Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt, forløbet af grafen og faktoropløsning At introducere programmet TI InterActive! (TII) og at o Tegne grafer for funktioner o Indføre en slider ( skyder ) for at kunne variere koefficienter i polynomier o Løse ligninger, herunder to ligninger med to ubekendte o Kunne bestemme maksima og minima grafisk o Kunne ekspandere ( gange ud ) og faktorisere samt sætte på fælles brøkstreg o Kunne bestemme nulpunkter grafisk og med kommandoen zeros o Kunne bestemme skæringspunkter mellem to grafer, såvel grafisk (intersection) som med kommandoen solve Omfang Modulerne 20/10, 23/10, 27/10 og 29/10. Den 30/10 arbejdes med afleveringsopgaver til 3/11. Relevante sider i bogen Siderne 11-31 og 34-39. De vigtigste begreber og sætninger findes på de følgende sider i kopi. Arbejdsform Selvstændigt arbejde ved egen PC. Om nødvendigt kan detaljer diskuteres helt eller delvist på klassen, evt. med demonstration af programmet. Det er dit eget ansvar, at du får lavet alle de øvelser, der står på de følgende sider. Af hensyn til skriftlig eksamen er det af stor betydning, at du bliver fortrolig med programmet. Side 1 af 10

Modul 1 Bogen giver på s. 18 følgende vigtige definition Definition 3.1: Parabel En parabel er grafen for en funktion af typen y = ax 2, a 0 Punktet (0,0), der kaldes parablens toppunkt, deler den i to grene Øvelse 1. Åbn TII. Tegn graferne for de parabler, der er vist på s. 18 i bogen. Det kan fx gøres sådan: Tryk på Graph-ikonen (se nedenfor), skriv forskrifterne som vist, tryk close og dernæst på ikonen Save to Document Herefter ser dokumentet sådan ud (Se også bogen s. 38) Math Box Alle formler skrives i en math box. Tryk CTRL + m for at åbne en sådan. Side 2 af 10

Øvelse 2. Stemmer graferne med bogens påstand om, at parabelgrenene vender op eller ned afhængigt af fortegnet af a? Øvelse 3. I TII skal du prøve at lave en slider. Dette er en smart måde at variere værdien af a. Gør fx som vist nedenfor. Tryk herefter på Enter for at vende tilbage til dokumentet. Tegn herefter grafen for ax 2, hvor du kan variere værdien af a med slideren. Husk at skrive a*x^2, ikke ax^2 PARALLELFORSKYDNING AF PARABLER Kurver, der fremkommer af de ovennævnte parabler ved såkaldt parallelforskydning, er også parabler, fordi de har nøjagtig samme kurveform. Øvelse 4. Tegn graferne for de tre parabler, som er beskrevet i Eksempel 3.3. Øvelse 5. Tegn grafer for parabler af formen ax 2 + k, hvor både a og k kan varieres med hver deres slider. Varier k. Konklusion? Øvelse 6. Tegn graferne for de tre parabler, som er beskrevet i Eksempel 3.4 Øvelse 7. Tegn grafer for parabler af formen a(x ) 2, hvor både a og kan varieres med hver deres slider. Varier. Konklusion? Øvelse 8. Tegn grafer for parabler af formen a(x ) 2 + k, hvor både a, k og kan varieres med hver deres slider. Konklusion? Sammenlign med bogens kommentar øverst s. 22. Side 3 af 10

Øvelse 9. (Forlængelse af øvelse 8) Ud for hver slider opretter du en math-box (tryk CTRL+m), skriv heri navnet på den variabel, som hører til slideren. Det kan fx se ud som vist nedenfor. Sætning 3.5: Hjælpesætning Grafen for en funktion af typen f x = a x 2 + k er en parabel med toppunkt (, k). Øvelse 10. Bestem koordinaterne til toppunktet: a. Dobbeltklik på grafen b. Klik på Calculate Minimum (eller Maximum, afhængig af din graf) c. Tryk på Calculate d. Sammenlign værdierne af og k med det netop fundne resultat e. Sammenlign med bogens Sætning 3.5 Hvis du mangler én eller flere øvelser i dagens program, er dette lektie til næste gang. Hvis du har tid i overskud, skal du starte med programmet for modul 2. Side 4 af 10

Modul 2 Bogen definerer andengradspolynomier på følgende måde: Et andengradspolynomium er en funktion af typen f x = ax 2 + bx + c, hvor a 0. Fx er f x = 2x 2 + 3x 4 et andengradspolynomium. Nedenfor vil vi se, at grafen for et andengradspolynomium altid er en parabel. I det følgende vil vi se på to funktioner, nemlig (a 0): f x = ax 2 + bx + c og g x = a x 2 + k. Formålet er at vise, at f kan omskrives, så udtrykket kommer på samme form som g, dvs. at man kan finde og k ud fra forskriften for f, sådan at f x = g(x) Dermed indser vi, at grafen for f er en parabel og desuden finder vi formler til at bestemme toppunktet. Øvelse 11. I første modul fandt du ud af, at grafen for g er en parabel med toppunkt (, k). Gang parentesen i g ud pr. håndkraft og skriv udtrykket for g. Øvelse 12. I TII skal du lave samme udregning. Definer g og brug kommandoen expand. Sammenlign med resultatet fra øvelse 11. Du taster sådan: g(x) := a*(x - h)^2 + k expand(g(x)) Forklar i ord, hvad kommandoen expand gør. Øvelse 13. Sammenlign resultaterne fra øvelse 11 og 12 med andengradspolynomiet. Hvis der skal gælde, at f x = g x, hvad må så b og c være lig med? (Der er hjælp i bogen, hvis du har brug for det) Øvelse 14. Bestem nu og derefter k (brug solve) og sammenlign dit resultat med bogens Sætning 3.6 Sætning 3.6: Grafen for et andengradspolynomium Grafen for et andengradspolynomium, dvs. en funktion af typen f x = ax 2 + bx + c, hvor a 0, er en parabel med toppunkt: T p = b 2a, d 4a hvor d = b 2 4ac er polynomiets diskriminant. = b 4ac b2, 2a 4a, Side 5 af 10

Man kan også løse problemet i den modsatte rækkefølge, som vi nu skal se. Øvelse 15. Vi vil dog først i ét hug bestemme og k, sådan at f og g stemmer overens i to punkter, fx i x = 1 og i x = 2. Det svarer til at løse to ligninger med to ubekendte. Undersøg, om f og g med ovenstående værdier af og k stemmer overens helt generelt, dvs. om f x g x = 0. Konklusion? Vi vil til slut prøve en anderledes metode. Øvelse 16. Tegn grafen for f x = 2x 2. Beregn f( 2) og f 2. Beregn f( 17) og f 17. Beregn f(x) og f( x). Har den observerede symmetri mon noget at gøre med parablens toppunkt? Øvelse 17. Tegn nu grafen for f x = 3x 2 2x 1. Synes der at være en tilsvarende symmetri her? Prøv evt. med et par andre andengradspolynomier. Øvelse 18. Næste skridt er at vise, at grafen for f x = ax 2 + bx + c ligger symmetrisk omkring en x-værdi, som vi kalder. Dette gøres ved at løse ligningen f + q = f q, uanset værdien af q. Denne ligning udtrykker jo, at f er symmetrisk om. Brug hertil solve: solve(f(h+q)=f(h-q),h). Hvilken værdi af får du? Sammenlign med Sætning 3.6. Øvelse 19. Beregn funktionsværdien = f b. NB: husk parentes rundt om 2a. Sæt 2a resultatet på fælles brøkstreg, fx som vist. Sammenlign med Sætning 3.6. Øvelse 20. Indsæt dine fundne udtryk for og k i udtrykket a x 2 + k, hvis graf du kender (det er jo en parabel). Skriv evt. expand(ans). Hvad får du? Konklusion? Øvelse 21. Find selv på et andengradspolynomium og bestem toppunktet. Find selv på et toppunkt, find ligningen for det tilhørende andengradspolynomium. Du har i dette modul vist, at man kan starte med f x = ax 2 + bx + c og omskrive det til g x = a x 2 + k, og du har fundet og k (dvs. toppunktets koordinater). Du har også vist, at man kan starte med g og omskrive det til f. Dermed har du vist: grafen for et andengradspolynomium er en parabel (øv. 11-14), og kun andengradspolynomier har parabler som grafer (øv. 20). Hvis du mangler én eller flere øvelser i dagens program, er dette lektie til næste gang Side 6 af 10

Modul 3 Igen starter vi med en definition fra bogen: Definition 3.9: Nulpunkt Ved en rod eller et nulpunkt (eng. zero) for en funktion forstås en x-værdi for et skæringspunkt mellem grafen og x-aksen, dvs. en x-værdi, der giver y = f x = 0. Øvelse 22. Afgør ved aflæsning, hvilke rødder funktionen f har: Bogen angiver en generel definition af et polynomium af grad n, dvs. en generalisering af ovenstående. Definition 4.1: n tegradspolynomium f x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 er et n tegradspolynomium, hvis a n 0. Tallene a n, a n 1,, a 2, a 1, a 0 kaldes polynomiets koefficienter. Øvelse 23. Brug kommandoen zeros til at bestemme rødderne i følgende polynomier af grad 4 du skriver zeros(f(x),x) osv.: f x = x 4 + 1, g x = x 4 + 5x 3 + 6x 2 4x 8, x = x 4 + 5x 3 + 3x 2 9x, k x = x 4, j x = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24. Tegn også graferne for funktionerne og check de fundne rødder. Ser du noget mønster? Side 7 af 10

Øvelse 24. Nedenfor ser du graferne for 3 andengradspolynomier. Bestem i hvert af tilfældene fortegnene for a, b og c: Øvelse 25. Når to grafer skærer hinanden, har de i skæringspunkterne samme x og y værdier. Tegn graferne for f x = 3x 3 + 6x 2 3x 6 og g x = 5x + 3. Brug Calculate/Intersection til at bestemme skæringspunkterne. Læg mærke til, at værdien Guess kan ændres manuelt. Prøv at gøre det og tryk så på Calculate. Hvad sker der? Hvor mange skæringspunkter kan du finde på denne måde? Øvelse 26. Bestem nu skæringspunkterne ved brug af solve(f(x)=g(x),x). Hvor mange skæringspunkter finder programmet? Side 8 af 10

Bogen omtaler s. 28 opløsning af et andengradspolynomium i faktorer: Sætning 3.15: Opløsning i faktorer Et andengradspolynomium med ikke-negativ diskriminant og rødder r 1 og r 2 kan omskrives således: ax 2 + bx + c = a x r 1 x r 2 Man siger, at andengradspolynomiet er blevet opløst i faktorer. Hvis d = 0, er r 1 = r 2, og polynomiet har en såkaldt dobbeltrod. Bogen giver ikke noget bevis, men det er heldigvis let med TII: Øvelse 27. Bevis for sætning 3.15. a. Bestem rødderne for andengradspolynomiet ax 2 + bx + c ved brug af solve. b. Skriv: exptolist(ans,x) c. Skriv: r:=ans (herved gemmer TII de to løsninger som r[1] og r[2]) d. Skriv: a*(x - r[1])*(x - r[2]) (svarende til højre side i Sætning 3.15) e. Skriv: expand(ans) (kan du forklare, hvad programmet gør?) f. Hvad er din konklusion? g. Mon noget tilsvarende gælder for polynomier af grad 3, 4 osv.? Øvelse 28. Programmet kan også faktorisere direkte med kommandoen factor. Prøv at faktorisere polynomiet 3x 2 3x 6 (eksempel 3.16): factor(3*x^2 3*x 6). Øvelse 29. Se på eksempel 3.17. Find herefter ud af, om brøkerne f x = 3x2 + 3x 36 x 3, g x = 4x2 + 4x 8 x 2 x 2, x = x2 x x kan forkortes. Tegn graferne læg mærke til, om graferne for f og har huller! Hvorfor bør de have det? (Hint: prøv at beregne f(3) eller (0) ) Sætning 3.20: Nulreglen Et produkt er nul, hvis og kun hvis en af faktorerne er nul Øvelse 30. Løs øvelse 3.22 hertil behøves TII dog ikke Nulreglen er ofte guld værd, når man regner opgaver uden hjælpemidler (UHM) Hvis du mangler én eller flere øvelser i dagens program, er dette lektie til næste gang. Side 9 af 10

Modul 4 Øvelse 31. Giv eksempler på polynomier af grad 0, 1, 2, 3 og 4. Skitser graferne. Angiv i hvert tilfælde antallet af rødder (fx ved brug af zeros eller factor). Sætning 4.4: Højst n rødder Et n tegradspolynomium har højst n rødder. Stemmer dette overens med det, du fandt ovenfor? Øvelse 32. Vis, at følgende polynomium af grad 10 kun har 2 rødder: 2x 10 4x 9 18x 8 + 24x 7 + 78x 6 36x 5 174x 4 48x 3 + 144x 2 + 128x + 32 Strider dette imod Sætning 4.4? Forklar hvorfor/hvorfor ikke. Hint: Eksempel 3.18 s. 29. Du kan nu gå i gang med aktiviteten s. 38-39. De 5 opgaver udgør afleveringssættet til 3/11, der naturligvis skal laves i TII. Side 10 af 10