BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1
Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t = 0 pumpes der vand ind i poolen med en hastighed på 5 gallon/min. Vandet kommer fra det lokale vandværk og indholder 0,001% klor. Vandet i poolen flyder også ud af poolen med en hastighed på 5 gallon/min. (1 gallon er ca. 3,7854 liter). a) Opstil et kompartmentsdiagram for klormængden (målt i gallon) i poolen. Mængden af klor betegnes k(t). Der flyder 5 gallon/minut vand ind i poolen med en koncentration af klor på 0,001 %: 5 gallon/minut 0, 001 100 = 5 10 5 = 1 20.000 gallon/minut I poolen er der 10.000 gallon vand med en klormængde, der til tiden t er k(t). Der flyder 5gallon/minut vand ud af poolen. 5 gallon/minut k(t) 10.000 = 5 10 4 k(t)gallon/minut = k(t) 2000 gallon/minut 1 20.000 gal/min k(t) 2.000 gal/min k(t) Figur 1 Kompartmentsdiagram for mængden af klor målt i gallon. b) Opstil den tilhørende differentialligning. k (t) = ind ud k (t) = 1 20.000 k(t) 2000 k (t) = 5 10 5 k(t) 5 10 4 2
c) Til at starte med indeholdt poolen 0,01% klor. Hvor mange gallon klor svarer det til? 0,01 % klor i 10.000 gallon vand. 0, 01 100 10.000 = 1 Poolen indeholdt 1 gallon klor. d) Løs differentialligningen med begyndelsesbetingelsen fundet i (c). Differentialligningen er en lineær differentialligning af første orden. Den er inhomogen og har konstante koefficienter. Den fuldstændige løsning til den homogene del af differentialligningen er k (t) hom = 5 10 4 k(t) k(t) hom = C e 5 10 4 t Den partikulære løsning findes ved hjælp af ligevægtsløsningen k(t) part = 0 5 10 5 k(t) part = 5 10 4 k(t) part = 0, 1 Den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning bliver derfor k(t) inhom = k(t) hom + k(t) part k(t) = C e 5 10 4 t + 0, 1 Udfra startsbetingelsen findes konstanten C til: k(0) = C e 5 10 4 0 + 0, 1 k(0) = C + 0, 1 = 1 C = 0, 9 3
Og løsningen til begyndelsesværdiproblemet bliver derfor k(t) = C e 5 10 4 t + 0, 1 e) Hvad vil der ske med klorindholdet i poolen på lang sigt? For t går k(t) hom 0, da e 5 10 4t 0 for t Det betyder at k(t) 0, 1 for t Det giver mening, da 0,1 gallon klor svarer til en klorkoncentration på 0,001 %, hvilket jo er koncentrationen af vandværksvandet, der flyder ind i poolen. Opgave 2 Menneskers kolesterolindhold i blodet varierer temmelig meget fra person til person og er også meget afhængig af kosten. En simpel model for udviklingen af kolesterolkoncentrationen i blodet kunne derfor være baseret på følgende antagelser: 1) Hvert menneske har et naturligt niveau for kolesterolkoncentrationen i blodet, som vi kalder for L mg/dl. Dette niveau svarer til en situation, hvor kosten ikke indeholder kolesterol. 2) Kolesterol optages og udskilles med en hastighed, der er proportional med forskellen mellem det aktuelle og det naturlige niveau. Denne proportionalitetskonstant kan vi kalde for k 1. 3) Kolesterol optages fra føden med en hastighed, der er proportional med kolesterolmængden, der indtages med kosten. Vi ser kun på situationer, hvor indtaget antages at være konstant. Vi kan kalde det E mg/dag. Proportionalitetskonstanten som bestemmer, hvor meget af indtaget, der omsættes til kolesterolkoncentration i blodet, kan vi kalde for k 2. På dette grundlag kan vi opstille følgende kompartmentsdiagram for kolesterolkoncentrationen i blodet hos en given person (se figur 2): 4
k 1 (L c(t)) c(t) k 2 E Figur 2 Kompartmentsdiagram for kolesterolkoncentrationen i blod. a) Gør rede for, hvordan kompartmentsdiagrammet i figur 2 kan opstilles ud fra punkterne (1)-(3). Forskellen mellem det naturlige indhold af kolesterol i blodet L mg/dl og den aktuelle koncentration, c(t) er (L c(t)). Denne forskel er proportional med hastigheden, som kolesterolet optages og udskilles med, v 1, dvs. (L c(t)) v 1 og da k 1 er proportionalitetskonstanten bliver inflowet dermed: (L c(t)) k 1 = v 1 Heraf kan det ses, at hvis den aktuelle koncentration, c(t) overstiger den naturlige koncentration af kolesterol, L, så bliver hastigheden negativ og kolesterolet vil udskilles fra blodet. Kolesterol optages fra føden med en hastighed v 2, der er proportional med indtaget af kolesterol E mg/dag, dvs. E v 2 og da k 2 er proportionalitetskonstanten bliver inflowet dermed: E k 2 = v 2
Kompartmentetsdiagrammet viser den aktuelle koncentration af kolesterol i blodet og de to inflow af kolesterol. b) Opstil den tilhørende differentialligning og redegør for hvilke enheder k 1 og k 2 skal have, når tiden måles i dage. Differentialligningen for kompartmentsdiagrammet, hvor der bliver "holdt øje med"koncentrationen af kolesterol c(t) i mg/dl bliver: c (t) = k 1 (L c(t)) + k 2 E Proportionalitetskonstanten k 1 har enheden [dag 1 ] og k 2 har enhenden [dl 1 ]. I resten af opgaven anvender vi modellen på en person, Kurt, med følgende parametre: L = 140 mg/dl, k 1 = 0, 1 og k 2 = 0, 05. Igennem en længere periode spiser Kurt en kost med et gennemsnitligt kolesterolindhold på 80 mg/dag. c) Find, med disse parametreværdier, den fuldstændige løsning til differentialligningen opstillet i (b). Differentialligningen er en lineær differentialligning af første orden. Den er inhomogen og har konstante koefficienter. Den fuldstændige løsning til den homogene del af differentialligningen er c (t) hom = k 1 c(t) c(t) hom = C e k 1 t c(t) hom = C e 0,1 t Den partikulære løsning findes ved hjælp af ligevægtsløsningen c (t) = 0 c(t) part = (k 1 L + K 2 E) k 1 c(t) part = L + k 2 E c(t) part = 140 + 0, 05 80 0, 1 k 1 = 180 Den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning bliver derfor 6
c(t) inhom = c(t) hom + c(t) part c(t) = C e 0,1 t + 180 d) Hvilket niveau indstiller kolesterolkoncentrationen i Kurts blod sig på? For t går c(t) hom 0, da C e 0,1 t 0 for t Det betyder at c(t) (140 + 0, 05 80 ) = 180 for t 0, 1 e) Analyser modellen for ligevægtspunkter og stabilitet. Modellens ligevægt ligger ved c (t) = 0, hvorfor der må gælde c (t) = k 1 (L c(t)) + k 2 E = 0 c (t) = 0, 1 (140 c(t)) + 0, 05 80 = 0 c(t) = 80 0, 05 0, 1 140 c(t) = 180 Om stabilitetsforholdene kan man sige, at hvis den aktuelle koncentration af kolesterol, c(t) bliver større end koncentrationen ved ligevægt, f.eks. 200 mg/dl, så vil c (t) 0, fordi hvis c (t) = 0, 1 (140 200) + 0, 05 80 = 2 c (t) < 0 Altså 7
c (t) < 0 for c(t) 180 Hvis koncentrationen kommer over ligevægtskoncentrationen, vil c(t) aftage, og der vil være en bevægelse ned mod ligevægtstilstanden. Hvis den aktuelle koncentration af kolesterol, c(t) bliver mindre end koncentrationen ved ligevægt, f.eks. 150 mg/dl, så vil c (t) 0, fordi hvis c (t) = 0, 1 (140 150) + 0, 05 80 = 3 c (t) > 0 Altså c (t) > 0 for c(t) 180 Hvis koncentrationen kommer under ligevægtskoncentrationen, vil c(t) stige, og der vil være en bevægelse op mod ligevægtstilstanden. Ligevægtskoncentrationen er derfor et stabilt ligevægtspunkt. Opgave 3 Betragt differentialligningssystemet x = 2x y = 2x y a) Idet y ikke indgår i den første ligning, er den ikke koblet til den anden. Den første ligning kan altså løses for sig selv. Gør det. x = 2x 8
Denne differentialligning er homogen og har løsningen x = c 1 e 2 t b) Indsæt den fundne løsning for x(t) i differentialligningen for y, og opskriv det nye udtryk for y. Det nye udtryk for y bliver derfor y = 2x y = 2 c( 1 e 2 t ) y y = 2x y = 2c 1 e 2 t y c) Vis at funktionerne (1) : x(t) = c 1 e 2t (2) : y(t) = c 1 2e 2t + c 2 e t hvor c 1 og c 2 er vilkårlige konstanter, løser differentialligningssystemet. Ovenstående ligninger løser differentialligningssystemet, idet den første ligning (1) bliver vs : x = (c 1 e 2 t ) = 2c 1 e 2 t hs : 2x = 2(c 1 e 2 t ) = 2c 1 e 2 t Altså er vs = hs. Og ligning (2) bliver vs : y = ( c 1 2e 2t + c 2 e t ) vs : y = 2 c 1 2e 2t + 1 c 2 e t vs : y = c 1 4e 2t c 2 e t hs : y = 2x y hs : y = 2(c 1 e 2t ) ( c 1 2e 2t + c 2 e t ) hs : y = 2(c 1 e 2t ) + c 1 2e 2t c 2 e t ) hs : y = c 1 4e 2t c 2 e t ) 9
Da vs = hs i ligning 2, er det vist, at begge de foreslåede løsninger var løsninger til differentialligningssystemet. d) Find systemets ligevægtspunkt. Systemets ligevægtspunkter findes hvor både x og y er lig 0. x = 0 2x = 0 x = 0 y = 0 2x = y y = 2x Ligevægtspunktet er derfor punktet (0, 0). e) Indtegn banekurven for ligevægtsløsningen i faseplanen. Banekurven for ligevægtsløsningen bliver derfor kun et enkelt punkt, nemlig punktet (0, 0): y Nulhældningskurven y=2x Banekurven x Nulhældningskurven x=0 Figur 3 Opgave 4 Betragt differentialligningssystemet for x 0, y 0 x = x xy y = y + xy a) Bestem systemets nulhældningskurver. Nulhældningskurverne bestemmes
x = 0 0 = x xy 0 = x(1 y) y = 1 x = 0 y = 0 0 = y + xy 0 = y( 1 + x) x = 1 y = 0 b) Bestem systemets ligevægtspunkt(er). Systemets ligevægtspunkter er hvor nulhældningskurverne skærer hinanden, og er derfor punkterne (0, 0) og (1, 1). c) Indtegn nulhældningskurver og ligevægtspunkt(er) i faseplanen. Systemets nulhældningskurver og ligevægtspunkter indtegnes. y y=1 y=0 (0,0) (1,1) x x=0 x=1 Figur 4 d) Lav en fortegnsanalyse for x og y og vis med pile, hvordan banekurverne forløber i de forskellige områder. Fortegnsanalysen for x og y kan f.eks. laves ved at vælge et punkt i hvert kvadrat. Disse punkter indsættes i differentialligningssystemet og fortegnet for henholdsvis x og y bestemmes: (0, 5; 0, 5) x > 0 y < 0 (2, 2) x < 0 y > 0 (0, 5; 2) x < 0 y < 0 (2; 0, 5) x > 0 y > 0 Derfor kommer banekurverne til at se således ud: 11
y y=1 (1,1) x=1 x Figur 5 e) Forklar hvorfor (x, y) = (1, 0) ikke er et ligevægtspunkt for systemet. Punktet er ikke et ligevægtspunkt, da x 0 12