DesignMat Uge 11. Vektorrum
|
|
|
- Ella Torp
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010
2 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat)
3 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V (fortsat)
4 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: (fortsat) a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 0 V så a + 0 = a, a 1 V så a + a 1 = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, 1a = a
5 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: (fortsat) a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 0 V så a + 0 = a, a 1 V så a + a 1 = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, 1a = a V er da et over L. Hvis L = R er V et reelt. Hvis L = C er V et komplekst.
6 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 (fortsat)
7 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat)
8 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a.
9 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a. Det ses af ( a) + a = a + ( a) = 0 at a er modsat til a altså, at ( a) = a.
10 Nulet er entydigt bestemt: Hvis 0 1 og 0 2 begge er nuler, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 1 = = = 0 2 Hvis a + a 1 = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte er til a), så fås a 2 = a = a 2 + (a + a 1 ) = (a 2 + a) + a 1 = (a + a 2 ) + a 1 = 0 + a 1 = a 1 (fortsat) Det entydigt bestemte modsatte til a betegnes med a. Det ses af ( a) + a = a + ( a) = 0 at a er modsat til a altså, at ( a) = a. Sætning. a + x = b har den entydigt bestemte løsning x = b + ( a), sa = 0 s = 0 a = 0, ( 1) a = a.
11 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. (fortsat)
12 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. (fortsat)
13 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. (fortsat)
14 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden af reelle polynomier af højst n te grad P n (R). Sædvanlig addition af funktioner. Sædvanlig multiplikation med en skalar (en konstant!). (fortsat)
15 Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden af reelle polynomier af højst n te grad P n (R). Sædvanlig addition af funktioner. Sædvanlig multiplikation med en skalar (en konstant!). Mængden af reelle kontinuerte funktioner defineret på intervallet I : C (I ). Operationer som for polynomier. (fortsat)
16 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. (fortsat)
17 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U (fortsat)
18 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. (fortsat)
19 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. Ved en af linearkombination af vektorerne a 1, a 2,..., a p V forstås et udtryk af formen (fortsat) hvor c 1, c 2,..., c p L. c 1 a 1 + c 2 a c p a p
20 Hvis U er en delmængde af met V, og U med de arvede operationer selv er et, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af V er V selv og {0}. Ved en af linearkombination af vektorerne a 1, a 2,..., a p V forstås et udtryk af formen (fortsat) hvor c 1, c 2,..., c p L. c 1 a 1 + c 2 a c p a p Ved span (a 1, a 2,..., a p ) forstås mængden af linearkombinationer af vektorerne a 1, a 2,..., a p.
21 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. (fortsat)
22 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 (fortsat)
23 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. (fortsat)
24 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. Hvis vektorerne a 1, a 2,..., a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. (fortsat)
25 span (a 1, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,..., a p. Vektorerne a 1, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0 = x 1 = x 2 =... = x p = 0 a 1, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v x p v p kun kan være nul, når alle koeffi cienterne er nul. Hvis vektorerne a 1, a 2,..., a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. En for et V er et lineært uafhængigt system a 1, a 2,..., a n af vektorer, som udspænder V, altså V = span (a 1, a 2,..., a n ). (fortsat)
26 Vektorerne e 1, e 2, e 3 i met R 3 givet ved e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = er lineært uafhængige og udgør en for R 3 : Den kanoniske for R 3. (I bogen den sædvanlige i R 3 ). (fortsat)
27 Vektorerne e 1, e 2, e 3 i met R 3 givet ved e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = er lineært uafhængige og udgør en for R 3 : Den kanoniske for R 3. (I bogen den sædvanlige i R 3 ). Polynomierne 1, x, x 2, x 3, x 4 i met P 4 (R) af polynomier af grad højst 4 er lineært uafhængige og udgør en for P 4 (R): monomiebasen. (fortsat)
28 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = (fortsat)
29 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. (fortsat)
30 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. (fortsat)
31 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. Vektorerne v 1, v 2, v 3 er altså lineært uafhængige netop når Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. (fortsat)
32 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = Vi undersøger om x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x 1 = x 2 = x 3 = 0. x 1 Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x = x 2 kan vektorligningen x 3 skrives Ax = 0. Vektorerne v 1, v 2, v 3 er altså lineært uafhængige netop når Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Resultatet udregnes nu ved Gausselimination. Se Maple for udregningerne. Vektorerne er lineært afhængige. (fortsat)
33 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = lineært uafhængige?, v 3 = (fortsat)
34 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. (fortsat)
35 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. (fortsat)
36 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. (fortsat)
37 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. Vi skal altså undersøge, om der for enhver given vektor b R 4 findes tal x 1, x 2, x 3 så x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b. (fortsat)
38 Er vektorerne v 1, v 2, v 3 givet ved 1 5 v 1 = 2 3, v 2 = , v 3 = lineært uafhængige? Med A = [v 1 v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en for R 4? Vi mangler at undersøge, om span(v 1, v 2, v 3 ) = R 4. Vi skal altså undersøge, om der for enhver given vektor b R 4 findes tal x 1, x 2, x 3 så x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b. Dette er altså et spørgsmål om Ax = b kan løses for ethvert b R 4. Svar: Nej (se Maple). (fortsat)
39 Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? (fortsat)
40 Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. (fortsat)
41 Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. Ved indsættelse og omordning efter potenser af x kan ligningen omskrives til ( 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 ) + x ( c 1 + c 3 ) + x 2 (c 2 c 3 ) + x 3 ( 2c 1 c 2 c 3 ) = 0. (fortsat)
42 Er vektorerne p 1, p 2, p 3, p 4 P 3 (R) givet ved p 1 = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = 1 + x x 2 x 3 og p 4 = 1 lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = 0 for alle x R medfører, at c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0. Ved indsættelse og omordning efter potenser af x kan ligningen omskrives til ( 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 ) + x ( c 1 + c 3 ) + x 2 (c 2 c 3 ) + x 3 ( 2c 1 c 2 c 3 ) = 0. Dette er opfyldt for alle x R hvis og kun hvis ligningssystemet (fortsat) 2c 1 + 2c 2 c 3 c 4 = 0 c 1 + c 3 = 0 c 2 c 3 = 0 2c 1 c 2 c 3 = 0 kun har nulløsningen.
43 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? (fortsat)
44 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. (fortsat)
45 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). (fortsat)
46 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? (fortsat)
47 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. (fortsat)
48 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. Kan Ac = b løses for ethvert b R 4? (fortsat)
49 (fortsat) Systemets koeffi cientmatrix er A = Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p 1, p 2, p 3, p 4 er altså lineært uafhængige. Udgør de en for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p 1, p 2, p 3, p 4 ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c 1, c 2, c 3, c 4 så c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c 4 p 4 = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koeffi cienter! Lad b tilsvarende være koeffi cienterne i polynomiet p. Kan Ac = b løses for ethvert b R 4? Svar: Ja, med T = [A b] har vi ρ (T ) = 4 = ρ (A). (fortsat)
DesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/52/30090298.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Lineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/29/13647802.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/70/62452762.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/40/21226631.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang
Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/69/60570115.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Svar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Egenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Matricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Matricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Matematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
![Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion](/thumbs/71/64059563.jpg "Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension
Geometriske grundbegreber 1. lektion
1 / 12 Geometriske grundbegreber 1. lektion Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark 7.2.08 2 / 12 Materialer Software Prædiken Præsentation Mål med forelæsningen konkret
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,
Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
DesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Lineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/40/21648714.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
MATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære
Komplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Underrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Matematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Teoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Lineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2018 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Skjernvej
Egenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Mat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Lineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Mere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Lineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,