Lektion 7 Eksponentialfunktioner

Transkript

1 Lektion 7 Eksponentialfunktioner Den naturlige eksponentialfunktion ep) = e Andre eksponentialfunktioner a Regneregler ep0) =, ep + y) = ep) epy) Potensfunktioner r En berømt grænseværdi Uegentlige integraler

2 Den naturlige eksponentialfunktion Tallet e m n = n e m er det tal hvis ln-værdi er m n. Vi vedtager nu feks at e er det tal hvis ln-værdi er. Helt generelt vedtager vi at e er det tal hvis ln-værdi er. Dvs at lne ) = = e ln Graf for ln) og ep) så e og ln er hinandens inverse funktioner. De to grafer er spejlbilleder over vinkelhalveringslinjen y =. De vigtigste egenskaber ved e er e 0 =, e = e e +y = e e y, e y = e e y e ) y = e y lim e = lim e = som vi ser af at de to tal på hver side af lighedstegnet har samme ln-værdi. Desuden er d d e = e og e = e + C som vi ser af formlen for differentiation af invers funktion. Man skriver også ep) for e.

3 Eksempel Beregning af e ) Du kan finde en tilnærmelse til e ved at bruge Udregningen ln lim n lim + ) n = e n n + n) n = lim ln n ) = lim n ln n + n = ln ) = = + ) n n ln + n) ln) = lim n n viser nemlig at grænseværdien er det tal hvis ln-værdi er. Det tal har vi kaldt e. Med n = 0000 og = er ) = 4, mens den sande værdi er e = 4,

4 Eksponentialfunktioner med andre grundtal Lad a være et positivt tal, feks a =. Tallet a m n = n a m er det tal hvis log a -værdi er m n. Vi vedtager nu feks at a er det tal hvis log a -værdi er. Helt generelt vedtager vi at a er det tal hvis log a -værdi er. Dvs at log a a ) = = a log a så a og log a er hinandens inverse funktioner. De to grafer er spejlbilleder over vinkelhalveringslinjen y =. Da a = e ln a) = e ln a) er der ikke den store forskel på de forskellige eksponentialfunktioner. De vigtigste egenskaber ved funktionen a er a 0 =, a = a ^ og /)^ a +y = a a y, a y = a a y, a ) y = a y a ln b = b ln a, e = a d d a = lna) a, ln a a d = a ln a + C 4

5 Eksempel Eksponentiel vækst) Størrelsen P t) af en bakteriepopulation undre optimale betingelser vokser efter formlen P t) = P 0 e λt = P 0 e λ ) t, λ > 0, hvor P 0 er antallet af bakterier til tiden t = 0 og λ er en positiv konstant. Fordoblingstiden er T = ln λ og vi kunne også skrive P t) = P 0 t/t Eksponentiel v kst Eksempel 3 Eksponentiel hendøen) Antallet P t) af atomer af en bestemt radioaktiv isotop aftager efter formlen Eksponentiel hendłen P t) = P 0 e λt = P 0 e λ ) t = P 0 e λ ) t, λ > 0, Halveringstiden er T / = ln λ og vi kunne også skrive P t) = P 0 ) t/t/

6 Eksempel 4 Låner du K 0 kroner til en rente på r procent pr år, er gælden vokset til Kn) = K 0 + r ) n 00 efter n år. Gældens fordoblingstid er T = ln ln + r/00) år Med r = 0 er T = ln = 7, 3 år og ln,) med r = DKs BNP?) er T = ln ln,0) = 35 år. Eksempel 5 Kulstof datering) Carbon 4 isotopen har en halveringstid på T / = 5730 år. Alderen t af en prøve af organisk materiale som indeholder /0 af den mængde carbon 4 man finder i levende materiale er bestemt ved ) t/5730 = hvilket giver t = ln 0 ln år = 9035 år. 6

7 Potensfunktioner med positiv eksponent 4 Potensfunktioner med negativ eksponent Potensfunktionen f) = r Lad r være et vilkårligt reelt tal. Funktionen f) = r er defineret for alle positive tal og den kaldes potensfunktionen med eksponent r. Hvis r er et helt tal er funktionen også defineret for negative.) Graferne for nogle potensfunktioner med positiv eksponent til venstre) og negative eksponent til højre) kan ses øverst på siden. De vigtigste egenskaber: y) r = r y r, /y) r = r /y r, r = / r d d r = r r, r = r+ r ) r + r voksende hvis r > 0 og lim r = Eksempel 6 Allometrisk vækst) Sammenhængen mellem størrelsen y af et bestemt organ og størrelsen af hele organismen er for mange levende væsener givet ved en potensfunktion y = c r hvor tallet r kaldes allometrikonstanten. 7

8 Karakteristisk egenskaber Logaritmefunktioner L) = C + log a ) > 0) opfylder LA) = B + L), B = log a ) Potensfunktioner P ) = C r > 0) opfylder P A) = BP ), B = A r Eksponentialfunktioner E) = Ca opfylder EA + ) = BE), B = a A Specielt gælder ET + ) = E) når T = ln ln a hvis a > så E er voksende og ET / + ) = E) når T / = ln/) ln a hvis a < så E er aftagende. 8

9 En berømt grænseværdi Lad r > 0 være et positivt tal. Både potensfunktion r og eksponentialfunktionen e går mod for. Hvem vinder? Det gør eksponentialfunktionen: lim r e = 0 Hvorfor? Indsætter vi = ln t bliver r ) ln t)r ln t r = = e t t /r Da går mod når t går mod bliver r ) ln t r lim e = t lim t /r Men vi så i Lektion 6 at enhver potensfunktion vinder over den naturlige logartimefunktion, så grænseværdien til højre er 0. Denne grænseværdi ledte Thomas Malthus ) til en dommedagsteori. 9

10 Uegentlige integraler Vi definerer f) d = a N lim N a f) d hvis ellers grænseværdien eksisterer. Du kan ogås møde uegentlige integraler af formen b f) d og endda f) d. Hvis f) er en positiv funktion kan integralerne ses som arealer af ubegrænsede områder. =y^ ) Eksempel 7 For alle r > 0 er [ r d = lim r r ] N = lim r N r + r ) = r N Feks er d = og 3 d = Eksempel 8 Det uegentlige integral e t / dt = π kender I fra sandsynlighedsregningnens normalfordeling. 0 Normalfordelingen t

11 Opgave: Find 0 r e d for r =,, 3,... Løsning: Partiel integration giver r e d = r e + r r e d og derfor er 0 r e d = r 0 r e d, r, så vi kan altså finde værdierne induktivt. Vi starter med r = hvor 0 0 e [ d = 0 e d = lim e ] N N 0 ) = lim e n + = N og altså er 0 r e d = r r ) for alle naturlige tal r. 6 gammar+) r

12 Opgaver til Lektion 7. Skriv på formen e λ for en konstant λ.. Skriv e, på formen a for en konstant a. 3. Hvad er halveringstiden for E) = 3? 4. Eksamen Januar 00, Opgave 3) Der er nu en bestand af 50 Traner Grus grus) i Jylland. Det antages, at bestanden vokser eksponentielt med 0% om året. Hvornår vil der være 00 fugle? 5. Et radioaktivt stof har en halveringstid på, 3 millioner år. Hvor lang tid tager det for aktiviteten at aftage til 0% af den nuværende? 6. Find maksimumsværdien for funktionen f) = e. 7. Når billetprisen øges med 0% falder passagerantallet med 3%. Hvilken funktion taler vi om her? Hvor meget skal billetprisen øges for at passagerantallet falder med 5%? 8. En tommelfingerregel siger at fordoblingstiden for en formue, der forrrentes med p% p.a, er 70 p år. Hvordan kom jeg frem til det? Vink: ln)) 9. Den. januar 000 lægger du en 0 krone på et bord. Samtidig tænder en lommelygte og lader lysstrålen fare ud i verdensrummet. Banken giver dig 0% i rente som du modtager i 0 krone mønter og stabler ovenpå den første mønt. Hvornår bliver lysstrålen overhalet af stablen af mønter? 0. Biologer tæller antallet af fuglearter S på en række øer med areal A. Det viser sig at logaritmen til artsantallet vokser lineært lns) = 4, 5 + 0, 5 lna) som en funktion af logaritmen til arealet. Gør rede for at det betyder at artsantallet vokser som en potensfunktion af arealet. Se I. Hanski, M. Gyllenberg, Science ), ) 4. Find på en opgave hvor svaret er π 0 d. Du skal bruge ordene parabel og vinglas.