Lærervejledning Kap 1 Tal i det uendelige. Version

8 Lærervejledning Kap 1 Tal i det uendelige Version 010816 1

Tal i det uendelige Kernebogen side 4-5 Tal Fase 1 Eleven kan anvende decimaltal, brøk og procent Eleven har viden om sammenhængen mellem decimaltal, brøk og procent Tal Fase 2 Eleven kan anvende potenser og rødder Eleven har viden om potenser og rødder Regnestrategier Fase 1 Eleven kan udføre sammensatte beregninger med rationale tal Eleven har viden om regningsarternes hierarki Regnestrategier Fase 3 Eleven kan udføre beregninger med potenser og rødder Eleven har viden om regneregler for potenser og rødder Vi indleder med et kapitel om egenskaberne ved de forskellige elementære talmængder med særligt fokus på potenser og kvadratrødder samt enkle beregninger med disse. Den sidste del omkring beregning med potenstal og kvadratrødders strækkes ind i niende klasse og vil udvides med begrebet vækst og vækstfunktioner. Der repeteres desuden viden om og færdigheder i beregning med negative tal og beregninger knyttet til brøkbegrebet. Potens I stedet for at skrive den samme matematiske operation mange gange i træk, kan det være smart med en genvej. Man kan fx skrive additionen som 4 + 4 + 4 som 3 * 4 På samme måde kan multiplikationen 4 * 4 * 4 skrives som 4 3. Til beskrivelse af en sådan multiplikation anvendes fagordene grundtal eller rod for tallet 4 og eksponent for tallet 3. Vær opmærksom på at omtalen af dette som 4 i tredje ikke nødvendigvis er klart for alle elever. Vær opmærksom på, at der er forskel på potenstal og så at opløfte et tal i potens. Det sidste kan involvere alle mulige tal, mens det første er forbeholdt de naturlige tal. Der findes en række potensregneregler, hvoraf vi præsenterer nogle enkle - som udvides i niende klasse. Der indgår i opgaverne, at eleverne eksemplificerer og generaliserer sådanne beregninger. Det skal være klart at denne slags beregninger først giver mening, hvis man regner med at der er samme grundtal i potenstallet 1) a n * a m = (a * a * a. a * a) * (a * a * a a * a) = a n+m Samlet n gange Samlet m gange 2) a n : a m = a n-m 2

Det vil være centralt at eleverne har fået opbygget en tilstrækkelig talforståelse for brøker og decimaltal at man kan indse at 0,001 eller 1/1000 kan skrives som 10-3. De særlige tilfælde a 0 = 1 vil sikkert undre flere elever og her må man gøre rede for, at det er en vedtagelse som er meget hensigtsmæssig, hvis notationen med potenser skal passe. Det kan gøres ved at se på en talfølge fx 3 3 3 2 3 1 3 0 3-1 3-2 3-3 27 9 3? 1/3 1/9 1/27 Som det kan ses bliver tallene 3 gange mindre fra venstre mod højre, dvs. at 3 1 ved næste trin må være 3 : 3 = 1. Der indgår omtale af den videnskabelige skrivemåde eller hvad vi også omtaler som tal på kort form. Det er store naturlige tal, som kan skrives som et tal mellem 1 og 10 multipliceret med en potes af 10. Bemærk også at der oftere og oftere ses notationer som E +5 som er en omskrivning af 10 5. Her kan man også henlede opmærksomheden på de betegnelser der knyttet sig til de såkaldte store tal fx Giga (græsk) gigantisk som bruges om 10 9 eller en milliard. Da vores sprog og dagligdagskommunikation er præget af engelsk kan det være hensigtsmæssigt at kende ligheder forskelle på de to sprog. Det er ikke ligegyldigt, hvad der menes når vi taler om billion og hvad man en fx amerikaner mener når han taler om billion. Ligeså omtale af små tal hvor fx ord som nano og my indgår. Navn på dansk Navn på amerikansk Tal Million Million 10 6 Milliard Billion 10 9 Billion Trillion 10 12 Billiard Quadrillion 10 15 Trillion Quintillion 10 18 Trilliard Sextillion 10 21 Kvadrillion Septillion 10 24 Kvadrilliard Octillion 10 27 Kvintillion Nonillion 10 30 Kvintilliard Decillion 10 33 Sekstillion Undecillion 10 36 Symbol 10 0 1 Deci d tiendedel 10-1 0,1 Centi c hundrededel 10-2 0,01 Milli m tusindedel 10-3 0,001 Mikro µ milliontedel 10-6 0,000001 Nano n milliardtedel 10-9 0,000000001 Piko p billiontedel 10-12 0,000000000001 Femto f trilliontedel 10-15 0,000000000000001 1 Ångstrøm 10-16 0,0000000000000001 3

De negative tal Sammen med de naturlige tal og 0 udgør de negative tal de hele tal. At se de naturlige tals udvidelse som noget før nul på tallinjen har de fleste elever givet accepteret. Her er det måske påkrævet at gør opmærksom på at de negative tal ikke har været et problem i virkeligheden som matematikken har skulle løse men et problem i matematikken som matematikken skulle løse. Det var nødvendigt at finde svar på ligninger som 5 - x = 10. Det er således ikke så let at finde eksempler på negative tal man kan referere til udover temperaturskalaer og gældsscenarier. Det gør det ikke mindre problematisk, når der skal regnes med negative tal, hvor der skal indses forskellige logiske kneb for at lade sig overbevise om det rigtige i de regneregler der er. Hovedproblemet ved beregninger med negative tal er at der bruges samme tegn fortegn og regnetegn. I opgaven 3 ( 7) repræsenterer de to ens streger henholdsvis regnetegnet minus og et negativt fortegn. Egentlig burde der have stået (+3) - (-7) men her slår den matematiske dovenskab igennem. Vi skriver fx heller ikke 3 * x men blot 3x. For at holde rede på de regneregler der er, må man opfinde nogle modeller som logisk kan forklare de handlinger der bringer et rigtigt resultat ved regning med negative tal. Vi har tidligere anvendt tallinje og bevægelse med pile. Vi har også anvendt regneskemaer som kan vise regneprincipper. I ottende præsenterer vi en anden model som anvender positive og negative knapper - se senere. En af de store vanskeligheder er at indse, at 5 - (-7) kan oversættes til regneudtrykket 5 + 7 = 12. Det kræver et logisk ræsonnement, som indeholder forståelse for at en modsat handling nulstilles hvis det er det modsatte af det modsatte altså at gå det modsatte af baglæns må være en forlæns bevægelse. Det går igen i regneregler som minus gange minus giver plus (og minus divideret med minus giver plus) ofte blot bliver en uforstået regneregel. Her vil tidligere anvendte skemaer med held kunne repeteres - se kontext 7. Rationale tal Der tales tit om elevers vanskeligheder med brøkregning og behovet for at træne det, hvilket står i kontrast til hvordan man i dag anvender tal ved beregning. I dag oversættes alle tal stort set til decimaltal evt. afrundede decimaltal ikke mindst grundet den digitale verden vi har opbygget. Der ligger dog en talforståelse i at kunne forstå nogle principper i brøkregning så vi henter tidligere viden frem og forsøger at sætte dem ind i sammenhæng med brug af decimaltal. Som ved negative tal skal man forsøge ikke kun at lære eleverne brøkregningsregler uden ad men forsøge at illustrere reglernes rimelighed og logik gennem forskellige eksempler og modeller. 4

De irrationale tal Vi bygger videre på elevenes kendskab til kvadratrod og kvadrattal fra sjette klasse og præciserer her tilknytningen til arealbegrebet. Vi indleder en første forståelse for beregning med kvadratrødder som vil blive fulgt op og uddybet i niende klasse. 5

Intro Om klassesamtalen Indled kapitlet med at tale om tal i potens fx kvadrattal eller kubiktal. Kom ind på skrivemåden, hvor der er et grundtal (en rod) og en eksponent. Brug evt. ordet opløftet til en potens. Afprøv nogle eksempler på gangestykker, som han skrives på potensform fx 4 * 4 * 4 * 4 = 4 4. Indled kapitlet med at snakke om såkaldte store tal. Anvend fx en afstand fra Jorden til Solen som er 150 000 000 km. en afstand fra Solen til nærmeste næste stjerne er ca. 4 lysår eller 36 460 730 472 580 800 meter Andre afstande Indgå i en diskussion om overskuelighed og introducer den videnskabelige skrivemåde. Fortæl om meget små tal. Anvend fx Et vandmolekyle vejer 0, 000 000 000 000 000 000 000 000 03 g En bakterie kan have denne størrelse 0,000 000 000 000 000 5 g Indgå ligeså her en samtale om en hensigtsmæssig måde at skrive dette på som fx 6 * 1/10 5 eller nemmere 6 * 10-5. Om fotoet Indled inden I ser filmen med at svare på de tre første spørgsmål hvis ikke de allerede er omtalt i den indledende samtale. Fotoet er taget fra filmen Powers of Ten som det anbefales af afspille. Den er tilgængelig på kontext hjemmeside. Filmen tager 9 minutter. Man indleder med et billede af et par som er filmet en 1 meter oppe. Derfra zoomer man ud i rummet ved at øge med en faktor 10 for hvert 10. sek. Fra 10 24 m ude i rummet zoomer man tilbage til parret i parken og går nu fra det yderste makrokosmos til mindste mikrokosmos 10-15. Diskuter efterfølgende filmen - der er flere netbeskrivelser af den. Om klasseaktiviteten I klasseaktiviteten Gæt et potenstal vil eleverne få lejlighed til at ved hovedregning og overslag at vurdere størrelsen på tal i potens. De skal for hvert kort de trækker tage stilling af hvilket tal der er størst. Der er hjælpeark med talkortene og de to vurderingskort: STØRST og MINDST. 6

Når de to deltagere har trukket hver deres kort, lægges de på bordet så begge kan se dem. Aftal en tid til vurdering af hvilket der er størst og hvilket der er mindst. Som udgangspunkt bruges der ikke hjælpemidler. Man kan have et ur, som angiver, at tiden fx 1 min er gået. Begge deltagere kan lægge størst eller mindst vurderingskortet. Har man ret efter at have beregnet det på lommeregner så notere man et point. Supplerende aktiviteter Klasseaktiviteten Eleverne kan evt. udvide spillet i klasseaktiviteten med andre regler. Det kan være at komme med forslag til, hvad potenstallet er på lang form og herefter forskellige pointtildelinger alt efter hvor langt man er fra det rigtige tal. Fx under 20 point fra 5 point. Under 50 point fra 2 point. Under 100 point fra 1 point. En model af store afstande Hvis man forestiller sig, at Jorden har en størrelse som en lille legetøjskugle med en diameter på under 1 cm og Solen er en fodbold størrelse, som voksne spiller med. Så anbringes bolden i centrum af midtercirklen på fodboldbanen og kuglen placeres ude ved det ene hjørneflag. Så passer proportionerne nogenlunde sammen. Bruges billedet med fodboldbanen og fodbolden i centrum af midtercirklen igen, når man vil vise afstanden fra Solen til dennes nærmeste stjerne Proxima, så ligger legetøjskuglen et sted i Sydafrika! Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 7

Teleskoper Kernebogen side 6-7 Læringsmål Eleverne kan omskrive tier-potens til store naturlige tal og omvendt omskrive tier-potens til brøker og decimaltal og omvendt regne med tier-potens med både positiv og negativ eksponent. Faglige og metodiske kommentarer Scenariet følger op på det indledende foto og bygger videre på scenariet fra syvende klasse om støvmider samt sjette klasses Noahs gartneri og den efterfølgende introduktion til tal i en potens. Det forventes, at de fleste elever kan omsætte fx 10 3 til 1000 men det er nyt for de fleste at en tier-potens kan have en negativ eksponent som angiver brøker, hvor nævneren består af den angivne tier-potens fx at 10-3 svarer til 1/10 3 eller 0,001. Der kan være brug for at dvæle ved den måde man omtaler fx 10 3 som 10 i tredje eller 10 i tredje potens. Man taler også om at tallet er opløftet til tredje potens. Det er nyt for eleverne at man kan regne med potenser så her bør man have en særlig opmærksomhed. Også så eleverne ser at det ikke går hvis roden er forskellig. Der vil givet stadig være elever som opfatter 10 3 som 10 * 3, hvilket gør arbejdet med opgaverne nærmest umuligt. Indledningsopgaverne har til hensigt, at forklare eleverne, hvordan teleskopet arbejder ved hjælp af en plusknap. Når eleverne trykker på knappen til forstørrelsen i teleskopet har de et fokus på virkningen af eksponenten i en tier-potens. Eleverne skal efterfølgende indleve sig i at man øger eksponenten ved først at trykke n gange og derefter m gange, så eksponenten samlet er n + m. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 4 Der er indbygget en progression i disse 4 opgaver. Det indledes med opgaver som skal introducere princippet for hvordan teleskopet forstørres - som samtidig er en opsamling på tidligere. Det følges op af en fortløbende ændring af forstørrelsen, hvor man ser hvordan addition og subtraktion af eksponenter. Eleverne skal nå frem til en form for generalisering af at a x * a y = a x + y Opgave 5 7 Her kommer tierpotens med negativ eksponent i spil. Altså når teleskopets forstørrelse bliver mindre. Eleverne kan måske med fordel bruge en brøkstreg til beregningerne fx: 10 6 * 10-2 = 10 *10 *10 * 10 * 10 * 10 / 10 * 10 = 10 * 10 *10 * 10 = 10 4 Opstillingen med at forkorte ved at strege nuller over, kan være en anvendelig systematik Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 8

Udfordringen Kapitlets udfordring lægger op til eksperimenterne med lommeregneren. Kan man fx opnå, at få samme tal, selvom man bytter om på rod og eksponent? (2 4 og 4 2 ). Hvad bliver forskellene med små éncifrede rødder og tocifrede eksponenter og omvendt? Eksempler: 1 2 = 1 2 1 = 2 4 5 = 1024 5 4 = 625 2 3 = 8 3 2 = 9 6 5 = 7776 5 6 = 15625 3 4 = 81 4 3 = 64 8 7 = 2 097 152 7 8 = 5 764 801 2 16 = 65536 16 2 = 256 5 12 = 244 140 625 12 5 = 248 832 Jo større forskel der er på rod og eksponent, des større bliver forskellen på udregningerne. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 9

Tuberkulose Kernebogen side 8 9 Læringsmål Eleverne kan omskrive fortløbende multiplikation af et tal til potens. omskrive meget små og meget store tal til den videnskabelige skrivemåde og omvendt. redegøre for forskellige notationsformer knyttet til potens. regne med potenstal med både negativ og positiv eksponent. Faglige og metodiske kommentarer Scenariet giver måske anledning til at omtale forskellige sider af sygdommen tuberkulose som står højest på listen over farlige bakterier. Det bør nok pointeres at der er ganske få tilfælde i Danmark - et par hundrede om året - som chancen for smitte er ganske lille. Hovedparten af alle tilfælde forekommer i ulande, hvor det til gengæld er ganske alvorligt. Se evt. videofilm om bakteriedeling på hjemmesiden. Vi viser regnearks og andre digitale værktøjers måde at angive tier-potens som E + 05 svarende til 10 5 - E står for det engelske ord exponent. Hvis tallene i et regneark bliver for store slår programmet automatisk en funktion til, som omsætter tallet til videnskabelig skrivemåde fx 456 000 000 000 bliver til 4,56 E+11. Den videnskabelige skrivemåde bliver nogle gange omtalt som tal på kort form frem for lang form - som man evt. kan overveje at anvende. Det kan også have andre navne som eksponentiel notation og videnskabelig notation. Den videnskabelige skrivemåde er ikke et potenstal, men man gør brug af potens ved at omsætte et tal til en faktor mellem 1 og 10 ganget med en faktor i en potens af 10. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1-2 Beskæftiger sig med regnereglerne for gange og division med potenstal med samme rod. Det kan være vanskeligt for nogle elever at skelne mellem fx at addere potenstal og så regnereglen om at addere eksponenter ved multiplikation af potenstal med samme rod. Det kan være nødvendigt at bruge tid på at omsætte regneudtryk som 2 3 * 2 4 til (2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2 * 2) i en periode. Opgave 3 Skal man skrive formler i regneark anvender man symbolet ^ (hat) for potens. Inddrag evt. lommeregnere hvor der indgår skrivemåder som y x. It og regneark - Video Bakterier Videoen beskriver, hvordan man arbejder med potens i regnearket. Anbefales set inden man går i gang med opgave 4 Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 10

Opgave 4 Udfyldning af tabellen skulle gerne lede eleverne hen mod en generalisering af at den n te værdi må have værdien 2 n - eller som eleverne lige har lært 2^n - som svar på spørgsmål c. Det er således kun de to første spørgsmål som vedrører beregninger i regnearket. Opgave 5 Bemærk at vi bruger ordet lang form i betydningen at skrive tallet helt ud uden potens notation. Opgave 6-7 Her præsenteres eleverne for første gang for en omskrivning af brøker med en tierpotens i nævneren fx 10-3 = 1/10 3 = 1/1000 = 0,001. Det er en central indsigt, så her bør nok være et ekstra fokus. Som forslået tidligere kan der være brug for at skrive regneudtrykkene helt ud for at se hvordan fx 10 * 10-3 = 10 * 0,001 = 0,01 = 10-2. Opgave 8 En udvidelse af deres viden fra forrige kapitel - som den første af regnereglerne for potenstal a n * a m = a n+m Udfordringen Det bør måske følges op af en kort snak om, hvad ordene kvadrat og kubik er udtryk for. Eleverne kan på forskellig vis prøve sig frem på lommeregner. Hvis de viste potenstal skal omsættes til kvadrattal må de kunne omsættes til x 2. Det betyder, at dem der har et lige tal som eksponent fx 5 12 vil kunne skrives som (5 6 ) 2. De samme betragtninger kan gøre med kubiktallene. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 11

Fliseforretningen Kernebogen side 10-13 Læringsmål Eleverne kan beregne arealet af et kvadrat med lommeregnerens ^ (hat) funktion. beregne sidelængden af et kvadrat med lommeregnerens kvadratrodsfunktion. bruge regnereglerne for kvadratrødder. Faglige og metodiske kommentarer Vi arbejder med at præcisere fænomenet kvadratroden af noget. Scenariet forsøger at bibringe forståelsen af, at det er det modsatte af kvadratet af noget. Det interessante er, at kvadratet af heltallige værdier bevares heltallige, mens det absolut ikke behøver være tilfældet med kvadratroden. Man omtaler nogle gange de pæne tal som fx 4 der giver værdien 2 som perfekte kvadrater. Som oftest må anvende beregninger som angiver en tilnærmet værdi. Vi forsøger via brug af lommeregner at vise, at selv om kvadratroden af fx 2 viser 1,414213562, så vil kvadratet på dette tal afvige fra 2 ved fx at give 1,9999999999 når man kvadrere tallet. Der er således tale om et irrationalt tal et ikke periodisk decimaltal, som vi kender det fra ππ. Vi har valgt at tage udgangspunkt i kvadratiske fliser og problematikken om hvordan man finder sidelængden når man kender arealet. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 Bemærk at den første opgave ikke har noget med størrelsen af de anviste fiser at gøre men beskæftiger sig med den talfølge der viser hvordan et kvadrat kan vokse i antal som anvist øverst til venstre på siden. Det skal muligvis påpeges over for eleverne. Opgave 2-7 Opgaverne er en stigende progression i at se egenskaberne bag irrationale tal samt beregninger med kvadratrod. I dette indgår forståelsen for at man ikke kan tage kvadratroden af et negativ tal idet alle tal som kvadreres bliver positivt. Det er så ikke hele historien, idet indførslen af komplekse tal netop opererer med at der er tal i som har den specielle egenskab at i²=-1. Det er imidlertid en abstraktion, som først forventes forstået på senere uddannelsesniveauer. Opgave 8 9 I denne og efterfølgende opgaver indfører vi beregninger med kvadratrod. Vi stykker de forskellige fliser sammen så man kan se hvordan multiplikation og division med kvadratrødder fungerer. Det kan være nødvendigt at tale med eleverne om at de ikke skal anvende lommeregneren for at finde en afrundet værdi. Omtal som eksempel forskellen mellem at skrive det præcise 1/3 og det tilnærmede decimaltal 0,33. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 12

Opgave 10 I arbejdet indgår der viden om, at man kan gange ind under kvadratrodstegnet således at fx 3 * 200 kan skrives som 9 * 200 = 1800. Det er centralt at eleverne accepterer regnereglen at a * b = a * b. Brug evt. eksemplet 4 * 9 = 2 * 3 = 6 = 36. Det kan generaliseres yderligere ved at konstatere at der gælder to ting: a * a= a og a 2 = a - altså må a * a= a * a Bemærk specielt opgave 10 c, hvor eleverne skal kunne se fx at 200 * 300 = 2 * 100 * 3 * 100 = 2 * 3 * 10 * 10 = 6 * 100. Opgave 11 Det er en typisk misopfattelse hos mange elever, at man mener, at a + b = a + b. Det skal derfor efterprøves nogle gange at det ikke er rigtigt. Igen kan man have glæde at de perfekte kvadrater fx viser at 4 + 9 = 2 + 3 = 5 hvilket ikke er det samme som 4 * 9 = 36 = 6. Der kan være behov for at trække det frem i opsummering efter eleverne har været gennem scenariet. Opgave 12 Eleverne får her lejlighed til at repetere deres viden ved at afprøve denne praktiske øvelse. Ved brug af almindelit A4 kopipapir er der mulighed for at folde sig ned til det 5. kvadrat med fire foldninger. De efterfølgende kvadrater må man skitsere eller beregne sig til evt. folde på ny med et mindre kvadrat, som svarer til kvadrat nr. 5. Kvadrat nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 Sidelængde (cm) 16 11,3 8 5,7 4 2,8 2 1,4 Areal (cm 2 ) 256 128 64 32 16 8 4 2 Udfordringen De fleste elever vil giver hurtigt finde ud af at der er tale om 1/8, hvis man inddeler kvadratet hensigtsmæssigt. Man kan udvide opgaven ved at bede eleverne skitsere følgende underopdelinger af et kvadrat i et kvadratnet og beregne størrelsen af arealet for et hjørne. Er der et system? Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 13

Hofskrædderen Kernebogen side 14-17 Læringsmål Eleverne kan anvende brøker ved underopdeling af enheder addere, subtrahere, multiplicere og dividere med enkle brøker. sætte brøker på fællesnævner. redegøre for fordele ved brug af decimaltal ved beregning og sammenligning af størrelser. Faglige og metodiske kommentarer Brøker var i 7. klasse knyttet tæt sammen med decimaltal og procent. Fokus var i høj grad lagt på sammenhængen mellem de tre udtryksformer og hvordan man omregnede fra brøk til decimaltal, fra decimaltal til procent og derefter modsatte rækkefølge. I 8. klasse får brøker og brøkregning sit eget scenarie idet det indgår i en forståelse af de rationale tal - som kan være en nødvendig ballast til at forstå senere algebraiske udtryk, formler og beregninger. Brøker og brøkregning er i dag stort set gået af mode - afløst af decimaltal og procent. Vi anvender det en gang imellem simple brøker som halve, tredjedel og fjerdedele i sproget når vi beskriver delen af en helhed. Det indgår få steder fx i opskrifter og på volumenangivelse på flasker. Begrundelsen skal således ikke findes i anvendelsen men i faget selv. Vi har valgt at skrue tiden tilbage til slutningen af 1600 tallet for at illustrere hvordan man kunne have behov for at underopdele længdemål i alen, fod og tommer. Vi kæder det sammen med den kongelige forordning af 1683 hvor Christian d. 5 skriver under på en lov som skal ensrette de danske længdemål. Det bliver prof. Ole Rømer som skal foretage udformningen af loven, som man kan læse mere om på nettet. Nogle af målene indgår stadig i beskrivelser fx omtaler man størrelsen på fjernsyn som tommer, det hedder stadig en tommestok osv. Længdemål 1 favn = 3 alen 1 alen = 2 fod 1 fod = 12 tommer De uvante mål kræver lidt tid at vende sig til, men det kan anbefales, at eleverne som hjælp tilføjer længdemålene på papir, hvor de udvider det med fx 1 alen = 24 tommer, 1 favn = 6 fod osv. an kan evt. også fremstille en alenlineal og indtegne streger for fod og tommer. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 3 Indledende opgaver som mest bruges til at lade eleverne anvende deres viden om de tre længdemål. Opgave 4-5 Elevene overgår fra heltallige betragtninger til brøkbetragtninger af enhederne. Det er selvfølgelig ligegyldigt hvor lang linjen er til besvarelsen, men det kan være en hjælp, at man nemt kan underopdele de 12 cm i enheder på i 24 dele på ternet papir. Overblikket fra opgave 4 skulle give hjælp til opgave 5. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 14

Opgave 6 Eleverne skal genkalde sig tidligere brøktalsarbejde om, hvordan 4 ud af 12 tommer kan beskrives som tredjedel af en alen. Opgave 7-8 Der arbejdes med regneudtryk hvor en brøk ganges med en anden brøk. De viste orange tern skal illustrere resultatet af en multiplikation mellem kvadratets to sidelængder på henholdsvis 4/6 favn og 5/6 favn - som giver 20/36 dele. Man kan lade sig overbevise ved at tælle ternene. Opgave 12 gentager beregningsprincipperne med nye tal. Opgave 9-10 Her møder eleverne opgaver omkring division med brøker som traditionelt ender med en regneregel om at man ganger. Det kan hurtigt blive til lidt hokus pokus sætninger som ofte går i glemmebogen. Appeller til eleverne om at finde gode illustrationer eller modeller som kan vise, at 6 : 2/3 = 9 Man kan evt., anvende en strimmel i lighed med en procentstrimmel som opdeles i seks dele og hver del efterfølgende i tre dele. Man kan nu ved målingsdivision tage 2/3 af gange og se, hvor mange gange det går op i 6. Brug evt. den alenlineal som kan være fremstillet Opgave 11-12 Her indgår brug af multiplikation og sammenligning af brøker. Man vil kunne omsætte det hele til mindre enheder og så regne i heltallige værdier men det er ikke hensigten i opgaven. De kan evt. være et ekstra tjek på beregningen Opgave 13 Vær opmærksom på at vi her anvender sprogbrugen ½ gange længere som også høres i hverdagssammenhænge. Hav opmærksomheden på om eleverne opfatter det som et tillæg og ikke blot tager halvdelen af 2 2/3 alen. Hjælp evt. med at omsætte længden til 8/3 så beregningerne bliver 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4 Opgave 14 Eleverne skal her opdage at en brøk divideret med en heltallig værdi svarer til at multiplicere med tallet i nævneren. Man kan her skitser en strimmel som før. Derefter inddele den i sjettedele og hver del yderligere i halve - hvilket bliver til 12 te dele. Opgave 15-17 Der sammenlignes med beskrivelser i brøkdele med beskrivelser i decimaltal. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 15

Udfordringen Den eneste sammenligning mellem de gamle mål og metersystemet er oplysningen om, at 1 alen = ca. 63 cm. Det betyder, at 1 tomme er 63 : 12 og at dette resultat yderligere skal divideres med 12 for at få en linje. Resultatet 0,4375 cm kan omsættes til ca. 4 mm. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 16

Hvor er du negativ Kernebogen side 18-19 Læringsmål Eleverne kan ordne hele tal efter størrelse. beskrive afstanden mellem to vilkårlige hele tal. anvende de fire regningsarter hvori der indgår negative tal. redegøre for forskellen mellem regnetegn og fortegn samt brugen af parenteser i regneudtryk med negative tal. Faglige og metodiske kommentarer De negative tal er på mange måder både ganske nemt og ganske besværligt - ikke mindst fordi flere af de regneregler, som knytter sig til disse tal kan være vanskelige at visualisere. Tidligere har vi anvendt tallinjen - se sjette og syvende klasse. Da et bredt kendskab til forskellige repræsentationsformer kan øge mulighederne for en generalisering af de principper og logikker der er i regning med negative, præsenterer vi i ottende en anden måde. Det er op til eleverne og dig at afgøre om den ene eller anden form er mest sigende men prøv denne som en variation. Ideen er hentet fra et svensk udviklingsprojekt gennem NCM hvor man både har brugt tallinjebevægelser i positiv og negativ retning og så denne hvor antal bliver beskrevet ved to forskellige typer - de positive og de negative. Det centrale i scenariet er at acceptere at der findes to typer af knapper - de positive blå og de negative røde knapper. En rød knap opvejer en blå knap så de neutraliseres og bliver til nul. Vi tillader os her at materialisere de negative tal dvs. at tre røde knapper udgør en mængde af negative tal nemlig - 1 + -1 + 1, som tillader os at skrive som -3. Tre blå knapper og to røde knapper bliver samlet til en blå knap - altså værdien + 1. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 Denne opgave genopfrisker placeringen af de hele tal ordnet på en tallinje. Der kan stadig være elever, som mener, at -10 må være større end -5, fordi 10 er større end 5. 2 3 Her introduceres knapperne som er scenariets gennemgående pædagogiske redskab. Afgør om det kan være hensigtsmæssig for nogle elever fx at have blå og røde centicubes til rådighed. Man kan sige at vi tydeligt skelner mellem fortegn og regnetegnet idet det kun er regnetegnene som indgår i denne beskrivelse. Fortegnet indgår implicit idet det er knyttet til en bestemt farve. Den røde farve er valgt for de negative fordi man i gældsammenhænge har negative beløb som omtales som de røde tal. I disse opgaver lærer eleverne Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 17

at en rød og blå knap ophæver hinanden og giver nul. hvis der er overskud af blå bliver tallet positivt og omvendt hvis der er flest røde knapper Opgave 4-5 I disse opgaver begynder det at blive svært idet vi skal have vist at fx - 5 - (-3) er -2. Regneudtrykket indeholder to negative tal -5 og - 3 - altså fem røde og tre røde knapper. Til forskel fra før skal vi trække 3 røde knapper fra. Det må betyde at der bliver 2 røde knapper tilbage eller resultatet -2. Spørgsmålet er nu hvordan vi kan forklare resultatet til regneudtrykket (-3) - (-5). Man skal jo fjerne fem røde knapper og der er kun 3? Her laver vi et lille kunst greb idet vi tilfører tre røde knapper og 3 blå knapper til venstre for minustegnet - altså så der er (-3) (-2) og (+2) knapper på denne venstre side. Da de 2 røde og de 2 blå knapper tilsammen giver nul, betyder denne handling ikke noget for resultatet. Der er nu samlet 5 røde knapper på venstre side og 5 røde knapper på højre side dvs. at (-5) - (-5) giver nul. Tilbage er der to blå knapper som netop er det rigtige resultat. Opgave 4b mangler følgende illustration: _ Opgave 6 Hvis vi forestiller os fire røde knapper (-4) multipliceret med 3, får vi i alt 12 røde knapper - altså resultatet -12. It og video - negative tal 1 og 2 På video demonstreres ovenstående forklaringer Udfordringen Yderligere arbejde med gange og division med negative tal. Det anbefales fortsat at tilbyde centicubes til konkretisering af opgaverne Hvis vi ganger to negative med hinanden er vi nødt til igen at lave et lille kunstgreb. 1) Vi ved at (-3) * 0 = 0 2) Så er (-3) * (5 + (-5)) = 0 idet (5 + (-5)) = 0 3) Vi ganger ind i parentesen og får (-3) * 5 + (-3) * (-5) = 4) Det betyder at (-3) * 5 må være det modsatte af (-3) * (-5) for at det kan give nul. 5) Hvis (-3) * 5 er -15 må (-3) * (-5) være 15. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 18

Aktiviteter Primtal og hemmelige koder Materialer: Papir, lommeregner Kryptering, bl.a til militære formål, er den væsentligste anvendelse af primtallene, men denne side af talteorien blev udforsket længe inden, den fandt nogen anvendelse. Faktisk var mange af de talteoretikere, som har udforsket dette område, helt overbeviste om, at det aldrig ville finde nogen anvendelse. Den eneste motivation for forskning på området var således menneskets nysgerrighed. Denne nysgerrighed vil mange elever også kunne få, hvis de indvies i talteoriens mysterier. Den analytiske talteoris fader G.H. Hardy (1877-1947) satte ligefrem en ære i at beskæftige sig med noget unyttigt: Jeg har aldrig udført noget nytttigt. Ingen af mine opdagelser har gjort, eller kan forventes at gøre, direkte eller indirekte, på godt eller ondt, den mindste forskel for verdens bekvemmelighed. (Hardy i Hoffman, P. (2001: Manden der kun elskede tal. Borgens forlag). Alligevel har primtallene (som det meste andet nytteløse matematik), inden for de sidste 30 år fx fundet anvendelse i kryptering, som bl.a militæret anvender (højst sandsynligt til den glødende pacifist Hardys store fortrydelse, hvis han havde oplevet det). At knække koder er imidlertid interessant for de fleste elever - koderne i opgave 3 kan eventuelt udvikles videre af eleverne, så de bliver endnu sværere at knække. Der er udgivet meget litteratur på området, og der gives belønning for at finde store primtal. Eleverne er som internetbrugere allerede vant til koder. De fleste ved også, at kryptering er nødvendigt for beskyttelse og sikkerhed, så ens kode ikke kan knækkes og ens indentitet derefter blive misbrugt. Aktiviteten er et eksempel på, hvordan man kan skjule beskeder og nok en øjenåbner for nogen om, hvordan matematik indgår i den slags arbejde. Det kan anbefales, at gøre aktiviteten til en par øvelse. Senere i opgave 3, kan de forskellige par, så udfordre hinanden. Brug digitale værktøjer Materialer: Anvendelse af CAS delen i GeoGebra Som supplement til brug af lommeregner og regneark er CAS ved at få større udbredelse. Det kan i nogle tilfælde være nemmere at anvende sådanne programmer end de to førstnævnte. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 19

En central del af hjælpemiddelkompetencen er at kunne vælge værktøjer hensigtsmæssigt fx vil beregning med brøker kunne leveres som et svar på brøkform hvilket hverken lommeregner (almindeligvis) og regnearket kan. De anviste eksempler giver mulighed for at undersøge notationsformen i GeoGebras CAS del men det anbefales at eleverne selv går på opdagelse. Der er ganske mange YouTube skrivelse vedrørende dette som man evt. kan lade eleverne gå på opdagelse i. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 20

Eftertanken Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: De to kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. Se senere. Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Se hjemmesiden. Evalueringsarket består af to sider. o Første side er færdighedsregning med udvalgte opgaver, som kan afsløre elevernes misopfattelser. Her anbefaler vi typisk ikke brug af digitale hjælpemidler. o Anden side er problemregning, som er mere kontekstorienterede, og hvor der skal udvises en større problemløsningsadfærd. Her anbefaler vi brug af de hjælpemidler man anvender i forvejen i klassen. Vis og forklar Beskrivelse af regnereglen for multiplikation med to potenstal med ens rødder kan med fordel startes med et par taleksempler, som eleverne selv finder på og afprøver. Eksempel 3 2 * 3 3 = 9 * 27 = 243. 3 2 + 3 = 2 5 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 Skrives grundtallet som a og eksponenterne som m og n kan opgaven læses som (a * a) * ( a * a * a) = (a * a * ) m gange n gange m + n gange eller a m * a n = a m + n En kube bliver større og større Problemstilling Til at følge udviklingen fra time til time, kan omskrivning til potenstal og iagtagelse af talfølger med fordel anvendes. Antal kuber i alt: 1-8 - 27-64 = 1 3-2 3-3 3 Overflade : 6-24 - 54-96 = (1 * 6) - (4 * 6) - (9 * 6) tallet som ganges med 6 vokser 3, 5, 7.. 0 synlig flade : 0-0 - 1-8 - 27 = 0-0 - 1 3-2 3-3 3. 1 synlig flade : 0-0 - 6-24 - 54 = 0-0 - (6 * 1) - (6 * 4) - (6 * 9) 2 synlig flade : 0-0 - 12-24 - 36 = (4 * 2) + 4 - (8 * 2) + 8 - (12 * 2) +12. 3 synlig flade : 8-8 - 8 - I opgaven med lastbilens last på 25 tons, kan 1 centicubes vægt sættes til 1 g. Der vil indgå 292 timer før man nærmer sig 25 000 000 g. Det svarer til en terning på 2 m 92 cm altså ca 3 x 3 m hvilket er realistisk at have med i en lastbil. Kontext 8 + Lærervejledning kap Tal i det undelige 010816 Side 21