Den Speielle Relatiitetsteori Kristian Jersle, 3y, Ringkjøbing Gymnasium 30-01-07-1-
Indholdsfortegnelse Indledning... 3 En begienhed... 4 Relatiitetsteori og Kinematik... 4 Tidsforlængelse... 4 Længdeforkortelse... 5 Lorentztransformationen... 7 Hastighedsaddition... 13 Relatiitetsteori og dynamik... 15 Massen af partikler i beægelse... 15 Eksperimentel bestemmelse af lysets hastighed... 16 Opgaer med relatiitetsteori... 19 Opgae 1... 19 Opgae... 0 Opgae 3... 1 Konklusion... Litteraturliste... 4 Bilagsoersigt... 5 Bilag A... 6 Galileitransformationen... 6 Bilag C... 7 Bestemmelse af lysets hastighed... 7 --
Indledning Relatiitetsteorien er en af de mest grundlæggende teorier i den moderne fysik. Jeg har i denne opgae algt at beskæftige mig med den speielle relatiitetsteori, his prinipper og antagelser er simple men har enorme konsekenser for ores opfattelser af tidligere eldefinerede begreber så som tid, længde og masse, der alle blier relatie størrelser. At tiden ikke længere er en absolut størrelse medførte efterfølgende det, man i humaniora kalder for ærdisammenbruddet 1. Det ar pludselig ikke længere nok at beskrie erden ha. sanser og iagttagelser; den tidsmæssige dimension manglede. Opfattelsen af erden, det harmoniske og oerskuelige billede skabt af Galileitransformationen, ble pludselig ændret og uoerskueligt. Disse fysiske konsekenser af relatiitetsteorien kan på en måde sammenlignes med Nietzshes berømte sætning: Gud er død, hor garanten for etik, moral og adfærd pludselig forsinder. En af tilærelsens tilsyneladende konstanter forsinder og efterlader et tomrum. For fysikerne derimod hade relatiitetsteorien en forløsende konsekens. Pludselig ar det muligt at beskrie fænomener, der ar bleet obsereret modstridende med Galileitransformationen ed at opstille matematiske modeller ha. Einsteins teorier. Tidligere hade det nemlig ist sig, at den klassiske mekaniks loe ar utilstrækkelige, når det drejede sig om beægelser, der foregik med hastigheder i nærheden af lysets. Det er på baggrund af disse konsekenser, jeg finder dette emne meget interessant at beskæftige sig med, horfor jeg har algt at skrie min større skriftlige opgae indenfor dette område. Jeg il i denne opgae starte med at udlede relatiiteten på begreberne tid og længde. Herefter il jeg udlede formlerne, der skal erstatte Galileitransformationen med Lorentztransformationen for inertialsystemer i translati beægelse. Derefter il jeg udlede, horfor masse også er relati. Til slut il jeg behandle et forsøg, hor jeg bestemmer lysets hastighed for derefter at regne nogle opgaer, hor jeg benytter den speielle relatiitetsteori. Opgaerne er selkonstruerede, så der tages forbehold for fejl i de antagne ærdier. 1 Litteraturhåndbogen: s. 3 Jf. edlagte bilag, hor Galileitransformationen er noteret. -3-
En begienhed Som udgangspunkt il jeg slå fast, had en begienhed er. En begienhed er en hændelse, der finder sted på et gient sted og et gient tidspunkt i rummet. Begienheder kan beskries med fire koordinater: (x,y,z,t) samt en refereneramme S. Koordinaterne beskrier, hor og hornår begienheden indtraf og referenerammen fortæller horfra målingerne af koordinaterne er udført. I den speielle relatiitetsteori beskæftiger i os kun med referenerammer, der opfylder Newtons første lo om inerti. Dette betyder, at ores refereneramme ikke blier påirket af nogen kræfter udefra, horfor rammen enten er i jæn retlinjet beægelse eller står stille rammen blier altså ikke aelereret. Det skal dog bemærkes, at objekter indenfor rammen godt kan blie aelererede, selom rammen ikke aelereres. Relatiitetsteori og Kinematik 3 Tidsforlængelse Vi forestiller os, at i il måle tiden med et Feynmann ur, der består af to parallelle spejle, hor i har en lysimpuls imellem. Tiden er så defineret som den tid, det tager for lyset at komme fra det ene spejl, op til det andet og tilbage igen. Afstanden imellem spejlene kalder i for y. Den afstand, lyset tilbagelægger, er altså giet ed: t' y = t' y =., hor t ' er den tid lyset benytter på at tilbagelægge afstanden. Sætter i nu spejlene i beægelse, mens i sel er i hile og obsererer uret komme forbi os, il opstillingen se anderledes ud. Afstanden er stadigæk y, men tiden, denne afstand er om at blie tilbagelagt, er bleet ændret. Vi kalder den hilende obseratørs tidsopfattelse for t. Obseratøren har åbenbart en anden 3 Inspireret af Fysik i Grundtræk, s.100-10. Illustrationerne er gengiet efter figurerne på samme sider i Fysik i Grundtræk. -4-
tidsopfattelse, end systemet sel. Vha. Pythagoras kan i udregne sammenhængen mellem de to systemers tidsopfattelse. Feynmann uret beæger sig med den konstante hastighed. 4 = + ( ) = + ( ) = + 4( ) = + t t t t y y t t y t t 4 4 ( y) 4 4( y) 4 y 1= + t = t t = t = 4( y) 1 y t t ' = t = t = γ t' Konstanten, i ælger at kalde for γ blier udledt senere i opgaen. Underejs i denne udledning t' y benyttede jeg, at y = t' =. En af konsekenserne af den relatie tidsopfattelse er det såkaldte tillingeparadoks, der i alt sin enkelthed går ud på, at en af to tillinger sendes ud på en rumrejse nær lysets hastighed igennem en længere periode for derefter at ende tilbage til jorden, hor det her forentes, at den tilbageblene tilling er yngre end den rejsende. Paradokset er, at den tilbageblene tilling også forenter at hae en yngre tilling, der kommer tilbage efter rumrejsen. Detaljerede beregninger, jeg ikke il gennemgå, iser dog, at det er tillingen på jorden, der har ret. Når den rejsende tilling bremser sin raket for at ende den om il tiden på jorden, set fra raketten, løbe hurtigere. Dette er dog en konsekens af den generelle relatiitetsteori, da den speielle ikke beskæftiger sig med referenerammer under aeleration. ( y) Længdeforkortelse Det er ikke særlig sært at måle længden l ' af et legeme, his det er i hile i et giet referenesystem. Her benyttes bare en ganske almindelig tommestok og den målte længde kaldes for egenlængden. Som det ses på figur 3 kan man bestemme længden ha. lys. Egenlængden er da giet ed l' = 0,5 t', hor t ' er den tid, det tager for lyset at Figur 3: Egenlængden bestemt ha. lys, hor obserationen laes i samme referenesystem som legemet befinder sig i. ramme spejlet og komme tilbage. Denne obseration er laet i systemet S, men kigger i på samme -5-
situation set fra S, der beæger sig med hastigheden, er det en helt anden sag. Lysglimtet må tilbagelægge strækningen d1 = t1, da lyshastigheden også er i forhold til S (dette udledes senere i opgaen). Samtidig må lyset jo tilbagelægge strækningen d1 = l+ t1, før det reflekteres. Disse to udtryk sættes lig hinanden: l t = 1 l + t 1 t1( ) = l t = 1. Analogt finder i udtrykket for tilbageejen (d ), der har følgende to udtryk for den tilbagelagte strækning: d = l t og d = t, som nu sættes lig hinanden: l t t t l t = + = = + l Den samlede tid fra signalet sendes af sted til det er tilbage må altså ære summen af de to tidsudtryk: l l l l( + ) + l( ) l t = t1+ t t = + t = t = t = + l l t t = t = γ l = γ Da i kender til tidsforkortelse kan i indsætte denne på horfor i nu kan opskrie følgende: γ t' t' γ 1 1 l = l = γ l = l' γ l' = γl t s plads. Samtidig ed i, at t' l ' =, Denne sammenhæng iser, at en længde, der er sat i beægelse il, målt fra S, forekomme kortere, end his den måles fra S. Her skal det dog bemærkes, at S følger med længden, mens S er i hile i forhold til S. Figur 4: Længden l af legemet i beægelse med hastigheden kan også bestemmes ha. et lyssignal. -6-
Lorentztransformationen 4 I det følgende il jeg udlede Lorentztransformationen, der ser således ud: γ x ' = γ x t x = x ' t ' y' = y y = y' z' = z og z = z' x x ' t' = γ t t = γ t' Hor γ er giet ed. Vi ælger nu at udregne polynomiet ( x ') ( y ') ( z ') ( t ') + + og følgende fås: x x ( γ ) γ γ γ x' + y' + z' t' = x t + y + z t = x t + y + z t = x x x t + t 4 x + t xt t + xt x + t xt + y + z = + y + z = x x + t t x + 1 t + y + z = + y + z = x + y + z t 1 På en meget kortere og mere oerskuelig måde, kan i nu opskrie: x' + y' + z' t' = x + y + z t Det siges nu, at polynomiet er inariant oerfor Lorentztransformationen. Vi lader nu til tiden 0 en lysbølge blie udsendt fra O i en eller anden retning i S. Til tiden t il denne bølge passere punktet ( xyz.,, ) Den tilbagelagte strækning er altså giet ed x + y + z, og da i kender til lysets fart samt tiden, strækningen tog, il dette ære lig med t. Sagt på en anden måde, il polynomiet, i udregnede oenfor, på højre side ære lig med 0. Dette betyder, at enstre side også er nul eller sagt på en anden måde: x ' + y ' + z ' = t ', horfra i kan se, at 4 Inspireret af Lærebog i Fysik, s. 190ff. -7-
lyset også udbredes med hastigheden i S. Oenstående inarians bekræfter altså, at lysets akuumfart er en uniersalkonstant. Lad os betragte en begienhed P. Denne begienhed betragtes fra to forskellige inertialsystemer, S og S, hor S fjerner sig fra S med hastigheden. Kigger i på figur 5 og tænkes os, at i ælger tidsregningens begyndelse i S således, at t ' = 0 på det tidspunkt, hor O falder sammen med det forbipasserende punkt O i S. Det bemærkes, at dette er set fra inertialsystemet S. Som det fremgår på figur 5 kan det også ses, at i lægger en x-akse gennem O og O og denne er orienteret således, at O beæger sig langt aksen med den positie translationshastighed. Linjestykket OO er altså med fortegn til tidspunktet t bestemt ed: OO ' = t (set fra S) Figur 5: To inertialsystemers indbyrdes beægelser. For kilde se litteraturliste. Lægger i nu gennem O og O en x -akse, således at O i forhold til S beæger sig med en positi translationshastighed. Da de to inertialsystemer er i indbyrdes samme situation oerfor hinanden og de benyttede enheder er defineret på samme måde, må i derfor kunne antage, at translationshastigheden af O set fra S er det samme som translationshastigheden af O set fra S. Altså: O ' O = t ' (set fra S') Begienheder i det ene system kan altså blie betragtet fra det andet system. Holder i os stadigæk til begienheder på absisseakserne betyder dette, at der til begienheden (,) xt i S også er en begienheden, der kan betragtes i S. Denne begienhed må ære ( x', t '). Det afgørende her er, at der til tiden t set fra S er en begienhed i punktet med absissen x, og at denne begienhed set fra S foregår til tiden i punktet med absissen. Til her begienhed (,) xt i det ene system sarer på tilsarende måde til en begienhed ( x', t ') i det andet system og omendt. Der må altså gælde: x' = f '( x, t) x= f( x', t') og t' = g'( x, t) t = g( x', t') -8-
Disse funktioner skal i nu prøe at finde. Da de to systemer ed begienheder på absisseakserne er ens, må funktionerne også ære det. Altså: x' = f( x, t) x = f( x', t') og t' = gxt (, ) t= gx ( ', t') Vi betragter nu et punkt set fra S. Dette punkt er i hile i systemet S. Punktet beæger sig i systemet S langs med absisseaksen med den positie hastighed, hor i nu har til et gient tidspunkt t: (0.1) x = ( OP ') x = ( OO ') + ( O ' P ') x = t + ( O ' P ') t t t t t ( O' P' ) x' da i betragter systemet fra S. Derimod er ( O P ) S. Vi ed altså nu, at ( ' ) følgende: l' = γ l ' t ' ' = x' his i betragter systemet fra OP må ære længdeforkortet. Af formlen for længdeforkortelse ed i Indsætter i ærdierne i formlen for længdeforkortelse finder i følgende: x ' x' = γ ( OP ' ') ( OP ' ') = t t γ De numeriske tegn er benyttet, da i arbejder med længder. Vi oenstående udtryk i (0.1): (0.) x = t + ( O ' P ') x = t x t = x ' = γ ( x t ) Vi har altså nu fundet funktionen x' = f(,) xt fra tidligere. t x' γ x' γ t Vender i nu proessen med punktet om og betragter punktet P, der er i hile i S, mens det i S beæger sig med hastigheden. Der må altså ære en hændelse ( x', t ') til et ilkårligt tidspunkt. Til det ilkårlige tidspunkt må der altså gælde: (0.3) x ' = ( O ' P) x ' = ( O ' O) + ( OP) x ' = t ' + ( OP) t' t' t' t' Det bemærkes her ligesom ed (0.1), at ( OP) t ' x, da i ser systemet fra S. Betragter i derimod systemet fra S il der gælde, at ( OP) t ' = x - der er altså tale om en længdeforkortning, horfor i nu kan opskrie følgende: x l ' = γl x = γ ( OP) ( OP) =, der nu indsættes i (0.3): t' t' γ x x (0.4) x ' = t ' + ( OP) x ' = t ' x ' t ' x γ ( x ' t ') t ' γ = γ = Nu er funktionen f( x', t ') bestemt. Vi sammenføjer nu funktionerne (0.) og (0.4): -9-
( ' ') x ' = γ x t x = γ x t Ved elimination af x i de to funktioner oenfor il i finde et udtryk for t: (0.5) (( ) ) x = γ γ x t t x = γ γx + γt t x = γ x γ t + γt ' ' ' ' ' ' ' ' ' x = γ γx γt + γt x = γ x γ t + γt x γ x + γ t = γt ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( γ ) x ( γ ) ' 1 ' 1 x ' γ x ' + γ t ' γ t ' x γ t ' γ 1 = γt + = γt t = + t = γt ' x ' 1 1 1 γ γ γ Hermed er funktionen (0.6) g( x', t ') fundet. Tilsarende finder i gxt (,) ed at eliminere : (( ) ) x γ γ x t t x γ γx γt t x γ x γ t γt = ' = + ' = + ' ( γ ) γ t x 1 γ 1 t x x t t t t x γ γ γ ' γ = γ + γ ' = + ' = γ ' ' Vi har nu ist de forrige fire funktioner. De opsummeres her: x = f ( x ', t ') = γ ( x ' t ') x ' = f ( x, t) = γ ( x t ) og γ 1 γ 1 t= gx ( ', t') = γt' x' t' gxt (, ) γt x γ = = γ Da i ed, at lysets udbredelsesfart er ens i alle retninger og alle inertialsystemer kan i nu hurtigt finde Lorentztransformationen. Vi lader t = 0, hor de to koordinatsystemers begyndelsespunkter O og O falder sammen. Der udsendes nu et lyssignal langt den positie x-akse i S; det il sige langt den negatie x -akse i S. Til tiden t = 0 målt i S passerer lyset et punkt, his absisse i S er x = t og fra S passerer lyset samme punkt til tiden, horfor punktets absisse her er x ' = t '. Vi bemærker, at der står et minus-tegn. Dette skyldes, at de to koordinatsystemer er endt modsat hinanden. Indsætter i de to udtryk for absisserne i (0.) og (0.4) får i følgende udtryk: t γ t t x = γ ( x ' t ') t = γ ( t ' t ') t = γt ' + γt ' = γ + = γ 1+ t' t' t ' γ t t ' x ' = γ ( x t ) t ' = γ ( t t ) t ' = γt + γt = γ + = γ t t t Disse to udtryk multiplieres nu for at finde et udtryk for γ : t' t t' t 1 = γ 1 γ 1 γ 1 1 γ 1 γ t t' + = = = tt' ± Her forkastes den negatie løsning i næneren, da i ed, at γ> 0. Udtrykket for γ indsættes nu i udtrykkene (0.), (0.4), (0.5) og (0.6) for at finde den færdige Lorentztransformation: -10-
1 x t x ' = γ ( x t ) x ' = ( x t ) x ' = 1 x ' t ' x= γ ( x' t' ) x= ( x' t' ) x = 1 1 ' 1 ' x x 1 1 1 t' γ t' t = γ t' x' t = x' t = γ 1 1 x x x x t' t' t = t = ' 1 ' x ' ' ' På tilsarende måde ises dette for t ' : x ' x ' t ' + t ' t = + t = 1 1 1 x 1 γ 1 t t t' = γ t x t' = x t' = γ x x t t t t' = t' = t' = x x x Hidtil har i kun beskæftiget os med begienheder, der befandt sig på absisseakserne i de to inertialsystemer. Vi il nu undersøge Lorentztransformationerne for ilkårlige begienheder i treinklede koordinatsystemer. -11-
Vi betragter nu figur 6, hor i har to inertialsystemer med deres ordinatakser. OP og OQ er lige lange, horfor Q nu er spejlbilledet af P i x-aksen. Ser i på situationen set fra S blier P og Q parallelforskudt langs med x -aksen, såfremt systemerne er i beægelse. Dette medfører, at en retlinjet beægelse i S fra Q til P gennem O også er retlinjet set fra S. O og P er altså de hilende punkter i S, og disse punkter falder til tiden t = 0 sammen med punkterne O og P. Kigger i på dette system fra S er OO P P altså et rektangel, da inklen ed O er ret. Linjestykkerne OO og PP er fra S lige lange begge lig med t. Fra S er disse to linjestykker også lige lange og er begge lig med t '. Iagttagere i begge systemer il altså ære enige om, at ordinatakserne står inkelret på deres absisseakser. Da i ed, at OPP O til enher tid er et rektangel i S må dette medføre, at l' OP = l' O' P', hor betyder, at længden er målt i S. Vi indfører nu α, der er følgende sammenhæng: l OP l OP = =α l' OP l' OP ' ' Da O og P er i hile i S, og O og P er i hile i S afhænger disse længder på ingen måde af tiden. α er altså uafhængig af tiden, horfor i i sidste ende ed, at ( OP) l OP l' ' ' ikke afhænger af de tidspunkter, hor i har laet længdemålingerne. De to inertialsystemer er i samme forhold oerfor hinanden, horfor l' ( OP ' ') og l ( OP ) også har forholdet α : ( OP) l' ' ' 1 α = eller sagt på en anden måde: α l OP = α Figur 6: Absisse- og ordinatakser på inertialsystemer. Den eneste ærdi for α, der opfylder denne betingelse må ære α = 1 α =± 1 α = 1 Den negatie løsning forkastes, da i ikke kan hae et negatit forhold imellem længder. Vi ed altså nu, at forholdet imellem længderne er 1, horfor længderne må ære de samme. Sagt på en -1-
anden måde, ed i nu, at begienhedens ordinater er ens set fra S og S. Analogt ises dette for en z- og z -akse. Hastighedsaddition 5 Vi orienterer de to inertialsystemers absisseakser til samme side og il nu betragte beægelsen af et punkt P langs denne absisseakse. Til tiden t passeres et punkt i S med absissen x og til tiden t + t passeres punktet med absissen x+ x. Tilsarende er de samme passager set fra S til tiden t' + t' x' + x'. Indsætter i i Lorentztransformationen får i: x' = γ x t x t' = γ t Og ed diision mellem disse (hastighed er jo strækning pr. tid) får i følgende: x t x x' γ ( x t) ' ( x t x ) x' t x' = = = = t t' x t' x t' x t' x γ t t t 1 1 t t x t Vi indfører nu følgende: u = ( hastigheden i S ) og u' = ( hastigheden i S' ) nu kan omskrie oenstående: u u ' = u x' t', horfor i Da ores inertialsystemer er endt i samme retning il hastighederne set fra S ære med omendt fortegn. Altså: '( ) u' u' + u = u = u u ' 1+ Hermed er det også ist, at hastigheder for en ilkårlig obseratør ikke il kunne oerstige lysets hastighed, selom det umiddelbart irker sådan. Indsætter i hastigheden i den ene af formlerne il i se, at det for obseratøren også il se ud som om, beægelsen foregår med lysets hastighed altså er antagelsen om, at lysets hastighed er den størst mulige stadigæk oerholdt. Det bemærkes, at er en af hastighederne større end, il næneren blie negati for ærdier af, der er større end nul og mindre end. Dette il betyde, at legemet set fra det ene system il beæge sig mod enstre, 5 Inspireret af Lærebog i Fysik, s. 199ff -13-
selom det set fra det andet ille beæge sig hurtigere mod højre end samme system gør det. Dette er jo absurd og bekræfter i alle fald, at lysets hastighed er den højeste hastighed et legeme, som er i forhold til et inertialsystem, kan beæge sig. For y- og y -akserne il i også indføre følgende: y' = y, som kommer direkte af Lorentztransformationen. Yderligere ed i om tiden i y- og y -aksernes retninger: x x' t' = γ t og analogt t γ t' = +, horfor i nu kan udlede formlerne, der iser hastighedsadditionen i y- og y -aksernes retninger: y t y' y uy u' y' = u' y' = uy' ' = t uy' ' = t ' x x ux γ t tγ 1 γ 1 t y Underejs benyttede i sammenhængen u y =. Tilsarende ises det for hastigheder i S: t y ' t ' y y' ' uy ' ' uy = uy = uy = t uy = t x' x' u' x' γ t' + t' γ 1 γ 1 + + t' På samme måde iser jeg nu formlerne for hastighedskomposanten i z- og z -aksernes retninger. Det benyttes, at z = z', som kommer direkte af Lorentztransformationen. Yderligere benyttes det x' x igen, at t = γ t' + og t' γ t = : z t z' z uz u' z' = u' z' = u' t z' = u' z' = og tilsarende t ' x x ux γ t γ t 1 γ 1 t z ' t ' z z' ' u ' z ' uz = uz = uz = t uz = t x' x' u' x' γ t' + γ t'1 γ 1 + + t' -14-
Relatiitetsteori og dynamik Massen af partikler i beægelse 6 Vi il nu kigge på et eksempel, hor i lader to partikler støde sammen i et uelastisk stød. Det il sige, at de to partikler kolliderer og blier til én partikel. Vores antagelse er, at massen af en partikel afhænger af partiklens hastighed, horfor i kan opskrie følgende m= m0 f(), hor m 0 angier hilemassen. Er det ikke tilfældet, at massen afhænger af hastigheden il f() ære lig med en konstant. Vi kigger på sammenstødet fra to systemer; ét i beægelse med hastigheden, S, og et, der er i hile, S. Den samlede masse og impuls må ære bearet set fra begge systemer. Kigger i på sammenstødet fra systemet i beægelse il de to partikler hae hastighederne og og il efter stødet altså ligge stille. Massebearelse: 1) m f + m f = M m f = M 0 0 0 0 0 Impulsbearelse: ) m f + m f = M 0 = 0 0 0 0 Kigger i på sammenstødet fra det hilende system il partiklen med hastigheden ifølge hastighedsaddition hae hastigheden i S : u' + + u = u = u = = f( u) u' 1+ 1+ 1+ Dette er tilfældet, da S jo netop beæger sig med hastigheden i forhold til S. Partiklen med hastigheden il, set fra S, ligge stille i S, da S jo beæger sig med hastigheden. Dette kommer også som konsekens af addition af hastigheder: u' + + 0 u = u = u = u = 0 u ' 1 ( + ) 1+ Efter stødet il den nye partikel hae farten i forhold til S, da det ene partikel før stødet hade farten 0 og det andet. Massen og impulsen er stadigæk bearet, horfor i nu kan opskrie følgende: Massebearelse: 3) m f( u) + m = M f 0 0 0 Impulsbearelse: 4) m f( u) u+ m 0 = M f m f( u) u = M f 0 0 0 0 0 Indsætter i nu den samlede hilemasse fra formel 1) i 3) og 4) fås følgende: 6 Inspireret af http://ga.randers-hf-u.dk/matlex/relatii.html#massefunktion -15-
0 () + 0 = 0 () 0 () + 0 = 0 () () 0 () + 1= 0 () m f u m M f m f u m m f f m f u m f f u og = f 1 f() m0 f( u) u = M0 f m0 f( u) u = m0 f f f( u) = u Disse to udtryk sættes nu lig hinanden: 1 1 1 = 1= = = + = f u f u f f u f() u f() u f() u I dette udtryk indsætter i nu udtrykket for u, der ble udregnet tidligere ha. hastighedsaddition: 1+ 1 1 1 1 = = = = f() u f() f() f() 1+ 1 f() = = γ Indsætter i nu f() i udtrykket for ores første antagelse får i følgende sammenhæng: m= m0 γ Hermed kan det ses, at massen af partikler i beægelser afhænger af deres hastighed. Vi ser desuden, at beæger en partikel sig med en hastighed, der er tæt på il massen blie meget større. Blier hastigheden af partiklen oer, il i få en kompleks næner i brøken for γ, hormed massen af partiklen il blie uendelig stor. Sagt på en anden måde: En partikel, der har en hilemasse forskellig fra 0 il skulle tilføres en uendelig mængde energi for at blie aelereret op til lysets hastighed. Eksperimentel bestemmelse af lysets hastighed 7 Da i nu har bestemt, at den øre hastighedsgrænse i et inertialsystem er lysets hastighed, kunne det jo ære interessant at finde en talærdi for denne hastighed. Dette har jeg prøet på at finde ha. en udgae af Mihelsons forsøg fra 1878. Forsøgsejledningen er edlagt på bilag. Der er dog en 7 Pihl og Storm: Fysiske Øelser A, 3. udgae 1973, side 41. -16-
ændring i forhold til ejledningen. Jeg benyttede en Helium-Neon-laser i stedet for en Reuterlampe og jeg benyttede mig af en tonegenerator og højtaler til at bestemme frekensen af det roterende spejl. Ved at ramme den samme frekens, som spejlet har, med tonegeneratoren kan jeg i højtaleren høre tonerne strakt meget langt ud. Hermed kan frekensen af det roterende spejl bestemmes med en præision ned til 0,5 Hz. En uddybende forklaring på denne usikkerhed kommer senere i dette afsnit. Den benyttede forsøgsopstilling kan ses på bilaget med forsøgsejledningen, og jeg il i det følgende henise til illustrationerne på samme bilag. Lyset udsendes fra laseren og når hen til det roterende spejl. Her blier det sendt længden 0,5L hen til et andet spejl, der så sender det lige tilbage i det roterende spejl. Den samlede ejlængde lyset tilbagelægger fra det roterende spejl og tilbage igen blier da 0,5L= L, og tiden det tager at tilbagelægge denne strækning er så horfor spejlet altså il hae drejet inklen L t =. Vi ælger nu at kalde inkelhastigheden af spejlet for ω, L ωt = ω før lyset kommet tilbage til spejlet (jf. illustration 13.7b på bilaget). Som det også fremgår af denne figur er lysstrålen i forhold til strålen, der kommer fra laseren, er drejet inklen ω t. Returpletten, konergenspunktet, blier derfor også flyttet denne inkel, og da ort halgennemsigtige spejl kun drejer returstrålen halfems grader il konergenspunktet flyttes inklen ω t på linealen, i måler på. -tallet skyldes, at inklen er ændret dobbelt så meget, da der er tale om en ændring af både indfalds- og udfaldsinkel. Strækningen lyspletten flyttes under rotationen kalder jeg for s, horfra i nu kan opskrie: L s = rωt s = rω, hor r er afstanden fra linealen og ind til det roterende spejl. Skries der lidt om på denne formel fås følgende udtryk for lysets hastighed: L rωl s = rω = s Vinkelhastigheden er giet ed følgende formel, hori frekensen ( ) er målt eksperimentelt: ω = πν Indsætter i nu de målte ærdier ed første måling fås følgende: -17-
ω = πν ω = π 553,5Hz ω = 3477, 74s 1 ωrl 3477,74s 5,075m 30,048m = = = 311960917,8m s 0,34m s Den relatie afigelse fra lysets hastighed 1 m s 8 teo =,9979458 10 er altså: 3119609178 9979458 beregnet m m teo 100% = s s 100% = 4, 06% teo 9979458m s Der er altså tale om en meget lille afigelse fra den teoretiske ærdi, hilket må siges at ære en meget god præstation med det udstyr og den metode, der benyttes i dette forsøg. Regner i til gengæld på de relatie usikkerheder i forsøget, ser situationen straks anderledes ud. Usikkerheden på den beregnede ærdi for lysets hastighed er udtrykt ed følgende formel: beregn s ν s ν = + beregn = + s ν s ν beregn beregn Jeg har urderet præisionen af afmålingerne og udstyrets på bilaget, hor det fremgår, had deltaærdierne er. Indsættes ores beregnede ærdi i denne formel finder i nu usikkerheden: s ν 0,0m 0,5Hz beregn = beregn beregn 311960917,8m + = s ν + 0,34m 553,5Hz s beregn = 1863449,74 m s Resultatet af lysets hastighed ed denne måling angies derfor nu: = 311980917,8m ± 1863449,74m s s Det bemærkes, at den teoretiske ærdi for lysets hastighed i dette tilfælde il ligge en smule højere den beregnede minus usikkerheden, horfor den beregnede ærdi må siges at ære beregnet til at ære for høj. Dette iser sig at ære en generel tendens ed forsøgsresultaterne. Søjlen, hor usikkerheden er trukket fra den beregnede ærdi for, iser sig at hae ærdier, der med god tilnærmelse ligger meget tæt på den teoretiske ærdi. I den sidste søjle har jeg algte at tage den beregnede minus usikkerheden og diidere denne med den teoretiske ærdi for lysets hastighed. Hermed blier det mere oerskueligt, når i har ærdier, der tilnærmelsesis er lig med 1. Denne tendens tyder på, at min ærdi for positionen af lyspletten, før spejlet roterede, er en smule forkert. -18-
Fejlkilderne i dette forsøg skyldes flere faktorer. Til dels er der jo tale om, at i benytter tonegeneratoren, der fremkalder rene sinusbølger til at finde stødtonen fra motoren, der drejer spejlet. I denne sammenhæng er det bestemt ikke sikkert, at motoren fremkalder en ren sinusbølge, men derimod en mindre pæn sinuskure. Dette medførte i forsøget, at i ikke kunne bestemme den korrekte frekens præist, horfor der er en usikkerhed på godt og el 0,5Hz ed brugen af denne metode. Forsøgets formål at bestemme en ærdi for lysets hastighed må siges at ære ellykket. Vi har bestemt ærdier, der, med god tilnærmelse, alle ligger meget tæt på den teoretiske ærdi. Dette er gjort med udstyr og måleusikkerheder, der er relatit store i forhold til de ærdier, der måles. Opgaer med relatiitetsteori Jeg har i det følgende afsnit forsøgt at konstruere nogle opgaer, der skal belyse mit teoretiske arbejde med den speielle relatiitetsteori. Opgae 1 Vi forestiller os, at der i et inertialsystem S befinder sig en lampe, der udsender en foton fra punktet x 1 = 0 på x-aksen. Fotonen blier igen absorberet i punktet x i samme system, hor i antager, at afstanden mellem udsendelse og absorption er 100m. Fotonen har altså taget tiden t om at tilbagelægge de 100m: x x1 100m 7 t = t = t = 3,33 10 s Udsendelsen og absorptionen obsereres også fra et andet inertialsystem S, der beæger sig med hastigheden i forhold til S. Antager i, at S beæger sig med hastigheden 0,95 il fotonen, set fra S, hae tilbage følgende strækning, før den absorberes: 7 ( x t ) ( 100m 0,95 3,33 10 s) x' = γ x t x' = x' = x' = 16,01m ( 0,95) Tiden, fotonen, set fra S, brugte på at tilbagelægge de 100m i S er altså: -19-
x 100m 0,95 t 3,33 10 s 7 x 8 ' ' ' t = γ t ' 5,34 10 t = t = t = s ( 0,95) Opgae I fremtiden blier det sikkert muligt at få rumskibe, der er kraftige nok til at opnå hastigheder, der nærmer sig lysets hastighed. Lad os antage, at i står på en planet og obsererer et sådant rumskib komme forbi med en hastighed på 0,9. Vores system på planeten kalder i for S, mens i kalder systemet med rumskibet for S. I S er der nogle elektriske signaler med en hastighed på 0,. Hilken hastighed har disse signaler så, når i obsererer dem fra S? Vi benytter relatiistisk hastighedsaddition: u' + 0,+ 0,9 u = u = u = 0,93 u' 0,9 0, 1+ 1+ Det bemærkes, at hastighederne set fra S ikke oerstiger lysets hastighed. Dette står i kontrast til den hastighed signalerne ille hae fået, såfremt i benyttede Galileitransformationen til at beregne den. Benyttes disse ille signalerne hae fået hastigheden: u' = u+ u' = 0,9+ 0, u' = 1,1, hilket ifølge Einsteins antagelse ikke kan lade sig gøre. Hermed står i med et eksempel på, hor Galileitransformationen ikke kan beskrie hastighederne. Vi antager nu det omendte. Lad os sige, at i ønsker at bestemme hastigheden af de elektriske signaler på rumskibet, og det eneste i ed, er rumskibets hastighed samt den hastighed, signalerne blier obsereret til at hae i S. Vi benytter igen relatiistisk hastighedsaddition: u 0,93 0,9 u' = u' = u' = 0,, hilket jo også stemmer oerens med, had i u 0,93 0,9 tidligere antog, signalerne hade. Forestiller i os, at i på planeten også hade et rumskib af samme slags som det, der flyer forbi planeten med hastigheden 0,9, il i nu undersøge, hor langt og hor tungt det forbipasserende rumskib er. I denne sammenhæng antager i, at rumskibet i hile på planeten er 1500m langt og -0-
ejer 50000kg. Vi benytter længdeforkortelse- og masseforøgelsesfunktionerne til at bestemme ærdierne for rumskibet i beægelse: l l l' = γ l l' = 1500m= l = 653,83m ( 0,9) 1 50000kg m = m0 γ m = 50000kg m = m = 114707,97kg 0,9 Opgae 3 I den stråling, der rammer jorden befinder der sig såkaldte pi-mesoner. Disse har en haleringstid på 8,6 10 s, men alligeel blier de registreret ed jordens oerflade. Vi antager, at de kommer med hastigheden 0,999, horfor i nu kan udregne den strækning, de kan tilbagelægge i deres leetid: 8 s =,6 10 0,999 s = 7,786m Hordan kan det nu ære, at mange af disse alligeel registreres på oerfladen? Ved hastigheden 0,999 er opfattelsen af længde og tid anderledes end ed de lae hastigheder. Kigger i i første omgang på mesonen fra jorden, il i bemærke, at middelleetiden er ændret i forhold til pimesonens eget system. Vi kalder jordsystemet for S, der er i hile i forhold til mesonens system S : 1 = = = 8 7 t t' γ t,6 10 s t 5,815 10 s ( 0,999) I løbet denne tid kan mesonen altså tilbagelægge (stadigæk set fra S): 7 s 0,999 5,815 10 s s 174,16m = = Kigger i nu på situationen fra mesonens system og lader dette ære hilesystemet, il afstanden fra mesonen til jorden blie opfattet anderledes. Den afstand, der fra jordsystemet ble opfattet som de 174,16m blier fra mesonsystemet opfattet som: 1 l' = γl 174,16m= γl 174,16m= l l = 7,78m 0,999 Det bemærkes, at denne længde jo netop er den længde, mesonen i sit eget system kan nå at tilbagelægge i middelleetiden. Selom to iagttagere, en fra mesonsystemet og en fra jorden, har to -1-
forskellige længde- og tidsopfattelser, er det nu klart, at de begge beregner, at mesonen kommer ned til jordoerfladen. Konklusion Ved at komme med sin relatiitetsteori i starten af 1900-tallet reolutionerede Einstein fysikken. Han iste, at herken tid, længder eller masser ar absolutte størrelser men alle ar relatie i forhold til, hordan de ble obsererede. Dette betyder med andre ord, at en person i hile ikke il obserere den samme tid som en person i jæn beægelse i forhold til den hilende person. På tilsarende måde betyder det, at en person i hile ikke il måle samme længde af et objekt, som en person i jæn beægelse ille. Sagt mere generelt, il to obseratører ikke ære enige om tiden imellem to begienheder og ej heller længden eller massen af det objekt, der er i beægelse i forhold til den ene. En obseratør i translati beægelse il oplee et længere tidsforløb, længder kortere og objekter mere massie i forhold til, had en obseratør i hile. Relatiiteten opstår i og med, at begge obseratører har ret i deres anskuelser. Konsekenserne af denne relatiitet er enorme og interessante. Den klassiske fysik har ikke kunnet forklare, horfor der forsinder masse ed radioakti stråling, fission eller fusion, horfor det har æret nødendigt at gribe fat i relatiitetsteoriens forklaring på ækialensen mellem masse og energi. Relatiitetsteorien er altså et redskab, der benyttes til at forklare meget mere komplierede proesser, end man tidligere har kunnet. Had betyder disse konsekenser så for det moderne menneske? I herdagen er det jo ikke ligefrem noget, i går rundt og tænker oer, og det er de færreste mennesker, der rent faktisk ed, had relatiitetsteorien går ud på. Når en person går tur med en hund og edkommende stopper op og lader hunden, der ejer 7½ kg, løbe lidt frem og tilbage på en græsplæne, il i hae to forskellige inertialsystemer: den løbende hund og personen i hile. Massen af hunden il faktisk tiltage i det hilende system i forhold til hundes eget system. Et kalifieret gæt på hastigheden af en hund er omkring 15 km/t, og med denne hastighed il hundens masse forøges med en mængde, der er så lille, at ikke engang min lommeregner kan regne den ud. Kunne hunden derimod beæge sig med en hastighed på 90% af lysets ille masse tiltage med irka 10 kg. Det il sige, at relatiitetsteorien faktisk ikke betyder noget i herdagen. Faktum er jo, at denne teori først og fremmest kommer til udfoldelse, når hastighederne for systemer nærmer sig lysets hastighed. Sel hastigheder på 0,1 il --
ikke ære nok. Beskæftiger man sig derimod med mekanik ed lysets hastigheder eller med kernefysik, skal man kende til relatiitetsteorien. Den speielle relatiitetsteori arbejder kun i inertielle rammer, som det også ble nænt i afsnittet, hor jeg definerede en begienhed. Dette ar Einstein ikke tilfreds med, så irka 10 år efter han udga den speielle relatiitetsteori, udga han den, had der senere ille blie kendt som den generelle relatiitetsteori. Denne er dog for stor en mundfuld at behandle, horfor jeg kun kort lige il ridse forskellene op. Udoer den allerede nænte med aelererende rammer, er det meget almindeligt at nænte, at den speielle relatiitetsteori behandler store hastigheder, mens den generelle mere kommer ind på store masser og tyngdekræfterne imellem disse. Den speielle relatiitetsteori såel som den generelle, er bleet bekræftet adskillige gange ha. eksperimenter. Tidsforlængelse er bleet konstateret ed at kigge på haleringstiden af ustabile nuklider i høj fart, hor det er bleet beist, at de ed en relatiistisk høj fart har en tidsforlængelse, der med meget god tilnærmelse sarer nøjagtigt til faktoren. Alt i alt er den speielle relatiitetsteori ikke noget almindelige mennesker går og undrer sig oer til herdag, men den er dog bleet en af grundstenene i den moderne fysik på samme måde som kantemekanikken er bleet det. Kristian Jersle -3-
Litteraturliste Bøger: - Andersen, Erik Strandgaard; Jespergaard, Paul; Østergaard, Oe Grønbæk: Databog fysik kemi, F&K Forlaget, 6. udgae 1. oplag. - Andersson, Bengt; Johansson, Karl-Erik; Staffansson, Ee: Fysik i Grundtræk, B Ellære, Munksgaard 1980. - Gjøe, Tommy; Jespersen, Lis; Keller, Ole; Møller, Jan; Vaaben, Jens: Orbit, Systime 003 - Red.: Hansen, Ib Fisher; Jørgensen, Jens Anker; Mihaelsen, Knud; Sørensen, Jørgen; Tonnesen, Lars: Litteraturhåndbogen, Gyldendal1981. - Hawking, Stephen W.: Hawkings Uniers, Gyldendal 1988. - Knudsen, Ole; Pedersen, Olaf: Lærebog i mekanik. del, Akademisk Forlag 1975. - Kragh, Helge: tid, F&K Forlaget 1986. - Pihl, Mogens; Storm, Henning: Lærebog i FYSIK, Gads Forlag 1973. - Pihl, Mogens; Storm, Henning: Fysiske Øelser A, 3. udgae 1973. - Uggerhøj, Ulrik: Tid: Den relatie irkelighed, Århus Uniersitetsforlag 005. Internetsider: - http://ga.randers-hf-u.dk/matlex/relatii.html#massefunktion - http://da.wikipedia.org/wiki/speiel_relatiitetsteori - http://en.wikipedia.org/wiki/speial_relatiity - http://da.wikipedia.org/wiki/lorentz-transformation - Kilde til figur 5: http://ontent.grin.om/binary/hade/5168/180.gif Diasshow: Følgende link er til et diasshow jeg så, da jeg ar i studiepraktik på Århus Uniersitet. Det er et show om Einstein og relatiitet. Det ble holdt af Ulrik Uggerhøj. Bemærk, at filen er stor og kræer Mirosoft Powerpoint for at kunne ises. - http://whome.phys.au.dk/~ulrik/einstein_ulrik.ppt Andet: - Den Store Danske Enyklopædi (elektronisk udgae) -4-
Bilagsoersigt Følgende bilag er edlagt opgaen: Bilag A: En liste oer Galileitransformationens formler. Bilag B: Forsøgsejledningen til forsøget, der behandles i opgaen. Bilag C: En samlet liste oer forsøgsresultaterne og usikkerhedsberegningen på resultaterne fra forsøget, der behandles i opgaen. -5-
Bilag A Galileitransformationen Galileitransformationen er beskrielsen af sted og tid i den klassiske fysik. Formlerne ser således ud: x ' = x t x = x ' t ' y' y = y = y' og z' = z z = z' t' = t t = t' For addition af hastigheder ser formlerne således ud: u' = u+ og u = u' -6-
Bilag C Bestemmelse af lysets hastighed r 5,075 m L 30,048 m Måling / Hz / s -1 s / m beregnet / (m/s) Relatie afigelse 1 553,5 3477,74 0,34 311960917,8 4,06% 341,5 145,71 0, 3706704,3 9,14% 3 439,9 763,97 0,3 8099150,7-6,7% 4 514,0 39,56 0,31 31773346,5 5,98% 5 44,0 664,07 0,3 35364097,3 17,84% 6 363,0 80,80 0,1 33144603,4 10,49% Usikkerhedsberegning s 0,0 m 0,5 Hz Måling Usikkerhed beregnet + usikkerhed beregnet - usikkerhed Forhold 1 1863449,74 330593367,5 9338468,1 0,9784385 33199743, 360406447,5 94006961,1 0,9807017 3 1905191,9 30004434,6 61939958,8 0,8737377 4 0808009,95 338541436,5 9695416,6 0,9904366 5 311350,18 38439999,5 318895,1 1,0745063 6 3003364,87 36347968, 994138,5 0,9981613-7-