Bachelor- og kandidatuddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Udvalgte opgaver i sandsynlighedsregning fra Aalen: Innføring i statistkk med medisinske eksempler. 1
Opgave A4. I Statistisk årbok kan en lese at 0.74% av fødslene i 1979 resulterte i dødfødte barn. Anta at en ved et sykehus har 100 fødsler over en periode. Hva er sandsynlighetene for at ingen av barna er dødfødte? (se bort fra erfødsler.) Besvar det samme spørgsmålet for 200 og 500 fødsler. Vi ved P{En tilfældig fødsel i 1979 resulterer i en dødsfødsel}=0.74% =0.0074. Det følger da P{ En tilfældig fødsel i 1979 resulterer i en levende fødsel}=1-0.0074=0.9926. Dvs. P{Ingen fødsler ud af 100 resulterer i en dødsfødsel} =P{Alle 100 fødsler resulterer i levende fødsler} =P{1. fødsel levende og 2. fødsel levende og... og100. fødsel levende}= (pga. uafhængighed) =P{1. fødsel levende} P{ 2. fødsel levende}... P{100. fødsel levende}= (P{En tilfældig fødsel i 1979 resulterer i en levende fødsel}) 100 =0.9926 100 =0.476. På tilsvarende vis nder vi P{Ingen fødsler ud af 200 resulterer i en dødsfødsel}= (P{En tilfældig fødsel i 1979 resulterer i en levende fødsel}) 200 =0.9926 200 =0.226, og P{Ingen fødsler ud af 500 resulterer i en dødsfødsel}= (P{En tilfældig fødsel i 1979 resulterer i en levende fødsel}) 500 =0.9926 500 =0.024. 2
Opgave A5. (Høyland & Walløe, 191) Vi antar at sannsynligheten for guttefødsel er lik 0.5. Hvis vi vet at en familie har tre barn, hva er sannsynligheten for hver av de følgende utsagnene? (a) Minst ett av barna er gutt. (b) Minst to barn er guttere. (c) Nøyaktig en er gutt. (d) Nøyaktig to er gutter. (e) Det er høyst en gutt. (f) Det er ere gutter enn piker. (g) Det er minst en gutt og en pike (h) Den eldste er gutt. (i) Den eldste er en gutt og den yngste er en pike. (a) P{Mindst 1 barn ud af 3 er en dreng} =1-P{Ingen børn ud af 3 er en dreng} =1-P{Alle børn ud af 3 er piger} =1-P{1. barn er en pige og 2. barn er en pige og 3 barn er en pige} =1-P{1. barn er en pige} P{ 2. barn er en pige} P{ 3. barn er en pige} =1-(0.5) 3 =0.75. For at løse de følgende spørgsmål er det en fordel at opremse de () forskellige muligheder for, hvad de 3 fødsler kan resultere i: A: dreng, dreng, dreng B: dreng, dreng, pige C: dreng, pige, dreng D: pige, dreng, dreng E: pige, pige, dreng F : pige, dreng, pige G: dreng, pige, pige H: pige, pige, pige 3
I spm. (a) har vi altså fundet 1 P (H) = 1 1, da alle muligheder er lige sandsynlige. Videre nder vi: (b) P{ Mindst 2 børn er drenge}= P(A og B og C og D)= 4 = 0.5 (c) P{ Netop 1 barn er en dreng}= P(E og F og G)= 3 = 0.375 (d) P{ Netop 2 børn er drenge}= P(B og C og D) = 3 = 0.375 (e) P{ Højst 1 barn er en dreng}= P(E og F og G og H)= 4 = 0.5 (f) P{ Flere drenge end piger}= P(A og B og C og D)= 4 = 0.5 (g) P{ Mindst 1 dreng og 1 pige}= P(B og C og D og E og F og G)= 6 = 0.75 (h) (idet vi regner med, at det ældste barn står først i listen) P{ Ældste barn er en dreng}= P(A og B og C og G)= 4 = 0.5 (i) P{ Ældste barn er en dreng og yngste en pige}= P(B og G)= 2 = 0.25 4
Opgave A9. I en Statistisk årbok for 191 kan en nne følgende opplysninger: Sannsynligheten for at en 65 år gammel mann dør før han fyller 70 år, er 15%. Sannsynligheten for at en 65 år gammel kvinne dør før hun fyller 70 år, er 7.5%. Betrakt et ektepar som er 65 år gamle. Beregn sannsynlighetene for hver av de følgende mulighetene fem år senere: (a) Begge er i live. (b) Konen er i live, men mannen er død. (c) mannen er i live, men konen er død. Diskuter den forudsetningen du må gjøre under beregningen. Lad M={ Manden dør før alder 70 år}; da er P(M)=15% =0.15, og lad K={ Konen dør før alder 70 år}; da er P(K)=7.5% =0.075. Fra Regel 1 ved vi P{ Manden lever mindst til alder 70 år}= P( M)=1- P(M)=0.5, og P{ Konen lever mindst til alder 70 år}= P( 4)=1- P(K)=0.925. (a) P{ Begge er i live ved alder 70 år}= P(M og K)= (hvis M og K er (stokastisk) uafhængige, ifølge Regel 5) = P( M) P(K) =0.5 0.925=0.76. (b) Igen under antagelse af uafhængighed nder vi P{ Konen er i live alder 70, men manden død}= P(K og M)= P(K) P(M) =0.925 0.15=0.13. (c) Tilsvarende P{ Manden er i live alder 70, men konen død}= P(K og M)= P(K) P(M) =0.075 0.5=0.064. Antagelsen om uafhængighed mellem mandens og konens dødelighed er nødvendig for at komme igennem med de i opgaven opgivne størrelser; men antagelsen er kritisk, da det er velkendt, at et dødsfald hos en ægtefælle meget vel kan påvirke den overlevendes overlevelseschance fremover. 5
Opgave A11. (Basert på en ide fra Nielsen, Hilden & Fenger (192).) Ved en fødeavdeling er det trejordmorskift: fras midnatt til kl., fra kl. til kl. 16, fra kl. 16 til midnatt. Ut fra en lang erfaring har en observert at 45% av fødslene skjer under nattskiftet, 20% under dagskiftet og 35% under kveldskiftet. (a) Anta at det et døgn er to fødsler ved avdelingen. Hva er sannsynligheten for at en og samme jordmor må ta seg av begge fødslene? (b) Anta at det er tre fødsler i løpet av ett døgn. Hva er sannsynligheten for at en og samme jordmor må ta seg av begge fødslene? (b) Anta igjen at det er tre fødsler i løpet av ett døgn. Hva er sannsynligheten for at det faller akkurat en fødsel i hvert skift? Vi ved, at en tilfældig fødsel på en tilfældig dag med 45% sandsynlighed sker om natten, med 20% om dagen og med 35% om aftenen. (a) Lad A 1 være skiftet, hvor den ene, lad os kalde den den første fødsel sker, og A 2 er tilsvarende skiftet for den anden. Vi skal nde P (A 1 = A 2 ), og der er tre muligheder: A 1 = A 2 =nat, A 1 = A 2 =dag og A 1 = A 2 =aften. Da de tre muligheder udelukker hinanden (hændelserne er disjunkte), har vi ifølge Regel 2 P(A 1 = A 2 )= P(A 1 = A 2 = nat)+ P(A 1 = A 2 = dag)+ P(A 1 = A 2 = aften) = 0.45 0.45 + 0.2 0.2 + 0.35 0.35 = 0.365. (b) På helt tilsvarende vis nder vi her P( A 1 = A 2 = A 3 )= = P(A 1 = A 2 = A 3 = nat)+ P(A 1 = A 2 = A 3 = dag)+ P(A 1 = A 2 = A 3 = aften) = 0.45 3 + 0.2 3 + 0.35 3 = 0.142. (c) Her skal vi nde sandsynligheden for, at alle tre fødsler sker i forskellige skift. Idet vi nedenfor først giver nummeret på den fødsel, der sker om natten, så nummeret på den om dagen og til sidst nummeret på den om aftenen, er der 6 muligheder (permutationer): A 1, A 2, A 3 A 1, A 3, A 2 A 2, A 1, A 3 A 2, A 3, A 1 A 3, A 1, A 2 A 3, A 2, A 1 Hver af disse muligheder har sandsynligheden 0.45 0.2 0.35 ifølge Regel 6, hvorfor den samlede sandsynlighed ifølge Regel 2 (for mere end 2 hændelser, se side 60 nederst) bliver 6 0.45 0.2 0.35 = 0.19. 6