Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Transkript

1 Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 17. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Potensfunktioner Godt at vide om dem Potensudviklinger Hvor forekommer de? Eksponentialfunktioner Godt at vide om dem Eksponentielle udviklinger Fordoblingskonstant og halveringskonstant Hvor forekommer de? Den naturlige eksponentialfunktion Logaritmer Godt at vide om dem En høne er ikke en fugl Den naturlige logaritme Hvor forekommer de? Logaritmeregnereglerne Smarte anvendelse af logaritmer Løsning af ligninger Beregning af fordobling og halveringskonstanter Beregning af de andre logaritmer

3 Resumé I dette dokument ser vi på hele tre funktionsfamilier, nemlig potensfunktioner, eksponentialfunktioner og logaritmer. Vi ser på den naturlige eksponentialfunktion og logaritme, på sammenhænge mellem de tre funktionstyper og på et par nært beslægtede funktionstyper. 1 Introduktion Vi skal nu se på tre forskellige funktionsfamilier. De bliver gennemgået i en meget velovervejet rækkefølge Forudsætninger For at læse dette dokument bør du være ret fortrolig med funktionsbegrebet, og du skal vide hvordan man tegner grafer for funktioner. Desuden skal vi bruge potensregnereglerne hele tiden, så dem må du også hellere have i nærheden 1 mens du læser. 1 Du kan finde en oversigt over potensregnereglerne her side 1

4 2 Potensfunktioner Den første funktionstype kan man næsten gætte hvad er ud fra navnet. Det er en type funktioner som du sikkert allerede kender en masse af. Definition 1. En potensfunktion er en funktion, f, som er givet ved en forskrift af typen: f(x) = x a hvor a kan være et hvilket som helst reelt tal. Eksempel 2. De nemmeste potensfunktioner at forstå er dem hvor a er et naturligt tal. Du kender sikkert allerede følgende potensfunktioner meget godt: f(x) = x 2 og g(x) = x 3 h(x) = x 1 = x En potensfunktion er altså en funktion som opløfter i en (fast) potens. Bemærk at de fleste polynomier ikke er potensfunktioner, men at de består af flere forskellige potensfunktioner som er ganget med hver sin konstant og lagt sammen. Potensfunktioner kan dog noget som polynomier ikke kan, fordi vi kan opløfte i potenser som ikke er naturlige tal. Nogle af de allervigtigste potensfunktioner fremkommer på denne måde: Eksempel 3. Reciprokfunktionen er også en potensfunktion. Den er nemlig givet ved: f(x) = x 1 = 1 x side 2

5 Kvadratrodsfunktionen er også en potensfunktion. Den er nemlig givet ved: g(x) = x 1 2 = x Faktisk er alle rødder potensfunktioner. Kubikroden, f.eks: h(x) = x 1 3 = 3 x Bemærk at dette er et godt sted tidspunkt til at holde op med at tænke på potenser som at ting er ganget med sig selv. Det giver jo ingen mening at tage enten 1 eller 1 kopier af x og gange dem med 2 hinanden. Husk at de facts som står i sidste eksempel ganske enkelt er definitioner af hvad potenser betyder når de ikke er naturlige tal. Og det kan skam blive endnu værre: Eksempel 4. Man kan også lave helt tossede potensfunktioner. F.eks kan vi sagtens vælge a = 22 og definere potensfunktionen f ved: 7 f(x) = x 22 7 Hvis man så lige husker sine definitioner, så ved man at dette er den samme funktion som: f(x) = x 22 7 = 7 x 22 Det bliver helt vildt hvis vi vælger a til at være et irrationelt tal, f.eks. g(x) = x π Faktisk er der stor sandsynlighed for at du ikke aner hvad dette betyder. Det er nemlig meget svært at definere hvad potensopløftning i en irrationel potens skal betyde. Men for nu at gøre dette eksempel under 50 sider langt, håber jeg at du er tilfreds med følgende forklaring. side 3

6 Men kan ikke umiddelbart definere hvad x π skal betyde. Men vi kan hurtigt lave funktionen: Og vi kan også lave funktionen: og funktionen: g 1 (x) = x 3,14 = x = 100 x 314 g 2 (x) = x 3,141 = x = 1000 x 3141 g 3 (x) = x 3,1415 = x = x Hvis du forestiller dig alle disse (uendeligt mange) funktioner stillet op ved siden af hinanden, så er g(x) = x π på en måde den funktion som er ude for enden af den uendeligt lange kø. Dette er mere korrekt end man skulle tro, men samtidigt er det meget sværere at gøre præcist end man tror. Jeg håber at du bare kan trække på skuldrene og sige ok, så kan man åbenbart også opløfte ting i π te potens. For det kan man. Til sidst skal vi lige se på en helt speciel potensfunktion, som du nok vil få en slags had kærlighedsforhold til i løbet af dette dokument: Eksempel 5. Her er verdens dummeste potensfunktion: f(x) = x 0 = 1 Den er bare konstant lig med 1, uanset hvilket x der sættes ind i den. Fordi vi simpelt hen har defineret at opløftning i nul te potens altid giver 1. Bemærk at vi sågar (af tekniske grunde) har defineret at 0 0 = 1 side 4

7 så det er endda rigtigt hvis man sætter nul ind i den! Hvis du kigger lidt på grafen for f, så kan du få en ide om hvorfor dette valg er fornuftigt. På mange måder er det irriterende at denne potensfunktion findes. Den er nemlig så forskellig fra alle de andre potensfunktioner at vi hele tiden kommer til at skulle lave den til en undtagelse når vi taler generelt om potensfunktioner. Det ville dog være endnu mere irriterende ikke at kalde den en potensfunktion, så den er altså med uanset om vi kan lide den eller ej. 2.1 Godt at vide om dem Her er de vigtigste ting at huske på når man arbejder med potensfunktioner. Definitionsmængde og værdimængde Det er ikke helt nemt at se hvilke reelle tal, x som kan sættes ind i en potensfunktion, og hvilke funktionsværdier der kan komme ud af det. Det afhænger nemlig meget af hvilken potens, a man har med at gøre. Hele den indviklede historie står i følgende afskyelige sætning. Bare rolig: Du skal ikke lære denne sætning uden ad! Du skal bare se hvor grim den er, sådan at du kan blive glad for den definition som kommer lige bagefter. Sætning 6 (Definitions- og værdimængde). Hvis f er en potensfunktion givet ved: så gælder: f(x) = x a Hvis a = 0 så er Dm(f) = R og Vm(f) = {1} side 5

8 Hvis a {2, 4, 6,...} så er Dm(f) = R og Vm(f) = [0; [ Hvis a {1, 3, 5,...} så er Dm(f) = R og Vm(f) = R Hvis a { 2, 4, 6, } så er Dm(f) = R \ {0} og Vm(f) = ]0; [ Hvis a { 1, 3, 5,...} så erdm(f) = R \ {0} og Vm(f) = R \ {0} Hvis a er en positiv brøk hvor nævneren er lige, så er Dm(f) = [0; [ og Vm(f) = [0; [ Hvis a er en negativ brøk hvor nævneren er lige, så er Dm(f) = ]0; [ og Vm(f) =]0; [ Hvis a er en positiv brøk hvor nævneren er ulige, så er Dm(f) = R og Vm(f) = R Hvis a er en negativ brøk hvor nævneren er ulige, så er Dm(f) = R \ {0} og Vm(f) = R \ {0} Hvis a er irrationelt og positivt, så er Dm(f) = [0; [ og Vm(f) = [0; [ Hvis a er irrationelt og negativt, så er Dm(f) =]0; [ og Vm(f) = ]0; [ Øvelse 7. Glem alt om at lære ovenstående facts udenad! Prøv i stedet om du kan regne ud hvorfor hver af de forskellige værdier af a giver den den definitionsmængde og den værdimængde som sætningen påstår. F.eks. skulle du gerne kunne se hvorfor potensfunktionen med a = 1 ikke så godt kan lide at man sætter nul ind i den. Vær også helt sikker på at du indser at sætningen behandler alle muligheder for hvad a kan være, og at den samme mulighed ikke er nævnt flere gange. For at gøre alting meget nemmere, vælger man dog meget ofte en nemmere udvej: Nemlig at vedtage følgende dejlige definition: side 6

9 Definition 8. Når man taler om potensfunktioner, så går man ud fra at definitionsmængden er de positive reelle tal. Også selvom den eventuelt kunne være større. Altså: Hvis f(x) = x a hvor a R, så er: Dm(f) = R + Dette betyder desværre lidt forvirring, fordi selv de velkendte funktioner: f(x) = x 1 (reciprokfunktionen), f(x) = x 1 2 (kvadratroden) og selv f(x) = x 1 (identitetsfunktionen) pludselig kun bliver defineret i positive reelle tal når man tænker på dem som potensfunktioner. Det er lidt dumt, men fordelene er meget større end ulemperne. Det vil du se mere til i de næste afsnit. I første omgang bliver det meget nemmere at tale om deres værdimængder. Der er nemlig kun en enkelt undtagelse som man ikke må glemme: Sætning 9. Hvis f er en potensfunktion givet ved: så er værdimængden givet ved: f(x) = x a, x > 0 Vm(f) = R + Hvis vel at mærke a 0. Hvis a skulle være lig med nul, så er værdimængden i stedet: Vm(f) = {1} side 7

10 Grafer Graferne for vores potensfunktioner kan se ud på lidt forskellige måder, alt efter hvilken potens a man har med at gøre. I første omgang ved du sikkert allerede hvad der sker når a er et natuligt tal. Figur 1: Grafer for nogle forskellige potensfunktioner hvor potensen er et naturligt tal Hvis vi i stedet lader a være et negativt tal eller en brøk, så kommer der (som vi allerede har set) nogle andre spændende funktioner frem. På figur 2 nedenfor er et par af deres grafer: side 8

11 Figur 2: Grafer for nogle potensfunktioner hvor potensen er negativ eller en brøk Til sidst er det en god ide at forstå hvordan a faktisk kan være et hvilket som helst reelt tal, sådan som jeg beskrev i eksempel 4. Øvelse 10. Hvis vi gradvist ændrer a, så ændrer vi selvfølgelig også funktionen og dens graf. Men de ændrer sig på en naturlig måde. Prøv at starte dit grafprogram og tegn grafer for følgende funktioner (vælg et grafudsnit som går fra cirka 0 til 3 på x-aksen): g 1 (x) = x 2 g 2 (x) = x 3 g 3 (x) = x 3,1 g 4 (x) = x 3,14159 g 5 (x) = x π side 9

12 2.1.1 Sammensætninger En sjov ting ved potensfunktioner er at man kan gøre flere forskellige ting ved dem, og så bliver de til nye potensfunktioner. Sagt lidt mere teknisk, så er de stabile under flere forskellige operationer. Eksempel 11 (Multiplikation og division). Lad os starte med to forskellige potensfunktioner, f og g, givet ved: og f(x) = x 4 g(x) = x 3 Hvis vi ganger dem med hinanden, så får vi en ny funktion, h = f g givet ved: h(x) = f(x) g(x) = x 4 x 3 Men takket være vores potensregneregler, kan dette omskrives til: h(x) = x 3+4 = x 7 Vi kan også dividere de to funktioner med hinanden. Det giver en funktion k f, givet ved: g k(x) = f(x) g(x) = x4 x 3 Og igen kan vores potensregneregler hjælpe os med at skrive resultatet som: k(x) = x 4 3 = x 1 Bemærk forresten at vi ikke skal være bekymrede over at dividere med g(x), fordi vi har været smarte nok til at begrænse definitionsmængden og dermed sørge for at g(x) aldrig giver nul! Generelt giver multiplikationer og divisioner af potensfunktioner bare nogle andre potensfunktioner. side 10

13 Nu til et meget vigtigt eksempel som vi skal se mere på i næste afsnit: Eksempel 12 (Sammensætning). Lad os igen starte med to potensfunktioner, f og g, givet ved: og f(x) = x 7 g(x) = x 1 2 Lad os nu prøve at sammensætte de to funktioner. Husk, at det kan man gøre på to forskellige måder: Enten til h 1 = f g eller til h 2 = g f. De er givet ved: og h 1 (x) = f(g(x)) = ( x 7) 1 2 h 2 (x) = g(f(x)) = ( x 1 2 Men takket være potensregnereglerne, kan vi indse noget meget pænt om sammensætning af potensfunktioner. Vi kan nemlig omskrive: h 1 (x) = ( x 7) 1 2 = x = x 2 og ) 7 h 2 (x) = ( x 7) 1 2 = x = x 7 2 Heraf kan vi se to generelle facts som bliver meget gode at have i næste afsnit: Når man sammensætter to potensfunktioner, så får man en ny potensfunktion, hvis potens a bare er de to oprindelige funktioners potenser ganget med hinanden. Det giver den samme funktion uanset hvilken rækkefølge vi sammensætter to potensfunktioner i. side 11

14 Monotoni, injektivitet og inverse Fordi vi har begrænset definitionsmængden, så bliver alle 2 potensfuntioner injektive! Hvis du kigger på deres grafer, kan du se at de faktisk bliver monotone, hvilket jo garanterer at de bliver injektive. Det skriver vi lige op i en sætning: Sætning 13. Hvis f er en potensfunktion, givet ved f(x) = x a, så gælder følgende: Hvis a = 0 så er f konstant. Hvis a > 0 så er f voksende. Derfor er den også injektiv. Hvis a < 0 så er f aftagende. Derfor er den også injektiv. Eftersom (næsten) alle potensfunktioner er injektive, har de også inverse funktioner. Her er potensfunktionerne meget hyggelige. De er nemlig hinandens inverse funktioner på følgende måde: Sætning 14 (Inverse til potensfunktioner). Hvis f er en potensfunktion, givet ved forskriften: f(x) = x a, x R + hvor a er et reelt tal, som ikke er nul, så er f injektiv, og dens inverse funktion er givet ved: f 1 (x) = x 1 a Bevis. Husk hvad vi opdagede i sidste afsnit: Når man sammensætter to potensfunktioner, så ender man bare med at gange de to potenser med hinanden. Så hvis f(x) = x a og g(x) = x b, så er (g f)(x) = (x a ) b = x a b 2 Undtagen en eneste af dem... Gæt engang hvilken! side 12

15 og (f g)(x) = ( x b) a = x a b Så hvis b = 1, giver sammensætningen a x1, som bare er identitetsfunktionen. Og det er jo præcis hvad det betyder at være den inverse funktion: At man får identitetsfunktionen når man sammensætter de to. Eller sagt med andre ord: Hvis man først bruger den ene funktion på et tal, x, og bagefter bruger den anden funktion på resultatet, så ender man med det x som man startede med. 2.2 Potensudviklinger Der findes en slags mutationer af potensfunktioner som optræder så ofte at de har fået deres eget navn: Definition 15. En potensudvikling er en funktion, f, som er givet ved en forskrift af typen: f(x) = b x a hvor a og b er to reelle konstanter som kan have en hvilken som helst værdi. Man tillader altså bare at en potensfunktion er ganget med en ekstra konstant. Det er ikke særligt mystisk hvad dette gør ved funktionen. Især ikke hvis man har læst dokumentet om grafmanipulation 3. Det strækker jo bare grafen langs y-aksen (hvis b > 1 bliver grafen strakt ud, og hvis b < 1 bliver den trykket sammen.) Ligninger med potensfunktioner Potensfunktioner er nemme at håndtere i forbindelse med at løse ligninger. Husk at når man løser ligninger, så svarer det næsten altid 3 Læs om grafmanipulation her side 13

16 footnotemere præcist: Når man løser ligninger med en enkelt ukendt størrelse. til at man står med en funktion, f, og et tal, y, og man ved at f(x) = y men man vil gerne kende værdien af x. Altså: Man vil så gerne finde en (eller flere!) værdier af tallet x, sådan at f(x) giver tallet y. Husk også at når f er en injektiv funktion, så er dette dejligt nemt. I så fald er der nemlig højst en enkelt løsning, x, og den kan findes ved at udregne: x = f 1 (y) Eftersom vi kender de inverse til alle potensfunktioner, så er det altså dejligt nemt at håndtere ligninger hvor de optræder i. Eksempel 16. Betragt ligningen: x π = 17 Den kan løses i et snuptag ved at vi bruger den inverse potensfunktion: x = 17 1 π Advarsel: Dette lyder næsten for nemt, gør det ikke? Grunden til at det er så nemt er at vi har smidt alle de negative tal ud af vores definitionsmængder til potensfunktionerne. Derfor er det meget behageligt at arbejde med ligninger som kommer fra potensfunktioner, fordi vi er fuldkommen ligeglade med eventuelle negative løsninger. Men pas nu på: Det er ikke alle potens agtige ligninger som kommer fra en potensfunktion. Eksempel 17. Hvad nu med ligningen: x 2 = 16 Hvad hvis vi faktisk var interesserede i at finde alle reelle tal som opfylder denne ligning? side 14

17 Så er vi nødt at huske at f(x) = x 2 sagtens kan defineres i alle reelle tal. Dermed er den bare ikke det som vi kalder en potensfunktion længere! Og den er ikke længere injektiv, og den har ikke en invers funktion. Og så har vi alt besværet med at bruge kvadratroden (en såkaldt sektion) til at finde en løsning, og derefter bruge ekstra viden om funktionen til at finde den anden (negative) løsning. 2.3 Hvor forekommer de? Lad os se på nogle eksempler på anvendelser af potensfunktioner til at beskrive virkelige sammenhænge: Eksempel 18. Rittersport er som bekendt kvadratiske, og de forekommer i forskellige størrelser. Hvis x angiver sidelængden (f.eks. målt som hvor mange stykker cholokade der er i en række), og f(x) angiver antallet af chokoladestykker i hele Rittersportpakken, så er: f(x) = x 2 Hvis f.eks. x = 2 (de små pakker), så er antallet af chokoladestykker: f(2) = 2 2 = 4 Mens de store pakker indeholder noget i stil med: stykker. f(5) = 5 2 = 25 Potensfunktioner i sig selv er ikke særligt nyttige. Der er ikke ret mange størrelser i naturen som afhænger af hinanden på sådan en måde at når x = 1, så er y = 1 også. Til gengæld er potensudvikside 15

18 linger ret almindelige i alle mulige videnskaber. Her er et par syrede eksempler: Eksempel 19 (Planetbevægelse). Keplers love er nogle fysiske lovmæssigheder som beskriver hvordan planeter bevæger sig i kredsløbet omkring en stjerne. Den tredie af Keplers love kan formuleres på følgende måde: En planets middelafstand x til dens stjerne og dens omløbstid T hænger sammen på følgende måde: T (x) = b x 3 2 hvor b er en konstant som afhænger af stjernens masse, og af hvilke enheder der bruges til at måle x og T. Hvis x måles i millioner kilometer, og T måles i år, så er værdien af b for vores egen sol cirka 0, Det giver os muligheden for at beregne omløbstiden af Jupiter, idet vi ved at dens middelafstand til solen er cirka: 778,5 millioner kilometer. Derfor er dens omløbstid givet ved: T (778,5) = 0, , ,8 Altså en omløbstid på lidt under 12 år. Man kan også gå den modsatte vej og beregne x hvis man kender T (x). F.eks. vores egen jordklode har jo en omløbstid på 1 år. Derfor vil vores middelafstand x til solen opfylde ligningen: T (x) = 1 altså: 0, x 3 2 = 1 side 16

19 Denne ligning løses nemt ved først at dividere med konstanten på begge sider. Det giver: x 3 2 = 1 0, Og derefter benytte den inverse potensfunktion som jo er at opløfte i 2: 3 ( ) 2 ( ) x = = 1 149,5 0, , Så jordens middelafstand til solen er altså cirka 150 millioner kilometer. Eksempel 20 (Allometrilovene). I biologi forekommer der en masse sammenhænge som kan beskrives med potensudviklinger. De er i biologi kendt under et fælles navn, nemlig allometrilove. Der er adskillige afhængigheder som falder ind under allometrilovene. Her er et par eksempler: Et dyrs kropsmasse (målt i kg) hænger sammen med dyret metaboliske rate. Dette kaldes nogle gange for Kliebers lov. Et dyrs hjertefrekvens hænger sammen med hvor hurtigt dyret trækker vejret. (a 0,25) Et dyrs samlede kropsmasse hænger sammen med hvor store dets enkelt organer er. Det er lidt overraskende at denne sammenhæng ikke er lineær (a 1). Det betyder løst sagt at et dyrs organer vil vokse hurtigere end hele kroppen, hvilket faktisk giver en øvre grænse for hvor store dyr kan blive. Den måske sjoveste allometriske sammenhæng jeg har hørt om handler dog om flyvende dyr. Hvis man måler deres kropsmasse, x (i kg), side 17

20 så er dyret optimale a flyvehastighed, V (målt i m/s) givet ved: V (x) = 30 x 1 6 F.eks. har en humblebi med en masse på cirka 0,0002kg en optimal flyvehastighed på: V (0,0002) = 30 0, ,2m/s Mens en Canadagås med en masse på cirka 6kg har en optimal flyvehastighed på: V (6) = m/s Det som nu er lidt fantastisk er at loven faktisk passer ret godt på flyvemaskiner også. En Boing 747 med en masse på cirka kg har således en optimal flyvehastighed på: V (500000) = m/s a Ordet optimalt skal forstås som den hastighed hvor man bruger så lidt energi så muligt i forhold til hvor langt man kommer. Altså ikke den højst mulige hastighed. Eksempel 21 (Zipfs lov). Nok den underligste potensudvikling jeg nogensinde har set optræder i studier af hvordan sprog er struktureret. Tro det eller lad være, man kan bruge matematik til at måle hvornår noget er et rigtigt sprog! Det viser sig nemlig at hvis man optæller hvor ofte forskellige ord bliver brugt, så er nogle ord selvfølgelig mere hyppige end andre. Man kan ordne ordene efter hyppighed, altså sådan at nummer nummer 1 er det mest hyppige, nummer 2 er det næsthyppigste, o.s.v. Dernæst kan man notere hvor hyppigt hvert af disse ord forekommer (ved at dividere antallet af forekomster med det samlede side 18

21 antal ord). Det kunne give en tabel i stil med nedenstående (som er lavet ud fra første kapitel af dette dokument): Ord Nummer Hyppighed er 1 0,089 at 2 0,059 en 3 0,048 og 4 0,042 i 5 0,037 det 6 0,032 som 7 0,031 (Listen fortsætte naturligvis meget længere). Nu viser det sig (fantastisk nok!) at ordets nummer (x) i listen og ordets hyppighed, h af en eller anden mærkelig grund altid vil afhænge af hinanden på følgende måde: h(x) = b x a hvor a og b er to konstanter som afhænger af hvilket sprog teksten er skrevet på og hvor stort forfatterens ordforråd er. Dette kan faktisk bruges! Forestil dig at du finder en tekst som er skrevet på et sprog som du aldrig har set før, endda med et alfabet som du aldrig har set før. (Dette sker faktisk! Et af de mest berømte tilfælde er det såkaldte Voynich manuskript. Prøv at google det!). Hvis man vil vide om teksten rent faktisk betyder noget, eller om det bare et en masse tilfældige tegn som nogen har malet for sjov, så kan man teste om teksten opfylder Zipf s lov. side 19

22 3 Eksponentialfunktioner Nu til en helt anden slags funktioner. Grunden til at jeg tager dem i samme dokument som potensfunktionerne (se sidste afsnit) er at de to typer kan være svære at se forkel på. Her er hvad en eksponentialfunktion er: Definition 22. En eksponentialfunktion er en funktion, defineret ved en forskrift af typen: hvor a er et positivt reelt tal. f(x) = a x, x R Kig lige på definition 1 igen. Og kig så på definition 22. Kan du se hvorfor mange kommer til at forveksle dem? Forskellen er at de to bogstaver i definitionen har byttet plads! Men eftersom de spiller meget forskellige roller (x er den variabel som er sat ind i funktionen, mens a er en konstant som hører med til funktionen), giver det to meget forskellige slags funktioner. Vi skal se lidt på forskellene i det næste afsnit. Her er en god huskeregel hvis du vil undgå at bytte om på dem. For at undgå at bytte om på potensfunktioner og eksponentialfunktioner, så tænk på de potensfunktioner som du har kendt superlænge, f.eks. f(x) = x 2 og g(x) = x 3 De hedder potensfunktioner, fordi det er præcis hvad de gør ved x: Opløfter det i en (fast) potens. side 20

23 Og tænk derefter på at eksponentialfunktioner er dem hvor potensen er vendt på hovedet, altså f.eks. h(x) = 2 x og k(x) = 3 x 3.1 Godt at vide om dem Lad os se på nogle egenskaber ved eksponentialfunktionerne Hvorfor skal a være positiv? Konstanten a kaldes nogle gange for grundtallet, og i andre sammenhænge (se næste afsnit) for fremskrivningsfaktoren. Når den skal være positiv, så skyldes det omtrent det samme problem som det vi havde med definitionsmængden for potensfunktioner: Vi har ikke lyst til at lade a være f.eks. 1 og riskikere at nogen satte x til at være f.eks. 1. Så ville der nemlig stå noget som 2 svarer til kvadratroden af 1, og den findes jo ikke. Øvelse 23. Tænk over hvad der ville ske hvis vi faktisk definerede funktionen f ved: f(x) = ( 1) x Hvordan ville definitionsmængden for denne funktion komme til at se ud? Grafer for eksponentialfunktioner Lad os tegne grafen for en konkret eksponentialfunktion. Vi sætter a = 2. Dermed er vores funktion givet ved: f 1 (x) = 2 x side 21

24 Vi kan udregne nogle hurtige funktionsværdier (idet vi husker hvad det betyder at opløfte i nogle vigtige potenser): f 1 (0) = 2 0 = 1 f 1 (1) = 2 1 = 2 f 1 (3) = 2 3 = 8 ( ) 1 f 1 = = 2 1, f 1 ( 1) = 2 1 = 1 2 = 0,5 f 1 ( 3) = 2 3 = = 1 8 = 0,125 Hver af disse udregninger giver et punkt på grafen, og når man tegner dem, kan man tydeligt se en tendens (se figur 3). Figur 3: Grafen for eksponentialfunktionen f 1 defineret ovenfor. Punkterne svarende til de udregnede funktionsværdier er indtegnet (og et par ekstra) side 22

25 Vi kunne selvfølgelig også have valgt en anden værdi af grundtallet a. Hvis vi f.eks. sætter a = 1, så har vi en anden eksponentialfunktion, nemlig: 2 ( 1 x f 2 (x) = 2) Her er det lidt vildere at udregne funktionsværdier, fordi vi skal bruge lidt flere potensregneregler. f 2 (0) = = 1 f 2 (1) = 1 2 = f 2 (3) = 1 2 = 1 8 ( ) 1 f 2 = 2 ( 1 2)1 2 = 1 2 0,7071 ( ) 1 1 f 2 ( 1) = = 2 2 ( ) 1 3 f 2 ( 3) = = 2 3 = 8 2 Det giver de punkter som er markeret på figur 4. Hvis man indtegner mange flere, så kan man se hvordan de andre punkter ligger, og så fremkommer grafen som også er tegnet op på figur 4. Du kan sikkert allerede gennemskue et mønster. Her er nogle generelle observationer som du måske har fået øje på: Alle eksponentialfunktioners grafer går gennem punktet (0; 1) Hvis a > 1 er eksponentialfunktionen voksende. Hvis a < 1 er eksponentialfunktionen aftagende. Hver gang x bliver 1 større, så bliver funktionsværdien a gange større. Dette kalder man at man fremskriver (det er bare et fint ord for ganger ) med a hver gang x bliver 1 større. side 23

26 Figur 4: Grafen for eksponentialfunktionen f 2 med du udregnede funktionsværdier indtegnet Lige som hos potensfunktionerne, er der en enkelt eksponentialfunktion som er dummere end alle de andre. Det er den hvor a er præcis lig med 1, altså hvis f er givet ved: Så er og og og f(x) = 1 x f(1) = 1 1 = 1 f(2) = 1 2 = 1 f(0) = 1 0 = 1 f( 1) = 1 1 = 1 Det er en konstant funktion som altid giver funktionsværdien 1. Dens kedelige graf er tegnet ind på figur 5 sammen med flere andre eksponentialfunktioners grafer. Læg mærke til at jeg også har sneget side 24

27 en ganske særlig eksponentialfunktion ind på denne figur, nemlig hvor grundtallet bare er bogstavet e. Den skal du nok komme til at se meget mere til i de næste afsnit. Lige nu behøver du kun at vide at e er et tal som er større end 2 og mindre end 10. Figur 5: Grafer for flere forskellige eksponentialfunktioner med forskellige grundtal Definitionsmængde og Værdimængde Denne del er nemt klaret! Som du nok allerede har opdaget, er eksponentialfunktioner defineret i alle reelle tal. Vi har klaret alle problemerne ved at bestemme at grundtallet (a) skal være positivt. Du har måske også opdaget at en eksponentialfunktion altid laver positive funktionsværdier. Hvis du kigger på graferne, kan du se at deres værdimængder består af alle positive reelle tal. Undtagen hvis a = 1. side 25

28 Alt dette skriver vi lige op som en sætning: Sætning 24. Hvis f er en eksponentialfunktion defineret ved: hvor a er et positivt tal, så er f(x) = a x Dm(f) = R Hvis a 1, så er: og hvis a = 1, så er: Vm(f) = R + Vm(f) = {1} De udvikler sig vildt hurtigt! Eksponentialfunktioner er monotone, undtagen hvis a = 1. Hvis a > 1, så er de voksende, og hvis a ]0; 1[, så er de aftagende. Det betyder at grafen går opad, enten når man går til højre eller til venstre i koordinatsystemet. En sjov ting ved eksponentialfunktioner er at de gør det helt vildt hurtigt. Så hurtigt at en hvilken som helst ekponentialfunktion vil overhale en hvilken som helst potensfunktion på et tidspunkt. Eksempel 25. Betragt potensfunktionen f, givet ved: f(x) = x 100 Det er en meget vild funktion som ret hurtigt laver vildt store funktionsværdier. Prøv at tegne dens graf og se efter. Du skal nok vælge et grafudsnit hvor x-aksen går fra 2 til 2, og hvor y-aksen går meget højt op. side 26

29 Betragt nu den ganske uskyldige eksponentialfunktion g, givet ved: g(x) = 2 x Den er også voksende, men ser ud til at gå meget langsommere. Du kan uden problemer tegne dens graf med x-koordinater mellem 10 og 10. Umiddelbart ser det ud til at f vokser meget hurtigere end g. Men hvad sker der lidt længere ude af x-aksen? Det er lidt svært at zoom e så langt ud i et grafprogram, men inde i vores hoveder er det faktisk ret nemt. Lad os forestille os at vi går helt ud til x = Hvor højt oppe er de to grafer så? Jo, grafen for f er oppe i højden: f(10 000) = = ( (10) 5) 100 = (Vi brugte lige en potensregneregel, så du det?). Det er sindssygt højt oppe. Men hvor højt oppe er grafen for g mon? Jo, den er i højden: g(10 000) = = = ( 2 4) 2500 = For det første er grundtallet i denne beregning 16, hvor det før var 10. Men antallet af gange som det bliver ganget med sig selv er 5 gange så stort. Grafen for g er vildt meget højere oppe end grafen for f. Det er åbenbart fordi eksponentialfunktionen på et tidspunkt (lige omkring x = 1000, faktisk) har overhalet potensfunktionen. Grunden til den vilde vækst hænger sammen med en egenskab som vi skal se nærmere på i afsnit 3.3. Nu skal vi lige først udvide funktionsfamilien med lidt flere funktioner: side 27

30 3.2 Eksponentielle udviklinger Lige som med potensfunktionerne, er eksponentialfunktionerne også del af en lidt større familie af funktioner, hvor man giver lov til at funktionen og ganget med en konstant. Definition 26. En funktion f kaldes en eksponentiel udvikling hvis den er givet ved en forskrift af typen: f(x) = b a x hvor a og b er positive tal. Igen: Hvis du har læst om grafmanipulation, så er det slet ikke overraskende at man kunne have lyst til at gøre alle funktionsværdierne b gange større. Det giver os magt til at strække grafen ud langs med y-aksen (eller trykke den sammen hvis b < 1). På den måde kan man lave funktioner som ikke går gennem punktet (0; 1). I stedet vil grafen for en eksponentiel udvikling gå gennem (0; b). side 28

31 3.3 Fordoblingskonstant og halveringskonstant. Et helt specielt fænomen som kun optræder når man arbender med eksponentielle udviklinger er de såkaldte fordoblingskonstanter og halveringskonstanter. Det hele skyldes følgende specielle fænomen: Sætning 27. Hvis f er en eksponentiel udvikling givet ved forskriften: f(x) = b a x hvor a og b er positive tal, så har den følgende egenskab: Hvis x 0 er et tal i definitionsmængden, og h er et naturligt tal, så giver funktionsværdien: f(x 0 + h) = f(x 0 ) a h Bevis. Beviset er supernemt. Det skyldes simpelt hen en potensregneregel: f(x 0 + h) = b a x 0+h = b a x0 a h = f(x 0 ) a h Og det var såmænd det. Det fantastiske ved denne sætning er at det tal (a h ) som man ganger med ikke afhænger af x 0. Det betyder at lige gyldigt hvor man starter (x 0 ), hvis man går h til højre på x-aksen, så bliver funktionsværdien a h gange større. Det kan formuleres på sloganform sådan her: En fast tilvækst i x giver en fast fremskrivning af f(x). Inspireret af dette kunne man nemt finde på at spørge hvilket tilvækst i x som ville give en fremskrivning på præcis 2, svarende til at funktionsværdien blev dobbelt så stor. side 29

32 Dette giver naturligvis kun mening hvis funktionen er voksende. Hvis den er aftagende giver det i stedet mening at spørge hvilken tilvækst som ville give en fremskrivning på 1, svarende til at funktionsværdien blev halvt så stor. 2 Det inspirerer os til følgende definition: Definition 28. Hvis f er en eksponentialfunktion, defineret ved: hvor a > 0, så definerer vi: f(x) = a x Hvis a > 1, så er f voksende. Så definerer vi fordoblingskonstanten, T 2 til at være det tal, h som opfylder at a h = 2. Hvis a < 1, så er f aftagende. Så definerer vi halveringskonstanten, T 1 til at være det tal, h, som opfylder at a h = I kapitel 4 skal vi se nærmere på hvordan man beregner disse to tal. Eksempel 29 (Lidt guf for musikerne). Her er et eksempel på en eksponentiel udvikling som forekommer når man spiller musik. Lyd består af at lufttrykket varierer en lille smule omkring middelværdien på ca. 1 atmosfære. Hver tone svarer til en bestemt frekvens som lufttrykket svinger med. (Altså hvor mange svingninger der foretages pr. sekund. Dette måles i enheden Hertz, som forkortes Hz.) I den vestlige verden (eller mere præcist i den klassiske musiktraditions såkaldte jævnt tempererede kromatiske skala ja, musikere har lige så mange vilde fremmedord som matematikere!) har man bestemt at kammertonen skal være den tone som har en frekvens på 440Hz. Den kaldes nogle steder for A440. De andre toner har en frekvens som kan udregnes med følgende side 30

33 funktion f: f(x) = 440 ( 12 2) x Hvor x angiver tonens nummer i forhold til kammertonen. Bemærk at grundtallet i dette tilfælde er a = ,09595 Hvorfor man har valgt lige præcis dette tal må du spørge en musiker om. Men en del af grunden kommer om lidt. Når x f.eks. er 5, så betyder det at vi er fem såkaldte halvtoner (ja, det skal jo ikke være for nemt. Musikere kunne lære lidt af matematikere med at droppe de unødvendige komplikationer) over kammertonen. Dermed lander vi på tonen D, som altså har en frekvens på: f(5) = 440 ( 12 2) 5 587,3Hz For denne funktion er fordoblingskonstanten ret interessant. Og den er endda ret nem at finde. I vores tilfælde er a = 12 2, hvilket er større end 1. Så ifølge definition 28 har f en fordoblingskontant som er lig med det tal, h, hvor a h = 2 Det er heldigvis nemt at gætte hvad h skal være for at opnå at: ( 12 2) h = 2 Jeps, du gættede det: h = 12. Skrevet med notationen fra definition 28, er fordoblingskonstanten for vores funktion altså: T 2 = 12 Det betyder at hver gang man gør x 12 større, så fordobles f(x). Sagt lidt mere musisk: Hvis man går 12 halvtoner op, så fordobler man frekvensen af tonen. I musik kaldes 12 halvtoner for en oktav. Dette er endnu et underligt navn, fordi ordet oktav henviser til tallet otte, og ikke til side 31

34 tallet 12. Det er fordi tolv halvtoner svarer til otte heltoner (meget logisk, musikere!). Medmindre man f.eks. spiller jazz, hvor 12 halvtoner svarer til 9 heltoner. (Argh!) Anyway... Tilbage til den dejligt logiske og nemme matematik: 12 halvtoner svarer til en fordobling af frekvensen. Uanset hvor man starter! Dette er grunden til at to toner lyder ens når de har præcis 12 halvtoner til forskel. Det er fordi frekvenserne passer fint sammen inde i vores ører. Den ene toner svinger bare dobbelt så mange gange pr. sekund som den anden. Øvelse 30. Beregn frekvensen af tonen G som ligger 10 halvtoner over kammertonen. Beregn også frekvensen af tonen A som ligger 2 oktaver (24 halvtoner) over kammertonen. Tænk over resultatet. Beregn også frekvensen af det A som ligger 2 oktaver under kammertonen. Der kommer mange flere eksempler i næste afsnit. 3.4 Hvor forekommer de? Det korte svar på dette spørgsmål er: Over alt! Virkeligheden er stopfyldt med eksponentialfunktioner og eksponentielle udviklinger. Her er et par stykker. Eksempel 31 (Renter). Hvis du sætter penge ind på en bankkonto og får renter, så betyder det at banken hvert år giver dig et pengebeløb som er en vis procentdel af det beløb som står på kontoen. Lad os sige at vi indsætter 1000 kr og får 5% i renter på en bankkonto. Når man skal lægge 5 procent til et pengebeløb, så svarer det jo bare til at gange det med 1,05. side 32

35 Det betyder at efter det første år, har vi: ,05 = 1050 kroner på kontoen. Hvis vi venter et år mere, så får vi renter af det nye beløb. Dermed har vi efter 2 år: ,05 1,05 Bemærk at jeg valgte at skrive de 1050 kroner som ,05. Det er fordi vi lige straks opdager et mønster. Efter tre år har vi: ,05 1,05 1,05 = ,05 3 Nu kan du vist godt se det generelle mønster: Hvis x angiver hvor mange år vi lader pengene stå, så vil vi have et pengebeløb f(x) givet ved: f(x) = ,05 x Øvelse 32. Hvis vi indsætter 487 kroner på en konto og får 4% i renter om året. Hvor mange penge er der så på kontoen efter 16 år? Og så lige en brain twister: Hvor mange procent skal vi have i renter hvis vi ønsker at der skal stå 1000 kroner efter 10 år? Eksempel 33 (Radioaktivt henfald). Jeg har købt 2 kg Uran-238 på Amazon.com (her). Det står hjemme i skabet og forsvinder lige så stille, fordi Uran-238 er radioaktivt og henfalder til Thorium. Heldigvis går det meget langsomt. Faktisk vil mængden af Uran være en funtion af tiden på følgende måde. Hvis x angiver tiden (målt i millioner år) som pakken ligger i mit skab, og f(x) angiver side 33

36 hvor meget Uran (målt i kg) jeg har tilbage, så er: f(x) = 2 0, x F.eks. efter 14 millioner år, er min beholdning af Uran reduceret til: f(14) = 2 0, ,996 Der er med andre ord forsvundet 0, 004 kg af mit Uran. Denne eksponentielle udvikling er aftagende, fordi grundtallet er (en smule) mindre end 1. Derfor har den en halveringskonstant. Hvis du har bemærket hvor langsomt mit Uran forsvinder, så vil du ikke undre dig over at denne halveringskonstant er enormt stor. Faktisk kan man beregne (se afsnit 5.2) den til: T Og hvis du husker at x måler tid i millioner af år, så svarer dette til lidt under fire en halv milliard år! Eksempel 34 (Franks høns). Jeg har 6 høns og en hane i min baghave. Høns eksisterer med lige præcis 1 formål: At lave flere høns. Og det er de supergode til. For at gøre det lidt nemmere laver jeg lige et par halvgrove antagelser: Mine høns er udødelige. Hver høne producerer 15 nye høns hvert år. (Og et antal haner som ikke tæller med fordi de bliver slagtet øjeblikkeligt). Året efter er disse 15 høns (plus den oprindelige) klar til at avle. Indavl er intet problem, så min ene udødelige hane kan sagtens lave nye høns med sine egne unger. (Faktisk er den første antagelse den eneste som er helt forkert biologisk set ) side 34

37 Med disse antagelser kan vi nemt lave en funktion som beregner antallet af høns på senere tidspunkter. Fordi hvert år får jeg 16 gange så mange høns som sidste år. Det betyder at hvis vi lader x angive tiden (målt i år), så mit antal høns i haven som er: Så efter 10 år vil jeg have: f(x) = 6 16 x f(10) = = Altså lidt over seks en halv billioner høns. Hver høne vejer cirka 2 kilo, så de vil tilsammen veje kg. Hvilket er cirka en ottendedel af den samlede biomasse på jorden. Efter yderligere 10 år vejer mine høns tilsammen meget mere end jordkloden, og efter 30 år vejer de lige så meget som det supermassive sorte hul, Saggitarius A* som ligger i Mælkevejens centrum. Det er muligt at min teori om hønsene ikke er helt realistisk. Men på kortere tidsskala er eksponentielle udviklinger faktisk enormt præcise til at forudsige hvordan biologisk formering vil foregå. 3.5 Den naturlige eksponentialfunktion Der er en enkelt af eksponentialfunktionerne som er smukkere, flottere og vigtigere end alle de andre tilsammen. Det er den som jeg sneg mig til at tegne grafen for i eksempel 5. Den hedder den naturlige eksponentialfunktion, og den har et grundtal som er et mystisk irrationelt tal. Dette grundtal er så vigtigt at det har fået et helt fast bogstavnavn i matematik, nemlig bogstavet e. Eftersom det er irrationelt, kan man ikke skrive det op, men det er cirka lig med: e Når lige præcis dette tal bruges som grundtal i en eksponentialfunktion, så kalder vi resultatet noget ekstra fint: side 35

38 Definition 35. Den eksponentialfunktion f, som er givet ved forskriften: f(x) = e x kaldes den naturlige eksponentialfunktion. Mange mennesker skriver den også som: f(x) = e x = exp(x) Man har altså givet den et helt fast funktionsnavn, exp (en forkortelse for eksponentialfunktionen ) på samme måde som f.eks. cosinus og sinus. Eksempel 36. Jeg kan ikke forklare lige nu hvorfor tallet e er så vigtigt. (Det finder du ud af når du skal lære om differentiation). Men jeg kan vise dig hvorfor det er smukt. Prøv om du kan se mønsteret i følgende beregning: Hvis du har hørt om begrebet fakultet, så har du sikkert gennemskuet at hvert led bare er 1 n! = 1 n (n 1) (n 2) 2 1 for en ny værdi af n hver gang. Det logiske mønster passer endda med det første af leddene, fordi 0! er defineret til at være 1. Dermed kan summen skrives rigtigt fint og kompakt som: n=0 1 n! side 36

39 Dette er en af de mest berømte (uendelige) summer i verden. Og gæt hvad den giver hvis man tager alle leddene a med. a Det er mere kompliceret end dette, da man man jo ikke kan lægge uendeligt mange tal sammen. I stedet skal man forestille sig at man tager flere og flere led med, og vælger det tal som man nærmer sig. Øvelse 37. Prøv at udregne summen 10 n=0 altså summen af de første 11 led af den uendelige sum. Og sammenlign med cifrene i e. Hvis du stadig føler dig lidt utilfreds, så er det godt! Det er nemlig ikke så pænt at jeg siger: Den her eksponentialfunktion er vildt vigtig og bagefter siger: Den har et grundtal som jeg ikke kan skrive op for dig. Faktisk er det meget svært at give en tilfredsstillende definition af den naturlige eksponentialfunktion. Her er dog en meget vigtig egenskab som den har, og som ingen af de andre eksponentialfunktioner har. På den måde kunne egenskaben faktisk bruges som definition af hvilken eksponentialfunktion som vi vil kalde den naturlige. Eksempel 38. Alle eksponentialfunktioner har en graf som går gennem punktet (0; 1). Forskellen på dem er hvor hurtigt de vokser a En (meget fornuftig) måde at måle dette på er ved at tegne en såkaldt tangent til grafen. Altså en ret linje som rører ved grafen og har den samme hældning som grafen i det punkt hvor den rører. Anførselstegnene oven over er for at illustrere at du ikke ved præcis hvad disse ord betyder endnu. Men det giver faktisk fin intuitiv 1 n! side 37

40 mening. Lad os tegne et par grafer for nogle ekponentialfunktioner. Det er gjort på figur 6. For en gangs skyld har jeg gjort mig umage med at der er lige store enheder på x-aksen og y-aksen. Du vil se hvorfor lige om lidt. Bemærk at alle graferne (selvfølgelig) går gennem (0; 1). Lad os nu prøve at tegne tangenter til disse grafer, sådan at de rører grafer præcis i punktet (0; 1). Det er gjort med stiplede linjer på figur 7. Læg mærke til at den (kedelige) gule graf er sin egen tangent. Læg derefter mærke til at tangenterne alle har en forskelleig hældning! Nu er det meget naturligt (!) at spørge: hvilken eksponentialfunktion skal man bruge, hvis tangenten skal have en hældning på præcis 1?. Du kan sikkert se på tegningen at 2 x vokser lidt for langsomt, og 10 x vokser for hurtigt. Så svaret ligger nok et sted mellem disse to, og nok tættest på 2. Prøv at se hvad der sker hvis vi gør det samme med den naturlige eksponentialfunktion! (Figur 8). a Når du skal lære om differentiation, vil du opdage at det er enormt interessant, men også meget kompliceret, at tale om hvor hurtigt en funktion vokser. side 38

41 Figur 6: Grafer for fire forskellige eksponentialfunktioner til brug i eksempel side 39

42 Figur 7: Grafer for fire forskellige eksponentialfunktioner til brug i eksempel 38. Nu med hver sin tangent i punktet (0; 1) side 40

43 Figur 8: Grafen for den naturlige eksponentialfunktion, og dens tangent i punktet (0; 1). Se eksempel side 41

44 4 Logaritmer Nu til den sidste type funktioner i dette dokument! Igen er der en god grund til at de står sammen med de andre, for man kan nemlig slet ikke sige hvad de er uden at tale om eksponentialfunktioner. Husk på at eksponentialfunktionerne (undtagen en af dem) er monotone, og derfor injektive. Det betyder at de har inverse funktioner. Definition 39. Hvis a > 0 og a 1, og f er eksponentialfunktionen defineret ved: f(x) = a x så definerer vi logaritmen med grundtal a til at være dens inverse funktion. Den skrives sådan her: log a (x) = f 1 (x) Sagt med ord, så giver log a (x) det tal y, som opfylder at eller sagt på en anden måde: f(y) = x a y = x Det er en meget irriterende definition, fordi man ikke får nogen opskrift på hvordan logaritmer regnes ud, sådan som de to andre funktionstyper startede med. Det føles lidt på samme måde som hvis man fik besked på at lave noget kompliceret mad, men i stedet for en opskrift så fik man kun lov at smage hvordan den færdige mad smager. På den anden side, så har du prøvet denne følelse før. Tænk på hvordan kvadratrodsfunktionen er defineret. side 42

45 4.1 Godt at vide om dem Så hvis a > 0 og a 1, så har vi altså en funktion, som hedder log a. Og det eneste vi ved om den er at det er den inverse funktion til eksponentialfunktionen f, givet ved f(x) = a x. Heldigvis giver præcis denne viden en masse information om logaritmen. Definitionsmængde og værdimængde Husk at den inverse funktion bare går den omvendte vej af den oprindelige funktion. Derfor er dens definitionsmængde bare den oprindelige funktions værdimængde, og omvendt. Så fra sætning 24 kan vi hurtigt lave en omvendt sætning om logaritmer: Sætning 40. Hvis a > 0 og a 1, og f er givet ved: f(x) = log a (x) så er: og Dm(f) = R + Vm(f) = R Det er lidt mere vigtigt at huske denne sætning end sætning 24, fordi en begrænset definitionsmængde er farligere end en begrænset værdimængde. Derfor laver vi lige en ekstra advarsel: Advarsel: Man kan ikke tage en logaritme til nul eller til et negativt tal! Så hvis du ser nogen stå med en logaritmefunktion i den ene hånd og et negativt tal i den anden, så skynd dig at stoppe dem inden de gør noget dumt. side 43

46 Funktionsværdier Husk at hele pointen med den inverse funktion f 1 til en funktion som hedder f er at: f 1 (f(x)) = x og f(f 1 (x)) = x Altså at de to funktioner ophæver hinanden når man sammensætter dem. Hvis vi indsætter a x som f(x) og log a (x) som f 1 (x), så får vi følgende vigtige sammenhænge: Sætning 41. Hvis a > 0 og a 1, så gælder følgende vigtige sammenhænge: og: log a (a x ) = x log a (x) = x, x > 0 Bemærk at den nederste af egenskaberne kun giver mening hvis x er større end nul. (Fordi der skal tages en logaritme til x.) Den første af egenskaberne er den vigtigste lige nu. Den sikrer nemlig at vi kan beregne en masse logaritmers funktionsværdier: Eksempel 42 (Titalslogaritmen). Lad os se på en konkret logaritme. Jeg vælger grundtallet a = 10. Den tilhørende logaritme, log 10 kaldes for titalslogaritmen. Det er mange menneskers yndlingslogaritme a. Det er fordi det er så intuitivt hvad den gør. Lad os se på det: Den første af egenskaberne i sætning 41 siger at: log 10 (10 x ) = x Det betyder at: log 10 (10) = log 10 (10 1 ) = 1 side 44

47 og og log 10 (100) = log 10 (10 2 ) = 2 log 10 (100000) = log 10 (10 6 ) = 6 og hvis man er lidt snedig, kan man også udregne: og log 10 (1) = log 10 (10 0 ) = 0 log 10 (0,!00001) = log 10 (10 5 ) = 5 Så lidt løst sagt: Titalslogaritmen tæller bare nuller! (Og laver negativt fortegn hvis tallet er under 1.) Selvfølgelig ved vi stadig ikke hvad log 10 (423) giver, fordi 423 ikke lige kan skrives som en potens af 10. Men du skulle gerne kunne se at log 10 (423) er større end 2 og mindre end 3. (Det bliver endnu nemmere når du har læst næste afsnit.) a Jeg håber dog ikke det bliver din! Der kommer nemlig en meget bedre logaritme i afsnit 4.3. Eksempel 43 (Totalslogaritmen). En anden yndlingslogaritme (mest blandt computernørder) er den med grundtallet 2. Den kan vi også hurtigt beregne nogle funktionsværdier for: log 2 (2) = log 2 (2 1 ) = 1 log 2 (4) = log 2 (2 2 ) = 2 log 2 (16) = log 2 (2 4 ) = 4 log 2 (65536) = log 2 (2 16 ) = 16 side 45

48 og naturligvis også: log 2 (1) = log 2 (2 0 ) = 0 1 log 2 ( 1024 ) = log 2(2 10 ) = 10 Hvis de to foregående eksempler stadig irriterer dig, så er det sikkert fordi jeg stadig ikke har fortalt hvordan man beregner f.eks. eller log 1 0(423) log 2 (13) Jeg har to svar på den irritation. Det første er sikkert endnu mere irriterende, og det andet er forhåbentlig en smule beroligende. De kommer her: Eksempel 44. Selvfølgelig findes der en måde at udregne logaritmer til et hvilket som helst tal på. Hvis vi f.eks. skal udregne log 10 (423) så har vi brug for at finde den potens, x, som opfylder at: 10 x = 423 Vi har med andre ord brug for at løse ovenstående ligning. Vi kan hurtigt blive enige om at denne potens ikke er et helt tal, fordi 2 er for småt og 3 er for stort. Men der findes faktisk smarte beregninger som finder dette x til os. De er bare for avancerede til at jeg kan fortælle dig om det lige nu. Kig i eksempel 47, eksempel 51 og eksempel 60 hvis du vil kende sandheden. side 46

49 Eksempel 45. Heldigvis er de metoder som jeg nævnte i sidste afsnit bygget ind i din lommeregner! Prøv at kigge ned over tasterne på din lommeregner. Et sted finder du sikkert en tast som hedder log. Hvis din lommeregner er lavet af en klog producent, så står der faktisk log 10, men desværre er chancen ret stor for at der kun står log. Dette er en skandale, men mange (dumme) lommeregnerproducenter har bestemt at titalslogaritmen er deres yndlingslogaritme, og derfor kalder de den bare log. Så er det din opgave at huske at dette betyder log 10. Prøv under alle omstændigheder at finde denne knap, og tjek at følgende udregninger giver det rigtige: log 10 (10) = 1 log 10 (1000) = 3 log 10 (423) 2,62634 Grafer Lad os se lidt mere på de to konkrete (og temmeligt vigtige) logaritmer fra sidste afsnit: Totalslogaritmen og Titalslogaritmen. Husk at grafen for en funktion f, bare består af punktet hvor f taget på x-koordinaten giver y-koordinaten. Sagt lidt slogan agtigt, så laver f bare x om til y. Men den inverse funktion gør jo præcis det omvendte: Den laver så at sige y tilbage til x. Det betyder at grafen for den inverse funktion bare bytter om på x-koordinater og y-koordinater. Hvilket er det samme som at grafen for f bare bliver spejlet i linjen med ligningen y = x. Eftersom vi kender graferne for vores eksponentialfunktioner, kan vi derfor hurtigt skitsere grafer for de tilhørende logaritmer. Først side 47

50 titalslogaritmen: Figur 9: Grafen for eksponentialfunktionen og logaritmen med grundtal Og nu til totalslogaritmen. side 48

51 Figur 10: Grafen for eksponentialfunktionen og logaritmen med grundtal Lagde du mærke til at der ikke var så stor forskel? Totalslogaritmen vokser en anelse hurtigere, men du skulle gerne have følgende på fornemmelsen: Alle logaritmers grafer går gennem punktet (1; 0). En logaritmes graf ligger til højre for y-aksen, fordi logaritmen ikke er defineret i negative tal eller nul. Hvis grundtallet er større end 1, så er eksponentialfunktionen voksende, og så bliver logaritmen det også. Jo hurtigere eksponentialfunktionen vokser, desto langsommere vokser logaritmen. side 49