DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal benytte tillægget Polynomiumsdivision til denne ugeseddel samt noterne [FGG]: Komplekse tal, som findes på kursets hjemmeside under undevisningsmateriale. Dette er et afsnit af noter skrevet af G. Grubb, T. Gutmann-Madsen og B. Fuglede, som findes i sin helhed på IMF s hjemmeside. En vigtig grund til at gennemgå disse emner her er, at de skal benyttes i kurset LinAlg, der følger i næste blok af datalogistudiet. Men, som vi skal se, giver kendskab til disse to emner direkte fordele også i forhold til DiMS, fx i studiet af rekursionsligninger og grafer, og ved brug af Maple. Nogle hovedpointer bliver: Division af polynomier med rest foregår stort set som division af hele tal med rest, og man kan tale om, at et polynomium q(t) går op i et andet polynomium p(t). Polynomiet t α går op i polynomiet p(t) præcis når α er en rod i p (dvs. p(α) = 0). Den komplekse enhed i er et nyt tal med egenskaben i 2 = 1 Regning med komplekse tal følger ud fra reglen i 2 = 1 således at (a + ib)(c + id) = (ac bd) + (bc + ad)i 1 a + ib = a ib a 2 + b 2 Ethvert polynomium af grad 1 kan faktoriseres komplekst i førstegradsled Forelæsning 7K [Polynomiumsdivision, FGG side 39] Polynomier og deres rødder. Polynomiers division med rest. Det komplekse tal i. Regning med komplekse tal. 1
Øvelser 7K Besvar øvelserne 1, 2 og 3 i Polynomiumsdivision nedenfor. Et udvalg af opgaverne i øvelse 5.3 i [FGG] regnes ved tavlen. Du må gerne bruge Maple til at kontrollere resultaterne, idet komplekse tal x +iy indtastes som x + y I og regenoperationerne ellers foregår ligesom for reelle tal. Deltagerne gennemgår et udvalg af følgende opgaver under styring og med støtte fra instruktorerne: BKR 5.3.4, 5.3.11, 5.3.12, 5.3.24. Foreløsning 7L1 [FGG side 40-47] Repetition af regning med komplekse tal. Konjugering. Den geometriske fortolkning af komplekse tal, absolutværdi og argument. Faktorisering af polynomier, reelt og komplekst. Den komplekse andengradsligning. Mere om rekursionsligninger. Øvelser 7L Deltagerne gennemgår et udvalg af følgende opgaver under styring og med støtte fra instruktorerne: Bestem konjugeret og absolutværdi af de komplekse tal 3 + 4i, 1 4i, (1 4i) 2, (3 + 4i) 5 Løs ved inddragelse af komplekse tal rekursionsligningen a 1 = 0, a 2 = 1, a n = 2a n 1 4a n 2. To programmer ProgramA og programb løser samme opgave. ProgramA kører med en køretid a n afhængig af inputstørrelse n, og programb med en køretid b n, hvorom der gælder og a 1 = b 1 = 4 a 2 = b 2 = 12 a n = a n 1 + 6a n 2 b n = 4b n 1 4b n 2 Bestem og sammenlign størrelsesordenen af køretiderne. Forelæsning 7L2 [BKR 8.6] Opversigt over denne og forrige uges pensum med et kik fremad på kromatiske polynomier. Vejledende prøve 7 udkommer. 2
Polynomiumsdivision Lad p(t) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (1) og q(t) = b m x m + b m 1 x m 1 + + b 1 x + b 0 (2) være polynomier af grad henholdsvis n 0 og m 0. Da er produktet p(t)q(t) = a n b m x n+m + (a n 1 b m + a n b m 1 x n+m 1 + + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + a 0 b 0 et polynomium af grad n + m. Øvelse 1 Udregn polynomiet p(t) = (2t 3 + t 2 + 5)(2t 2 + 3t + 6) + (2t 7). Svarende til division af hele tal med rest beskrevet i Theorem 1 i afsnit 1.4 af KBR har vi følgende. Sætning A Lad p(t) og q(t) være to polynomier, hvor q(t) er af grad m 1. Da findes to entydigt bestemte polynomier p(t) og r(t), hvor r(t) er af lavere grad end q(t), således at p(t) = p(t)q(t) + r(t). (3) Bevis Vi nøjes med at vise (3). Entydigheden overlades til læseren. Antag at p(t) og q(t) er givet som i (1) og (2) med a n 0 og b m 0. Hvis n < m sættes p(t) = 0 og r(t) = p(t) hvorved (3) passer. Ellers sætter vi p 1 (t) = a n b m x n m, (4) som er et polynomium af grad n m 0. Da er r 1 (t) = p(t) p 1 (t)q(t) et polynomium af grad højst n 1, eftersom leddene af grad n på højresiden udgår. 3
Hvis nu r 1 (t) er af grad mindre end m, sætter vi p(t) = p 1 (t) og r(t) = r 1 (t), hvorved (3) følger af (4) ved at flytte sidste led over på venstresiden. Ellers er p(t) = p 1 (t)q(t) + r 1 (t), (5) hvor r 1 (t) er af grad m. I såfald kan vi gentage argumentet ovenfor og skrive r 1 (t) = p 2 (t)q(t) + r 2 (t), (6) hvor r 2 (t) er af lavere grad end r 1 (t). Indsættes (6) i (5) fås p(t) = (p 1 (t) + p 2 (t))q(t) + r 2 (t). Hvis nu r 2 (t) er af grad mindre end m følger (3) heraf ved at sætte p(t) = p 1 (t) + p 2 (t) og r(t) = r 2 (t). Ellers gentages argumentet med r 2 (t) i stedet for r 1 (t) o.s.v. Da r i+1 (t) hver gang er af lavere grad end r i (t), bliver graden af r i (t) mindre end m efter højst n m gentagelser, hvorved vi opnår (3). Polynomiet r(t) i Sætning A kaldes resten af p(t) ved division med q(t), og p(t) kaldes kvotienten. De kan bestemmes ved at anvende fremgangsmåden i beviset ovenfor. Eksempel Lad p(t) = t 4 +3t 3 +5t 2 1 og q(t) = 2t 2 +2t 1. Vi bestemmer resten af p(t) ved division med q(t) ved følgende opskrift: (2t 2 + 2t 1) t 4 + 3t 3 + 5t 2 1 ( 1 2 t2 + t + 7 4 ) = p(t) t 4 + t 3 1 2 t2 2t 3 + 11 2 t2 1 2t 3 + 2t 2 t 7 2 t2 + t 1 7 2 t2 + 7 2 t 7 4 5 2 t + 3 4 = r(t). Her er p 1 (t) = 1 2 t2, p 2 (t) = t og p 3 (t) = 7, hvorefter r(t) kan aflæses nederst. 4 4
I det tilfælde, hvor r(t) = 0 i Sætning A, siger vi, at q(t) går op i p(t), eller at q(t) er divisor i p(t), og vi skriver p(t) = p(t) q(t). Som bekendt er et tal t 1 rod i polynomiet p(t), såfremt p(t 1 ) = 0. Antag nu, at t 1 er rod i n te grads polynomiet p(t), og lad os bruge q(t) = t t 1 i Sætning A. Da følger, at p(t) = p(t)(t t 1 ) + a, hvor a er et polynomium af grad 0, d.v.s. en konstant. Men da p(t 1 ) = 0, fås ved indsættelse af t = t 1 at a = 0. Dette viser, at t 1 er rod i p(t) netop hvis p(t) = p(t)(t t 1 ), hvor p(t) er et polynomium af grad n 1. Ved gentagen anvendelse heraf fås, at hvis t 1, t 2,..., t n er rødder i p(t), så er p(t) = a n (t t 1 )(t t 2 ) (t t n ), hvor a n er koefficienten til højestegradsleddet. Vi siger, at polynomiet er faktoriseret i faktorer af grad 1. Her kan samme rod forekomme flere gange. Antallet af gange den forekommer kaldes rodens multiplicitet. Specielt ses, at et n te grads polynomium højst kan have n rødder. Øvelse 2 Bestem resten af polynomiet 5t 5 + 4t 4 2t 3 t 2 2t + 1 ved division med t 3 + t 2 + 2. Øvelse 3 Eftervis, at t 2 t + 1 går op i 3t 6 3t 5 + 4t 4 3t 3 + 5t 2 4t + 2. 5