Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1

Transkript

1 Kinematik Kinematik Indhold. Retlinet beægelse.... Jæn retlinet beægelse Ujæn beægelse Konstant accelereret beægelse Tilbagelagt ej ed en konstant accelereret beægelse Frit fald og lodret kast... Ole Witt-Hansen 975 (5)

2 Kinematik. Retlinet beægelse Kinematik betyder egentlig beægelseslære. I kinematikken søger man at gie en fuldstændig matematisk beskrielse af en beægelse. I denne beskrielse indføres to igtige begreber, nemlig hastighed og acceleration. I det følgende skal i betragte beægelsen af et legeme, som i normalt opfatter som en partikel, ds. et legeme, som matematisk set kan beskries ed et punkt. For udstrakte legemer, skal i kun betragte sådanne, hor alle legemets dele (partikler) udfører den samme beægelse. En sådan beægelse, kaldes for en translation. Retlinet beægelse betyder naturligis, at legemet beæger sig på eller langs en ret linie. Langs denne linie, aflæser man partiklens position s på en orienteret s-akse, kaldet en absisseakse. Partiklens beægelse på s-aksen kan beskries ed en regneforskrift, så man til ethert tidspunkt kan udregne partiklens position s. Er partiklens position s til tidspunktet t, skrier man s s(t ). Symbolet s(t), læses s af t. Idet, der til ethert tidspunkt t sarer netop én position s, siger man at s er en funktion af t. Kender man funktionen s(t), kan man udrenge positionen til ethert tidspunkt t, og man har dermed en matematisk beskrielse af beægelsen. Man får et grafisk oerblik oer funktionen s s(t), ed at tegne det grafiske billede i et koordinatsystem. Dette opnås ed at afsætte t ud af. aksen (absisseaksen) og s ud af. aksen (ordinataksen). Koordinatsystemet kaldes da for et s t diagram. Det grafiske billede fremkommer ed, at man til en passende række tidspunkter: t, t, t 3,.. t n, afsætter de tilsarende positioner: s, s, s 3,.. s n. Når man har afsat punkterne: (t, s ), (t, s ) (t 3, s 3 ),. (t n, s n ) i s t diagrammet, forbindes punkterne med en glat kure, og den fremkomne kure er det grafiske billede af funktionen s s(t). giet P På figuren (.) er ist grafen for en ejfunktion, med forskriften s(t) t 3-9t +t, hor tiden er målt i sekunder og positionen s i meter. F.eks. er s() ˑ 3-9ˑ + ˑ 4. Efter sek., befinder man sig altså 4 m fra start, s(). Af grafen kan f.eks. aflæses, at s( s) 5 m at man kørte forlæns fra t s til t s, og igen fra t s til t 3s, mens man bakkede fra t s indtil t s, at positionen s 4 m ble passeret gange, (t,5 s og t, s) og at alle positioner mellem 4 m og 5 m ble passeret 3 gange. Som i skal se, er hastigheden i beægelsen ikke konstant, for så skulle grafen ære en ret linie.

3 Kinematik 3 I interallet fra s til, s er beægelsen bremsende, (hastigheden aftagende) og fra s til 3 s accelererer beægelse (oksende hastighed).. Jæn retlinet beægelse Den simpleste beægelse er en jæn retlinet beægelse, hor den tilbagelagte ej s er ligefrem proportional med den forbrugte tid t. I dette tilfælde er ejfunktionen: s s(t). (.) s s t t t s er den konstante hastighed i beægelsen. Af den. ligning kan man se, at hastigheden i den jæne beægelse kan udregnes som den tilbagelagte s ej diideret med den forbrugte tid t. Endidere ses det, at SI-enheden for hastighed er m/s, (meter per sek), nemlig SI-enheden for længde diideret med SI-enheden for tid.. Eksempel En bil starter kl., og kører derefter med den konstante hastighed 7 km/h. a) Opskri i SI-enheder sammenhængen mellem den forbrugte tid t og den tilbagelagte ej s. b) Find endidere, hor langt bilen kommer på 5 sek., og hor lang tid det tager den at køre km. Løsning: m 7 km / h 7 m / s s [ m / s] t 36 s 3 s m s(5 s) m/s ˑ 5 s m. t 6 s h 4 min m / s s(t) t er det, man i matematikken kalder et eksempel på en lineær funktion. Indtegner man ejfunktionen s(t) t for en jæn beægelse i et s - t diagram, il punkterne ligge på en ret linie gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (,). For Dette kan efterprøes ed t tegne graferne for nogle retlinede beægelser. Man kan dog også let indse dette, ed at bemærke, at det gælder, (som ist på den nederste figur), at forholdet mellem absissen t og ordinaten s må ære den samme for alle s og t, idet t og s er sider i ensinklede trekanter, (hor forholdet mellem ensliggende sider som bekendt er konstant). His den jæne beægelser ikke begynder i (,), men starter i s (for t ), så den tilbagelagte ej til tiden t er s s. Der må derfor gælde, at s s t.

4 Kinematik 4 For en ilkårlig jæn retlinet beægelse gælder. (.3) s t + s s s t Grafen for s t + s, findes ed at forskyde grafen for s t stykket s op ad s-aksen, som ist på fig... Hastigheden kan ikke længere bestemmes som s/t, men hastigheden kan bestemmes, his man kender positionerne s og s til tidspunkterne t og t. Der gælder nemlig at: s t + s og s t + s Ved at subtrahere den første ligning fra den sidste og sætte udenfor en parentes får man: (.4) s s s s ( t t t t ) s Vi har i det sidste udtryk anendt symbolet Δ (stort græsk D ), i udtrykkene: Δs s s og Δt t t Det læses som: delta s og delta t. Anendelsen af Δ symbolet er meget udbredt i fysikken og matematikken, hor det betegner en tilækst, således er Δs den tilækst man skal gie til s for at få s. Tilækst Δ er ikke det samme som forskel, idet tilækst altid, altid betegnes, som det man slutter med minus det man begynder med. En tilækst kan, (på trods af nanet) godt ære negati, og tilæksten skal regnes med fortegn. His man f.eks. bremser, får man en negati hastighedstilækst. s Det sidste af udtrykkene (.4) er det, som man i almindelighed anender som definition. Hastigheden er den tilbagelagte ej, diideret med den forbrugte tid. På figur (.) forrige side er ist, hordan man kan aflæse Δs og Δt. s Geometrisk kaldes forholdet for hældningskoefficienten for den rette linie, så hastigheden er hældningskoefficienten for linien s t + s i s t diagrammet..5 opgae A og B skal begge nå færgen i færgeby, som ligger km borte. A og B starter samtidig i bil, og A har beregnet, at han netop når færgen, his han kører de km med konstant hastighed 8 km/h. B har et ærinde 45 km fra start, som tager min, men han håber at nå færgen, his han kører med 9 km/h (landeej) før opholdet og resten af ejen med km/h (motorej).. a) Hornår afgår færgen fra det tidspunkt, hor A og B starter? b) Når B færgen? Hornår er B i Færgeby? c) Indtegn graferne for A og B s beægelse i et s - t diagram., og aflæs af graferne, hor og hornår de passerer hinanden. d) Udregn ud fra beægelsesligningerne de nøjagtige tidspunkter, hor de passerer hinanden. 3. Ujæn beægelse His hastigheden i beægelsen ikke er konstant, kaldes beægelsen for ujæn. Figuren (3.) på næste side illustrerer et eksempel på en ujæn beægelse.

5 Kinematik 5 His et legeme har positionerne s og s til tidspunkterne t og t, definerer man middelhastigheden m (den gennemsnitlige hastighed) i tidsrummet Δt t t, som: (3.) m s t s t s Som ist på figuren, kan man geometrisk bestemme middelhastigheden, som hældningskoefficienten for den linie, som forbinder punkterne (t, s ) og (t, s ). Den iste figur sarer til en positi hastighed, men hastigheden kan naturligis ære negati, hilket betyder at man beæger sig baglæns, og at den iste linie på figuren ille pege nedad. For en ujæn beægelse kan man med tilnærmelse finde hastigheden til et giet tidspunkt, f.eks. t, ed at bestemme middelhastigheden i et meget lille tidsinteral Δt omkring t. Man kan sige, at tidsinterallet skal ære så lille, at beægelsen kan antages at ære jæn i interallet, hilket er det samme som at grafen kan betragtes som retlinet i interallet Δt. I matematikken definerer man momentanhastigheden ed differentialkotienten af s(t), hilket s betyder grænseærdien af brøken, når Δt går imod nul. 4. Konstant accelereret beægelse His man kender hastigheden til ethert tidspunkt kender man hastighedsfunktionen (t). På samme måde som for ejfunktionen s s(t),kan man tegne grafen for hastighedsfunktionen i et t (hastighed tid diagram). Eksempler på sådanne grafer er ist på side 7 figur 5.. På samme måde, som den jæne beægelse, (hor strækningen s er proportional med tiden t, s t) er den mest simple beægelse, er den mest simple ujæne beægelse den, hor hastigheden er er proportional med tiden t. aˑt, hor konstanten a, kaldes for accelerationen i beægelsen. Som det ar tilfældet med definition af hastighed, er den generelle definition af accelerationen formuleret ed hjælp af tilækster. Definition af acceleration. (4.) a His er hastigheden til t, så er Δt t og Δ. Heraf følger: a a + t a t SI-enheden ses at ære (m/s)/s m/s

6 Kinematik 6 Det sidste udtryk, er det mest generelle og almindeligt anendte for hastigheden i en konstant accelereret beægelse. His begyndelseshastigheden er, blier udtrykket a t, som tidligere angiet. His og er hastighederne til tidspunkterne t og t, gælder der ifølge det sidste udtryk i 4.: at + at + a( t t) a a t t Ofte formulerer man definitionen af acceleration, som hastighedstilæksten per tidsenhed. His hastigheden aftager med tiden, er hastighedstilæksten negati, og dermed er accelerationen også negati. Man taler da om en bremsende beægelse. Da accelerationen som giet ed 4. er konstant, omtales det som en konstant accelereret beægelse eller en jænt oksende beægelse. His accelerationen ikke er konstant, må definitionsligningen a modificeres derhen til at betyde middelaccelerationen (den gennemsnitlige acceleration) i tidsinterallet Δt. Accelerationen til et bestemt tidspunkt, kan bestemmes ed at lade tidsinterallet Δt gå imod. Både ejfunktionen og hastighedsfunktionen er lineære funktioner, så grafen for hastighedsfunktionen a t + er en ret linie med hældningskoefficient a, og som skærer. aksen i. Se figur 5.3 på side Eksempel En bil accelerer fra hile til 6 km/h på sek. og bremser noget senere, så den fra hastigheden 7 km/h holder stille efter 4 sek. For begge tilfælde ønskes beregnet: a) Den konstante acceleration i beægelsen. b) To ligninger, der iser horledes hastigheden afhænger af tiden. c) Tidspunkter, hor hastigheden er 8 km/h. Løsning: a) 3 6 km / h km / h 5, m a acc 5 km / h s,39 m / s s s 36 s a brems km / h 7 km / h 8 km / h s 5, m / s 4, s s b) acc,39 [m/s ] t brems -5, [m/s ]t+ m/s I det sidste udtryk, har i benyttet, at 7 km/h m/s. I den næste udregning anender i at 8 km/h 5, m/s. c) acc 5, m/s 5, m/s,39 [m/s ] t t 3,6 s brems 5, m/s 5, m/s -5, [m/s 5, m / s m / s ]t+ m/s t 3, s 5 m / s Vi har set, horledes hastigheden afhænger af tiden for en konstant accelereret beægelse, hilket umiddelbart følger af definitionen af acceleration. Horledes positionen afhænger af tiden er lidt mere kompliceret. Vi kan ikke blot anende, at s t, da sel afhænger af tiden. Før i laer en teoretisk udregning, il i se på et forsøg, som kan belyse dette.

7 Kinematik 7 (Nedenstående er en scanning af to sider i den gamle lærebog, da et forsøg, udført på denne måde, næppe il få plads i under isningen længere)

8 Kinematik 8 5. Tilbagelagt ej ed en konstant accelereret beægelse I almindelighed kan det ære en ret kompliceret matematik opgae at bestemme ejfunktionen s(t), når hastighedsfunktionen (t) er kendt. Det matematiske ærktøj kaldes for integration, og i skal ende tilbage til sagen i g. Her skal i blot angie en geometrisk metode, der tillader at beregne s(t) ud fra (t) i nogle simple tilfælde. Nedenfor er tegnet grafen for hastighedsfunktionen for en retlinet, men i ørigt ilkårlig beægelse. Vi minder om, at for en ilkårlig retlinet beægelse kan den tilbagelagte ej Δs i tidsrummet Δt, skries som: Δs m Δt, hor m er (middel)hastigheden i interallet Δt. Af grafen fremgår, at Δs mˑδt kan udregnes geometrisk som arealet af et lille rektangel: højde m gange bredde Δt. Som figuren iser, sarer arealet af den lille strimmel med god tilnærmelse til arealet under grafen for hastighedsfunktionen (t) i tidsinterallet Δt, og tilnærmelsen blier bedre jo mindre Δt er. His man så ønsker at udregne den tilbagelagte ej s i et længere tidsrum, f.eks. fra t til t n, så kan det gøres ed at dele interallet [t, t n ] op i en række små delinteraller Δt, Δt, Δt 3, Δt n, og udregne den tilbagelagte ej Δs Δt, Δs Δt, Δs 3 3 Δt 3,, Δs n n Δt n i hert af disse interaller. Summen af alle Δs erne il ære den samlede tilbagelagt ej, men ifølge det foregående, il det også ære lig med arealet under grafen for (t) i interallet [t, t n ], som ist på den anden figur. Dette fører til følgende sætning (5.): Den tilbagelagte ej s i tidsinterallet fra t, til t n kan geometrisk bestemmes som arealet under grafen for hastighedsfunktionen (t) i interallet [t, t n ]. I nogle tilfælde er det ret simpelt at bestemme arealet under -t grafen, og det il i nu udnytte, had angår beægelse med konstant acceleration.

9 Kinematik 9 Vi betragter først tilfældet: Konstant accelereret beægelse uden begyndelseshastighed, som sarer til grafen til enstre. Her gælder: at. For at bestemme den tilbagelagte ej s fra til t, skal i ifølge det foregående udregne arealet under linien at. Men det er arealet af en trekant med kateterne t og t, så arealet er (½ højde x grundlinie): s ½tˑat > s ½at. Vi ser dernæst på tilfældet konstant accelereret beægelse med begyndelseshastighed, som ist på grafen til højre. Hastighedsfunktionen er: at +. Den tilbagelagte ej s er lig med arealet under linien fra til t. Arealet kan udregnes på to måder: Enten som arealet af et rektangel med siderne og t, som er t plus arealet af en trekant med kateterne t og at + - at, som er ½at. Her med får man udtrykket for tilbagelagte ej: s ½at + t. Arealet kan også udregnes som arealet af et trapez: (½højde x summen af de parallelle sider). s ½t ( + at + ) ½at + t. Vi har antaget at begyndelsesposition s(), men his begyndelsespositionen er s() s, skal denne blot adderes til højre side af udtrykket for s. Idet formlerne for konstant accelereret beægelse er meget igtige, samler i dem nedenfor i skematisk form. 5.3 Grundlæggende formler for beægelse med konstant acceleration Uden begyndelseshastighed Med begyndelseshastighed Hastighed: Position: at at + s ½at s ½at + t + s His man ønsker at kende den strækning, der er gennemløbet, når man har opnået en gien hastighed, så kan det ikke umiddelbart lade sig gøre med formlerne oenfor. Man blier nemlig nødt til at bestemme tidspunktet først. Det er derfor ofte praktisk eller nødendigt at kende sammenhængen mellem position s og hastighed, uden at tiden t indgår. Dette kan gøres ed at eliminere t (fjerne t fra ligningerne) i hert af de to tilfælde oenfor. Uden begyndelseshastighed: t s ½at s ½a as a Med begyndelseshastighed: a t s ½at + t + s s s ½a + a a a a + + a( s s) s s a Vi finder således to formler, som ofte benyttes sammen med 5.3 (s--a formler) (5.4) as a( s s )

10 Kinematik Af formlen 5.4 fremgår blandt andet, at den ejlængde, der skal køres for (med konstant acceleration) at opnå en bestemt hastighed, okser proportionalt med kadratet på hastigheden (proportionalt med ) ed positi acceleration. For negati acceleration betyder formlerne, at bremselængden er proportional med kadratet på hastigheden, noget som bekendt har betydning for fartgrænserne ed bilkørsel. 5.5 Eksempel For en personbil bestemmes bremselængden til,5 m ed hastigheden 36 km/h. Vurder bremselængden ed motorejshastighed 8 km/h. Løsning: Vi antager at bremsningen sker ed den samme konstante acceleration i begge tilfælde. Vi anender den anden af formlerne i (5.4) til at bestemme accelerationen ud fra den første oplysning. Vi indsætter derfor s m, s,5 m, m/s, 36 km/h m/s a ( s s ) m / s a 5 m 4, m / s Bemærk, at a automatisk blier negati, når i anender formlen korrekt. Vi kan nu bestemme bremselængden ed 8 km/h i, ed at indsætte a -4, m/s,, 8 km/h 3ˑ36 km/h 3 m/s i den samme formel, men isolerer nu s s. 9 m / s s s s s, 5 m a 4, m / s Vi har bestemt bremselængden ed først at udregne accelerationen, men i finder det samme resultat ed at bemærke, at bremselængden okser proportionalt med kadratet på hastigheden, sammenholdt med at 8 km/h 3ˑ36 km/h, så bremselængden okser med en faktor 3, og 9ˑ,5 m,5 m. 6. Frit fald og lodret kast Det er en eksperimentel erfaring, at nær jordens oerflade falder alle legemer uafhængig af udformningen og massen med den samme konstante acceleration. Dette gælder dog kun i den udstrækning, at man kan se bort fra luftmodstanden, hilket langtfra altid er tilfældet. His faldet sker i acuum (lufttomt rum), gælder det imidlertid uden indskrænkning. Den konstante acceleration kaldes for tyngdeaccelerationen og betegnes med g. Tyngdeaccelerationen arierer en smule fra sted til sted på jordens oerflade. I Danmark har tyngdeaccelerationen ærdien: g 9,8 m/s På normalstedet i Paris er tyngdeaccelerationen: g Paris 9,8665 m/s Et frit fald er en retlinet beægelse med konstant acceleration g, og ælger i at orientere s-aksen opad, gælder der ifølge (5.3) beægelsesligningerne: (6.) a g gt s s + t gt 6. Eksempel Det lodrette kast er et specielt eksempel på et frit fald, hor en partikel tildeles en begyndelseshastighed lodret opad, horefter partiklen beæger sig kun påirket af den konstante acceleration -g. Vi skal her gennemregne et eksempel, hor partiklen kastes op med en hastighed m/s.

11 Kinematik Idet partiklen starter sin beægelse ed s er beægelsesligningerne ifølge 5.3. a -g gt s t ½ gt Det lodrette kast er skitseret nedenfor sammen med t og s t graferne for beægelsen. t grafen er en ret linie med hældning -g, mens s t grafen er en parabelbue Vi il nu udregne:. Hor langt partiklen når op (stighøjden).. Hor lang tid, der forløber inden partiklen ender tilbage, og had hastigheden er til dette tidspunkt. 3.Hastighed og acceleration, når partiklen befinder sig i den hale stighøjde. Det er almindeligt, at man først laer udregningerne med bogstaer, og enter med at indsætte tallene til sidst. Gør man dette er det også langt lettere at opdage regnefejl. Løsning. Den øerste position, hor partiklen ender er karakteriseret ed at hastigheden er. gt t g Dette tidspunkt, indsættes da for at bestemme positionen s. t s t gt s g g g g Indsætter i her m/s og g 9,8 m/s, finder man stighøjden. ( m / s) s, 4 m 9,8 m / s. Når partiklen ender tilbage er s. Dette indsætter i ud udtrykket for s og løser en. gradsligning for at finde tidspunktet for tilbagekomst. t ½gt t( ½gt) t t g s Vi finder løsningen t i oerensstemmelse med at partiklen afskydes til dette tidspunkt. Tidspunktet for tilbagekomst er da den anden løsning. Ved sammenligning ser man i ørigt, at det er nøjagtig det dobbelte af den tid det tager for partiklen at nå sin øerste position. g

12 Kinematik Indsættes ærdierne fra eksemplet fås: m s t 4 / 4, 7 s 9,8 m / s For at bestemme hastigheden ed tilbagekomsten, indsættes dette tidspunkt i udtrykket for. t g gt g g Partiklen ender altså tilbage med en hastighed, der er lige så stor men modsat rettet begyndelseshastigheden. Vi skal senere se, at dette er en konsekens af en mere omfattende lo om energibearelse. 3. Her kan man med fordel benytte relationen (5.4): a(s s ). Vi indsætter a -g og s s /4g (Den hale stighøjde) og finder: ( g) 4g De to ærdier sarer naturligis til at partiklen er på ej op eller ned. Indsættes m/s fås 4, m/s og -4, m/s. Vi bemærker til slut, at partiklens acceleration er konstant lig med -g den samme under hele kastet. 6.3 Opgaer. En formodentlig sindsforirret mand springer ud fra toppen af rundetårn! (frit fald 36 m). a) Hor mange sekunder arer faldet? b) Med hilken hastighed (km/h) rammes fortoet?. En bil antages at bremse med konstant acceleration. Ved hastigheden 6 km/h er bremselængden m. a) Beregn accelerationen i m/s, og opskri ej- og hastighedsfunktionen for beægelsen under bremsningen. b) Had blier bremselængden, his hastigheden er km/h? I ådt føre nedsættes bremseenen, ds. accelerationen med 4%. c) Beregn for ådt føre bremselængderne ed 6 km/h og km/h. Ofte taler man om den effektie bremselængde, i det man indregner det stykke som bilen beæger sig i førerens reaktionstid, som sættes til sek. fra en forhindring opdages. d)beregn de effektie bremselængder i tørt føre ed hastighederne 6 km/h og km/h. 3. En stilladsarbejder taber en øl fra 4. sals højde. (Frit fald 7 m). a) Hor lang tid forløber der, før han hører flasken knuses. (Det antages at lydens hastighed er 34 m/s) 4. En Morris 85 ( 6 km/h på sek.) holder ed et stoplys ed siden af en BMW. ( 6 km/h på 6, sek.) Når lyset skifter accelerere de bege op til 6 km/h, og holder derefter denne hastighed. a) Hor langt foran Morris en er BMW en, når Morris en når de 6 km/h.