Ugeopgave i matematik, 4.-10. klassetrin, 1. årgang, juni 2014

Ugeopgave i matematik, 4.-10. klassetrin, 1. årgang, juni 2014 Ugeopgaven i matematik består af følgende fem opgaver: 1. Pascals trekant 2. Trekanter 3. Brev til forældre om matematik 4. Didaktiske problemstillinger 5. Begrebskort Du skal udarbejde en skriftlig besvarelse af alle fem opgaver. Besvarelsen af alle fem opgaver skal afleveres i en samlet fil på portalen. Besvarelsen er skriftlig og må ikke indeholde videoklip, screencasts eller lignende. Opgave 1: Opgaven består af flere delopgaver. Du skal svare på alle delopgaverne. Sideantal: 5200-7800 anslag. Opgave 2. Opgaven består af flere delopgaver. Du skal svare på alle delopgaverne. Sideantal: 5200-7800 anslag. Opgave 3: Sideantal: 1300-2600 anslag. Opgave 4: Opgaven består af fire forskellige problemstillinger. Du skal vælge at arbejde med én af problemstillingerne. Sideantal: 2600-5200 anslag. Opgave 5: Opgaven skal udarbejdes i værktøjet CmapTools eller i et andet program, hvor du har mulighed for at skrive relationen mellem begreber. Du må gerne diskutere opgaverne med andre, men du skal aflevere en individuel besvarelse, som du selv har skrevet. Hvis du har udarbejdet noget af din besvarelse sammen med andre, skal det fremgå tydeligt, hvilke dele af besvarelsen det handler om. Din besvarelse afleveres elektronisk på portalen senest tirsdag den 10. juni 2014 kl. 14.00. Vejledning: Du har mulighed for at få vejledning undervejs. Din underviser informerer nærmere om, hvordan det konkret foregår på dit hold. 1

1. Pascals trekant I det følgende skal du arbejde med Pascals trekant på mange forskellige måder. Til sidst skal du udarbejde nogle opgaver til elever, hvor du bruger din viden om Pascals trekant til at stille spørgsmål, der vil give eleverne mulighed for at udvikle både deres færdigheder og matematiske kompetencer. Blaise Pascal (1623-1662) var en fransk videnskabsmand, matematiker, teolog og filosof. Han er fadder til det, som i dag kaldes Pascals trekant. Kineserne havde dog allerede i 1300-tallet opstillet en trekant mage til, men det var Blaise Pascal, som opdagede dens sammenhæng med forskellige matematiske områder. Figuren herunder viser et uddrag af Pascals trekant. 1.1. Forklar, hvordan du kan fremstille Pascals trekant, og udfyld de første 16 rækker. Du skal ikke aflevere din udfyldte del af Pascals trekant. Brug evt. bilag 1. 2

1.2. Undersøg, hvilke talmønstre du kan finde i Pascals trekant. Du kan fx farvelægge forskellige tabeller og talfølger. Det kan være en hjælp at tage kopier af den udfyldte Pascals trekant og farvelægge forskellige tabeller og talfølger på hver sin kopi. Måske nedenstående illustrationer kan give dig ideer. Du skal aflevere illustrationer og beskrivelser af mindst fire forskellige talmønstre. Blå: 11 0. Gul: 11 1. Grøn: 11 2. Fortsætter det? Hvordan? Undersøg, produktet af hjørnetallene i de små trekanter. Gælder det også andre steder i trekanten? 1.3. Undersøg, hvilket mønster summen af tallene i hver række vokser efter. Du skal argumentere for, at dette mønster fortsætter. 3

Pascals trekant har en sammenhæng til de såkaldte polygonale tal (trekant-, firkant- femkanttal osv.) 1.4. Fremstil et skema som det ovenstående, (tegningerne behøver ikke at være med). Udfyld dit skema, og forklar, hvordan du kan finde/beregne nogle af de polygonale tal i Pascals trekant. Hint: Undersøg diagonalerne i Pascals trekant. 1.5. Omskriv følgende regneudtryk til led ved at gange parenteserne ud. Du skal skrive dine mellemregninger ind i besvarelsen. Hvilken sammenhæng er der mellem de omskrevne regneudtryk og Pascals trekant? ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 4

Ovenstående opgaver viser, at der kan knyttes forskellige undersøgelser og problemstillinger til Pascals trekant. 1.6. Du skal formulere to konkrete opgaver med delspørgsmål, der tager udgangspunkt i Pascals trekant, til elever på et selvvalgt klassetrin inden for 4. - 10. klassetrin. 1.7. Diskuter, hvad eleverne får mulighed for at lære gennem arbejdet med dine opgaver fra opgave 1.6. I din diskussion skal du inddrage Fælles Mål 2009, faghæfte 12, og redegøre for, hvilke konkrete læringsmål for arbejdet med de konkrete opgaver du vil opstille hvilke differentieringsmuligheder dine opgaver rummer. 5

2. Trekanter Figur 1 viser en trekant, ABC, og to linjestykker, m og n, der er parallelle med trekantens ene side, b. Linjestykkerne m og n inddeler siden a i tre lige store dele og siden c i tre lige store dele. De to linjestykker, m og n, inddeler trekanten i tre lag. Figur 1 2.1. Hvor stor en brøkdel udgør trekantens farvede lag af hele trekanten? Du skal begrunde dit svar. Forestil dig, at trekanten inddeles i et andet antal lag end tre med linjestykker, der er parallelle med siden b. Linjestykkerne skal fortsat tegnes, så de inddeler siderne a og c i lige store dele. 2.2. Undersøg, hvilke antal lag trekanten kan være inddelt i, for at det er muligt at farve netop halvdelen af trekantens areal ved at farve nogle af de lag, som linjestykkerne inddeler trekanten i. Du skal argumentere for den sammenhæng, du finder frem til. Forestil dig, at en vilkårlig trekant fortsat inddeles i et antal lag med linjestykker, der er parallelle med siden b. Linjestykkerne skal fortsat tegnes, så de inddeler siderne a og c i lige store dele. Med udgangspunkt i lagene kan trekanten inddeles i et antal kongruente trekanter. Figur 2 viser et eksempel på en trekant delt i to lag med et linjestykke parallelt med siden b. Trekanten er yderligere inddelt i kongruente trekanter. Figur 3 viser et eksempel på en trekant delt i tre lag med to linjestykker parallelle med siden b. Trekanten er yderligere inddelt i kongruente trekanter. Figur 2 2.3. Undersøg, hvordan antallet af kongruente trekanter vokser, når antallet af lag i trekanten vokser. Hvor mange kongruente trekanter findes der i en trekant med n lag? 6 Figur 3

2.4. Udarbejd et arbejdsark til elever inden for 4. - 10. klassetrin, der giver dem mulighed for at undersøge og opdage nogle af sammenhængene fra opgave 2.1-2.3. 2.5. Du skal udarbejde en lærervejledning til dit arbejdsark fra opgave 2.4, der indeholder en vejledning til, hvordan arbejdskortet lever op til udvalgte trinmål fra Fælles Mål 2009, faghæfte 12. et forslag til, hvilke konkrete læringsmål læreren kan have for arbejdet med dit arbejdsark en beskrivelse af, hvordan elever kan tænkes at arbejde med arbejdskortet. Hvad er dine intentioner? Hvordan vil du fx organisere og differentiere undervisningen? en diskussion af, hvordan ræsonnements- og kommunikationskompetencen kan styrkes i elevernes arbejde med dit arbejdsark. Som inspiration kan du læse artiklen Fra min 6. klasse af Annette Lilholt. Artiklen giver et eksempel på, hvordan en matematiklærer har udarbejdet konkrete læringsmål på baggrund af trinmål fra Fælles Mål 2009, faghæfte 12 samt hendes beskrivelse af et geometriforløb. Inspiration: Lilholt, A. (2014): Fra min 6. klasse. I: MATEMATIK, nr. 3, s. 4-6. 7

3. Regnetricks En studerende kom med følgende problemstilling: Hvis jeg vælger tre naturlige tal mellem 1 og 9, udregner summen af alle de to tocifrede tal, det er muligt at skrive ved hjælp af tallene (uden at bruge det samme tal to gange) og dividerer med summen af tallene, så bliver resultatet altid 22. Det er da mærkeligt. Eksempel: De tre naturlige tal 1, 3 og 4 vælges. (43 + 34 + 41 + 14 + 31 + 13) : (4 + 3 + 1) = 176 : 8 = 22 3.1. Vis to andre eksempler på, at resultatet bliver 22 under de givne forudsætninger. 3.2. Bevis, at resultatet altid bliver 22 under de givne forudsætninger. En anden studerende kom med følgende problemstilling: Når man skal gange to tocifrede tal, kan man finde resultatet ved først at finde kvadratet af tallenes sum og dernæst at trække kvadratet af tallenes differens fra og dividere resultatet med 4. Hvordan kan det være? Eksempel: 41 23 = 943 41 23 = ( ) ( ) 3.3. Vis to andre eksempler, hvor du multiplicerer to tocifrede tal med hinanden på samme måde som vist i eksemplet. 3.4. Bevis, at regnemetoden altid gælder, når du skal multiplicere to tocifrede tal med hinanden. 8

4. Brev til forældre om matematik Læs artiklen Matematikundervisning på forældremødet af Thomas Kaas. Artiklen er en fortælling om en matematiklærers erfaringer med forældresamarbejde omkring matematik. I Fælles Mål, faghæfte 12, s. 6-7 står der, at eleverne skal deltage i udvikling af metoder til multiplikation og division på baggrund af egen forståelse. Forestil dig, at du skal i gang med et undervisningsforløb på et selvvalgt klassetrin inden for 4. - 10. klassetrin med fokus på division. 4.1. Skriv et brev til din klasses forældre, hvor du forsøger at skabe gyldighed for din matematikundervisning. Brevet skal bl.a. indeholde en redegørelse for, hvordan du vil arbejde med division hvorfor du arbejder på den måde du gør. Du skal inddrage Fælles Mål, faghæfte 12 i din argumentation konkrete eksempler på, hvordan forskellige elever kan tænke og arbejde med division. 9

5. Didaktiske problemstillinger Du skal fordybe dig i én af følgende problemstillinger ved at læse forskellige didaktiske tekster. Du kan vælge at bruge nogle af teksterne, som er foreslået herunder, men du kan også inddrage tekster, som du selv vælger. Du skal på 2600-5200 anslag redegøre for og diskutere forskellige vinkler på den valgte problemstilling. Problemstillinger: 5.1. Hvilken betydning har det for elevernes mulighed for læring i matematik, at læreren opstiller tydelige mål for undervisningen og formidler dem til eleverne? 5.2. Hvilke grunde kan der være til, at nogle elever ikke er motiverede for at lære matematik? 5.3. Hvordan kan elever arbejde med sammenhænge mellem brøker, decimaltal og procent på en måde, så de får mulighed for at udvikle forståelse for sammenhænge og ikke blot lærer regneregler udenad? 5.4. Diskuter, hvordan digitale værktøjer som et dynamisk geometriprogram og/eller regneark kan være med til at kvalificere elevers læring i matematik. Litteraturforslag: Til 5.1: Lilholt, A. (2014): Fra min 6. klasse. I: MATEMATIK, nr. 3, s. 4-6. Lilholt, A. (2013): Fælles Mål - et godt redskab! I: MATEMATIK, nr. 5, s. 4-6. Nielsen, B. (2013): Læringsmål og læringsmåder, kap. 2. København: Gyldendal. Skott, Jeppe, Kristine Jess og Hans Christian Hansen (2008): Matematik for lærerstuderende: Delta: Fagdidaktik, kap. 8. Frederiksberg: Samfundslitteratur. Teglskov, R. (2013): Pejlemærker i matematikundervisningen. I: MATEMATIK, nr. 5, s. 8-13. Undervisningsministeriet (2009): Fælles mål, 2009, faghæfte 12, matematik. Til 5.2: Alrø, H. m.fl. (2009): Matematik er noget, man bruger til at lave lektier med. I: MONA, 2, s. 7-20. Lindhart, B. (2014): Man bliver ikke bedre til matematik ved at klatre i træer http://www.folkeskolen.dk/540379/man-bliver-ikke-bedre-til-matematik-ved-at-klatre-i-traeer Skaalvik, E. M. (2007): Selvopfattelse og motivation. Om betydningen af selvopfattelse i teorier om motivation. I: KVAN, 87, s. 44-55. Skovsmose, O. m.fl. (2003): Modstandsbevægelsen - hverdagens helte i matematikundervisningen. I: Kan det virkelige passe? Om matematikundervisning, s. 103-119. L & R Uddannelse. 10

Thorén, M. (2009): Matematik för matematik. I: Nämnaren, 2, s. 57-61. http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/5761_09_2.pdf Undervisningsministeriet (2009): Fælles mål, 2009, faghæfte 12, matematik. Til 5.3: Beck, H.J., Jørgensen, A., og Petersen, L.Ø. (2008): Matematik for lærere: Grundbog 1A. København: Gyldendal. (MFL 1A). Ejersbo, L. R. & Steffensen, B. (2013): Børns læring og læsning i matematik. I: Læsning i matematik, kap. 1. Eriksen, D. (2000): Den sproglige dimension. I: Undervisning i matematik, s. 29-59. Kroghs Forlag. Hansen, H. C. m.fl. (2007): Matematik for lærerstuderende. Ypsilon, basisbog, bind 1. Forlaget Samfundslitteratur. Hansen, H. C. m.fl. (2013): Matematik for lærerstuderende. Tal, algebra og funktioner. 4. - 10. klassetrin. Forlaget Samfundslitteratur. Hiebert, J. (2003): Signposts for teaching mathematics through problem solving. I: Lester, F. K. (Ed.): Teaching mathematics through problemsolving, Grades K-6, s. 53-62. Resten, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Small, M. (2009): Why and How to Differentiate Math Instruction. I: Good Questions. Great Ways to Differentiate Mathematics Instruction, s. 1-14. Reston: NCTM. Undervisningsministeriet (2009): Fælles mål, 2009, faghæfte 12, matematik. Lusten att lära - med fokus på matematik. Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002. http://www.skolverket.se/om-skolverket/visa-enskildpublikation?_xurl_=http%3a%2f%2fwww5.skolverket.se%2fwtpub%2fws%2fskolbok%2fwpubext %2Ftrycksak%2FRecord%3Fk%3D1148 Til 5.4: Gynther, K. (2010): Folkeskolens lærermiddelkultur under pres. I: Didaktik 2.0. Akademisk Forlag. Misfeldt, M. (2013): Mellem læringspotentiale og skuffelse - et bud på en it-didaktik for matematik. I: Håndbog om matematik i grundskolen, s. 416-430. København: Dansk Psykologisk Forlag. Misfeldt, M. (2009): Matematisk modstand. I: Asterisk, 48, s. 13-15. http://edu.au.dk/fileadmin/www.dpu.dk/viden/temaeraaa/laeringsspil/udgivelser_asterisk_asterisk -nrx2e-48-september-2009_20090831160803_asterisk_48_s13-15.pdf Nabb, K. A. (2013): CAS som omstruktureringsredskab i matematikundervisningen. I: Matematik - lærereksamen. Forberedelsesmateriale - aldersspecialisering mod mellem- og sluttrin, s. 11-22. Teglskov, R. (2012): Geogebra allerede i indskolingen, MATEMATIK, 4, s. 8-12. Undervisningsministeriet (2009): Fælles mål, 2009, faghæfte 12, matematik. 11

6. Begrebskort 6.1. Udarbejd et begrebskort om kommunikation i matematikundervisningen med værktøjet CmapTools (http://cmap.ihmc.us/download/) eller et lignende værktøj, hvor du har mulighed for at skrive relationen mellem begreber. I artiklen Begrebskort, matematik og evaluering (Skipper-Jørgensen, 2007) kan du læse om anvendelsen af begrebskort og se eksempler på begrebskort udarbejdet med værktøjet CmapTools. Nedenstående er en liste over litteratur om kommunikation i matematikundervisningen, som du kan tage udgangspunkt i. Inspiration: Alrø, H. (1999): En nysgerrigt undersøgende matematikundervisning. I: Skrift nr. 3, s. 1-14. (Artikelbasen) Eriksen, D. (2000): Den sproglige dimension. I: Undervisning i matematik, s. 29-59. Kroghs Forlag. Skott, Jeppe, Kristine Jess og Hans Christian Hansen (2008): Matematik for lærerstuderende: Delta: Fagdidaktik, kap. 7. Frederiksberg: Samfundslitteratur. Skipper-Jørgensen (2007): Begrebskort, matematik og evaluering. I: Miller, T. m.fl.: Evaluering og test i matematik, s. 23-36. Vejle: Kroghs Forlag. Staples, M & Colonis, M. (2007). Making the Most of Mathematical Discussions. I: Mathematics Teacher, Vol. 101, 4, s. 257 261. Findes på http://teachingmathforlearning.wikispaces.com/file/view/mathematical+discussions.pdf 12

Bilag 1 13