MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A-24052016 Matematik A, STX 2016
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette uddrag indeholder løsning af matematik A eksamenssæt maj 2016. For anvendelse af dokumentet, anbefales det, at man prøver at løse opgaven først, inden man anvender løsningerne. 2016 Side 1 ud af 17
STX Matematik A-niveau 24-05-2016 vejledende eksamenssæt løsning STX matematik A niveau, delprøve 1 Opgave 1 Figuren viser to ens- og retvinklede trekanter. Opgave 2 Først findes forstørrelsesfaktoren k. Så kan man bestemme EF Endelig bestemmes AB Værdierne indsættes k = AC AF = 9 3 = 3 EF = CB k = 12 3 = 4 EF 2 + AF 2 = AE 2 4 2 + 3 2 = AE 2 AE = ξ16 + 9 = 5 Så kan man anvende tallet 5 til forstørrelsesfaktoren. Ligningssystemet AB = AE k = 5 3 = 15 3x + y 11 = 0 (1) Først isoleres y i (1) 2x 3y + 11 = 0 (2) Så indsættes dette i (2) 3x + y 11 = 0 y = 11 3x 2x 3ሺ11 3xሻ + 11 = 0 2x 33 + 9x + 11 = 0 11x = 22 x = 2 Fortsættes næste side Side 2 ud af 17
Opgave 3 Dette indsættes tilbage i (1) Så har man koordinaterne 3 2 + y 11 = 0 6 + y 11 = 0 y 5 = 0 y = 5 {x = 2, y = 5} En funktion er løsning til differentialligningen. dy = y ሺx 1ሻ dx Og punktet f går igennem er P = ሺ3,5ሻ. Tangentligningen er; y = f ሺx 0 ሻሺx x 0 ሻ + fሺx 0 ሻ Så man har allerede x 0 og fሺx 0 ሻ. Det er punktet i sig selv. Man mangler den afledede, men den fås ved indsættelse i differentialligningen. Så tangenten er dy = 5 ሺ3 1ሻ = 10 dx y = 10ሺx 3ሻ + 5 y = 10x 30 + 5 y = 10x 25 Opgave 4 Oplysningerne afkodes og det ses, at b = 5382 og r = 70%, her regnes tallet a. a = 1 + r Så man har Så funktionen er a = 1 + ൬ 70 100 ൰ = 0.30 fሺxሻ = 5382 0.30 x Der beskriver faldet af malariamyg fra år 2004. Side 3 ud af 17
Opgave 5 Opgave 6 Der er givet to funktioner fሺxሻ = ሺ2x + 1ሻ lnሺxሻ, x > 0 gሺxሻ = 1 + 2 lnሺxሻ, x > 0 x Hvis f skal være stamfunktion til g, skal man differentiere f. Dette gøres ved hjælp af produktreglen. f ሺxሻ = ሺ2x + 1ሻ 1 x ሺ2x + 1ሻ + 2 lnሺxሻ = + 2 lnሺxሻ x Det ses, at fሺxሻ gሺxሻ, altså er f ikke en stamfunktion til gሺxሻ. Der tegnes en mulig graf over kriterierne: Samt linjen nedenfor: fሺ0ሻ = 2, fሺ12ሻ = 1 Så er tegningen: Så ser monotonilinjen sådan ud: Side 4 ud af 17
Opgave 7 STX Matematik A-niveau 24-05-2016 vejledende eksamenssæt løsning STX matematik A niveau, delprøve 2 Der er givet en tabel med oplysninger. Disse defineres i Maple 2016. Således vil der udføres eksponentiel regression. a) Asfafs Som beskriver den kraftige vækst i omsætningen, (målt i mia. kr.) b) Da funktionen er defineret, kan man blot indsætte 4 (fordi 2015-2011=4) Fortsættes næste side Side 5 ud af 17
Opgave 8 Den årlige vækstrate er F = 1 + r Her indsættes a på F s plads. 2.4776 = 1 + r r = 1.4776 r % = 147.76% Som er den kraftige eksponentielle stigning i omsætningen. c) Fordoblingskonstanten bestemmes. T 2 = lnሺ2ሻ lnሺaሻ = lnሺ2ሻ lnሺ2.4776ሻ = 0.76399 Så 2011 + 0.76399 = 2011.76399 Så allerede inden årsafslutningen af år 2011 har man allerede fordoblet sin indtjening. Der er givet en lille figur over en hytte (grundflade). a) Vinkel v bestemmes ved at kende vinklen for en cirkel. Den er 360 o. Det ses, at der er 12 ligebenet trekanter, altså er vinkel v v = 360o 12 = 30o b) Sidelængden x kan findes ved appelsinformlen, T = 1 a b sinሺcሻ 2 Her er T = 22 og a samt b begge y. sinሺcሻ er i dette tilfælde sinሺvሻ. Altså man har 12 22 12 = 1 2 y2 sinሺ30 o ሻ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat. y = 2.708013 y = 2.708013 Den negative værdi forkastes. Nu kan man anvende cosinusrelationerne. c = ඥa 2 + b 2 2 a b cosሺcሻ Her indsættes værdierne. Der gælder det samme som arealformlen. x = ඥ2.708013 2 + 2.708013 2 2 2.708013 2.708013 cosሺ30ሻ = 1.401 Som altså er sidelængden x. Opgave 9 Side 6 ud af 17
Der er givet en funktion f. fሺxሻ = x 3 5x 2 + 4x a) Nulpunkterne bestemmes ved at sætte funktionen fሺxሻ lig med 0. x 3 5x 2 + 4x = 0 Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = 0 x = 1 x = 4 Man kunne også have brugt nulreglen. Her har man så sine nulpunkter, hvor alle rødder er x R b) Monotoniforholdene bestemmes, når man differentierer f. f ሺxሻ = 3x 2 10x + 4 Her løses en ligning for f. 3x 2 10x + 4 = 0 Diskriminanten anvendes. d = b 2 4ac = ሺ 10ሻ 2 4 3 4 = 52 Rødderne for den afledede findes x = b ± ξx 2a = 10 ± ξ52 6 = 2.868 0.464 Her er rødderne x = 2.868 x = 0.464 Nu gøres der prøve for at finde ud af, om funktionen i grunden er voksede og / eller aftagende. f ሺ0ሻ = 3 0 2 10 0 + 4 = 4 f ሺ1ሻ = 3 1 2 10 1 + 4 = 3 f ሺ3ሻ = 3 3 2 10 3 + 4 = 1 Så en monotonilinje tegnes Derved er konklusionen, at fሺxሻ er voksende i intervallet ] ; 0.464] og voksende i intervallet [2.868; [ samt aftagende i intervallet [0.464; 2.868]. Nu kan man gøre prøve. Fortsættes næste side Side 7 ud af 17
c) Der er desuden givet en tangent med ligningen y = x 9 i punktet P൫3, fሺ3ሻ൯ En anden tangent tangerer også grafen med samme hældning. For at finde koordinatsættet til dette, kan det gøres via GeoGebra; Man anvender værktøjet parallelle linjer, så har man det andet punkt. Man kan også beregne det analytisk. f ሺxሻ = a Her er a hældningskoefficienten fra den første tangentligning. Her er koefficienten a = 1. Dette sættes lig med den afledede. 3x 2 10x + 4 = 1 Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = 1 3 x = 3 Det ses, at roden x = 3 allerede er brugt, nemlig i punktet P. Altså har man det andet punkt, x = 1 som er førstekoordinaten til Q. Andenkoordinaten findes ved 3 at indsætte førstekoordinaten i f. f ൬ 1 3 3 ൰ = ൬1 3 ൰ 5 ൬ 1 2 3 ൰ + 4 ൬ 1 3 ൰ = 22 27 Hermed har man koordinatsættet x = 1 22, y = 3 27 ൠ Opgave 10 Side 8 ud af 17
Der er givet en række oplysninger omkring børns BMI samt hvordan og hvorledes de bor. Forsøgspersonerne er fra indskolingen i en bestemt skole. Observerende Bor sammen med Bor sammen med Sum begge forældre én forældre BMI under 25 120 201 321 BMI over 25 75 173 248 Sum 195 374 569 Nulhypotese: Familietype og BMI er uafhængig a) De forventede værdier udregnes; BMI under 25 = Sum BMI under 25 total BMI over 25 = Sum BMI over 25 total BMI under 25 = Sum BMI under 25 total BMI over 25 = Sum BMI over 25 total Begge forældre = 321 195 110 569 Begge forældre = 248 195 85 569 En forældre = 321 374 211 569 En forældre = 248 374 163 569 Forventede Bor sammen med Bor sammen med Sum begge forældre én forældre BMI under 25 110 211 321 BMI over 25 85 163 248 Sum 195 374 569 Så regner man χ 2 test. Her anvendes formlen χ 2 = ሺO k F k ሻ 2 Værdierne indsættes. χ 2 ሺ120 110ሻ2 ሺ75 85ሻ2 ሺ201 211ሻ2 ሺ173 163ሻ2 = + + + 110 85 211 163 χ 2 = 3.1729 Hermed har man sin teststørrelse. Desuden er der tale om et signifikansniveau på 5%, altså aflæser man den kritiske værdi. Her ses det, at den kritiske værdi er Kritiskværdi = 3.84 Da teststørrelsen er mindre end den kritiske værdi, accepteres nulhypotesen. BMI og børns familietype er uafhængige. F k b) Nu opdeles tabellen. Man har foretaget en stikprøve, og det fordeler sig således: Fortsættes næste side Side 9 ud af 17
BMI under 25: På skift mellem forældre BMI over 25: På skift mellem forældre Altså har man tabellen Observerende Bor sammen med Bor på skift Bor udelukkende Sum begge forældre mellem forældre med den ene forældre BMI under 25 120 100 101 321 BMI over 25 75 61 112 248 Sum 195 161 213 569 Før blev der vist hvordan man regnede de forventede værdier i hånden. Nu illustreres det også i Maple 2016. Side 10 ud af 17
Opgave 11 Der er givet en figur i et tredimensionelt koordinatsystem. a) Arealet af glasfladen CDE bestemmes. b) Fsasfa Fortsættes næste side Side 11 ud af 17
c) Asffas Fortsættes næste side Side 12 ud af 17
Side 13 ud af 17
Opgave 12 Der er givet en differentialligning af typen y = ky over klorkoncentrationen i et svømmebassin. Lad differentialligningen være givet y ሺtሻ = 0.03 yሺtሻ a) Væksthastigheden undersøges ved indsættelse af 1.2 i yሺtሻ. Man har y ሺtሻ = 0.03 1.2 = 0.036 Så klorkoncentrationen aftager med 0.036mg/liter for hver time der går, når mængden er 1.2mg/liter. b) Det ses, at differentialligningen har løsningsformlen y = c e kx Differentialligningen indsættes i formen. y = c e 0.03x Her er 1.8 y og 0 er x. Altså har man en ligning for c. 1.8 = c e 0.03 0 1.8 = c Hermed har man differentialligningens løsning yሺtሻ = 1.8 e 0.03 t Her indsættes 24 i t. Man har så yሺ24ሻ = 1.8 e 0.03 24 = 0.876 Så efter 24 timer, er mængden af koncentrationen 0.876mg/liter tilbage. I Maple 2016 kan man anvende kommandoen, dsolve. Side 14 ud af 17
Opgave 13 Opgaven løses i Maple 2016 og GeoGebra. a) Lad modellen over sommerdagen være givet ved fሺtሻ = 20 5 ሺsinሺ0.262 tሻ + cosሺ0.262 tሻሻ Grafen plottes i GeoGebra Her er det vigtigt at bemærke grænseværdierne 0 t 24 Fortsættes næste side Side 15 ud af 17
b) Da funktionen allerede er differentieret, indsættes blot 8. Dette ses i Maple 2016. Opgave 14 Der er givet en funktion fሺxሻ = ඥ4 2 x 2, 4 x 4 a) Grafen tegnes i GeoGebra. Fortsættes næste side Side 16 ud af 17
I Maple 2016 defineres funktionen. b) Der er givet endnu en funktion, gሺxሻ = ඥa 2 x 2, a x a Arealet, som dette afgrænser skal være 4. Altså defineres dette i Maple. Ffsddsf dsf Side 17 ud af 17