = 4 m Arealet findes ved at bruge formlen: Areal = længde bredde eller blot A = l b A = 4 m m = m Tegningen viser, at rektanglet svarer til kvadrater, som måler m på hver led. Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter ( m ) 4 m Man kan ikke regne med både m og cm, så 50 cm laves om til,50 m. A =,50 m,50 m = 8,75 m Tegningen viser, at resultatet er rimeligt. Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte kvadratmeter sammen, så får du 8,75 m. 50 cm =,50 m,50 m m Hvis du er usikker på, hvorledes man omregner længdemål, så blad en side tilbage. Der er et par eksempler. Geometri Side 57
Omkreds og areal af andre figurer Tegningen til højre er en skitse af et hus. Find husets areal. 6 m m For at finde arealet må huset opdeles i rektangler. Det kan f.eks. gøres således: 7 m 0 m Der mangler tilsyneladende nogle mål for det nederste rektangel, men ved at kikke på tallene på skitsen kan man regne ud at: - arealet af det øverste rektangel må være: - arealet af det nederste rektangel må være: I alt er huset derfor: A = m 6 m = A = 5 m 4 m = 7 m 0 m 9 m Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder. Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler. I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud. Find arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde cm. A = h g = 5 cm cm = 7,5 cm Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen af arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden cm. A = h g højde grundlinie Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde uden for. Geometri Side 58
Find arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde cm. A = h g = 4 cm cm = cm A = h g Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til arealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden cm. Du klipper venstre ende af og flytter stykket mod højre. højde grundlinie Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og cm og højden er 4 cm. A = h (a + b) = 4 cm (6 cm + cm) = 8 cm Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om til et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm. A = h (a + b) a højde b Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være skæve. Geometri Side 59
Find omkredsen af en cirkel med en radius på,5 cm. (Det svarer til en diameter på cm) - enten O = π d = π cm = 9,4 cm - eller O = π r = π,5 cm = 9,4 cm O = π d eller O = π r radius diameter Tegningerne viser en cirkel, der rulles ud. Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren. Dette tal kaldes π (læses pi). π er et uendeligt decimaltal, som starter med,4 Mange regnemaskiner har en π -knap. radius diameter radius diameter omkreds Find arealet af en cirkel med en radius på,5 cm. A = π r = π,5 = 9,6 cm På regnemaskinen tastes: π X,5 x = På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt omvendt. Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere. Resultatet vil ligne et rektangel. Længden bliver en halv omkreds - altså π,5 Højden bliver lig med radius - altså,5 cm Arealet bliver derfor π,5,5 = π,5 = A = π r cm 7,85.. cm 9,6 cm radius Geometri Side 60
Skitsen viser en lille løbebane. Banen (det grå område) er 0 m bred. Find banens længde langs indersiden og banens areal. 5 m 45 m 5 m Indersiden består af to halvcirkler og to linjestykker. Banens omkreds bliver: Omkreds af cirkel: O = π d = π 5 0 m Linjestykker: 45 = 90 m Omkreds i alt 00 m Når man skal finde banens areal, må man først finde arealet af hele området (hvid + grå) og derefter trække midten (hvid) fra. Begge dele består af to halvcirkler med et rektangel i midten. Prøv selv at beregne målene på hele området, og se om dine tal passer med tallene herunder. Areal af hele området: Cirkel: A = π r = π 7,5 =.76 m Rektangel: A = l b = 45 55 =.475 m Areal i alt: 4.85 m Areal af det midterste område: Cirkel: A = π r = π 7,5 = 96 m Rektangel: A = l b = 45 5 =.575 m Areal i alt: Arealet af banen bliver derfor: 4.85 -.57 m =.4 m.57 m Find arealet af en trekant, hvor sidelængderne er 5 cm, 6 cm og 7 cm. Man kan ikke bruge den almindelige formel for arealet af en trekant ( A = h g ), fordi man ikke kender en højde. a b Men man kan i stedet for bruge Herons formel. c Først findes den halve omkreds. A = s (s a) (s b) (s c) a + b + c 5 + 6 + 7 8 s = = = = 9 cm Hvor s er den halve omkreds: a + b + c Derefter findes arealet. s = A = s (s a) (s b) (s c) = 9 (9 5) (9 6) 9 7) = 9 4 = 6 = 4,7 cm Geometri Side 6
Omregning mellem arealenheder Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder. Når der skal 0 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 0 dm til en m, men tegningen herunder viser bl.a., at der går 0 0 = 00 dm til en m. Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse. m = 00 dm dm = 00 cm cm = 00 mm mm Her er sammenhængen mellem arealenhederne stillet op i en tabel: m = 00 dm = 0.000 cm =.000.000 mm dm = 00 cm = 0.000 mm cm = 00 mm Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. Eksempler på opgaver Omregn 500 cm til m. Omregn,5 cm til mm. I skemaet står der : 0. 000 fordi, hver m svarer til 0.000 cm. 500 cm = 500 m :0.000 = 0,5 m I skemaet står der 00 fordi, hver cm svarer til 00 mm.,5 cm =,5 mm 00 = 50 mm Geometri Side 6
Nogle geometriske begreber og redskaber. Når man arbejder med geometriske figurer, har man ud over lineal ofte brug for en passer og en vinkelmåler. Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan også anvendes til andre tegneopgaver. Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler. Når man arbejder med geometriske figurer, kan man i dag også bruge et computerprogram som fx Geogebra i stedet for at tegne og måle i hånden. Et bestemt sted kaldes på matematik-sprog et punkt. Et punkt fylder ingenting - det har ingen størrelse. Men i praksis er man nødt til at tegne et kryds eller en prik som vist her. Et punkt kan også være et hjørne i fx en trekant eller en firkant. Man giver punkter bogstav-navne med store bogstaver. A B En linje er en lige streg, der i princippet er uendelig lang, men det kan man naturligvis ikke tegne. Et linjestykke er en lige streg, der går fra et punkt til et andet. Altså en streg med en bestemt længde. Linjestykket på tegningen hedder PQ, fordi det går fra P til Q. Hvis man skriver PQ, betyder det længden af PQ. To linjer - eller linjestykker - kan være parallelle, hvis der er et fast afstand mellem dem. Ligesom et par togskinner. P Q To linjer - eller linjestykker - kan stå vinkelret på hinanden, hvis de danner en ret vinkel (se næste side). Randen af en cirkel kaldes cirklens periferi. Afstanden fra periferi til periferi gennem centrum kaldes cirklens diameter. Afstanden fra centrum til periferi kaldes radius. Man skal kende radius for at tegne cirklen med en passer. Periferi Korde Radius Et linjestykke fra periferi til periferi, der er mindre end diameteren, kaldes en korde. En linje, der lige akkurat rører en cirkel i et punkt, kaldes en tangent. Diameter Tangent Geometri Side 6
En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen af et hjørne (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant. En cirkel måler 60 (læses 60 grader) hele vejen rundt. Et lige hjørne måler 90 og kaldes en ret vinkel. Det er en kvart cirkel. En vinkel på mindre end 90 kaldes en spids vinkel. Den viste vinkel er 60 En vinkel på mere end 90 kaldes en stump vinkel. Den viste vinkel er 0 Nogle særligt pæne trekanter har specielle navne: I en ligesidet trekant er alle siderne lige lange, og alle vinklerne er 60. I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange og to af vinklerne lige store. I en retvinklet trekant er en af vinklerne ret - altså 90. Tegningen til højre viser, at de tre vinkler i en trekant altid er 80 tilsammen. A = D, B = E og C = F. Og D, E og F svarer tilsammen til halvvejs rundt i en cirkel. E F C D Man kan altid dele en firkant op i to trekanter som vist nedenfor. På den måde kan man vise, at vinklerne i en firkant altid er 80 = 60 tilsammen. A B Man kan fortsætte og opdele en femkant i tre trekanter osv. På den måde kan man vise, at der gælder denne formel for vinklerne i en mange-kant: v = (n ) 80 hvor v er vinkelsummen (alle vinklerne lagt sammen), og n er antal kanter. En mange-kant kaldes også en polygon. Geometri Side 64
Særligt pæne figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler: Regulær sekskant I en regulær figur er alle sider og alle vinkler lige store. Symmetrisk figur med vandret symmetriakse (eller spejlingsakse). Man tegner nogle gange disse linjer i trekanter: Midtnormaler Vinkelhalveringslinjer Medianer Midtnormaler går gennem midtpunktet på siderne, og de står vinkelret på siderne. Vinkelhalveringslinjerne deler vinklerne op i to lige store vinkler. Medianerne går fra vinkelspidserne til midten af de modstående sider. Alle tre typer af linjer mødes i et punkt. Det gælder også for højderne i en trekant. Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel, og vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel. Prøv selv at tegne. Konstruer en trekant ABC som vist på skitsen, hvor a = 4,5 cm, c = 6 cm og A = 40. A b c a C B ) Derefter afsættes A = 40, og siden b skitseres som vist. ) Derefter tegnes en cirkelbue med centrum i B og radius på 4,5 cm. C a = 4,5 cm A 40 ) Først tegnes c = 6 cm. 40 c = 6 cm B A B 4) Til sidst tegnes siden a, og de overflødige steger viskes ud. Geometri Side 65
Målestoksforhold og ligedannethed Man bruger målestoksforhold, når man arbejder med fx arkitekttegninger og kort. Tegningerne og kortene er præcise formindskede kopier af virkeligheden, selv om man naturligvis ikke altid kan få alle detaljer med, når man laver tegninger og kort. Et målestoksforhold skrives fx således: : 00. Det betyder at en længdeenhed (mm, cm ) på tegningen eller på kortet svarer til 00 længdeenheder i virkeligheden. Tegningen viser et hus i målestoksforhold :00. Find husets længde og bredde. Find også husets areal. Grundrids af hus :00 Først måles længde og bredde på tegningen. Man får 7,5 cm og 4,0 cm. Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 00. - længde: 7,5 cm 00 =.500 cm = 5,00 m - bredde: 4,0 cm 00 = 800 cm = 8,00 m Arealet beregnes til: 5 m 8 m = 0 m På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 00 gange mindre end i virkeligheden. Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 00 gange større end på tegningen. Men arealet af det rigtige hus er 00 00 = 40.000 gange større end arealet af tegningen. Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor! En byggegrund har form som et rektangel. Længden er 0 m og bredden er 0 m. Lav en tegning i målestoksforhold :500 Tegningens mål findes ved at dividere med 500. - længde: 0 m : 500 = 0,06 m = 6 cm - bredde: 0 m : 500 = 0,04 m = 4 cm Tegningen ser ud som til højre. Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål. 0 m 0 m :500 Geometri Side 66
Nogle gange kan tegningen godt være større end virkeligheden. Tegningen viser et tværsnit af en knappenål. I hvilket målestoksforhold er tegningen lavet? Først måler man på tegningen. 0 mm - hovedets diameter: 5 cm = 50 mm - nålens længde: 4 cm = 40 mm 8 mm Nu kan man finde målestoksforholdet på to måder: Enten som 50 :0 = 5 : eller som 40 :8 = 5 : Bemærk: Når tegningen er større end virkeligheden, skriver man det største tal først. I eksempler passer det jo med at 5 mm på tegningen svarer til mm i virkeligheden. Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede kopier af hinanden, siger man, at de er ligedannede. Vinklerne er ens i de to figurer. De to trekanter I og II er ligedannede. II Find længden af c og d. I Først finder man størrelsesforholdet ved at sammenligne siderne b og e. Størrelsesforholdet er 4:5 (eller 5:4). Det betyder, at hver gang man har 4 længdeenheder på trekant I, så har man 5 længdeenheder på trekant II. Det er lettest at omregne forholdet til et tal. e : b = 5 : 4 =,5 b = 4 cm Siderne i trekant II er altså,5 gange større end siderne i trekant I. Derefter får man: d =,5 a =,5 9,6 = cm og c = f :,5 = :,5 = 0,4 cm a = 9,6 cm c d e =5 cm f = cm Bemærk: Når man arbejder med målestoksforhold, arbejder man også med ligedannethed. Tegningen og den virkelige ting er jo præcise formindskede/forstørrede kopier af hinanden. Geometri Side 67
Rumfang Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange m (kubikmeter) kan det rumme? Rumfanget findes ved at bruge formlen: Rumfang = længde bredde højde eller blot V = l b h (Bogstavet V bruges for rumfang) V = 7 m m m = 8 m Det betyder, at ladet kan rumme 8 terninge-formede kasser, som måler m på hver led. En sådan terning kaldes en kubikmeter (m ). m 8 X m m 7 m En kasse har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange liter kan den rumme? Liter er det samme som kubikdecimeter (dm ). (se evt. næste side om rumfangsenheder) Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen. V = = 7,5 dm dm 4 dm 90 dm eller 90 liter 40 cm 75 cm 0 cm 5 cm En dåse har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme? 9 cm Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm ) og dåsen har form som en cylinder. V = π r h = π 5 9 = 707 cm eller 707 ml På regnemaskinen tastes: π X 5 x X 9 = V = π r h radius Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder. Der findes en række andre formler, som du også kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang. højde Geometri Side 68
Omregning mellem rumfangsenheder Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder. Tegningen herunder viser bl.a., at der går 0 0 0 =.000 dm til en m. dm =.000 cm m =.000 dm cm Her er sammenhængen mellem rumfangsenhederne vist i en tabel: m =.000 dm =.000.000 cm =.000.000.000 mm dm =.000 cm =.000.000 mm cm =.000 mm Man måler også rumfang med liter-enheder: liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml). Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang. Det er vigtigt at vide, at: liter dl cl ml - dm er det samme som en liter (l) - cm er det samme som en milliliter (ml) Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne: liter = 0 dl = 00 cl =.000 ml dl = 0 cl = 00 ml cl = 0 ml Omregn,5 m til liter. En liter er det samme som en dm. Derfor skal man gange med.000.,5 m = =,5 dm.000.500 dm =.500 liter Geometri Side 69
Massefylde Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang. Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed. Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen kan også omskrives som vist herunder: Massefylde = Vægt Rumfang Vægt = Rumfang Massefylde eller Rumfang = Vægt Massefylde Hvis et materiale har massefylden,5 g pr. cm, betyder det, at en cm (en kubikcentimeter-terning) vejer,5 g. Vand har en massefylde på g pr. cm. Massefylde er vægt pr. rumfangsenhed. Fx vægt pr. cm. Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under g pr. cm. Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller), har en massefylde på over g pr. cm. Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og vægtenhederne. ton =.000 kg =.000.000 g ton kg =.000 g kg g Eksempler på opgaver En metalklods vejer g og har et rumfang på 85 cm. Hvad er massefylden? Hvor meget vejer 5 m grus, når massefylden for gruset er, tons pr. m? Hvor meget fylder 0,5 kg alkohol, når massefylden er 0,8 kg pr. liter? g Massefylde = 85 cm =,8 g pr.cm Vægt = 5 m =,5 tons, tons pr.m 0,5 kg Rumfang = 0,8 kg pr. liter = 0,65 liter I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit. Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp. Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret! Geometri Side 70
Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras sætning) Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen. Han levede i Grækenland for mere end.000 år siden. B Det mest enkle eksempel er en såkaldt -4-5-trekant. Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler cm, 4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet. Det gælder naturligvis også, hvis man bruger andre måleenheder. Fx m, 4 m og 5 m. Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder: A c = 5 cm b = 4 cm a = cm C Man navngiver hjørner med store bogstaver og sider med små bogstaver. a + b = c Hvis du regner efter, får du at: og det er jo ganske rigtigt. = + 4 5 eller 9 + 6 = 5, Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter. Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel. Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b. Eksempler på opgaver Tegningen viser en retvinklet trekant. A c = a = cm B b = 5 cm Find den manglende sidelængde c. C Skitsen viser en stige, der er stillet op ad en høj mur. Stigens længde er 4,50 m. 0 cm Hvor højt når stigen op? Man sætter ind i formlen og løser en ligning: + 5 = c 44 + 5 = c 69 = c c = 69 = cm a + b = c Stigen, muren og jorden danner en retvinklet trekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte sider er 0 cm =,0 m. Denne side kaldes a. Siden langs muren kaldes b og findes således:,0 + b,+ b b = 4,50 = 0,5 = 0,5, = 9,04 b = 9,04 = 4,6 m Geometri Side 7
Rumfang () Her er et eksempel på en mere kompliceret opgave med rumfang og overfladeareal: Skitserne viser to kaffekrus. Det ene er sammensat af en cylinder og en halvkugle. Det andet har form som en keglestub. Sammenlign rumfang og indvendig overfladeareal på de to krus. 8 cm 5 cm 8 cm 9 cm Først finder man de nødvendige formler. De er vist til højre undervejs. 6 cm Vi starter med at finde rumfanget af kruset til venstre. Rumfang af cylinder: V = π r h = π 4 5 = 5, cm 4 Rumfang af halvkugle: V = π r = π 4 = 4,0 cm Rumfang i alt: 85, cm Man kan naturligvis også skrive rumfanget som 85, ml, da cm og ml jo er det samme. Nu finder vi overfladearealet af kruset til venstre. Krum overflade af cylinder: Overflade af halvkugle: O = π r h = π 4 5 = 5,7 cm O π = 4 r = 4 = 00,5 cm Overflade i alt: 6, cm Når man regner på overfladen af en cylinder, skal man være opmærksom på, at formlen giver den krumme overflade. Top og bund er ikke med. I denne opgave skal man heller ikke bruge top og bund, men det skal man måske i andre opgaver. Pas på med ikke at lade dig snyde af formlen. π Rumfang cylinder: V = π r h Krum overflade af cylinder: O = π r h h er højden r er radius radius Rumfang kugle: 4 V = π r Overflade af kugle: O = 4 π r r er radius radius højde Geometri Side 7
Nu finder vi rumfanget af kruset til højre. Rumfang: V = = π h (R π 9 (4 = 48,7 cm + r + + R r) + 4 ) Her kan man naturligvis også skrive 48,7 ml. Beregningen ovenfor er lidt kompliceret. Man kan godt indtaste π 9 (4 + + 4 ) i en beregning på regnemaskine på denne måde: X π X 9 X ( 4 x + x + 4 X ) = Men hvis du er usikker på, hvorledes du skal gøre, kan du roligt dele beregningen op i flere dele. Nu finder vi overfladearealet af kruset, men først må vi finde den skrå side. Det gør vi på denne måde vha. Pythagoras sætning: Man kan lave en retvinklet trekant i siden af kruset som vist. Den skrå side er hypotenusen. Den ene katete er højden, og den anden katete er forskellen på R og r. h 9 Det er fristende blot at runde af til 9 cm eller 9, cm, men man bør medtage nogle flere decimaler i sine mellemregninger. Nu er vi parate til at finde overfladearealet af kruset til højre. Her skal vi være opmærksomme på, at der både er en krum overflade og en bund. Krum overflade af keglestub: O = π ( R + r) s = π (4 + ) 9,055... = 99, cm Areal af bund: + (R r) + (4 - ) A π = s = s 8 + = s 8 = s s = 8 = 9,055... cm π Rumfang af keglestub: V = π h (R = r = = 8, cm Overflade i alt: 7,4 cm h R-r + r + R r) Krum overflade af keglestub: O = π (R + r) s h er højden R er den store radius r er den lille radius s er den skrå side skrå side s r R 8 cm 6 cm højde 9 cm Til sidst skal vi sammenligne tallene, og man får, at rumfanget af kruset til venstre er 85, - 47,8 = 7,5 cm større end kruset til højre. Overfladearealerne er næsten lige store, men arealet af kruset til højre er dog 7,4-6, =, cm større end kruset til venstre. Geometri Side 7
Regne baglæns Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang. Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning) som vist herunder. Der findes dog også andre metoder end den viste. Man kan fx prøve sig frem i et regneark. Eksempler på opgaver Find bredden af et rektangel med arealet m og længden 4,8 m. Formlen for arealet af et rektangel er: A = l b Man sætter de kendte tal ind i formlen og regner baglæns (løser en ligning): A = l b = 4,8 b 4,8 = b,5 = b b =,5 m Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m og har længden 45 cm og bredden 80 cm. Rumfangs-formlen lyder: V = l b h For at enhederne kan passe sammen laves 45 cm om til,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m 0,87 =,45 0,80 h 0,87 =,6 h 0,87,6 V = l b h = h 0,75 = h h = 0,75 m = 75 cm Eksempler på opgaver Find arealet af en cirkel der har en omkreds på 44 cm. Der er ingen formel, der direkte forbinder omkreds og areal, men man kan finde radius med denne formel: O = π r 44 6,8 44 = π r 44 = 6,8 r = r r = 7,0 cm Nu findes arealet med formlen: A = π r = π 7,0 = A = π r 5,9 cm Find radius i en cylinder der er 60 cm høj og kan rumme 8 liter. Rumfangs-formlen lyder: V = π r h For at enhederne kan passe sammen laves 60 cm om til 6 dm (husk at liter = dm ). 8 = π r 6 8 = 8,85 r 8 8,85 V = π r h = r 6,6 = r r = 6,6 =,5dm = 5cm Geometri Side 74