Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Afstanden mellem to punkter 2 3 Afstanden mellem et punkt og en linje 4 4 Afstanden mellem et punkt og en plan 7 5 Afstanden mellem to vindskæve linjer 8 6 Afstande mellem andre objekter 11 6.1 To parallelle linjer.................... 11 6.2 En linje og en plan................... 11 6.3 To parallelle planer................... 11
Resumé I dette dokument udleder vi formler for afstande mellem de basale rumlige objekter: Punkter, Linjer og Planer. 1 Introduktion Ikke så meget snak, vi skal i gang med nogle beviser. :) Forudsætninger For at forstå beviserne i dette dokument skal du kende til almindelig vektorregning med tredimensionelle vektorer, herunder krydsproduktet. Du bør også være fortrolig med de objekter som vi arbejder med: Punkter, linjer og planer herunder de forskellige måder at beskrive sådanne objekter på og de forskellige begreber som er knyttet til dem, såsom retningsvektorer og normalvektorer. Desuden er det en god ide at have prøvet at bruge formlerne i praksis først. side 1
2 Afstanden mellem to punkter Vi starter med den simpleste, men også den mest fundamentale sætning. Denne sætning er også bevist i dokumentet om vektorer i rummet, men vi tager beviset med her for fuldstændighedens skyld. Sætning 1 Hvis og P = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) Q = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) er to punkter i det tredimensionelle koordinatsystem, så er afstanden imellem dem givet ved: P Q = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Bevis. Vi trækker en lodret linje igennem begge punkter (se figur 1). Disse linjer skærer xy-planen i punkterne: og P xy = (x 1 ; y 1 ) Q xy = (x 2 ; y 2 ) Ifølge afstandsformlen i planen (som i virkeligheden bare er en anvendelse af Pythagoras sætning) er afstanden mellem disse to punkter: d 1 = P xy Q xy = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Nu trækker vi et linjestykke (med rødt på figur 2) som er parallelt med xy-planen, og som går fra P, vinkelret ind til den lodrette linje gennem Q. Det sted hvor vi skærer den lodrette linje gennem Q kaldes for R. Hermed opstår en retvinklet trekant, hvor den ene katetes side 2
Figur 1: længde er d 1 beregnet ovenover. Den anden katetes længde er ganske enkelt forskellen på P og Q s z-koordinater: RQ = z 2 z 1 Hypotenusen i den retvinklede trekant er den afstand som vi er ude efter, og den må ifølge Pythagoras læresætning opfylde: P Q 2 = (d 1 ) 2 + RQ 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + z 2 z 1 2 Eftersom z 2 z 1 er opløftet i anden potens, er den nummeriske værdi overflødig. Dvs. P Q 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 dvs. P Q = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 side 3
Figur 2: 3 Afstanden mellem et punkt og en linje Til beviset for denne formel får vi brug for en sammenhæng mellem længden af krydsproduktet af to vektorer og vinklen imellem dem. Denne sammenhæng er bevist i dokumentet om tredimensionelle vektorer, så vi tager den bare med som en hjælpesætning (et lemma ) uden bevis her: Lemma 2 Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, og β er vinklen imellem dem, så gælder at: Dette kan også skrives som: v w = v w sin(β) sin(β) = v w v w side 4
Sætning 3 (Afstand fra punkt til linje) Hvis P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) er et punkt i det tredimensionelle koordinatsystem, og L er en linje hvorpå vi kender et punkt: Q = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) og hvortil vi har en retningsvektor r = r 1 r 2 r 3 så er den vinkelrette afstand fra P til L givet ved: dist(p, L) = P Q r r Bevis. Situationen er skitseret på figur 3, hvor P er angivet med en blå prik, og Q med en grøn prik, mens L er indtegnet med blåt. Hvis vi tegner et linjestykke fra P vinkelret ind til L (med sort på figur 3), opstår der en retvinklet trekant, hvor det sorte linjestykke er en af kateterne. Det er længden af dette linjestykke vi ønsker at beregne. Lad os kalde den x. Hypotenusen i den retvinklede trekant (det røde linjestykke) har samme længde som den forbindende vektor imellem P og Q. Desuden er vinklen, α, som det røde linjestykke danner med L i side 5
Figur 3: punktet Q den samme 1 som vinklen β mellem P Q og r. Derfor er: sin(α) = sin(β) = P Q r r P Q Men fra teorien om retvinklede trekanter ved vi at: sin(α) = x P Q Hvis vi holder disse to beregninger op mod hinanden, kan vi se at: P Q r dvs. x P Q = r P Q x = P Q P Q r r P Q = P Q r r 1 Dette er kun rigtigt i halvdelen af tilfældene. Den anden halvdel af gangene vender retningsvektoren den forkerte vej, og derfor bliver α lig med 180 β. Heldigvis er sin(β) = sin(180 β) så konklusionen holder også i disse tilfælde. side 6
4 Afstanden mellem et punkt og en plan For at bevise denne formel, vil vi gøre brug af teorien om projektion af en vektor på en anden. Igen er dette gennemgået i dokumenterne om vektorer, så vi tager blot det vigtigste resultat med som en hjælpesætning her: Lemma 4 Hvis v og w er to trediemensionelle vektorer, så er projektionen af v på w givet ved vektoren: ( ) v w v w = w w 2 Sætning 5 (Afstand fra punkt til plan) Hvis P er et punkt i rummet, og α er en plan, hvorpå vi kender et punkt, P 0 samt en normalvektor: n, så er den vinkelrette afstand fra P til α givet ved: dist(p, α) = P P 0 n n Bevis. Situationen er skitseret på figur 4, hvor P er indtegnet med blåt, mens P 0 og α begge er indtegnet med grønt. Den afgørende indsigt kan man få hvis man nu forestiller sig normalvektoren n indtegnet fra punktet P. Dermed kommer den til at pege i samme retning som det sorte linjestykke som går fra P vinkelret ned til planen. Indsigten er nu at: side 7
Figur 4: Det sorte linjestykke har samme længde som projektionen af P P 0 på n. Det er lige præcis er længden af det sorte linjestykke vi er ude efter. Den kan altså beregnes som længden af projektionen: ( P P0 ) n = P P 0 n n n 2 P P = 0 n n 2 n = P P 0 n n 5 Afstanden mellem to vindskæve linjer Den sidste formel viser sig at være en konsekvens af den foregående. side 8
Sætning 6 (Afstand mellem to linjer) Hvis L 1 og L 2 er to vindskæve linjer i rummet, hvortil vi kender et punkt, som ligger på hver af dem: og P 1 L 1 P 2 L 2 samt en retningsvektor for hver af dem: r 1 og r 2, så er den korteste afstand imellem de to linjer givet ved: dist(l 1, L 2 ) = P 1 P 2 ( r 1 r 2 ) r 1 r 2 Bevis. Situationen er skitseret på figur 5 hvor de to vindskæve linjer er indtegnet. Det afgørende trick er at indse at hvis man beregner krydsproduktet af de to linjers retningsvektorer: r 1 r 2 så får man en vektor som er vinkelret på begge disse retningsvektorer. Hvis man bruger denne vektor som normalvektor for to planer, nemlig en som indeholder P 1 og en som indeholder P 2, så vil de to linjer løbe i hver sin af disse to planer. (Se figur 6.) Nu kan den korteste afstand mellem de to linjer beregnes som afstanden mellem de to planer. Og dette kan gøres (se også afsnit 6.3) ved at beregne afstanden fra P 1 til den plan som indeholder P 2 og har r 1 r 2 som normalvektor. Denne afstand får vi direkte fra sætning 5 til: P 1 P 2 ( r 1 r 2 ) r 1 r 2 side 9
Figur 5: Figur 6: side 10
6 Afstande mellem andre objekter 6.1 To parallelle linjer Hvis man har to parallelle linjer i rummet 2, så kan man beregne den vinkelrette afstand imellem dem ved blot at vælge et punkt på den ene linje, og så beregne afstanden herfra til den anden linje. 6.2 En linje og en plan Hvis man har en linje og en plan som ikke skærer hinanden 3, så kan man beregne den vinkelrette afstand imellem dem ved at vælge et punkt på linjen, og så beregne afstanden herfra til planen. (Bemærk at det virker fordi alle punkter på linjen vil have samme afstand til planen.) 6.3 To parallelle planer Hvis man har to planer som er parallelle 4, så kan man beregne den vinkelrette afstand imellem dem ved at vælge et punkt i den ene plan, og så beregne afstanden herfra til den anden. 2 Det kan man undersøge om de er ved at tjekke om deres retningsvektorer er parallelle f.eks. ved at se om krydsproduktet af dem giver nulvektoren. 3 Det kan man undersøge om de gør ved f.eks. at sætte linjens parameterfremstillingen ind i en ligning for planen og se om der er nogen værdier af parameteren som får planens ligning til at blive opfyldt. 4 Det kan man undersøge om de er ved at finde en normalvektor for hver af dem, og derefter undersøge om disse normalvektorer er parallelle f.eks. ved at se om krydsproduktet af dem giver nulvektoren. side 11