Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the bird and see what it s doing that s what counts. I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something. Richard P. Feynman Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007. Kapitelnumrene i denne formelsamling svarer til de behandlede kapitler i noterne Statistisk fysik 1. Sammensat af Kristoffer Stensbo-Smidt 10. april 2007
INDHOLD Indhold 1 Indledning 3 1.1 Regneregler.................................... 3 2 Sandsynlighedsfordelinger 3 2.1 Binomialfordeling................................. 3 2.2 Tilstandssum................................... 3 2.3 Multinomialfordeling............................... 5 2.4 Normalfordeling.................................. 5 4 Parameterbestemmelser 5 4.1 Gentagne uafhængige målinger af usikker størrelse.............. 6 5 Prior sandsynligheder 6 5.1 Entropi og information.............................. 6 5.2 Maximal entropi................................. 6 6 Termodynamik 7 6.1 Det kanoniske ensemble............................. 8 6.1.1 Den ideale gas.............................. 8 6.2 Tryk-ensemblet.................................. 8 7 Opsummering af vigtige formler 9 8 Diverse konstanter 9 Indeks 10 Side 2 af 10
1 Indledning 1 Indledning 1.1 Regneregler S. 12-13. P (AB) = P (A + B) P (A + B) = P (A B) P (A I) + P (A I) = 1 P (AB I) = P (A I)P (B AI) = P (B I)P (A BI) P (A + B I) = P (A I) + P (B I) P (AB I) P (A BI) = P (A I) P (B AI) P (B I) (Sumregel) (Produktregel) (Generel sumregel) (Bayes formel) 2 Sandsynlighedsfordelinger 2.1 Binomialfordeling S. 20. N kast med en mønt, hvor netop M giver krone: ( ) N k M (1 k) N M M P (A M I) = ( ) N = M N! M!(N M)! (Binomialfordelingen) (Binomialkoefficienten) hvor k er sandsynligheden for krone. S. 21. Middelværdi: M = M M i P (A M I) i=0 Dvs. summen af produkterne af antal krone og den tilhørende sandsynlighed fundet med binomialfordelingen. Varians: σ 2 = M (M i M ) 2 P (A M I) i=0 Desuden gælder, at σ 2 = M 2 M 2, hvor M 2 = M i=0 M 2 i P (A M I). 2.2 Tilstandssum S. 22. Tilstandssummen er givet ved Z(λ) = e λm = N e λm P (A M I) M=0 F.eks. kan vi finde tilstandssummen for to terninger. Disse terninger kan have samme eller forkellige antal øjne det er i princippet ligegyldigt. Der kan nu være to situationer: Side 3 af 10
2.2 Tilstandssum Enten vil vi analysere hver enkelt terning for sig, eller vi kan se på summen af øjnene. I det første tilfælde skal vi bruge to λ er, dvs. λ 1, λ 2, og derfor tilstandssummen for en multinomialfordeling. I det sidste tilfælde skal vi kun bruge ét λ, idet vi kun kigger på summen af øjnene. I begge tilfælde vil M angive antal øjne. Specielt for binomialfordelingen gælder: Z(λ) = N ( ) N e λm k M (1 k) N M = (ke λ + (1 k)) N M M=0 M = Nk σ 2 = Nk(1 k) (Tilstandssum) (Middelværdi) (Varians) Eksempel 2.1 (Beregning af tilstandssum, middelværdi og varians for et tetraeder) Pænt, symmetrisk tetraeder, én side med 0 øjne, to sider med 1 øje, én side med 2 øjne vi får følgende sandsynligheder: P (antal øjne er 0) = 1 4 P (antal øjne er 1) = 1 2 P (antal øjne er 2) = 1 4 Vi er interesserede i antal øjne i hvert slag altså benytter vi tilstandssummen for en binomialfordeling: Hurtigt tjek: Generelt: Z(λ) = 2 p i øjne e i λ i=0 Altså er det korrekt. Middelværdien og varians beregnes: Vi har: = 1 4 eλ 0 + 1 2 eλ 1 + 1 4 eλ 2 Z(0) = 1 4 + 1 2 + 1 4 = 1 antal øjne = Z (λ) λ=0 = 1 2 eλ + 2 4 λ=0 e2λ = 1 Og: Z (λ) = 1 2 eλ + e 2λ Z (0) = 3 2 = (antal øjne)2 σ 2 = (antal øjne) 2 antal øjne 2 = 3 2 1 = 1 2 Side 4 af 10
2.3 Multinomialfordeling S. 23. Stirlings formel: N! 2πN ( ) N N e 2.3 Multinomialfordeling S. 24. Multinomialkoefficienten er givet ved B(n 1,..., n k ) = N! n 1! n k! Denne angiver antal forskellige kombinationer af N ting. S. 25. Multinomialfordelingen er givet som Tilstandssummen er givet ved P (A(n 1,..., n k ) I) = Z(λ 1,..., λ k ) = Der gælder desuden for det i te udfald: 2.4 Normalfordeling N! n 1! n k! pn 1 1 pn k k n 1,...,n k e λ1n1+ +λ kn k P (A(n 1,..., n k ) I) = (p 1 e λ 1 + + p k e λ k ) N Z(0,..., 0) = 1 S. 26. Også kaldet Gauss-fordeling. n i = Np i (Middelværdi) σ 2 i = n 2 i n i 2 = Np i (1 p i ) p(x µ, σ) = 1 2πσ exp ( ) (x µ)2 2σ 2 hvor µ er middelværdien, σ er spredningen og < x <. Tilstandssummen kan skrives som Z(λ) = 4 Parameterbestemmelser S. 43. Bayes formel: P (T i DI) = } {{ } ➀ e λx p(x µ, σ)dx ( (µ + λσ 2 ) 2 µ 2 ) = exp 2σ 2 P (D T i I) j P (D T ji)p (T j I) } {{ } ➁ P (T i I) } {{ } ➂ (Varians) hvor ➀ kaldes posterior sandsynlighed eller efter-sandsynlighed, ➁ kaldes likelihood, mens ➂ kaldes apriori sandsynlighed eller før-sandsynlighed. Side 5 af 10
4.1 Gentagne uafhængige målinger af usikker størrelse 4.1 Gentagne uafhængige målinger af usikker størrelse S. 49. Ved virkelige målinger er µ og σ ukendte. Antager vi, at vi kender σ, kan µ bestemmes ved 5 Prior sandsynligheder 5.1 Entropi og information S. 69. Entropien er defineret som: µ = x ± σ N, x = 1 N N k=1 x k S(p) = i p i ln p i 5.2 Maximal entropi S. 72. Bonusfact: Maximal entropi opnås, når et system er i ligevægt. Eksempel 5.1 (Bestemmelse af maximal entropi) Vi kender middelværdi µ og varians σ 2 af en fordeling af en kontinuert variabel x. Fordelingen med maximal entropi skal bestemmes. Maximum for følgende funktion skal findes: L(p) = S(p) λ k f k (x i )p i λ 0 p i (5.1) k i i = p i ln p i λ k f k (x i )p i λ 0 p i i k i i f k er informationer, vi har om systemet. Disse bestemmes senere. Ved differentiation fås: p i = e 1 λ 0 e P k λ kf k (x i ) = exp( 1 λ o ) exp( (λ 1 f 1 (x i ) + λ 2 f 2 (x i ))) Dette er en standardomskrivning, som kan ses på side 72. Idet vi har to informationer om systemet (µ og σ 2 ), skal vi bruge to Lagrange-multiplikatorer, λ 1 og λ 2. λ 0 er altid med, da dette er en normeringsfaktor! Nu skal vi finde f 1 og f 2. Vi ved fra teorien, at µ x = i x i p i σ 2 = x µ 2 = i (x i µ) 2 p i Vi kan se fra leddet i f k(x i )p i i (5.1), at der må gælde, at disse f k er må være x i og (x i µ) 2. Vi får da: p i = exp( 1 λ o ) exp( λ 1 x i λ 2 (x i µ) 2 ) = Z 1 exp( λ 1 x i λ 2 (x i µ) 2 ) (5.2) Side 6 af 10
6 Termodynamik Lad os nu tænke tilbage på normalfordelingen. Denne var givet som p(x µ, σ) = 1 ) (x µ)2 exp ( 2πσ 2σ 2 (5.3) hvor netop µ og σ er givet. Giver det nogle gode idéer? Ved at sammenligne (5.2) og (5.3) ses det altså, at Z = e 1+λ 0 = 2πσ 1 + λ 0 = ln( 2πσ) λ 0 = ln( 2πσ) 1 Det ses desuden fra (5.3), at λ 1 = 0, da leddet slet ikke eksisterer i normalfordelingen, og at λ 2 = 1. 2σ 2 S. 73. Entropien kan også udtrykkes som: S = ln Z + k λ k F k, F k = i f k (x i )p i Metode 5.2 (Bestemmelse af maksimum for funktion under bibetingelse) Situation 1: Funktionen, f(x, y), indeholder kun adskilte led med x og y, altså ingen xy-led. Det samme gælder for bibetingelsen g(x, y). 1. Der må gælde, at maximum indtræder, når f(x, y) = λ g(x, y). λ inkluderes, da gradienterne ( kan have forskellige længder og fortegn. Bestem gradienterne og isolér x ) y. 2. Indsæt de fundne x- og y-udtryk i en af ligningerne. Isolér λ. 3. Indsæt dette λ i ( x y) fra før. Dette er maksimum. Situation 2: f(x, y) indholder et xy-led. Bibetingelsen er givet på formen y = ax + b. 1. Indsæt bibetingelsen i f(x, y). Kald denne funktion for g(x). 2. Bestem g (x) = 0. Dette er x-værdien til maksimum. y-værdien findes ved at indsætte x-værdien i bibetingelsen. 6 Termodynamik S. 80. Ensemblerne: Det kanoniske ensemble. Energiens middelværdi, E = U, er kendt. Volumen, V, og partikeltal, N, er konstant. Lagrangemultiplikator: Temperatur, 1/β. Tryk-ensemblet. Middelværdi af energi, E = U, og volumen, V, er kendt. Partikeltal, N, er konstant. Lagrangemultiplikatorer: Temperatur, 1/β, og tryk, p. Store-kanonisk ensemble. Middelværdi af energi, E = U, og partikeltal, N, er kendt. Volumen, V, er konstant. Lagrangemultiplikatorer: Temperatur, 1/β, og kemisk potentiale, µ. Side 7 af 10
6.1 Det kanoniske ensemble 6.1 Det kanoniske ensemble 6.1.1 Den ideale gas S. 82. Vigtigt: Ideale gasser har ingen potentiel energi, da de er i ligevægt! Tilstandssummen er givet som: ( ) 3N 2πm Z = V N 2 h 2 β hvor m er en partikels masse og h er Plancks konstant. Den gennemsnitlige energi er givet ved U = 3N 1 2 β = 3 2 NT Entropien er givet ved S = ln Z + βu = N ln S. 87. Termodynamikkens 1. hovedsætning: S. 88. Arbejdet er givet som: S. 89. Varmekapacitet: S. 90. Helmholtz frie energi: 6.2 Tryk-ensemblet ( V ( 2πm h 2 β du = dw + dq dw = pdv C = 3N 2 F = 1 β ln Z = U T S df = S dt dw ) 3 ) 2 + 3N 2 S. 91. Entropi: S. 93. Entalpien er givet ved: S. 95. Varmefylde: S = ln Z + β(u + pv ) H = U + pv dh = T ds + V dp C p = 5N 2 C V = 3N 2 (Tryk konstant) (Volumen konstant) Bemærk: Tælleren angiver antal frihedsgrader. Disse formler gælder kun ved temperaturer omkring stuetemperatur. S. 97. Gibbs frie energi: G(T, p) = 1 ln Z = U + pv T S β dg = SdT + V dp dw Side 8 af 10
7 Opsummering af vigtige formler 7 Opsummering af vigtige formler Termodynamikkens 1. hovedsætning: du = dw + dq. du er energitilvæksten i systemet, dw er arbejdet, systemet udfører på omgivelserne, og dq er den tilførte varme til systemet. Termodynamikkens 2. hovedsætning: ds 0. Dette er den samlede entropi for system + omgivelser. Idealgasligningen (tilstandsligningen): pv = NT J = Nk B T K = nn A k B T K = nrt K. T J og T K er temperaturen i hhv. joule og kelvin. Indre (kinetisk) energi: U = 3 2 NT J = 3 2 nrt K = 3 2pV. Bemærk! Dette er for en monatomig gas havde det været en diatomig ved normal temperatur, ville det være 5 2 i stedet for 3 2. (Tælleren angiver antal frihedsgrader). Varme: dq = T ds. Desuden: Q = nrt ln V 2 V 1 og S = N ln ( V ( 2πm h 2 β ) 3 ) 2 + 3N 2 (erstat 3/2 med 5/2 for en diatomig gas). Arbejde: dw = pdv. Isoterm proces: P V = konstant. Adiabatisk proces: du = p dv, idet systemet er varmeisoleret fra omgivelserne. Oftere benyttes: P V γ = konstant, hvor γ = Cp C V. Også: V T 1 γ 1 = T V γ 1 = konstant. Husk: γ = 5 3 (monatomig) og γ = 7 5 (diatomig). 8 Diverse konstanter k B = 1, 38 10 23 J/K N A = 6, 02 10 23 mol 1 (Boltzmanns konstant) (Avogadros tal) Side 9 af 10
Indeks arbejde, 8 Bayes formel, 3, 5 bestemmelse af maksimum, 7 binomialfordeling, 3 middelværdi, 3 varians, 3 binomialkoefficient, 3 efter-sandsynlighed, 5 entalpi, 8 entropi, 6 før-sandsynlighed, 5 Gauss-fordeling, 5 Gibbs frie energi, 8 Helmholtz frie energi, 8 ideal gas, 8 kanoniske ensemble, det, 7 likelihood, 5 multinomialfordeling, 5 multinomialkoefficient, 5 normalfordeling, 5 produktregel, 3 Stirlings formel, 5 store-kanonisk ensemble, 7 sumregel, 3 termodynamikkens 1. hovedsætning, 8 tilstandssum, 3 multinomialfordeling, 5 normalfordeling, 5 tryk-ensemblet, 7 varmekapacitet, 8 10