Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f er en funktion fra A til B eller f er en afbildning mellem A og B skrives f : A B Mængden A kaldes funktionens domæne eller definitionsmængde. Mængden B kaldes funktionens codomæne eller dispositionsmængde. Delmængden (billedet) f (A) B som er givet ved f (A) = {y B y = f () for et eller andet A} kaldes værdimængden eller billedmængden til f. (y B). Funktioners egenskaber f(a) a B{ Funktioners egenskaber y y f(b) y = f() f f(a) A b Kan du huske hvad A, B og f (A) hedder? Er dette en funktion? Hvorfor eller hvorfor ikke?
Funktioners egenskaber y y = f() Funktioners egenskaber To funktioner f og g er lig hinanden, hvis og kun hvis 1. f og g har samme definitionsmængde, og 2. f () = g() for alle i definitionsmængden. En funktion h : A C er sammensat af funktionerne f : B C og g : A B, hvis h() = (f g)() = f (g()). En funktion er injektiv eller én-til-én, hvis f ( 1 ) = f ( 2 ) 1 = 2. Er dette en funktion? Hvorfor eller hvorfor ikke? Lad f : A B være en injektiv funktion, da er den inverse funktion f 1 : f (A) A defineret ved for alle y f (A). f 1 (y) = y = f () De elementære funktioner Eksempel (polynomium): En kemisk reaktion Polynomielle funktioner f () = a + a 1 + a 2 2 + + a n n (a n ). Rationelle funktioner f () = p()/q() (q() ). Potensfunktioner f () = r (r R). Eksponentialfunktioner f () = a (a R + \{1}). Logaritmiske funktioner f () = log a () (inverse af a ). Trigonometriske funktioner f () = sin, f () = cos, f () = tan (eksempler på periodiske funktioner). Følgende er formlen for en kemiske reaktion hvor A og B er molekyler. A + B AB, Lad [A] være koncentrationen af A. Lad [B] være koncentrationen af B. Reaktionshastigheden R er proportional med koncentrationen af de respektive reaktanter: R [A][B]. Lad k være proportionalitetsfaktoren, så har vi R = k[a][b].
Eksempel (polynomium): En kemisk reaktion Følgende er formlen for en kemiske reaktion Vi definerer nu følgende: A + B AB. R = k[a][b]. a er startkoncentrationen for A. b er startkoncentrationen for B. er koncentrationen af molekylet AB Da fås: for a og b. [A] = a, [B] =b Indsættes i udtrykket for reaktionshastigheden, får vi R() = k(a )(b ) =k(ab a b + 2 ) = k 2 k(a + b) + kab, hvilket er et eksempel på et polynomium af 2. grad. Eksempel (polynomium): En kemisk reaktion Følgende er formlen for en kemiske reaktion A + B AB. R() = k(a )(b ). Vi vælger som eksempel: k = 2, a = 2, b = 5. Grafen for R: R r 25 2 15 1 5 R() = 2(2 )(5 ).5 1 1.5 2 Eksempel (rationel funktion): Monod-vækstfunktionen En model til at beskrive en organismes vækst. Væksten beskrives med en per capita vækstrate r. Organismens vækst begrænses af en form for næring N. Hvis tilstrækkelig mængde næring er til rådighed, går vækstraten mod et mætnings-niveau a. Dette er en egenskab, der kan beskrives med en rationel funktion: r(n) = an k + N, hvor k kaldes halvmætningskonstanten, fordi r(k) = a/2. Denne vækstmodel blev beskrevet af nobelpristageren Jacques Monod i 4 erne. Eksempel (rationel funktion): Monod-vækstfunktionen En model til at beskrive en organismes vækst. Væksten beskrives med en per capita vækstrate r. Organismens vækst begrænses af en form for næring N. Hvis tilstrækkelig mængde næring er til rådighed, går vækstraten mod et mætnings-niveau a. a (k, a/2) N r(n) = an/(k + N)
Eksempel (potensfunktion): Allometriske relationer Potensfunktioner anvendes ofte til skalering i biologi. Eksempler: Stofskiftet skalerer med kropsvægt i potensen 3/4. Radius af aorta skalerer med kropsvægt i potensen 3/8. Cirkulationstiden skalerer med kropsvægt i potensen 1/4. Dette kaldes allometriske relationer og beskrives matematisk med potensfunktioner: y = k r, hvor r er potensen og k kaldes normaliseringskonstanten. Eksempel (eksponentialfunktion): Ubegrænset vækst Bakterier formerer sig ved celledeling. Under ideelle forhold kan celledeling ske hvert 2. minut. Populationen kan altså fordoble sig selv hvert 2. minut. Lad os betragte delingstiden som 1 tidsskridt. Bakteriernes antal N til tiden t følger derved ligningen N(t + 1) = 2N(t). Eksponentialfunktionen opfylder ligningen idet N(t) = 2 t, t =, 1, 2,... N(t + 1) = 2 t+1 =2 2 t =2N(t). Kilde: Perspektiv, 3. årgang, nr. 2, side 2, 24. Eksempel (eksponentialfunktion): Ubegrænset vækst Bakterier formerer sig ved celledeling. Under ideelle forhold kan celledeling ske hvert 2. minut. Populationen kan altså fordoble sig selv hvert 2. minut. Lad os betragte delingstiden som 1 tidsskridt. Bakteriernes antal N til tiden t følger derved ligningen N 35 3 25 2 15 1 5 N(t + 1) = 2N(t). N(t) = 2 t 1 2 3 4 5 t Eksempel (eksponentialfunktion): Radioaktivt henfald Radioaktive isotoper, såsom kulstof 14 (C 14 ), bruges til aldersbestemmelse. C 14 dannes højt i atmosfæren og henfalder til N 14 (nitrogen). I atmosfæren er der ligevægt mellem C 14 og C 12 (kulstof 12). Planter optager og omdanner CO 2 molekyler fra atmosfæren med ligevægtsforhold mellem C 14 og C 12. Når planter dør, stopper deres optag af CO 2. Derefter henfalder de radioaktive C 14 isotoper eksponentielt. Lad W (t) være mængden af C 14 til tiden t, med W = W (), da har vi: W (t) = W e λt, hvor λ kaldes henfaldskonstanten (decay rate) og e er det naturlige grundtal for eksponentialfunktionen (ep() = e ).
Eksempel (eksponentialfunktion): Radioaktivt henfald Radioaktive isotoper, såsom kulstof 14 (C 14 ), bruges til aldersbestemmelse. Lad W (t) være mængden af C 14 til tiden t, med W = W (), da har vi: W (t) = W e λt, hvor λ kaldes henfaldskonstanten (decay rate) og e er det naturlige grundtal for eksponentialfunktionen (ep() = e ). W W (T h, W /2) t W(t) = W e λt Eksempel (logaritmisk funktion): DNA nukleotidudskiftning DNA-sekvenser udvikler sig fra generation til generation. Nukleotider er DNA-sekvensens byggesten. Der findes 4 typer: A (Adenin), T (Thymin), C (Cytosin) og G (Guanin). En måde DNA kan udvikle sig på, er ved udskiftning af ét nukleotid med et andet. Antag at der ved udskiftning til et nyt nukleotid er lige stor sandsynlighed for alle 4 typer. Måske er det nye nukleotid af samme type som det oprindelige. Ved sammenligning af 2 DNA-sekvenser kan man kun se, hvad der er forskelligt. Brøkdelen af nukleotider som er forskellige kaldes p. For at bedømme hvor lang tid siden det er, at 2 DNA-sekvenser havde samme forfader, skal vi kende den egentlige brøkdel af nukleotidudskiftninger K. Eksempel (logaritmisk funktion): DNA nukleotidudskiftning DNA-sekvenser udvikler sig fra generation til generation. Brøkdelen af nukleotider som er forskellige kaldes p. For at bedømme hvor lang tid siden det er, at 2 DNA-sekvenser havde samme forfader, skal vi kende den egentlige brøkdel af nukleotidudskiftninger K. Charles Cantor har i 1969 beskrevet følgende matematiske model til at finde K, når man kender p: K = 3 ( 4 ln 1 4 ) 3 p, hvor ln er den naturlige logaritme, som er den inverse af ep. ep(ln a) =a, a = ep( ln a), log a = ln ln a. Eksempel (logaritmisk funktion): Logaritmisk skala Ribosom Syfilisvirus Bakterie Bjørnedyr Menneske Blåhval Jordens diameter Afstand fra jorden til solen -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 log (længde) [længde i meter] En (1-tals) logaritmisk skala angiver, hvad 1 skal opløftes i for at man får den rigtige afstand. Semilog plot betyder logaritmisk skala på den ene akse. Dobbelt-log plot betyder logaritmisk skala på begge akser. Hvis en funktion er en ret linie i et semilog plot, så er det en eksponentialfunktion. Hvis en funktion er en ret linie i et dobbelt-log plot, så er det en potensfunktion.
c Eksempel (trigonometrisk funktion): Ammoniakudledning Trigonometriske funktioner er specielt gode til at beskrive periodiske fænomener. En periodisk funktion gentager sig selv efter en periode a, d.v.s. f ( + a) = f (), for alle. F.eks. kan ammoniakkoncentrationen c i en sø ændre sig periodisk (p.g.a. sæsonvariation i udledning fra landbruget): c(t) = 1 + 1 sin(2π(t 4/52)). 2 Eksempel (trigonometrisk funktion): Ammoniakudledning Trigonometriske funktioner er specielt gode til at beskrive periodiske fænomener. En periodisk funktion gentager sig selv efter en periode a, d.v.s. f ( + a) = f (), for alle. F.eks. kan ammoniakkoncentrationen c i en sø ændre sig periodisk (p.g.a. sæsonvariation i udledning fra landbruget): c(t) = 1 + 1 sin(2π(t 4/52)). 2 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t Kilde: Atmosfærisk deposition 23. Faglig rapport fra DMU, nr. 519, s. 33, Miljøministeriet, 24.