KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske signaler teoretisk antages at være af uendelig varighed, og at kendskab til periode af signalet er tilstrækkeligt til en komplet beskrivelse af det. Bemærk, at den givne definition af et periodisk signal også gælder, såfremt man vælger en ny periode, som er et helt multiplum af den oprindelige. Denne flertydighed er naturligvis ubehagelig, men kan dog være bekvem, når man skal betragte signaler, der er sammensat af flere periodiske delsignaler med forskellige perioder. Under sådanne omstændigheder er det af betydning, at forholdet mellem delsignalernes perioder er rationalt, idet det samlede signal ellers ikke er periodisk. I det følgende vil det næsten overalt være forudsat, at perioden er valgt så lille som muligt. 5. Spektrum for periodiske digitale signaler Et periodisk digitalt signal g(n) med perioden kan tænkes opstået ved en periodisk gentagelse af på hinanden følgende værdier af signalet. Betragter man disse signalværdier som et nyt signal g p (n) med endelig energi, kan man skrive g(n) = g p (n) δ(n q). (5.2) Heraf følger umiddelbart, at G(f) = G p (f) T q= m= δ(f m ), (5.3) T hvor g p (n) T G p (f) (se kap. 4.4.2). Spektret for et periodisk digitalt signal indeholder altså også δ-funktioner, ligesom spektret af et periodisk analogt signal gør. Afstanden mellem disse δ-funktioner er, som det ses, et helt multiplum af ( T ), og deres styrke afhænger af, T og af værdien af g p (n) s spektrum ved de relevante frekvenser. De viste udtryk er selvfølgelig også gyldige i de tilfælde, hvor g p (n) blot fortolkes som et vilkårligt digitalt signal med endelig energi. Man får g(n) = g p (n q). (5.4) q= Betingelsen er naturligvis altid opfyldt for digitale signaler.
Af udtrykket for G(f) ovenfor, findes at g(n) = fg G p (f) 2f g f g T m= δ(f m T )ej2πfn T df. (5.5) Da f g = (2 T ), omfatter integrationen kun δ-funktioner og, da G p (f) er periodisk med perioden 2f g, kan udtrykket reduceres til g(n) = G m p( T )ejm 2π n. (5.6) Indføres heri G(m) = G p( m T ), får man g(n) = G(m)e jm 2π n. (5.7) Det periodiske signal g(n) s komplekse spektrum G(m) kan da bestemmes af G(m) = g(n)e jm 2π n. (5.8) Denne sammenhæng mellem signalet g(n) og dets spektrum G(m) går under betegnelsen den diskrete fouriertransformation 2. G(m) kan skrives på formen G(m) = Re(G(m)) + jim(g(m)) = G R (m) + jg I (m) (5.9) = A g (m) exp(jφ g (m)), hvor A g (m) er signalets amplitudespektrum og φ g (m) dets fasespektrum. Om reelle periodiske digitale signaler kan man let vise, at G R (m) og A g (m) er lige funktioner af m og, at G I (m) og φ g (m) er ulige funktioner af m. At det periodiske signal g(n) har spektret G(m), vil i det følgende blive udtrykt symbolsk på formen eller, hvis man ønsker at undgå misforståelser, på formen g(n) G(m) (5.) g(n) G(m). (5.) 5.. Regneregler for fouriertransformationspar Tabel 5., side 4, rummer en sammenstilling af regneregler for periodiske digitale signaler og deres spektre. Også disse regler kan let udledes af relationerne mellem g(n) og G(m). Det antages her i lighed med tidligere, at g(n) er reel, og dette har til følge, at G(m) = G ( m). (5.2) 2 Faktoren ses undertiden anbragt i udtrykket for g(n). Herved får man imidlertid ikke umiddelbart så enkel og analog fremstilling af de spektrale forhold for analoge og digitale signaler. 2 Kapitel 5. Digitale periodiske signaler
En opspaltning af et vilkårligt periodisk digitalt signal i en lige del g l (n) og en ulige del g u (n) er naturligvis mulig, og man får umiddelbart g l (n) g u (n) G R (m) jg I (m). (5.3) Som det fremgår af tabellen, findes der en symmetriregel for diskrete fouriertransformerede, således som det også er tilfældet ved analoge signaler med endelig energi (se kap. 2.2.2). Derimod har hverken tidstransformation eller differentiation nogen mening for periodiske digitale signaler. Frekvensforskydningsreglen giver i den form, den er anført, et komplekst signal. Dette kan der selvfølgelig rådes bod på efter følgende recept: g(n) cos(m 2π n) 2 (G(m + m ) + (G(m m )). (5.4) Bemærk i øvrigt, at selv om størrelsen T er forsvundet fra udtrykkene for g(n) og G(m), er det stadig således, at de frekvenser, hvor det periodiske signal har spektrale komponenter, er hele multipla af ( T ). Parsevals formel fremkommer, når identiteten q= G (q)g 2 (m q) = g (n)g 2 (n)e jm 2π n (5.23) betragtes under betingelserne g (n) = g 2 (n) = g(n) og m =. Dette giver g 2 (n) = G(m) 2. (5.24) Et digitalt periodisk signals samlede effekt p kan altså beregnes af p = g 2 (n) = G(m) 2. (5.25) Dets RMS-værdi er defineret som ved periodiske analoge signaler RMS{g(n)} = p. (5.26) 5.2 Spektret af nogle basale periodiske signaler Ligesom det er tilfældet ved signaler med endelig energi, er det nyttigt at kende spektret af visse basale signaler med endelig effekt. Dette spektrum kan enten formuleres i fourierrækkesammenhæng eller ved anvendelse af δ-funktioner. Den sidstnævnte metode giver dog teoretiske vanskeligheder ved sådanne begreber som amplitudespektrum, fasespektrum og signaleffekt, da kvadratet på en δ-funktion ikke er en tilladt operation (jf. kap. 2.6.). 5.2. Spektret af nogle basale periodiske signaler 3
Regneregler for reelle periodiske digitale signaler g(n) G(m); g (n) G (m); g 2 (n) G 2 (m).. Linearitetsreglen ag (n) + bg 2 (n) ag (m) + bg 2 (m) (a og b konstanter). (5.5) 2. Symmetrireglen G(n) g( m). (5.6) 3. Tidstransformationsreglen er ikke relevant. 4. Reglen om skift af tidsaksens retning g( n) G( m) = G (m). (5.7) 5. Reglen om forskydning af tidsaksens nulpunkt g(n + n ) G(m)e jm 2π n (n en heltallig konstant). (5.8) 6. Reglen om forskydning af frekvensaksens nulpunkt g(n)e jm 2π n G(m + m ) (m en heltallig konstant). (5.9) 7. Differentiationsreglen er ikke relevant 8. Foldningsreglen g (q)g 2 (n q) G (m)g 2 (m) (5.2) q= g (n)g 2 (n) q= G (q)g 2 (m q). (5.2) Parseval: g 2 (n) = G(m) 2. (5.22) Tabel 5.: Regneregler for reelle periodiske digitale signaler 4 Kapitel 5. Digitale periodiske signaler
5.2. Spektret af en ren tone Det digitale rentonesignal er givet ved udtrykket 3 g(n) = a cos(2πn/ + θ), (5.27) hvor a, og θ er positive konstanter. Det ses straks, at perioden skal være et helt tal, såfremt periodicitetsbetingelsen g(n + ) = g(n) skal være opfyldt for alle n. Dette betyder, at ikke alle frekvenser kan realiseres. De mulige frekvenser f q beregnes af hvor q er et helt tal > 2. Signalets spektrum G(m) beregnes af f q = q T, (5.28) G(m) = a cos( 2π 2π n + θ)e jm n (5.29) således, at G(m) = { 2 ae±jθ, m = ± ellers. (5.3) Som nævnt i kap. 4.6.2, er der ækvivalens mellem det digitale rentonesignal og det analoge rentonesignal med samme frekvens. Det digitale DC-signal er givet ved, at g(n) har samme konstante værdi a for alle n. Dets spektrum er { a for m = G(m) = (5.3) ellers. 5.2.2 Spektret af et periodisk firkantsignal Det periodiske digitale firkantsignal g(n) med perioden er givet ved g(n) = { a for n for n (5.32) har spektret eller G(m) = a G(m) = ae jm 2π n (5.33) sin(mπ /) sin(mπ/) e jmπ( )/, (5.34) se figur 5.. Som det ses, adskiller dette spektrums form sig noget fra formen af det analoge firkantsignals spektrum. Dette er en naturlig følge af, at der ikke er ækvivalens mellem de to signaler, da det analoge signals spektrum ikke er båndbegrænset. Det til et digitalt firkantsignal svarende ækvivalente analoge signal kan ses på figur 5.2. Bemærk i øvrigt, at g(n) kun kan blive en lige funktion af n, såfremt signalets varighed er et ulige tal. 3 Bemærk, at det digitale rentonesignal strengt taget kun eksisterer, når = 4 og θ = eller ± π, da den trigonometriske 2 funktions værdier kun er rationale for disse argumenter. 5.2. Spektret af nogle basale periodiske signaler 5
g(n)/a.5 3 2 2 3 4 5 6 7 n G(m) /a.2. 5 5 5 5 m 2 Arg G(m) 2 5 5 5 5 m Figur 5.: Spektrum for periodisk digital firkant. g(n)/a.8.6.4.2.2 2 n g(t)/a.8.6.4.2.2 2 t/t Figur 5.2: Periodisk digital firkant og ækvivalent analogt signal. 6 Kapitel 5. Digitale periodiske signaler