Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Transkript

1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable og introducerer i den forbindelse Cauchy-Riemann betingelserne. Af og til er der nogle kommentarer i en parentes, såsom (er det åbenlyst?) eller (enig?). Meningen med disse er, at I skal standse op og tænke oer om det er åbenlyst. Som i den gamle historie om, at en barber i en landsby i Zartidens Rusland hade sat skiltet op: Her bor den barber, der barberer alle dem, der ikke baberer sig sel. Sar på spørgsmålet: Barberer han sig sel? kræer en smule tankeirksomhed. (Specifikationen Zartidens Rusland gør det lette sar, at barberen er en kinde, usandsynlig.) Nederst I opgaesættet finder I en inspirationsopgae eller måske snarere en række kommentarer. I denne opgae drejer det sig om at koble translation og rotation i en plan sammen med komplekse tal. F.eks. I kantemekanik iser det sig, at rotation er en igtig operation. Jeg regner med, at der er opgaer nok til at fylde tiden ud. Når I ikke dem alle er det ikke nogen katastrofe. 1. Angi z = 1 + i 2 2 på formen z = r exp(iφ). Udregn z 2 og z 3 både for formen x + iy og r exp(iφ). Had er lettest? 2. For at løse den kubiske ligning x 3 = 3px + 2q gør følgende: (a) Få den geniale ide at sætte x = s + t og is, at x er løsning his st = p og s 3 + t 3 = 2q. (b) Eliminer t fra disse to ligninger og løs den resulterende kadratiske ligning i s 3. (c) Bestem så også t. Det kan gøres uden regning ud fra en symmetribetragtning og at s 3 + t 3 = 2q (d) Find så at x = 3 q + q 2 p q q 2 p 3 (e) Benyt metoden på x 3 = 15x + 4. Et hurtigt gæt iser også at ligningen har et heltal som løsning. Vis at de to løsninger stemmer oerens. (Det er ikke helt let)

2 f(z)dz = Lad c = a + ib ære et fast komplekst tal og lad R ære et reelt tal. Vis at z c = R er ligningen for en cirkel med centrum c og radius R. Gør det først ed at regne og dernæst ed at lae en figur i den komplekse plan. Find nu maximum og minimum for z his z + 3 4i = 2 - dette gøres absolut lettest på en figur. 4. Vis at med a og b faste komplekse tal er z a = z b ligningen for en ret linie og bestem hilken linie. Det gøres lettest på en figur. (Det kan også gøres ed at regne). 5. Betragt ligningen (z 1) 10 = z 10 (a) Vis geometrisk at de 9 løsninger ligger på en ertikal ret linie med Rz = 1/2 ((Tegnet R betyder realdelen af; imaginærdelen er I) Tip: Brug foregående opgae og at (z 1) 10 = z 10 z 1 = z Oerej! - det omendte gælder ikke) (b) Diider begge sider med z 10. Dette gier ligningen w 10 = 1, med w = (z 1)/z. Løs så den oprindelige ligning. (c) Udtryk z på formen x + iy og erificer (a). 6. Vis at for z = 1 er z I (z + 1) = 0 2 Gør det først ed at regne, altså sæt z = exp(iθ) og så bare derudaf. Prø dernæst at finde et geometrisk argument. 7. For en reel funktion af en reel ariable kan i i et x y-koordinatsystem på et plant stykke papir tegne en funktion y = f(x) og med et enkelt blik på den, har i en god fornemmelse af den. For en kompleks funktion af en kompleks ariabel er det lidt særere. Vi kan skrie w = f(z) = u(x, y) + i(x, y), hor w = u + i og z = x + iy og x, y, u, er reelle. Så i skal bruge fire dimensioner til en tegning. Og det kan i ikke. Lidt fornemmelse kan i godt få alligeel. Betragt fx w = z 2. Horledes il en halcirkel i z-planen (z = re iθ, r konstant og θ [0, π] komme til at se ud i w-planen? Horledes il en linie gennem origo z = re iθ, r [0, [, θ konstant komme til at se ud? Betragt nu omendt først u = konstant og dernæst = konstant Hilke kurer sarer det til x, y-planen? (Tip Find ud af had ligninger for hyperbler er).

3 f(z)dz = Eulerformlen e iφ = cos φ + i sin φ begrundes ofte i potensrækkeudiklingen. His I ikke har set det, så gør det: Skri potensrækken for eksponentialfunktionen af en imaginær ariabel. Find realdel og imaginærdel her for sig og identificer de to potensrækker med cosinus og sinus. En anden mulighed er at udnytte Cauchy-Riemann betingelserne (CR) sammen med det naturlige kra at e z skal ære differentiabel og at e x+iy = e x e iy = u(x, y)+ i(x, y) = e x φ(y) + ie x ψ(y). Løs de fremkomne differentialligninger med naturlige begyndelsesbetingelser. 9. For en kotientrække gælder: 1 + z + z z n 1 = zn 1 z 1 Sæt n = 2m og is at summen så kan skries S l + S u med S l = 1 + z 2 + z z 2m 2 S u = z + z z 2m 1 Vis at S u = zs l og bestem dermed S u. Indsæt z = exp(iθ) og is ed at se på realdel og imaginærdel her for sig, at cos θ + cos 3θ + + cos(2n 1)θ = sin 2nθ 2 sin θ og at sin θ + sin 3θ + + sin(2n 1)θ = sin2 (nθ) sin θ Inspirationsopgae Lad T betegne en translation af den komplekse plan med det (komplekse) tal, altså T z = z +. To på hinanden følgende translationer skries T T w og har effekten: T T w z = T (T w z) = (z + w) + = z + (w + ) = T w+ z Den inerse til T skries T 1 og det gælder at T T 1 = T 1 hor I er den identiske afbildning. Desuden er T 1 T = I = T Er det åbenlyst?

4 f(z)dz = 0 4 En rotation omkring et punkt a med en inkel θ il i skrie R θ a. Det er formentlig åbenlyst at en rotation omkring origo R θ 0 kan skries R θ 0z = e iθ z Vis nu ed at benytte at R θ a = T a R θ 0 Ta 1 (his det ikke er oplagt så la en tegning og tænk oer det) at R θ az = e iθ z + a(1 e iθ ) = e iθ z + k Vi kan altså skrie R θ a = T k R θ 0. En rotation omkring et punkt a kan altså betragtes som en rotation omkring origo efterfulgt af en translation med a(1 e iθ ). Prø at tegne et simpelt eksempel med a reel. Find billedet af et punkt b på den reelle akse b > a direkte ed en rotation om a og ed formlen oenfor. Omendt kan en rotation omkring origo R θ 0 efterfulgt af en translation T a altid skries som en enkelt rotation: T R θ 0 = R θ c Vis at c = /(1 e iθ ) Det omendte gælder også: R α 0 T a = R α p Bestem p For to på hinanden følgende rotationer gælder: hor R φ b Rθ a = R φ+θ c, c = aeiφ (1 e iθ ) + b(1 e iφ ) 1 e i(φ+θ) Vis at dette gælder his φ + θ ikke er et multiplum af 2π. His på den anden side φ + θ = 2nπ med n et heltal så er e i(φ+θ) = 1. Vis at i dette tilfælde gælder: R φ b Rθ a = T med = (1 e iφ )(b a) His fx φ = θ = π fås Illustrer dette på en figur. R π b R π a = T 2(b a) Endelig kan man definere en dilatations operation D r,θ a. (Dilatation findes i Retskriningsordbogen med eksempel: dilatationsfuge, men det findes ikke i Nudansk ordbog.

5 f(z)dz = 0 5 Det betyder noget i retning af udidelse. Meningen er at Da r,θ z drejer z om punktet a med inklen θ og samtidig forstørrer (formindsker) længden med faktoren r. Så D r,θ a D r,θ 0 z = re iθ z Dilatation omkring et ilkårligt punkt fås så præsist som rotation om et ilkårligt punkt: = T a D r,θ 0 T 1 a. En måske interessant opgae Den komplekse plan kan naturligis også opfattes som en to-dimensional Euklidisk plan, således at z = x + iy skries som en ektor ( ) x z = y I det følgende er et bogsta skreet med fed type en ektor, medens det samme bogsta i normal type er det samme punkt som komplekst tal. For ektorer er der to operationer af særlig interesse nemlig prikproduktet mellem to ektorer a og b giet ed a b = a b cos θ, hor θ er inklen mellem a og b. Ligeledes er krydsproduktet giet ed a b = a b sin θ Sædanligis er krydsproduktet en ektor, der stikker ud af planen. Her il i imidlertid blie i planen, i har kun en to-dimensional Euklidisk plan. Krydsproduktet blier så reinterpreteret som arealet udspændt af de to ektorer. Dette areal fås med fortegn - nemlig fortegnet af sin θ. Vis at der gælder: a b = a b + ia b (Bemærk at dette er i modstrid med alt had I hidtil har lært: at man ikke kan addere en skalar og en ektor!) Lad der nu ære giet en firkant med hjørner a, b, c, d, hor a, b, c, d følger efter hinanden mod uret. Antag at origo O ligger inde i firkanten. Arealet af firkanten A kan findes som summen af arealerne af de fire trekanter Oab, Obc, Ocd og Oda. Vis at A er giet ed A = 1 2 I(a b + b c + c d + d a) His nu origo O ligger udenfor firkanten gælder formlen så stadig? (Husk at arealer har fortegn.)