i matematikundervisningen arealer, vinkler, polygoner og vinkelsummer IT-færdighedsniveau Dette E-læringsmodul er udarbejdet af: Jacob Kjær Hansen Tommerup Skole April 2011
Indledning I dette e-læringsmodul vil jeg komme med forslag til, hvordan du som matematiklærer kan arbejde med geometri på computeren. Til arbejdet benyttes Geogebra, der er et helt igennem gratis program. Programmet kan benyttes enten i en online versioner eller downloadet på din egen computer. Geogebra finder du på www.geogebra.org. Hvorfor bruge Geogebra? Kan man ikke bare bruge passer, lineal og vinkelmåler, som det har været gjort i mange år? Jo, men jeg mener samtidig at der bør gøres brug af de gode muligheder vi har på nettet, også selvom du som lærer ikke behersker alle funktioner i programmet fra starten af. Sammen med dine elever udforsker I programmet, og sammen finder i svar og løsninger. Vi (lærere) bør udnytte, at vores elever rent faktisk bruger rigtig meget tid på IT og medier, faktisk er de 8-10 årige på nettet i en lille time hver dag (kilde: Gallups børne og ungdomsindex, efterår 2009), men væsentligt er det også, at eleverne har en vi-prøver-os-bare-frem -tilgang til de udfordringer, der ligger foran dem. Eleverne leger og eksperimenterer sig ofte frem til opgavernes løsning, og de er ikke skræmt af at det ikke lykkes i første omgang. Dette e-læringsmodul tager afsæt i matematik, nærmere bestemt opgaver omkring forskellige geometriske figurer, deres vinkler, vinkelsummer og arealer, hvilket er nogle af de færdigheder, som eleverne bør have tilegnet sig efter 6. klasse, jf. trinmål efter 6. klasse. Modulet retter sig mod elever på 5. klassetrin, men du kan selvfølgelig både op- og nedgradere, så det passer lige netop til din klasse og dine elever. Modulet er opbygget således, at du som lærer udarbejder nogle simple opgaver ud fra en nøje beskrevet fremgangsmåde, hvorefter det er elevernes tur til at arbejdet med Geogebra. Du kan også vælge, at bruge de opgaver I alligevel ville have arbejdet med i klassen, altså dem fra grundbogen, opgavehæfter eller lign. På næste side er desuden en lille læsevejledning til modulet. God fornøjelse Jacob Kjær Hansen April 2011 Side 2 af 12
Målet med e-læringsmodulet Målet med dette e-læringsmodul er, at du opnår færdigheder i at bruge Geogebra i undervisningen på 5. klassetrin. Du bliver altså i stand til at bruge programmet på et sådant niveau, der gør, at du trygt kan sætte dine elever til at arbejde med figurernes arealer, vinkler og vinkelsummer i programmet. Derudover vil du opnå et indblik i nogle af programmets funktioner, som kan være nyttige at kende til. Faghæfte 12 og 48 Fra faghæfte 12 om matematik arbejder du med flere forskellige kompetencer, bla. tankegangs- og hjælpemiddelkompetencen. I fht. trinmålene inddrages både arbejdet med tal og algebra samt arbejdet med geometri mens eleverne også indgår i dialog om matematikken og de løsninger, der fremkommer. Hvad angår relationen til faghæfte 48, så er den todelt. For det første kommer du omkring temaet Produktion og formidling, hvor det netop er elevernes fremstilling af forskellige geometriske figurer samt elevernes mundtlighed omkring arbejdet samt resultaterne, der vægtes. Det andet tema der berøres, er temaet om Kommunikation, vidensdeling og samarbejde, da dette tema netop påpeger vigtigheden af, at dine elever opnår kompetencer i fht. nogle af de mange undervisnings- og læringsressourcer der findes online. Læsevejledning Det anbefales, at du har dette e-læringsmodul og Geogebra åbnet samtidig. Derved har du mulighed for hurtigt at skifte mellem dem. Åben Geogebra (se vejledning Geogebra kort introduktion på næste side) og arranger således at du har Geogebra-programmet åbent i den ene side af skærmen og denne vejledning i den anden. Alternativt kan e-læringsmodulet selvfølgelig printes, hvorved du har hele skærmen til Geogebra. I modulet er desuden forslag til elev-opgaver samt tydelig trin-for-trin-vejledning i fht. din forberedelse. Side 3 af 12
Geogebra opstart for første gang Har du haft startet Geogebra før, så gå evt. til næste side. Ellers: Gå ind på www.geogebra.org Klik på download klik på webstart eller Applet Start Webstarten udfører en mindre installation på computeren, hvilket gør, at der kan arbejdes med programmet offline. Dette er en klar fordel, hvis man bruger bærbare, og der ikke er trådløst netværk eller hvis netværket skulle være utilgængeligt. Webstarten lægger desuden et ikon på skrivebordet, så programmet er hurtigt at starte de efterfølgende gange. Benyttes Applet en vil alt arbejde foregå online, og ingen installation er nødvendig. Klart en fordel hvis lærer eller elever ikke har rettigheder til installation af ny software. Geogebra programmet vil ikke starte! Geogebra kræver seneste version af Java, men dette burde programmet selv tjekke og om nødvendigt omdirigere til hjemmesiden, hvorfra Java kan opdateres. Skulle dette give anledning til problemer, så kontakt din IT-vejleder, der helt sikkert vil kunne hjælpe dig. Side 4 af 12
Geogebra præsentation Kender du Geogebra s opbygning: Gå til næste side! Når Java er opdateret, vil Geogebra starte i det valgte mode, og du vil se billedet til højre. Dog uden farver, der er sat på for at markere de respektive felter. Menulinie: Her kan du tilpasse programmets indstillinger. Det er bla. under Fil, at du gemmer dit arbejde. Værktøjer: Her vælger du de værktøjer, du vil benytte på Tegneblokken. Bemærk at der er en lille trekant i nederste højre hjørne af disse ikoner. Hvis du klikker på ikonet, når den lille trekant bliver rød, så ruller ikonerne ned, og der vises flere værktøjer under ikonet. Klik for at vælge. Tegneblok: Her tegnes de figurer mm, der skal fremstilles. Højreklik for bla. at sætte gitter på tegneblokken. Dette øger overskueligheden betragteligt og anbefales især til de yngste årgange, men elever på mellemtrin og i overbygningen vil også have fordel af dette. Farverne herover vil du ikke se i programmet. De er sat på billedet for at markere de enkelte områder. Algebra-vinduet: Her vil koordinater, linjers ligning og længder, arealer og meget mere blive vist efterhånden som figurerne tegnes på blokken. Vinduet kan du deaktivere/lukke på X et øverst til højre. Fortryd-knappen: En god ven hvis du får trykket på noget, der ikke var meningen. Nu er vi klar til at bruge Geogebra sæt i gang! Side 5 af 12
Opgave-forslag 1 trekanters areal Opgave 1.1 Eleverne skal undersøge trekanternes areal, hvilket kan gøres på flere forskellige måde. Eleverne kan fx tælle hele kvadrater i figuren. Måske nogen foreslår at kombinere de to trekanter med samme farve og dernæst dividere med to. Eleverne noterer arealet af figurerne i regnearket til højre. HUSK at eleverne får gemt deres arbejde gerne under et nyt navn! Lærerens forarbejde: Følgende kan gøres for at hjælpe eleverne i gang. Fjern Algebra-vinduet (Vis -> Algebra vindue). Sæt gitteret på tegneblokken (Vis -> Gitter). Få vist regneark-vinduet (Vis -> Regneark). Konstruer nu trekanter, der placeres 2 og 2, og som er kongruente. Benyt polygon-værktøjet (5. ikon fra venstre). Klik hvor hjørnerne skal være og fuldend figuren ved at klikke på første hjørne igen. Liniernes benævnelser kan fjernes (højreklik på linjen -> Vis navn). Alternativt kan værktøjet Vis/skjul navn (under 1. ikon fra højre) benyttes. Dette fungerer ved at klikke på linier, punkter mm hvor navnet skal vises hhv. skjules. Farven på trekanterne kan, for overskueligheden skyld, ændres. (Højreklik på figuren -> egenskaber -> farve) Regnearket klargøres, så eleverne kan notere (trekanternes arealer og summen af de to kongruente trekanter) i dette. Derudover skal filen gemmes og distribueres til eleverne. Dette kan gøres via mail, intranet, USB-nøgle eller lign. Skærmbillede til opgave 1.1 Opgave 1.2 Eleverne har nu (forhåbentlig) en idé om, at trekantens areal er det halve af de to trekanters areal, hvorfor der skal bygges lidt videre på dette. Eleverne konstruerer nu 10 trekanter og angiver arealerne i regnearket. OBS: Nogle elever sætter bare punkterne tilfældigt på tegneblokken og ikke i de pæne koordinatsæt, som fx (2,3) og (5,8). Trekanterne er for så vist gode, og korrekte, nok, men når denne opgaves trekanter skal genbruges i opgave 1.4, kan punkterne med fordel flyttes til pæne koordinater. Dette gør elevernes videre arbejde med opgave 1.4 lidt lettere. Lærerens forarbejde: Læreren kan med fordel have forberedt et tomt Geogebradokument, med vist gitter og regneark, mens Algebra-vinduet er fjernet. Se herover hvordan. Eleverne kan evt. også selv gøre dette. Side 6 af 12
Opgave 1.3 Introducer begreberne højde og grundlinie. Kan fx præsenteres vha. nogle trekanter tegnet i Geogebra, hvor læreren sætter højderne på figurerne. Dette gøres vha. værktøjet Vinkelret linie, der findes bag ikon nr. 4 fra venstre. Klik på grundlinien og på det punkt højden skal gå gennem. En hjælp for nogle elever er, hvis læreren konstruerer de blå trekanter der ses på billedet. Sammenholdt med den indtegnede højde får eleverne (forhåbentlig) associationer til opgave 1.1. Ved at tage produktet af højde og grundlinie og dernæst halvere dette kan eleverne finde trekantens areal. Lad eleverne tælle hvor lang hhv. højde og grundlinie er (kræver vandret grundlinie og pæne koordinater, jf opgave 1.2). Lærerens forarbejde: Læreren kan med fordel have forberedt et tomt Geogebradokument, hvor Algebra-vinduet er fjernet og hvor gitter og regneark er vist. Se hvordan i opgave 1.1. Konstruer trekanter præcis som i opgave 1.1. Giv dem evt. farve og fjern evt. også benævnelserne for punkter og linier. Vælg nu værktøjet Vinkelret linie (4. ikon fra venstre). Når dette værktøj skal bruges på fx trekanter for at angive højden, så klikkes på grundlinien (linie c), der fremhæves og dernæst på det modstående punkt (punkt C) jf. billedet til højre. Nu er højden fra punkt C og ned på linien c afsat. Opgave 1.4 Eleverne skal nu sætte højderne på de trekanter som de konstruerede i opgave 1.2. Udover højderne, skal eleverne markere hvor højden skærer grundlinien. Til dette bruges værktøjet Skæring mellem to objekter (i denne opgave mellem to linier). Værktøjet findes under 2. ikon fra venstre. Når værktøjet er valgt placeres musen, så både højde og grundlinie fremhæves, hvorefter der klikkes. Nu afsættes et punkt præcist i liniernes skæringspunkt. Eleverne skal huske at få gemt deres Geogebra-dokument evt. under et nyt navn. Lærerens forarbejde: Umiddelbart ingen, da eleverne genbruger trekanterne fra opgave 1.2 Skærmbillede til opgave 1.3 Skærmbilleder til opgave 1.3 Skærmbilleder til opgave 1.4 Side 7 af 12
Opgave-forslag Vinkler Opgave 2.1 Eleverne skal komme med deres bud på hvor store og små vinklerne er i det udleverede Geogebra-dokument. Når eleverne skal svare skal de benytte værktøjet Indsæt tekst, der findes bag ikon nr. 2 fra højre. Eleverne klikker på ikonet og dernæst ud for den vinkel de vil gætte på. Nu åbnes en tekst-boks og her skriver eleven størrelsen på vinklen og sætter selvfølgelig symbolet for grader ( ) på efter tallet. Symbolet for grader findes under den øverste drop-down-menu til højre i tekstboksen (se nederste skærmbillede i højre side). Lærerens forarbejde: I et tomt Geogebra-dokument afsættes et antal punkter. Til dette benyttes Nyt punkt-værktøjet (2. ikon fra venstre). Disse punkter skal blive til toppunkter i de vinkler der nu skal konstrueres. For at konstruere vinkelbenene klikkes på 3. ikon fra venstre, dette hedder Linie mellem to punkter. Klik på toppunktet og afsæt det ene vinkelben. Gentag og tegn det andet ben. Hvis punkterne for enden af vinkelbenene ønskes fjernet, så højreklik på punktet og dernæst på Vis objekt. Opgave 2.2 Nu skal eleverne til at måle vinkler fra opgave 2.1 og dermed finde ud af hvor præcist de har ramt vinklernes korrekte størrelser. Til dette arbejde benyttes Geogebras indbyggede vinkel-måler, der ses her til højre. Vinkelmåleren findes ved 4. ikon fra højre. Klik for at vælge dette værktøj. Når vinkelmåleren skal bruges, så klik først på højre vinkelben og dernæst venstre. Nu vises vinklens gradtal, altså vinklens størrelse målt i grader, med op til 2 decimalers nøjagtighed. Obs: Antallet af decimaler kan justeres via Afrunding under menupunktet Indstillinger. Lærerens forarbejde: Ingen. Eleverne genbruger, eller rettere arbejder videre med deres besvarelse fra opgave 2.1 Skærmbillede til opgave 2.1 Skærmbillede til opgave 2.1 Skærmbillede til opgave 2.1 Side 8 af 12
Opgave 2.3 Eleverne skal nu undersøge vinkelsummen i forskellige tre- og firkanter. Eleverne benytter vinkelmåleren i Geogebra til måling af figurernes vinkler. Vinklernes gradtal noteres i regnearket til højre. Benyt vinkelmåleren og klik inde i figuren for at Geogebra påsætter gradtallet på samtlige vinkler i figuren. Eleverne kan evt. bruge lommeregner til at udregne summen af vinklerne og notere denne nedenunder. Hvis gradtallet står oven i et af trekantens punkter, så kan tallet flyttes ved at benytte Flyt-værktøjet (ikonet helt til venstre i Geogebra). Ses her til højre. Lærerens forarbejde: Læreren kan evt. genbruge nogle af trekanterne fra opgave 1.1 suppleret med nogle firkanter. Det foreslås at der er minimum 5 trekanter og 5 firkanter. Sørg evt. også for at regnearket er synligt for eleverne (Vis -> Regneark) Opgave 2.4 Eleverne skal måle omkredsen af figurerne fra opgave 2.3. Til dette benyttes Geogebras lineal, der findes samme sted som vinkelmåleren, nemlig bag 4. ikon fra højre. Lineal-værktøjet er relativt simpelt at bruge når det først er valgt. Herefter skal eleverne blot klikke på den linie som ønskes målt. Nu skrives længden på linien i umiddelbar nærhed af linien (se de blå rammer på billedet til højre). Tallet kan flyttes, som det er beskrevet under opgave 2.3. De hurtige elever finder måske også ud af at der bare kan klikkes inde i figuren når måleværktøjet er valgt, hvorved omkredsen fremkommer inde i figuren (markeret med rød ramme på billedet). Lærerens forarbejde: Ingen, da eleverne genbruger, eller rettere arbejder videre med polygonerne fra opgave 2.3 Skærmbillede til opgave 2.3 Skærmbillede til opgave 2.4 Side 9 af 12
Opgave-forslag polygonernes vinkler og vinkelsummer Opgave 3.1: Eleverne skal undersøge, gerne vha. Geogebras vinkelmåler, hvor store de enkelte vinkler er og samtidig angive vinkelsummen for hele figuren, eller rettere polygonen. Eleverne kan tilføje tekst til polygonerne ved at klikke på 2. ikon fra højre og dernæst vælg Tekst-ikonet. Herefter klikker eleven på det sted på tegningen hvor teksten skal indsættes. Nu åbnes en tekstboks, hvor fx vinkelsummen noteres (se evt. under opgave 2.1). Lærerens forarbejde: Konstruer 5-6 forskellige polygoner i et tomt Geogebradokument (Se fremgangsmåde under opgave 1.1). Giv figurerne forskellige farver og navne (dette kan gøres meget nemt ved at højreklikke på polygonerne og dernæst vælg Vis navn). Højreklik på linierne -> Vis navn for at fjerne liniernes navne/ betegnelser. Filen skal nu gemmes og distribueres til eleverne. Dette kan gøres via mail, intranet, USB-nøgle eller lign. Opgave 3.2 For at eleverne kan udregne polygonernes arealer i opgave 3.3, er det nødvendigt at de kan opdele polygonerne i trekanter. For at kunne dele polygonerne i trekanter skal eleverne bruge værktøjet Liniestykke mellem to punkter. Vælg værktøjet og klik på de to punkter hvor liniestykket skal være mellem. Se billedet yderst til højre. Herefter kan eleverne afsætte højderne (jf. opgave 1.4). Lærerens forarbejde: Ingen. Eleverne arbejder videre med polygonerne fra opgave 3.1 Skærmbillede til opgave 3.1 Skærmbilleder til opgave 3.2 Side 10 af 12
Opgave 3.3 Eleverne skal angive areal, omkreds og samtlige vinkler på polygonerne fra opgave 3.2. Det er selvfølgelig vigtigt, at eleverne bliver guidet i den rigtige retning hvis de ingen idé har om hvordan arealet beregnes. Et hint til eleverne: Tænk i trekanter og trekanternes arealer. Eleverne skal bruge følgende værktøjer for at kunne løse denne opgave: Liniestykke mellem to punkter (se opgave 3.2) Vinkelret-værktøjet til at afsætte højderne med (se opgave 1.3) Skæring mellem to objekter (se opgave 1.4) Vinkelmåler-værktøjet (se opgave 2.3) Længde-værktøjet (se opgave 2.4). Dette værktøj skal benyttes til omkreds og til måling af højderne i trekanterne. Lærerens forarbejde: Ingen. Eleverne arbejder videre med polygonerne fra opgave 3.2. Skærmbillede til opgave 3.2 Side 11 af 12
Evaluering af undervisningen med Geogebra At undervisningen skal evalueres er der ingen tvivl om, men hvordan dette gøres er selvfølgelig meget individuelt og afhænger også af praksis på netop din skole. Dette Geogebra-forløb, der kommer omkring former, symmetri, arealer og længder bør du kigge på indholdet i fht. bla. form, indhold, sværhedsgrad, udbytte etc. Dette er parametre hvor du direkte kan justere, for på den måde, at målrette indholdet til netop din skole og dine elever. Men hvordan kan du vurdere elevernes læring? Er det dig der skal være primus motor og trække svar, løsninger og oplysninger ud af eleven? Det mener jeg ikke at det er. Eleverne bør mundtligt præsentere deres figurer og løsninger (fx vha. interaktive tavle, overhead, projektor). Dette kan gøres for dig og klassen, for dig og en mindre grupper elever eller kun for dig. Hvad der vælges er igen meget individuelt. Tag evt. afsæt i hvad der tidligere har fungeret med dine elever, men forsøg også nyt. Denne model tvinger eleverne til at reflekterer over egen indsats, engagement og produktivitet, hvilket er fundamentet for elevernes opbygning af færdigheder og kompetencer. Jeg mener det er vigtigt, at eleverne får brugt de matematiske fagudtryk de har arbejdet med i forløbet omkring de forskellige geometriske figurer. Et eksempel: Er det fx i orden at eleverne slår streger eller bør de sige: Jeg tegner en ret linie mellem punkterne I min optik er det særdeles vigtigt at matematikundervisningen får fokuseret på dette, også selvom der ikke venter en mundtlig prøve efter 9. klasse. Afsluttende kommentarer Der er selvfølgelig mange spørgsmål du bør/skal tage stilling til i forbindelse med din undervisning, ikke mindst hvorfor og hvornår er det brugbart at benytte IT i undervisningen? Et meget enkelt og helt konkret spørgsmål: Hvorfor bruge computeren og internettet til læring omkring geometri, når dette emne i mange tidligere år er blevet behandlet på bedste vis vha. papir, blyant, passer, vinkelmåler og lineal? At bruge IT som værktøj, altså til løsning af givne opgaver har vi kendt til i en længere periode, da det netop har været muligt at få computeren til at udregne produktet at to store tal eller til at generere et større antal udfald, fx i forbindelse med kast med terninger. Det er imidlertid også muligt at tænke på IT som et medie, et medie, der kan lette tilgangen af information og/eller være en hjælp i forbindelse med en præsentation af et givent emne eller område. Geogebra kan altså anvendes både som løsningsværktøj og som medie, hvor det er muligt at udtrykke og præsenterer dele af matematikkens mange sider. At Geogebra er et nyttigt værktøj, kan eksemplificeres ved, at programmet kan lette arbejdsgangen (både hos elever og lærere) i forbindelse med fremstilling af (præcise) figurer, vinkelrette linier mm. Det er selvfølgelig vigtigt, at eleverne kan bruge en fysisk passer, vinkelmåler og lineal, men hvorfor undlade at hjælpe eleverne hvis det er muligt. Der er mange andre gode grunde til både det ene og det andet, men at anskue IT i matematikken som både et værktøj og som et medie mener jeg giver rigtig god mening. Til slut vil jeg gøre opmærksom på at jeg har udarbejdet yderligere to e-læringsmoduler i stil med dette. Det ene knytter sig til former, symmetri, arealer og længder og sigter på 3. klassetrin, mens det andet omhandler medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner og er målrettet 7. klassetrin. Begge findes på http://e-laeringsmoduler.emu.dk/ Side 12 af 12