Analyse af de omkostningsmæssige aspekter ved prognosefejl i forbindelse med efterspørgselsanalyser

Speciale Afhandling Forfatter: Poul Erik Michelsen EksamensID: 287892 Vejleder: Erlan Hejn Nielsen Institut: Department of Business Administration Analyse af de omkostningsmæssige aspekter ved prognosefejl i forbindelse med efterspørgselsanalyser Dato: 01-07-2013 0

Abstract This thesis examines the relationship between cost and demand forecast errors. The purpose of this thesis is to show how forecast errors are affecting the demand management process. An empirical study on relevant literature was conducted in order to investigate how forecast errors was affecting the decision making process, and if the trade off from advanced and more costly forecasting techniques where, in line with the benefits and value of the decisions made based on the forecast. In addition, there was constructed theoretical demand data, which was used in a forecasting model to show the value of choosing a suitable forecasting method, which fitted the type of that which was being forecasted. In order to quantify the cost of forecasting error, an inventory model was created, and simulations of inventory costs where conducted. In order for managers to make good decisions it was argued, that good forecasts was needed because decisions are made in a setting of uncertainty, and the value of a decision could first be measured in a future state where the effect of the decision was being felt. It was argued that products with high inventory costs, long lead times, and products of high customer value where in need of good solid forecasting methods. It was argued that one could not put a number on the size of a suitable forecast error, but instead should base the opinion on the comparison of different forecasting techniques. It was concluded that users of forecasts always should be aware that forecast errors are always part of forecasts. The cost of conducting a forecast should fit the type of product. Every forecast is only as good as the decision made by using it. 1

Indholdsfortegnelse 1 Indledning... 4 2 Problemformulering... 5 3 Metode... 5 3.1 Struktur... 6 3.2 Afgrænsning... 7 3.3 Kildemateriale... 8 4 Efterspørgselsanalyse... 8 4.1 Hvad er efterspørgselsanalyse... 8 4.2 Efterspørgselsanalyse og beslutningsprocessen... 10 5 Metoder indenfor efterspørgselsanalyse... 12 5.1 Efterspørgselsanalyse Metoderne... 12 5.1.1 Den Naive prognose... 19 5.1.2 Rullende gennemsnit... 20 5.1.3 Eksponentiel udjævning... 20 5.1.4 Tilpasset eksponentiel udjævning... 21 5.1.5 Level, Trend og Sæson... 21 6 Performancemåling af efterspørgselsanalysen... 23 6.1 Performance... 24 7 Dataindsamling... 27 7.1 Datakonstruktion... 27 7.1.1 White Noise... 28 7.1.2 Efterspørgselsfunktioner... 30 7.2 Data generering... 32 8 Efterspørgselsanalyse af konstrueret data... 34 2

8.1 Opsætning i Excel... 34 8.2 Efterspørgselsprognose & Performancemåling... 35 8.2.1 Data med begrænset mønster... 35 8.2.2 Data med sæson og trend... 39 8.2.3 Opsummering af efterspørgselsprognoser og performance målinger... 43 9 Lagerstyring... 43 9.1 Lagerstrategi (r, Q)... 45 9.1.1 Lagerstyring i Excel... 48 9.1.2 Simulation af lager... 49 10 Konklusion... 53 11 Litteraturliste... 54 12 Appendiks 1... 56 12.1 Overblik over CD indhold... 56 12.1.1 Efterspørgselsgenerator... 56 12.1.2 Forecasting... 56 12.1.3 Lagerstyringsmodel... 56 13 Appendiks 2... 58 13.1 Data anvendt til efterspørgselsanalyse... 58 3

1 Indledning I tiden efter den økonomiske optur og efterfølgende finanskrise, som stadig har sin effekt, er viden omkring optimering af forsyningskædens forskellige led blevet en større nødvendighed for, at skabe konkurrencefordele igennem effektiv udnyttelse af eksisterende ressourcer og til, at skabe bedre beslutningsprocesser til virksomhedens beslutningstagere. Efterspørgselsanalyser er i denne sammenhæng vigtige, da de er med til, at give beslutningstagerne bedre indsigt i markedets bevægelser. Efterspørgselsanalyse er et redskab til virksomhederne, som med den rigtige tilgang kan give virksomhederne muligheden for, at minimere spild i form af overproduktion, som medfører overfyldte lagre, underproduktion, som kan medføre tabt salg og dårlig service, eller bare viden omkring markedets bevægelser, så virksomhederne kan agere og basere strategiske beslutninger ud fra den viden, som analyserne frembringer. Efterspørgselsprognosen, som er produktet af efterspørgselsanalysen anvendes til, at assistere beslutningstagere til, at håndtere den usikkerhed der ligger forud i tiden og kan grundet mange forskellige variable og udefrakommende faktorer ikke være helt retvisende og er dermed forbundet med prognosefejl. Disse fejl er en naturlig del af efterspørgselsanalysen og kan variere i størrelse alt efter hvilken type data som analyseres, eller hvilke metoder der anvendes til at analysere dataene. Erkender beslutningstagere ikke tilstedeværelsen af prognosefejl, kan det have stor indflydelse på de beslutninger, som træffes på bagrund af en analyse og medføre økonomiske konsekvenser for virksomheden. Viden omkring de økonomiske konsekvenser af prognosefejl er derfor vigtig for beslutningstagere. Beslutningstagerne har uden viden omkring omkostningerne forbundet med usikkerheder i prognoserne ikke en chance for, at vide om de bør tage nogle forholdsregler i forhold til deres beslutningsprocesser. 4

2 Problemformulering Som følge af ovenstående indledning er målet med denne opgave ud fra relevante metoder og modeller til efterspørgselsanalyser, performancemålinger og Lagerstyringsstrategier, at belyse de økonomiske aspekter forbundet med prognosefejl i forbindelse med efterspørgselsanalyser. Dette leder frem til følgende hovedspørgsmål: 1) Hvad er de omkostningsmæssige aspekter ved prognosefejl i forbindelse med efterspørgselsanalyser, når fokus er virksomhedens Demand Management Til at afhjælpe besvarelsen af hovedspørgsmålet, bliver nedenstående underspørgsmål besvaret i afhandlingen. Besvarelsen af underspørgsmålene giver sammenlagt en nuanceret besvarelse, som belyser væsentlige områder af hovedspørgsmålet. 2) Hvordan influeres beslutningstagere af efterspørgselsanalyser med prognosefejl? 3) Kan omkostningerne til udarbejdelse af krævende efterspørgselsanalyser forsvares af gevinsten der kan hentes? 4) Hvad er en dårlig prognose herunder hvornår er prognosen god nok? 5) Er der forskel på hvilke typer produkter der er mest afhængige af gode efterspørgselsanalyser? 3 Metode Der vil i udarbejdelsen af afhandlingen blive anvendt udvalgte teorier indenfor efterspørgsels analyse, performance målinger og lagerstyring, samt relevante teorier og begreber fra studiet indenfor Logistik & Supply Chain Management. Der er i afhandlingen anvendt Excel 2010 32 bit version i kombination med makroer konstrueret i Visual Basics(VBA) til udarbejdelse af datakonstruktion, efterspørgselsanalyser og lagerstyringsmodel. For at give en fyldestgørende besvarelse af hovedspørgsmålet og underspørgsmålene er der anvendt en kombination af kvantitativ og kvalitativ tilgang, da begge har fordele og ulemper, men samlet set giver de et omfattende og præcist billede af problemstillingen. 5

Den kvalitative tilgang vil bestå af en beskrivende analyse hvor teorier og metoder vedrørende efterspørgselsanalyse og performance målinger vil blive gennemgået. Kvalitativ metode er induktiv og danner ved hjælp af fortolkning grundlag for teori. Den Kvalitative del repræsenterer således hvad. Den søger at belyse hvad prognosefejl influerer i beslutningsprocessen og i virksomhedsprocesser. Den kvantitative tilgang vil bestå af analysering af udvalgte efterspørgselsprognoser og simulering af en konstrueret lagerstyringsmodel, som derved vil kvantificere omkostningerne forbundet med prognosefejl. Den kvantitative analyse er deduktiv, hvor teorier kan blive testet. Den kvantitative del repræsenterer således hvor meget (Cooper, Schindler 2005). 3.1 Struktur Strukturen i afhandlingen er bygget op omkring besvarelsen underspørgsmålene, som danner grundlag for den overordnede diskussion og besvarelse af hovedspørgsmålet. Afhandlingen er inddelt i 4 grundlæggende dele. Første del omhandler beskrivelse og diskussion af efterspørgselsanalyse og metoderne forbundet med efterspørgselsanalyse og performance målinger. I denne del vil underspørgsmål 2 og 3 blive belyst og diskuteret. Anden del omhandler data indsamling i form af datakonstruktion og bearbejdning. Denne del vil danne data grundlaget for det kvantitative studie af efterspørgselsanalyse metoder og omkostninger forbundet med prognosefejl. I tredje del bearbejdes den konstruerede data. Det vil blive udarbejdet efterspørgselsprognoser ud fra forskellige typer efterspørgselsdata og disse prognoser vil således danne grundlag for diskussion omkring beslutningstageres valg af metode og konsekvenserne ved anvendelse af nogle metoder frem for andre. Der vil ligeledes blive konstrueret en lagerstyringsmodel hvis formål er, at kvantificere de omkostninger der er forbundet med forskellige størrelser af prognosefejl. I denne del vil underspørgsmål 4 og 5 blive belyst og diskuteret. 6

I fjerde del vil der blive konkluderet på de i afhandlingen belyste punkter og dermed besvare hovedspørgsmålet. Nedenfor er illustreret hvorledes hoved- og underspørgsmål vil blive besvaret i afhandlingen: Beskrivende analyse underspørgsmål: (2+3) Datakontruktion Grundlaget for kvantitativ analyse Bearbejdning af data: Efterspørgselsanalyse metoder og lagerstyringsmodel. underspørgsmål (4+5) Konklusion og besvarelse af hovedspørgsmålet Hovedspørgsmål(1) 3.2 Afgrænsning Afhandlingen er udarbejdet ud fra en række antagelser og afgrænsninger. Fokus har i afhandlingen været, at kvantificere de omkostningsmæssige aspekter ved prognosefejl. Dette er gjort ud fra en antagelse om, at den omkostningsmæssige effekt af prognosefejl er størst i lagerstyringsprocessen, hvilket kommer til udtryk i en lagerstyringsmodel. Der findes rigtig mange forskellige strategier og metoder til lagerstyring. Afhandlingen afgrænses til kun at anvende en dynamisk (r,q) model. Denne model er valgt, da den i litteraturen fremstår som en meget anvendelig og god lagerstyringsmodel, hvilket har været vigtigt i valget af model. Andre modeller til lagerstyring vil i afhandlingen ikke blive uddybet. Afhandlingen belyser også beslutningsprocessen og hvordan prognosefejl berører beslutninger i virksomhederne. Kvaliteten af en efterspørgselsprognose reflekteres ofte i kvaliteten af de beslutninger, som er baseret ud fra prognosen. Dette ville indikere en ideel sammenligning af 7

efterspørgselsprocedurer som værende mellem omkostningerne til at udarbejde efterspørgselsprognosen og prognosens værdi i en beslutningsproces. Disse omkostninger er dog ikke særligt målbare. Der afgrænses derfor fra ikke, at sætte tal på hvor store omkostninger der er forbundet med beslutninger taget ud fra dårlige prognoser, men i stedet diskuteres hvorledes prognosefejl influerer beslutningsprocessen. 3.3 Kildemateriale Til udarbejdelsen af afhandlingen er der anvendt en blanding af lærebøger og videnskabelige artikler. Mange af de anvendte lærebøger har været anvendt under studiet i Logistic &S Supply Chain Management og vurderes derfor til, at være solide kilder. Størstedelen af de videnskabelige artikler er udarbejdet af kendte teoretikere indenfor erhvervsøkonomiske studier. Andre artikler af med ikke så kendte forfattere har været publiceret i anerkendte blade og da de ikke er fundet modsigende i forhold til de kendte teoretikere er disse vurderet til, at være gode og anvendelige kilder. 4 Efterspørgselsanalyse I de efterfølgende afsnit vil afhandlingen belyse efterspørgselsanalysens formål og anvendelse. 4.1 Hvad er efterspørgselsanalyse Efterspørgselsanalyse er en proces, som søger at forudsige og estimere fremtiden baseret ud fra historisk og nuværende information i form af kvantitative og eller kvalitative data. Efterspørgselsanalysen frembringer derved en prognose med information omkring fremtiden og mulige konsekvenser heraf. Denne information kan så anvendes af beslutningstagere, så disse kan basere deres beslutninger ud fra et informeret grundlag og dermed træffe de strategisk bedste beslutninger for virksomhedens fremtidige drift. Det er vigtigt i denne sammenhæng, at understrege, at beslutningstagere ikke blindt skal stole på hvad efterspørgselsanalysen frembringer, da der blot er tale om en prognose, som grundet statistiske usikkerheder og uforklarlige variabler er forbundet med fejl. De statistiske usikkerheder og uforklarlige variabler kan have mindre eller større effekt på prognosen afhængigt af metodevalg og hvilken type data der arbejdes med(bozarth, Handfield 2005). 8

Efterspørgselsanalyse er forbundet med visse begrænsninger i form af både præcision og udførelse. Nogle typiske begrænsninger ved efterspørgselsanalyse er; Dataindsamling, estimeringer, antagelser og vurderinger. Dataindsamlingen begrænses i form af tid og penge der kræves for indsamling af alt tilgængeligt data omkring et specifikt produkt, fordi selv den mest præcise efterspørgselsmetode, er ikke altid den bedste da omkostningerne til at danne efterspørgselsprognosen kan overstige den værdi der er i at forbedre kvaliteten af en beslutning taget på bagrund af prognosen. Dataindsamlingen er således en balancegang mellem hvor præcise efterspørgselsprognoserne skal eller kan være og de omkostninger forbundet med øget dataindsamling(holt, Modigliani et al. 1955). Efterspørgselsanalysen begrænses ligeledes ved, at prognosen er et estimat på fremtidige begivenheder og ikke et resultat med to streger under. Ligeledes vil præcisionen i estimatet blive mindsket ved prognoser langt ud i fremtiden frem for prognoser med kortere tidshorisont. Efterspørgselsanalyser er baseret på en antagelse om, at den fremtidige efterspørgsel tilnærmelsesvist agerer, som den historiske efterspørgsel. Hvis antagelserne omkring forholdet mellem historisk og fremtidig data ikke holder vil prognosen ligeledes ikke være robust og kan derfor være forbundet med store afvigelser. Efterspørgselsanalyser kan være påvirket i større eller mindre grad af subjektive vurderinger fra analytikere. Derfor kan efterspørgselsprognosen indeholde menneskelig fejl grundet fejlagtige vurderinger omkring markeds faktorer, som vedrører efterspørgslen. Ud fra disse begrænsninger kan udledes de 4 basale regler eller love vedrørende efterspørgselsanalyse(bozarth, Handfield 2005). 1. Prognosen er næsten altid forkert Da der kan være et utal af faktorer, som spiller ind i hvordan fremtidig data agerer, vil det ikke hensigtsmæssigt for beslutningstagere, at stole blindt på hvad prognosen siger omkring fremtiden. 2. Prognoser med kort horisont er ofte mere retvisende 9

Korte tidshorisonter vil være mere retvisende, da det må antages at de faktorer, som den data prognosen er baseret ud fra er mindre tilbøjelige til, at ændre sig på kort sigt frem for længere tidshorisonter. 3. Efterspørgselsprognoser på produktgrupper er forbundet med større præcision Efterspørgselsprognoser på en produktgruppe frem for de prognoser på de individuelle produkter er ofte mere præcise da man samler nogle af de faktorer, som kan influere efterspørgslen. Produktgrupperne skal dog være dannet af substituerende produkter. 4. Efterspørgselsprognoser skal ikke substituere beregnede værdier Man skal kun udarbejde efterspørgselsprognoser når der ikke eksisterer bedre alternativer. Ved leverandør virksomheder kunne et bedre alternativ være informationsdeling med forsyningsledende ved eksempelvis deling af produktplanlægning for de virksomheder der leveres til. Derved kan virksomheden præcist beregne hvad efterspørgslen vil være på produktet og det er dermed ikke nødvendigt med et efterspørgsels estimat givet af en prognose. 4.2 Efterspørgselsanalyse og beslutningsprocessen En beslutning er valget mellem to eller flere alternativer. Hvis der kun er en valgmulighed, så er der ingen beslutning, som kan træffes. En god læresætning som er god at forholde sig til er: A decision is not good or bad in itself, but only to the state of the world during the time in which the influence of the decision is being felt (Holt, Modigliani et al. 1955) Det der kan udledes fra ovenstående citat er, at man ikke på forhånd kan sige om en beslutning er god eller dårlig, men at beslutningen først kan vurderes når dens effekt kan mærkes hvilket i nogle tilfælde kan være langt ude i fremtiden. Derfor er det vigtigt, at beslutningstagerne baserer deres beslutninger ud fra solide informations kilder. I henhold til efterspørgselsanalyser, kan man sige, at jo bedre fremtiden kan forudsiges eller prognosticeret des mindre er usikkerheden af en beslutning taget. Men som nævnt tidligere, så er alle prognoser forbundet med usikkerhede i større eller mindre grad. Dermed kan opstilles to 10

faktorer, som skal tages i betragtning når beslutningstagere benytter sig af efterspørgselsanalyser som informationskilde(holt, Modigliani et al. 1955). 1) Hvordan når man frem til en beslutning ved anvendelse af en given metode til efterspørgselsanalyse, når dennes tidligere præcision er kendt. Med andre ord, hvordan skal beslutningsprocessen blive påvirket af, at efterspørgselsprognosen er forbundet med fejl. 2) Hvor store omkostninger er der forbundet med prognosefejl ved anvendelse af en given metode til efterspørgselsanalyse. Kendskabet til disse omkostninger er vigtig i forhold til valget af metode og ikke mindst vurderingen af om en given metode kan forsvares økonomisk i forhold til omkostningerne det kræver, at udarbejde den. De to ovenstående faktorer understreger nødvendigheden af performance målinger af efterspørgselsprognoserne. Performance målinger er vigtige, ikke mindst i forhold til måling af efterspørgselsprognosens præcision, men også som understøttelse til de beslutninger der træffes og til undersøgelse af de omkostningsmæssige aspekter ved prognosefejlene. Netop omkostningerne ved prognosefejl kan forværres kraftigt hvis ikke beslutningstagere udfører performance målinger på de udarbejdede prognoser fordi de så ikke vil kunne tage højde for prognosernes historiske og antagelsesmæssigt fremtidige afvigelser. Derudover har de heller ikke mulighed for, at vurdere styrken af efterspørgselsprognosen og identificere eventuelle svagheder. Det er derfor også vigtigt, at når der udføres performance målinger, at informationen omkring prognosernes usikkerhed bliver fuldt udnyttet og ikke kun benyttes som dokumentation for hvor godt virksomheden præsterede forrige Figur 1 periode(lapide 2007). Beslutningstagning i virksomheden deles typisk op i tre kategorier, som vist i Figur 1. De strategiske beslutninger, som tages af de øverste ledere og eventuelt bestyrelser har typisk en lang tidshorisont og sætter retningen for hvor virksomheden vil hen og ikke mindst hvor 11

virksomheden er nu. Den strategiske beslutningsproces involverer performance og situations analyser både internt i virksomheden, men også eksternt i form af konkurrent analyser. Beslutninger træder typisk frem i form af en udarbejdet beslutning omkring virksomhedens Vision, mission og målsætninger. De taktiske beslutninger omhandler typisk implementering af tiltag, som går i retningen af de strategiske retningslinjer. Disse har typisk en mellemlang tidshorisont og træffes ofte af mellemledere. De taktiske beslutninger omhandler dermed de lidt mere praktiske tiltag i forhold til strategien. De operationelle beslutninger er typisk kortsigtede og omhandler typisk styring af det daglige output i forhold til en specifik plan af mængde og kvalitet, styring af råvarelager og igangværende produktion i forhold til de mængder der er planlagt, og afstemning af omkostningerne i forhold til udarbejdede estimater. På alle tre niveauer kan efterspørgselsanalyser anvendes til, at beslutningstagerne kan få et overblik over markedssituationen før en beslutning tages. Derfor vil prognosefejl også influere disse beslutninger. Dog bør beslutningstager lægge mindre vægt på prognosernes sikkerhed jo længere ude i fremtiden de forsøger, at fortælle noget om. 5 Metoder indenfor efterspørgselsanalyse Efterspørgsel på en entitet kan afhænge af mange forskellige faktorer. Derfor er viden omkring efterspørgslens mekanismer yderst vigtig i forhold til at minimere prognosefejl i sine efterspørgselsanalyser. Afhandlingen vil i dette afsnit behandle nogle af de metoder, der er tilgængelige til at udarbejde efterspørgselsanalyser, samt hvordan de forskellige typer af metoder tager højde for faktorer, som kan influere efterspørgslen på et produkt. 5.1 Efterspørgselsanalyse Metoderne Der findes mange forskellige metoder til at forudsige den fremtidige efterspørgsel. Metoderne til at analysere efterspørgsel hører typisk indenfor to kategorier; de kvalitative og kvantitative metoder. De kvalitative metoder bliver ofte benævnt judgemental methods eller subjektive 12

metoder, idet de estimerer efterspørgsel ved megen brug af subjektive vurderinger. De kvantitative metoder benævnes ofte de objektive metoder og afhænger typisk af historiske salgsdata eller relationen mellem historiske salgstal og andre variabler. Disse kan dermed inddeles i to underkategorier; tidsserie analyse og kausal metoder. I relation til efterspørgselsanalyse og prognosefejl er det vigtigt at understrege, at metoderne til at udarbejde efterspørgselsanalyser er ekstrapolative, og der er derfor grænser for, hvor præcist man kan estimere efterspørgslen. Ekstrapolation er bestemmelsen af ukendte værdier ved hjælp af kendte værdier. Fremgangsmåden er således, at finde data, som er repræsentativt for en fremtidig hændelse, eksempelvis historiske salgs data. Der antages således, at fremtidige hændelser agerer i overensstemmelse med de historiske(fildes 1992). Både de subjektive og objektive metoder arbejder med at identificere efterspørgslens adfærd i form af forskellige mønstre. Dertil kommer et fejlled, som udgør en eller anden tilfældighed. Da intet teoretisk er tilfældigt, men blot svært til umuligt at måle, kan fejlledet derfor betegnes som den uforklarlige varians, og man kan derfor beskrive tilgangen til estimering af efterspørgsel matematisk som nedenfor i Ligning 1(Chase 2009): Ligning 1 ( ) Hvor s = historisk data Målet for et efterspørgselsestimat er derfor at maksimere de forklarende variabler i mønsteret for dermed at minimere den uforklarlige varians og dermed prognosefejl. Den uforklarlige varians skal forstås som de variabler, der influerer efterspørgslen, og som ikke er indeholdt i metoden Nogle metoder er naturligt bedre end andre til at estimere de forklarende variabler i mønsteret. De subjektive metoder afhænger således af en analytikers evne til at identificere relationerne i mønsteret og ved hjælp af intuition og mavefornemmelse forudsige efterspørgslen. De objektive metoder indenfor tidserieanalyse inddeler typisk identifikationen af mønstre i efterspørgslen i fire elementer; Trend, Sæson, Cyklisk og den Uforklarlige Varians. Disse søger så 13

ved hjælp af de historiske data at estimere mønsteret i efterspørgslen, hvorfor den matematiske formel kan skrives som Ligning 2(Chase 2009): Ligning 2 Metoderne i tidsserieanalysen søger at forklare elementerne baseret på de historiske afsætningsdata og kvantitative metoder og alt afhængig af metoden, inddrages de individuelle elementer mere eller mindre. De kausale modeller går skridtet videre i forsøget på at forklare mønsteret i efterspørgslen. Her inddrages faktorer, som ikke er en del af de historiske afsætningstal. De kausale modeller søger således at inddrage faktorer, som ligger udenfor de sædvanlige afsætningsdata på et produkt. De kausale faktorer inddrages ud fra tesen om, at en kausal faktor målt over tid har en direkte effekt på efterspørgslen af det produkt, som efterspørgselsanalysen omhandler. Kausale faktorer der kan have indflydelse på efterspørgslen på et produkt inkluderer; pris, markedsføring, salgsinitiativer, konkurrenceaktiviteter eller andre faktorer direkte relateret til afsætningen af et produkt. Den overordnede matematiske formulering for de subjektive kausale metoder til efterspørgselsanalyse kan dermed beskrives som nedenfor(chase 2009): Ligning 3 Som det fremgår, så udgør den kausale faktor endnu et element i efterspørgselsestimatet, men som det også ses, så indeholder ligningen stadig en uforklarlig varians. Holder man Ligning 2 og Ligning 3 op imod hinanden, kan man argumentere for, at de kausale metoder søger at inddrage variabler eller varianser, som tidligere var uforklarlige og transformere dem til en forklarlig faktor for dermed at mindske den uforklarlige varians. 14

Subjektive metoder er typisk opbygget som i Ligning 1, hvor en til flere personer vurderer mønsteret for efterspørgslen på et produkt for derefter at komme med et estimat på den fremtidige efterspørgsel. Nogle subjektive metoder er listet her(chase 2009): Individuel vurdering Komite vurdering Estimater fra salgsstyrken Juryer af ledere Fordelene ved at anvende subjektive metoder er(chase 2009): De kræver lidt til ingen historisk data for at kunne gennemføres De kan give et holistisk bredere billede af efterspørgselsudfordringer i markedet De er billige at udvikle De kan nemt inkludere og implementere virksomhedsstrategier, andre marked aktørers strategier og markedsdynamikker Eksperten/lederen har et godt kendskab til markedsfaktorerne, og hvordan efterspørgselen reagerer på dem Da de subjektive metoder er baseret på individuelle vurderinger, kræver de som illustreret ikke nødvendigvis data. I stedet kræver de kompetente eksperter i form af ledere eller analytikere, som kan vurdere og spå om fremtiden. En hjørnesten i subjektive metoder må således være valget af disse individer og deres kompetencer til at vurdere markedet. En stor faldgrube ved de subjektive metoder er, at den knowhow, som de individuelle analytikeren sidder med, kan forsvinde, hvis denne person fratræder eller bliver syg. Det kan herefter være svært at finde en ligeså kompetent analytiker til fremtidig efterspørgselsestimering, og da det tager tid at opbygge et godt kendskab til et marked og et produkt, kan det tage tid før estimatet bliver ligeså præcist som det foregående, dermed prognosefejl som følge heraf. Denne faldgrube kan dog imødegås, hvis flere analytikere er involveret i et produkt, hvilket gør estimatet mere uafhængigt af den enkelte person. Nogle af de typiske ulemper ved brug af subjektive metoder er listet herunder(chase 2009): Efterspørgselsestimatet kan være biast af eksperten som foretager vurderingen 15

Nogle metoder kan afhænge for meget af en enkelt person Præcisionen og dermed prognosefejl er ikke altid konstante over tid grundet den subjektive fremgangsmåde Lederen der foretager produktvurderingen, kan i nogle tilfælde være for langt fra markedspladsen til at have tilstrækkeligt kendskab til det enkelte produkt samt markedet Ved en stor produktportefølje kan efterspørgselsopgaven blive for uoverkommelig Hvis man søger at være mere uafhængig af individuelle personer, er det et bedre valg at benytte de objektive metoder så som tidsserieanalyse eller kausal metoderne. Tidsserie analyse inddeles yderligere i to kategorier; Open model time series(omts) og Fixed model time series(fmts). OMTS-teknikker analyserer den givne tidsserie og søger at finde og bestemme hvilke mønstre, der eksisterer i tidsserien og ud fra denne analyse bygges en model til den enkelte tidsserie, som anvendes til udarbejdelse af en prognose. FMTS-teknikker er, som navnet antyder, faste modeller, der på forhånd antager, at tidsserien følger et eller flere bestemte mønstre(mentzer, Moon 2005). Indenfor tidsserieanalyse er der flere metoder. Nogle af disse er listet herunder(chase 2009): Naive Random walk Rullende gennemsnit Eksponentiel udjævning o Single o Holts & Winters to parametre o Browns dobbelt o Winters tre parametre Nedbrydning o Additiv o Multiplikative ARIMA(Box-Jenkins) Fordelen ved disse og ved kvantitative metoder generelt er, at de meget præcist kan beregne og identificere mønstre i efterspørgslen med eksempelvis udgangspunkt i hele eller dele af Ligning 2 afhængig af, hvilken af metoderne man benytter. I modsætning til de subjektive metoder er de gode i sammenhænge, hvor der skal udarbejdes efterspørgselsanalyser på mange produkter. De 16

fleste er forholdsvis simple for brugeren at forstå, men en metode som den naive bliver typisk kun brugt som referencepunkt til performancemål. Nedenfor ses en liste over de fordele ved brugen af tidsserieanalyse: Meget relevant ved mange produkter De er meget stabile ved produkter med lav volatilitet i salgsdata De kan udjævne tilfældige udsving i data Brugervenlige Gode til kortsigtede efterspørgselanalyser I modsætning til de subjektive metoder kræver de objektive metoder historiske data for at kunne blive gennemført. Metoderne i tidsserieanalyse reagerer grundet deres matematiske udformning ikke godt på hurtige ændringer i salg. Derfor tilføjer en analytiker typisk en subjektiv vurdering for at imødekomme dette. Typiske ulemper ved tidsserieanalyse er: Kræver tilgængelighed til en stor mængde data Reagerer langsomt til ændringer i salg Ekstreme værdier eller store udsving i data kan skabe store fejlprognoser Det kan være problematisk at identificere de korrekte værdier for udjævningsvariabler Alpha, Beta og Gamma For en mere detaljeret efterspørgselsanalyse kan de Kausale metoder anvendes. De Kausale metoder udmærker sig i, at de inddrager andre variabler end blot salgsdata og tager matematisk udgangspunkt i Ligning 3. Dette er i stil med de subjektive metoder, hvor en analytiker ligeledes kan inddrage initiativer som markedsføringskampagner i sin vurdering af helhedsbilledet for den fremtidige efterspørgsel. Ved de kausale metoder foregår dette dog ved hjælp af kvantitative tekniker. De typiske metoder indenfor Kausale metoder er(chase 2009): Simpel regression Multipel regression ARIMAX Som det fremgår, så går en metode som ARIMA igen blot med tilføjelse af variabler, her noteret som X. Fælles for dem er at hvis de udføres korrekt, forklarer de meget omkring forholdet mellem 17

forskellige faktorer i og omkring produktet der dannes estimater for. Da de Kausale metoder kan inkludere variabler så som markedsføringsinitiativer, gør det dem yderst brugbare til scenarieanalyser, som er meget brugbare på det beslutningsmæssige plan. Typiske fordele er: De kan give et bedre efterspørgselsestimat på kort og mellemlangt sigt end tidsserieanalyse, såfremt de er udført korrekt De kan gennemføre scenarieanalyse, hvilket gør dem yderst relevante i beslutningssammenhænge Færdigudviklet software er tilgængeligt på markedet og kræver kun en computer Kompleksiteten er øget i Kausal metoderne, hvilket gør dem gode til at beskrive sammenhænge i markedet omkring produktet, men dette giver også nogle problemstillinger. De typiske ulemper er: Præcisionen i efterspørgselsestimatet er afhængigt af, at korrelationerne i variablerne er forholdsvis konstante Et nøjagtigt estimat af de uafhængige(kausale) variabler er vigtigt De kræver god forståelse for statistik De behøver en stor og tilgængelig database Omkostninger til vedligeholdelse i form af justering og overvågning af de styrende variable kan være høj Anvendelsen af de kvantitative og kvalitative efterspørgselsanalyse metoder kan se ud, som i denne model: 18

Figur 2 Der er i afhandlingen valgt at forholde sig til de objektive efterspørgselsanalysemetoder indenfor tidserieanalyse. Her er der valgt at fokusere på FMTS teknikkerne så som den Naive prognose, Rullende gennemsnit og eksponentiel udjævning. Dette er valgt på baggrund af, at de er simple metoder og som udgangspunkt hver har deres styrker overfor en specifik type efterspørgsel. De valgte metoder er belyst i det følgende. 5.1.1 Den Naive prognose Den Naive prognose benyttes, som nævnt tidligere, oftest som referencepunkt. Den Naive efterspørgselsprognose kan skrives som: Ligning 4 19

Hvor t = tidsintervallet F t+1 = efterspørgselsestimat en periode frem S = Realiserede salg i perioden t 5.1.2 Rullende gennemsnit En nem og hurtig måde at udarbejde en prognose på efterspørgslen er ved at anvende et rullende gennemsnit. I stedte for at anvende det samlede gennemsnit til at udarbejde et estimat, benytter det rullende gennemsnit sig af de seneste N perioder, hvor N reelt set kan repræsentere alt fra to til antallet af historisk data. Det er dog ikke hensigten, at det rullende gennemsnit skal indeholde alt data og begrænses derfor typisk til 3, 6 eller 12 måneder/tidsperioder. Prognosen udarbejdes ud fra følgende ligning: Ligning 5 ( ) 5.1.3 Eksponentiel udjævning Når en tidsserie er stationær og derfor ikke oplever trend, sæsonudsving eller andre typer mønster, er det hensigtsmæssigt at anvende ovenstående rullende gennemsnit. Ændrer efterspørgslen sig derimod over tid, er det en fordel at anvende en teknik, der ligeledes ændre sig i forhold til det gældende marked. Eksponentiel udjævning er en teknik, som estimerer efterspørgslen baseret på vægtede forhold af historisk data omkring reelt salg igennem en vægtningsvariabel α. Eksponentiel udjævning estimeres ud fra følgende ligning: Ligning 6 ( ) Hvor: 0 < α < 1, 20

Det kan bemærkes, at en α = 1, ville sidestille Ligning 6 med den naive prognose. En α = 0 vil rent teknisk ikke give nogen mening. For at starte modellen kan F t første gang antages at følge den naive prognose så F 0 =S 0. 5.1.4 Tilpasset eksponentiel udjævning Teknikken bygger, som den simple eksponentielle udjævning ovenfor ligeledes på, at vægte forholdende mellem seneste og tidligere data og kan dermed estimeres som i Ligning 6. I den ovenstående model antages α dog, at være konstant, hvorimod denne teknik antager, at der ikke eksisterer en optimal værdi for α, og dermed er det nødvendigt at tilpasse α løbende. Dette gøres ved hjælp af følgende ligning: Ligning 7 ( ) Hvor α er begrænset af, at hvis PE t+1 1,0, så er α t+1 =0,99999 og hvis PE t+1 = 0, så er α t+1 =0,00001. Ud fra dette kan det udledes, at en tilpasset eksponentiel udjævning udligner vægtningen i forhold til fejl leddets størrelse. Den forsøger dermed at anvende den del af efterspørgselsestimatet, som var korrekt, og resten estimeres så ud fra de seneste salgstal. 5.1.5 Level, Trend og Sæson Eksponentiel udjævning kan tilføres trend ved hjælp af (Holt 1960), som anvender et niveau parameteret level til, at styre efterspørgslens niveau. Niveauet justeres så løbende i forhold til trend parameteret. En sæsonparameter kan ligeledes tilføjes ved hjælp af (Winters 1960), som udover justering for trend også inkluderer muligheden for sæsonudsving i data. Level-, trend- og sæsonparametrene kan findes ud fra nedenstående ligninger: Ligning 8 ( )( ) Ligning 9 ( ) ( ) 21

Ligning 10 ( ) ( )( ) Hvor: 0 < α < 1, 0 < β < 1, 0 < < 1 L t = Level i perioden t T t = Trend i perioden t SA t = Justering for sæson i perioden t C = Sæsonudsvingenes cyklus Efterspørgselsprognosen kan dermed estimeres ud fra følgende to ligninger: Ligning 11 ( ) Ligning 12 ( ( )) Der kan være stor diskussion omkring værdien af vægtningsvariablerne α, β og. Der er her ligeledes en mulighed for, at værdierne kan tilpasse sig efter dataenes udvikling. Tilpasning af α, β og kan ske enten ved brug af self adaptive forecasting techniques(saft) eller adaptive extended exponential smooting(aees)(mentzer, Moon 2005). Begge disse metoder er dog numerisk meget tidskrævende. Værdierne for α, β og vil senere i afhandlingen være optimeret ved hjælp af solverfunktionen i Excel. Teknisk set bør man optimere estimaterne i hver periode, men rent simulationsmæssigt vil dette være alt for tidskrævende. Derfor er det valgt at udarbejde optimering af variablerne ud fra de 12 første perioder, som dermed vil repræsentere opvarmningsperioden for simuleringen senere i afhandlingen. For at opsummere findes der mange mulige metoder til at estimere efterspørgsel. Disse har hver deres styrke og svagheder. I valg af metode er det dog vigtigt, at være opmærksom på hvad den forklarer og ikke mindst hvad den ikke forklarer. Ydermere er det vigtigt, at valget af metode passer til det tilgængelige data. 22

Mange af de ovenævnte metoder indenfor tidserieanalyse kan udarbejdes simpelt ved hjælp af Excel og historisk salgs data, hvilket begrænser deres omkostninger væsentligt. De kausale modeller kan dog være væsentligt mere bekostelige hvis der eksempelvis skal indsamles data eksternt viden i forhold til virksomheden datasystemer. Derudover kan Omkostninger til vedligeholdelse i form af justering og overvågning af de styrende variable være høj. Valget af metode afhænger derfor i hør grad af hvilken slags produkt man har og hvilken værdi produktet har. Eksempelvis vil det være spild af ressourcer, at lave dyre prognoser på produkter, som har lave lageromkostninger, lav leveringstid eller lav værdi for kunderne. I stedet bør fokus være på produkter med høje lageromkostninger, lange leveringstider eller produkter med høj værdi for kunderne, da dårlige prognoser i dette tilfælde kan resultere i store overfyldte lagre eller tabt salg og dårlig service. Nu da metoder til at estimere efterspørgsel er belyst, er det vigtigt også at kunne vurdere, hvorledes metoderne performer ift. De faktiske begivenheder. Derfor vil performancemåling af efterspørgselsanalysen nu blive gennemgået. 6 Performancemåling af efterspørgselsanalysen Information, læring og udvikling er en vigtig del i enhver proces for at kunne forbedre den, derfor er performance måling på efterspørgselsprognosen en vigtig del af hele efterspørgselsanalyseprocessen. Udarbejdelse af performancemål gør det muligt for både udviklerne og brugerne af efterspørgselsprognoser at se, hvor pålidelige prognoserne er og agere ud fra den viden. Værdien i performancemålinger ligger ikke nødvendigvis i målingens præcision, men i den information, der opnås, og hvad denne viden kan bruges til. Jævnfør (Lapide 2007) er der to primære grunde til, hvorfor man skal lave målinger af sine prognosefejl. Man skal lære fra fejlene, og man skal styre sin risiko overfor efterspørgslen. Læringen består i, at analytikerne kan bruge viden omkring prognosefejl ved at analysere dem og finde ud af i hvilke områder, der eventuelt skal være fokus på forbedringer af efterspørgselsprognosen. Det kunne eventuelt være at finde ud af, hvor i processen der bliver tilført værdi, og hvor der ikke bliver tilført værdi, for på den måde at eliminere ikke værdiskabende indgreb i prognosen. Efterspørgselsrisikoen består i den usikkerhed, der er mellem efterspørgslen og efterspørgselsprognosen. Ved at udarbejde 23

performancemål, kan brugerne af efterspørgselsprognoserne se, hvor præcise de er og med den viden agere med foranstaltninger, der kan minimere effekten af usikkerheden. What gets Measured gets fixed and what gets fixed gets rewarded (Chase 2009) Det ovenstående citat understøtter ideen om, at man ikke blot skal anvende performancemålinger til at se, men også til at agere og søge en bedre løsning. Som nævnt tidligere, er det vigtigt at forstå, at der er en grænse for, hvor præcis en efterspørgselsprognose kan være. Man kan derfor kun søge at skabe den mest præcise analyse af den ubegrænsede efterspørgsel og forsøge at eliminere bias, hvor det er muligt. I det følgende vil afhandlingen behandle nogle af de metoder, der kan anvendes til udarbejdelse af performance, og belyse svaghederne og styrkerne i forhold til, hvor informative de er. 6.1 Performance Prognosefejl defineres som forskellen mellem efterspørgselsestimatet og den reelle efterspørgsel i en specificeret periode. Dermed kan standardformlen for fejl skrives som(chase 2009): Ligning 13 Ligning 14 Hvor: = fejl for periode t = Den reelle efterspørgsel i tiden t = Efterspørgselsestimatet i tiden t Som det ses foroven, er der to måder at beskrive fejl. Begge metoder er brugbare, men da giver et mere intuitivt fejlled i forhold til, at det er efterspørgselsestimatet, som er i fokus, er denne fremgangsmåde valgt fremadrettet i afhandlingen. Det er vigtigt at være bevidst om dette valg, da det vil have indflydelse på fortolkningen af performance i form af henholdsvis 24

underestimering og overestimering af efterspørgselsprognoser. Der findes flere forskellige mål for fejl, når det drejer sig om, at bestemme efterspørgselsmodellers præcision. De mest gængse er listet her(mentzer, Moon 2005): Ligning 15 Ligning 16 Ligning 17 (( ) Ligning 18 Ligning 19 Hvor: N = Perioder i data for n = 1, 2,,,N De ovenstående metoder til beregning af performance er alle forskellige i deres belysning af fejlleddet. De er alle udviklet til at give et bedre indblik i prognosefejl. Grunden er, at standardformlen for fejl, som ses i Ligning 14, ikke er særlig forklarende i sit resultat, fordi man ikke kan udlede forholdet mellem efterspørgselsestimatet og den reelle efterspørgsel. Ligeledes er det også begrænset, hvad man kan udlede ud fra et Mean Absolute Error (MAE) 1. MAE målet anvender de absolutte værdier for dermed at undgå at positive og negative værdier udjævner 1 ME ligningen, som repræsenterer MAE uden absolutte værdier er ikke medtaget, da den ikke er relevant. 25

hinanden, men MAE målet resulterer kun i en værdi, som repræsenterer et gennemsnitlig antal af enheder en given prognose rammer ved siden af. Dermed forklarer den reelt set ingenting omkring præcision, da man ikke kan se det i forhold til population. Mean Squared Error(MSE) målet, som er en udledning fra Sum of Squared Error(SSE) 2, kan typisk anvendes til at sætte fokus på store udsving i efterspørgselsprognosens fejlled, for dermed at kunne reducere disse. Percent Error(PE) målet giver det procentvise fejlled i prognosen og kan dermed anvendes til at forklare præcisionen i en prognose for en specifik tidsperiode givet som en procentvis afvigelse af enten efterspørgslen eller efterspørgselsprognosen. Som nævnt tidligere er der en form for bias i valget mellem at forholde sig til den reelle efterspørgsel eller til efterspørgselsestimatet. Tabel 1 viser de to variationer og hvordan de hver afspejler fejlleddet i forhold til under og overestimering af efterspørgslen. Som det fremgår, vil der ved brug af imod holdt op være mere fokus på overestimering end underestimering og modsat, hvis holdt op imod. Denne viden er vigtig både i forhold til fortolkning og optimering af prognoserne(chase 2009). Tabel 1 Forholdet mellem F og A -20,00% 25,00% 100 125 125 100 25,00% -20,00% Kilde: Egen udarbejdelse Et meget brugt performance mål er MAPE, illustreret i Ligning 18. Her summeres alle de absolutte PE værdier, som holdes op imod den reelle efterspørgsel, og derved kan middelværdien udledes. MAPE metoden er god til at forklare den generelle præcision i efterspørgselsprognoserne, fordi den procentvis forklarer det relative forhold mellem efterspørgsel og efterspørgselsprognosen. MAPE estimatet giver et hurtigt overblik over, hvor præcis man generelt har været i sine prognoser. Ulempen ved MAPE estimatet er, at der ikke er nogen begrænsning på tidshorisonten for hvilke data, der skal medtages, og vil derfor reelt medtage al tilgængelig data. MAPE estimatet er dermed ikke særlig god til at forklare den seneste periodes performance. YTD MAPE som ses i Ligning 19 er i modsætning til MAPE begrænset af, at det kun medtager de seneste 12 måneders data. Denne begrænsning er ikke fastsat til 12 måneder, men skal ses som et udtryk for at MAPE begrænses til at indeholde efterspørgslens cyklus, hvad enten det er i måneder, dage, kvartaler 2 Sum of Squared Error. Ikke beskrevet da relevansen er begrænset 26

etc. Senere i afhandlingen vil PE, MAPE og YTD MAPE være anvendt som performance mål, da disse anses for at give gode forklarende estimater. For at opsummere findes der ligesom ved metoderne til efterspørgselsanalyse også flere metoder, som kan måle performance af en prognose. Ved valg af metode skal man være opmærksom på målingens tidshorisont(daglig, månedlig, årlig performance), hvordan den aflæses og hvordan man vil benytte dem. Metoder til at udføre efterspørgselsanalyse samt metoder til, at måle efterspørgselsanalysernes performance er nu redegjort. I næste afsnit vil afhandlingen redegøre for hvordan datagenereringen vil blive gennemført. 7 Dataindsamling For at afhandlingen kan behandle og simulere efterspørgselsprognoser og de omkostningsmæssige aspekter ved prognosefejl, er der behov for input i form af efterspørgselsdata. Der er i afhandlingen valgt at konstruere eget data til brug i efterspørgselsanalysemodellerne og den efterfølgende lagerstyring, som henholdsvis har til formål at analysere metodernes tilpasning til data og de økonomiske indvirkninger ved prognosefejl. Fordelen ved selv at konstruere data til studiet er, at det giver mulighed for at modellere data, så de repræsenterer det, der ønskes undersøgt. I denne sammenhæng kan man eksempelvis konstruere data, der repræsenterer en efterspørgsel med sæsonudsving eller efterspørgsel med opadgående tendens. 7.1 Datakonstruktion Efterspørgsel kan defineres som en forbrugers betalingsvilje over for et specifikt produkt. Den uafhængige efterspørgsel er så den mængde af et produkt, der er efterspurgt af forbrugeren (Mentzer, Moon 2005). Efterspørgslen på et produkt kan variere alt afhængig af, hvad det er for et produkt, og i hvilket marked det agerer. Variationen kan bestå af flere afhængige eller uafhængige faktorer så som trend, sæson, konkurrence i markedet etc. I dette afsnit vil afhandlingen beskrive hvorledes data til det kvalitative studie er konstrueret. Der tages udgangspunkt i en B2C virksomhed med en make-to-stock produktionsstrategi. De 27

konstruerede data har til hensigt at repræsentere kundernes direkte efterspørgsel på et fiktivt produkt for en given virksomhed. Datagenerering er vedlagt i den medfølgende Excel fil Efterspørgselsgenerator. Modellerne er udarbejdet ud fra princippet Model simple, think complicate(pidd 1996). Der antages, at usikkerheden i efterspørgsel er normalfordelt med en middelværdi på 0 og standardafvigelse på sigma. Denne fordeling af fejlledet er valgt, fordi den er anvendt i flere videnskabelige artikler(chen, Drezner et al. 2000, Babai, Dallery 2006). 7.1.1 White Noise Enhver god efterspørgselsmodel bør have prognosefejl, som følger en White Noise model(makridakis, Wheelwright et al. 1998). Derfor er første led i datagenereringen at etablere en White Noise model. White Noise modellen kan skrives som nedenfor: Ligning 20 Hvor Y t er observationen i tiden t c er en overordnet konstant ε t er tilfældig fejl i tiden t, som er uafhængige perioder imellem 3. For at teste om der er White Noise i de genererede data, er der valgt at teste dataene på autokorrelation(acf) samt udarbejde Box Pierce Q statistik og Ljung & Box test. Figuren nedenfor illustrerer modellens fordeling af værdier(fejl), ACF samt test for white noise. Data kan findes og generes i Excel filen Efterspørgselsgenerator under White Noise. 3 i.i.d: Independent identically distribueted 28

Figur 3 Autokorrelationen(AC) på data med White Noise har ved stikprøve en fordeling der tilnærmelsesvist følger en normalfordeling med en middelværdi på 0 og en standard afvigelse på, hvor n er antallet af observationer(makridakis, Wheelwright et al. 1998). For at data er white noise forventer vi, at 95% ligger indenfor. Dette er illustreret i ACF i Figur 3. Ikke alle værdier ligger indenfor grænseværdierne, så for at kunne konkludere at 95% af værdierne ligger indenfor grænserne, er der foretaget portmanteu tests så som Box pierce test og Ljung Box. Der ses i tabellen, at begge tests ikke kan påvise, at værdierne er forskellige fra 0, og dermed kan det konstateres, at dataene er White Noise. White Noise modellen styres ved ændringer i henholdsvis konstanten eller standardafvigelsen µ for fejlledet. Ved gennemførelse af flere simulationer med forskellige typer værdier blev det konstateret, at modellen i sjældne tilfælde kunne resultere i data, der ikke var White Noise. I disse tilfælde modsagde Box Pierce og Lung Box test ofte hinanden, med Ljung Box test værende den der afviste White Noise. Hvorfor dette er tilfældet er uvist, men modellen er holdt op imod White Noise Modellen i data fra The Box Jenkins Methodology For ARIMA models(makridakis, Wheelwright et al. 1998) og er fundet valid og antages derfor, at producere White Noise Data. 29

7.1.2 Efterspørgselsfunktioner Som beskrevet tidligere kan der være flere faktorer, der har indflydelse på efterspørgslen og dermed senere hen efterspørgselsprognosens præcision. Efterspørgslen på et produkt kan skrives som i nedenstående formel(chen, Drezner et al. 2000): Ligning 21 Hvor D t = Efterspørgsel i tiden t-1 µ er ikke negativ konstant ρ < 1 Som det kan ses, indeholder Ligning 21 White Noise modellen. Her betegnes konstantleddet dog med µ. skal her ses som korrelations parameter, mellem de forskellige tidsperioder. Hvis = 0 vil denne model være identisk med White Noise modellen. Sættes µ = 0 og ρ = 1 vil denne model ligeledes repræsentere en random walk model. I sin helhed kan modellen sammenlignes med Box Jenkins autoregressive AR(1) model, som ses herunder(makridakis, Wheelwright et al. 1998). Ligning 22 Betegnelserne er anderledes, men betyder reelt set det samme. Autoregression består i at fremtidige værdier er baseret ud fra en vægtede sum af historiske værdier. I denne sammenhæng betyder det, at efterspørgslen i perioden t har en effekt på, hvordan efterspørgslen i periode t+1 vil være. Modellen kan udbygges, så efterspørgslen afhænger af flere end én periode. Der er dog valgt kun at udforme autoregressiv data, som er afhængig af en periode. En anden konstruktionsmetode er at skabe data, der følger et gennemsnit også kaldet en moving average model. Denne model kan ses herunder.(makridakis, Wheelwright et al. 1998) 30

Ligning 23 Hvor -1 θ 1 Som det ses vil en Theta værdi på 0 resultere i at modellen følger en White Noise model. De ovenstående modeller bliver af Box-Jenkins betegnet som modeller i første orden af henholdsvis autokorrelation(ar1) og moving average(ma1). Nogle efterspørgsler så som Jordbær, vinterjakker, solcreme etc. er afhængige af sæson. Derfor er det også nødvendigt at inkludere dette parameter i modellen. En metode til at tilføje sæson er ved at tilføje en sinuskurve til modellerne (Chan 1993, Welz 2006): Ligning 24 (( ) ) Hvor: t er tidsintervallet modellen befinder sig i. A er sinuskurvens amplitude. I denne model vil A dermed repræsentere parameteret for, hvor stor forskellen er på lavsæson og højsæson i efterspørgslen. k er sinuskurvens længde, eller i dette tilfælde repræsenterer den sæsonudsving. Sinuskurven kan sammensættes med de ovenstående datagenereringsmodeller. Dermed ser modellen for generering af efterspørgsel med sæsonudsving ud som nedenfor: Ligning 25 (( ) ) Ligning 26 (( ) ) Som det fremgår, så er efterspørgselsmodellerne fra Ligning 21 og Ligning 23 her er blevet tilføjet sæsonkomponenten. 31