Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden Start 8:15!!!! Kursusgang: 2 x 45 min forelæsning + opgaveregning Indhold: Groft sagt kapitel 1 til 11 i Newbold Eksamen: Individuel mundtlig efter 7-trins skala Eksamen tager udgangspunkt i et antal opgaver. Software: SPSS
Flyskræk! Passer overskriften? Politiken 6/12-07 Er du tryg ved at flyve? Ja: 86% i 2005 83% i 2007 Er der virkelig sket en ændring eller kunne det lige så godt være tilfældigt? Svaret kommer til sidst i kurset ;-)
Nogle definitioner Population: Mængden af alle individer vi er interesserede i. fx alle virksomheder i DK Parameter: Et deskriptivt mål for populationen (for eksempel middelværdi og varians). fx gennemsnits antal ansatte Stikprøve (sample): Mængde af data taget fra en delmængde af populationen fx 10 tilfældigt udvalgte virksomheder Statistik: Et deskriptivt mål for stikprøven. fx gennemsnits antal ansatte blandt de 10. Variabel: En karakteristik af populationen eller stikprøven fx antal ansatte, omsætning, region, type
Typisk statistisk problemstilling Vi ønsker at udtale os om en population (alle flyrejsende) ud fra en stikprøve (et udsnit af de flyrejsende). Vi vil udtale os om en parameter for populationen (andelen af trygge flyrejsende) ud fra en stikprøve statistik (andelen af trygge flyrejsende i stikprøven). Parameteren er aldrig kendt! Vigtigt: Vi er ligeglade med medlemmerne af stikprøven! Det er populationen vi vil udtale os om!
Lidt om stikprøver Simpel tilfældig stikprøve: Alle medlemmer i populationen har lige stor sandsynlighed for at blive udvalgt til stikprøven Notation: N : Størrelsen af populationen (alle vælgere) n : Størrelsen af stikprøven (antal udvalgte) Population Stikprøve:
Deskriptiv versus inferential statistik Deskriptiv statistik: Metoder til at organisere og præsentere data på en informativ måde. Inferential statistik Omhandler: Estimation, test af hypoteser, analyse af sammenhæng og forudsigelse. Eksempel: Hvad er middel-indkomsten i region nord? Er den større en 300.000?
Deskriptiv Statistik Data består af en eller flere variable, fx højde, køn, alder, favoritfarve for hvert medlem i stikprøven. Hvordan data (de enkelte variable) opsummeres / beskrives afhænger bl.a. datas natur. Hovedopdeling: Kategorisk eller numerisk variabel Kvalitativ variabel: Kategorisk variabel, forskelle giver ikke mening. Kvantitative variable: numerisk variabel, forskelle giver mening.
Kategoriske variable Variable hvis værdi er en kategori, fx. Ryger: Ja, Nej Godt vejr: Meget enig, devis enig,, meget uenig Favoritfarve: Rød, grøn, anden Ordinal kategorisk variabel Kategorierne har en rækkefølge (Godt vejr) Nominal kategorisk variabel Kategorierne har ikke en rækkefølge (Favoritfarve)
Deskriptiv statistik: Kategoriske variable Kategorisk variable opsummeres typisk i et bar plot Højden af baren svarer til frekvensen (dvs. antallet) af medlemmer af hver kategori. Antal Andele Kumulative andele: Andelen af observationer der tilhører denne eller tidligere kategorier.
Numerisk Variabel Variabel der tager en talværdi. Diskret numerisk variabel Variabel kan tage et tælleligt antal værdier Typisk udtryk for et antal Fx. antal forsikring-anmeldelser på en uge Kontinuert numerisk variabel Variabel kan tage alle værdier i et interval Typisk udtryk for noget man kan måle. Fx. Højde, vægt, tid, afstand. Indkomst?
Histogram Numeriske data præsenteres typisk med et histogram Histogrammet inddeler et interval i et passende antal delintervaller For hvert del interval er en kasse, hvis areal er proportional med frekvensen (dvs. antallet) af data i det interval.
Percentiler Det P te percentil er den værdi, hvor P% af data ligger under. Antag vi har en stikprøve med n observationer. Antag observationerne er sorterede. Den P te percentil er (ca) givet ved den (n+1)p/100 te observation. Eksempel: Antag n = 75 og P = 25. Find en værdi, så 25% af data ligger under denne værdi. Løsning: Vælg data punkt nr. 76*25/100 = 19
Kvartiler Kvartiler inddeler data i kvarte. 1., 2. og 3. kvartil svarer til 25., 50., og 75. percentiler. 25% af data ligger under 1. kvartil (Q 1 ) 50% af data ligger under 2. kvartil (Q 2 ) 75% af data ligger under 3. kvartil (Q 3 )
Centralitet og Variation χ χ χ χχ χ χ χ χ χ χχχ χ χ χ 0 0 Centralitet: Mål for hvor data ligger Fx: Median, middelværdi, toppunkt (mode) Variation: Mål for hvor meget data er spredt ud Fx spænd (range), varians, standard afvigelse
Centralitet: Median Medianen er værdien af den midterste observation. Medianen er 50% percentilen og 2. kvartil. n = antal observationer n ulige : Medianen = midterste observation n lige : Medianen = gennemsnit af to midterste obs. medianen medianen? χ χ χχχ χ χ χ χ χχχ χ χ 0 0 Data: 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17 n = 7
Gennemsnit / Middelværdi Populationens gennemsnit (ukendt) (mean) N x x + x + = = 1 1 2 L μ = N N i i + x i er værdien for i te medlem i populationen. μ = my Stikprøve-gennemsnit (sample mean) x x + x + x = = 1 1 2 L = n n = x streg. x n i i + Bemærk: Græske bogstaver betegner det ukendte. x x n N
Gennemsnit: Eksempel Stikprøve-gennemsnit x n x x + x + = = 1 1 2 L = n n i i + x n Stikprøve-gennemsnit x = 7 + 9 + 11+ 12 + 13 + 15 + 17 7 = 12 x =? 0 χ χ χχχ χ χ 0 χ χ χχχ χ χ
Eksempel: Vægt Bemærk at vægt-fordelingen er lidt højre-skæv, dvs. fordelingen hælder til højre.
Variansen Variansen er et mål for variationen. Populationensvariansen (ukendt) σ σ = sigma Stikprøve-varians s ( x ) N 2 i = 1 i μ 2 = 2 De n-1 sikrer at s 2 i gennemsnit er lig σ 2. n N ( x x) i 1 = i= n 1 2
Varians: Eksempel Stikprøve-gennemsnit Stikprøve-gennemsnit s 2 n ( x x) 1 = i= n 1 i 2 s 2 2 2 2 (7 12) + (9 12) + (11 12) + (12 12) = 7 1 11,67 2 + (13 12) 2 + (15 12)? 2 + (17 12) 2 0 χ χ χχχ χ χ? 0 χ χ χχχ χ χ 0 χ χ χχχ χ χ
Standardafvigelsen Standardafvigelsen er kvadratroden af variansen Populationens standard afvigelsen (ukendt) σ Stikprøve-standard afvigelsen ( x ) N 2 i = i μ 2 1 = σ = N ( x x) 2 i 1 s = s = = n 1 n i 2
Sammen middelværdi og varians (ca.)
Chebychevs Sætning Antag vi har en population med middelværdi μ standard afvigelse σ For enhver konstant k > 1 gælder at intervallet μ ± kσ indeholder mindst 100[1-(1/k 2 )]% af populationen. Eksempel: k = 2 100[1-(1/k 2 )]% = 100[1-1/4]% = 75% Dvs. intervallet μ ±2 σ indeholder mindst 75%. For forrige slide (ca.) 0 ± 2* 5 = [ -4.48 ; 4.48 ]
Tommelfinger regel For mange (store) populationer gælder μ ± σ indeholder 68% af populationen μ ±2 σ indeholder 95% af populationen μ -2 σ μ + 2 σ 0 χ χ χχχ χ χ μ
Eksempel: Vægt x 2s x + 2s x ± 2s = 71,05 ± 2 13,92 [43,21; 98.92] x
Sandsynligheder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Udgangspunktet Eksperiment: Handling, der leder frem til et af flere mulige udfald Fx. Kast med en terning Vælg 10 tilfældige virksomheder. Udfald: Observation eller måling Fx: Antal øjne på en terning 10 navngivne virksomheder.
Udfaldsrum Udfaldsrummet er mængden af mulige udfald af eksperimentet, S = {O 1,O 2,,O k } Udfaldene skal være udtømmende Eksempler: Terningkast: S={1,2,3,4,5,6} S={1,2,3,4,5} dur ikke! Møntkast: S={plat, krone} S={plat} dur ikke O i er i te udfald af k mulige. Udfaldene må ikke overlappe Terningkast: S={1,2,3,4,5,6} S={1-2,2-3,3-4,4-5,5-6} dur ikke!
Hændelser En simpel hændelse er et udfald i udfaldsrummet Eksempel: Terningkast en 6 er er en simpel hændelse En hændelse er en mængde af en eller flere simple hændelser i et udfaldsrummet Eksempel: Terningkast A={1,4,6} er en hændelse Hændelser kan indtegnes i et Venn diagram Venn Diagram A 1, 4, 6 2,3,5 S
Sandsynlighed En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten af en usikker begivenhed. Sandsynligheden for en hændelse, A, betegnes P(A) En sandsynlighed er et reelt tal mellem 0 og 1. P(A) = 0 : Hændelsen A sker aldrig P(A) = 1 : Hændelsen A sker altid Ex: Sandsynligheden for regn i morgen er 0,5 Ex: Sandsynligheden for at få 7 rigtige i lotto er 0,000000001
Klassisk Sandsynlighed Antag at alle udfald forekommer med lige stor sandsynlighed. Da er sandsynligheden for en hændelse A givet ved: hvor ( A) N N N A er antal udfald i hændelsen A. N er antal udfald i udfaldsrummet S. P = A Eksempel: Terningkast lige sandsynlighed for alle udfald. Lad A={1,2,4} N A = 3 N = 6 P(A) = 3/6 = 0.5
Regler for sandsynlighed Givet et udfaldsrum S={O 1, O 2,, O k } da skal sandsynlighederne opfylde: 1) For enhver hændelse A i udfaldsrummet S 0 P( A) 1 Dvs. sandsynlighden for en hændelse er et tal mellem 0 og 1. 2) For enhver hændelse A i udfaldsrummet S r P ( A) = P( O ) O A Dvs. sandsynligheden for en hændelse er summen af sandsynlighederne for de simple hændelser indeholdt i A. 3) P(S) = 1 i Dvs summen af sandsynlighederne for alle simple hændelser i ufladsrummet er 1. i
Komplimentærmængden Komplementet af en mængde A, er mængden Ā, der indeholder alle elementer i S, der ikke er i A. Eksempel: S={1,2,3,4,5,6} og A={1,4,6}. Så er Ā={2,3,5} A 1, 4, 6 Ā 2,3,5 S Spørgsmål: Antag vi kender P(A). Find P(Ā) =
Fællesmængden Fællesmængden af A og B, A B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i både A og B A A B 1, 2 3 4, 5 B 6 S Eksempel: A = {1,2,3}, hændelsen at vi slår 1,2 eller 3 øjne. B = {3,4,5}, hændelsen at vi slår 3,4 eller 5 øjne. A B, hændelsen at både A og B indtræffer. A B = {3}
Foreningsmængden Foreningsmængden af A og B, A U B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i A eller B eller begge S A 1, 2 3 4, 5 B 6 A U B Eksempel: A = {1,2,3}, hændelsen at vi slår 1,2 eller 3 øjne. B = {3,4,5}, hændelsen at vi slår 3,4 eller 5 øjne. A B, hændelsen at A og/eller B indtræffer. A B = {1,2,3,4,5}
Spørgsmål Antag vi kender følgende sandsynlighed P(A) P(B) P(A B) Hvad er sandynligheden for A B P(A B ) = A A B 1, 2 3 4, 5 B 6 S
Den tomme mængde Den tomme mængde betegnes Ø P(Ø) = To mængder er disjunkte, hvis fællesmængden A B=Ø A={1,2,3} B={4,5} A B={Ø} A 1, 2, 3 4, 5 6 B S Dvs to disjunkte hændelser ikke kan indtræffe på samme tid (mutually exclusive). Antag A B=Ø. Hvad er da P(A B) =?