Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet indeholder point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMMER: Side af 9
Opgave (5 point) Et ligningssystem er givet ved x x + x = 7 x + 7x = 5 x x x = 8. Markér det rigtige udsagn heunder. Ligningssystmet har ingen løsninger. Den eneste løsning til systemet er x =, x =, x =. Der er uendelig mange løsninger. En af disse er x =, x =, x =. Løsningsmængden til systemet udgør et underrum af R. Opgave (6 point) Lad W være underrummet af R med basis B = {u, u, u }, hvor 5 u =, u = 5, u =. 7 8 Ved at bruge Gram-Schmidt processen på vektorerne u, u, u, finder man vektorerne v, v, v, som udgør en ortogonal basis for W. Her er v = u. Hvad er vektoren v? Side af 9
Opgave (7 point) To matricer er givet ved 5 A =, B =. 9 8 Fra disse dannes matricerne C = AB og D = A B. (a) ( point). Hvad er størrelsen af matrix C? 7 (b) ( point). Hvad er indgangen c? 8 (c) ( point). Hvad er indgangen d? 7 9 Opgave (8 point) Lad W = Span{v, v, v }, hvor v =, v =, v =. (a) ( point). Hvad er dimensionen af W? (b) (5 point). Hvilken af følgende vektorer ligger i W? Side af 9
Opgave 5 (6 point) En matrix er givet som A = 5. (a) ( point). Hvad er determinanten af A? 5 (b) ( point). Er A en inverterbar matrix? Ja Nej Opgave 6 ( point) [ ] [ ] Lad B = {b, b } være basen for R med b =, b =. Lad desuden T : R R være en lineær transformation. Standard matricen for T er [ ] 5 A =. 6 (a) (7 point). Hvad er matrix repræsentationen [T] B af T relativt til basen B? [ ] [ ] [ ] [ ] 5 (b) ( point). Hvad er egenværdierne for T? og og 5 og Der er ingen Side af 9
Opgave 7 ( point) Lad T : R n R m være en lineær transformation med standard matrix A = 7. 6 (a) ( point). Hvad er værdien af n? (b) ( point). Hvad er værdien af m? (c) ( point). Er T injektiv (en-til-en)? Ja Nej (d) ( point). Er T surjektiv (på)? Ja Nej (e) ( point). Findes der en ikke-nul vektor u således at T(u) =? Ja Nej Opgave 8 (5 point) Betragt matricen Hvad er dens egenværdier? og og og 5 [ ]. og med multipliciteten Der er ingen Side 5 af 9
Opgave 9 ( point) En matrix er givet ved A =. Besvar spørgsmålene herunder. (Bemærk: I spørgsmål (a) og (b) ophæver hver forkert afkrydsning én rigtig afkrydsning.) (a) ( point). Hvilke af følgende vektorer er egenvektorer for A? 8 7 (b) ( point). Hvilke af følgende tal er egenværdier for A? (c) ( point). Er A diagonaliserbar? Ja Nej (d) ( point). Er A inverterbar? Ja Nej Opgave (6 point) Lad A, B og C være 5 5-matricer med det(a) =, det(b) = og det(c) = 7. (a) ( point). Hvad er det(a 5 )? 5 5 5 (b) ( point). Hvad er det(a T BC)? 8 9 9 (c) ( point). Hvad er det(a)? 9 9 5 Side 6 af 9
Opgave ( point) Tre vektorer er er givet ved v =, v =, u = 7, og et underrum er defineret som W = Span{v, v }. (a) ( point). Hvad er prik-produktet v v? 5 8 (b) ( point). Hvad er dimensionen af W? 5 (c) ( point). Hvad er dimensionen af W? 5 (d) ( point). Hvad er den ortogonale projektion af u på W? 6 6 (e) ( point). Hvad er den ortogonale projektion af u på W? 5 Side 7 af 9
Opgave (7 point) En matrix er definiert som A = [ ]. (a) ( point). Hvad er dimensionen af nulrummet Null(A)? 8 (b) (5 point). Hvilken af følgende mængder udgør en basis for Null(A)? 5 6 Opgave ( point) En liste af vektorer er givet ved v =, v =, v =, v =, v 5 =. Hvilke af følgende mængder er lineært uafhængige? (Bemærk: I denne opgave ophæver hver forkert afkrydsning én rigtig afkrydsning.) {v } {v5 } {v, v } {v, v, v } {v, v, v } {v, v 5 } {v, v } {v, v } Side 8 af 9
Opgave ( point) En liste af vektorer er givet som v = 5, v = 9 7, v =, v = 8 9 6, w = 7 Man vil gerne skrive w som en linearkombination af vektorerne v, v, v, v. Følgende indtastes i MATLABs Command Window:. >> A = [ 7; 9 ; - 6 ; - 9 -; 5 7 8 ]; >> rref(a) ans = - - Hvordan kan w skrives som en linearkombination af v, v, v, v? w = v + v v + v w = v + v v v w = v v + v v w kan ikke skrives som en linearkombination af vektorerne v, v, v, v. Side 9 af 9