Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Simple ligninger 1 2.1 Løsningsmetode del 1.................. 2.2 En sidebemærkning om logik:............. 5 2. Løsningsmetode del 2.................. 7 2.4 Eksempler........................ 9 Komplikationer 12.1 Ikke-injektive operationer............... 12.2 Udtryk hvor den ukendte er trukket fra........ 15. Brøker med den ukendte i nævneren.......... 16.4 Potenser med den ukendte i eksponenten....... 16
Resumé I dette dokument gennemgår vi en metode, hvormed alle simple ligninger kan løses ved at følge en helt systematisk fremgangsmåde. 1 Introduktion Ligninger optræder hele tiden i forbindelse med matematiske problemer. De såkaldt simple ligninger er en særlig type af ligninger som har den store fordel at de kan løses ved en skridt-for-skridt -metode. Denne metode gennemgås her. Du har ikke brug for andre forudsætninger end at du ved hvad en ligning er 1 og at du har styr på regneoperationernes rækkefølge. Du vil opleve at metoden kan anvendes i masser af situationer hvor du måske tidligere har været forvirret og tænkt at der foregik et eller andet magisk. Herunder alle de eksempler i fysik og kemi hvor en ukendt størrelse skal isoleres i en ligning. 2 Simple ligninger En ligning kaldes simpel hvis der kun forekommer en ukendt størrelse, og denne ukendte størrelse kun forekommer et sted i ligningen. Her er et eksempel på en simpel ligning: Og her er et andet: x + 1 = 9 ( x 6 + 2 4 1 Læs en introduktion til ligninger her ) 2 = 8. side 1
Det første af de to eksempler burde du ikke være i tvivl om løsningen til! Men allerede ved det andet eksempel kan det godt være svært at overskue, og det er i hvert fald ikke særligt nemt at gætte løsningen. Endnu værre: Selv hvis man gætter en løsning, hvordan kan man så være sikker på at der ikke er andre løsninger? Efter at have læst dette dokument vil du ikke have nogen som helst problemer med at finde løsningen til den anden af de to ligninger, og du vil heller ikke være i tvivl om hvorvidt der findes andre løsninger. Men ikke nok med det: Hvis du ser en ligning med mange ukendte størrelser, f.eks.: a 2 + bx y = k d (hvor a, b, d, k, x og y alle er ukendte reelle tal), så er ligningen naturligvis ikke simpel. Men du vil alligevel kunne bruge metoden i sådanne tilfælde også! Man kan nemlig lege at alle de ukendte størrelser, undtagen én af dem (f.eks. x), er kendte. Og så gå igennem metoden idet man forestiller sig at de andre størrelser er kendte tal. Det vil resultere i at man får et regneudtryk for hvordan x kan regnes ud, blot man kender alle de andre. Et sådant udtryk for hvordan x afhænger af de andre størrelser kan være nyttigt, f.eks. hvis vi har andre sammenhænge som den indgår i. Vi kan nemlig erstatte alle forekomster af x i sådanne sammenhænge med det regneudtryk der er fundet. Dette er den essentielle ide bag løsningsmetoden for flere ligninger med flere ukendte 2. Sidstnævnte kaldes at man isolerer den ene ukendte i ligningen, og det er nyttigt i rigtigt mange situationer. F.eks. har du sikkert allerede haft brug for at isolere strømstyrken, I i Ohms lov fra fysik: U = I R eller temperaturen, T i idealgasloven fra kemi: p V = n R T 2 Læs om løsning af flere ligninger med flere ukendte her side 2
2.1 Løsningsmetode del 1 Når man skal løse en simpel ligning går man frem efter følgende fremgangsmåde. Efter hvert punkt laver vi et par bemærkninger og diskuterer hvad der kan være svært og hvordan man kan klare det. Vi går ud fra at du sidder med en simpel ligning foran dig. Du kan eventuelt starte med følgende eksempel: 2 + x + 1 = 4 Fokuser på den ukendte som du vil isolere. Dette er utroligt nemt og virker nærmest fjollet. Men det er ekstremt vigtigt at du starter med at kigge på den størrelse som skal isoleres. (Peg eventuelt på den med fingeren!) Det er nemlig her du skal starte med at læse din ligning! Bemærk således at ligninger ikke skal læses fra venstre mod højre! Vi vil gå ud fra at den ukendte størrelse som skal isoleres hedder x. Det kunne selvfølgelig være alt muligt andet, som eksmplerne fra fysik og kemi ovenover viser. I så fald skal du erstatte x med navnet på den ukendte størrelse i resten af teksten. Spørg dig selv: Hvad er der sket med x? På den side af lighedstegnet som du peger på vil der stå et regneudtryk hvori x indgår. Læs nu dette regneudtryk, idet du starter ved x og læser udad. Forestil dig eventuelt at du fik x oplyst til at være 147, og at du skulle regne hele udtrykket ud på en gammeldags lommeregner, én udregning af gangen. Sådan én hvor man ikke kan indtaste hele regneudtrykket og taste enter, men hvor man kun kan lave én regneoperation af gangen side
Man skal især holde øje med i hvilken rækkefølge de forskellige ting er sket. I vores eksempel: 2 + x + 1 = 4 vil man sige at der er sket følgende med x (Tjek selv at det passer!): Først er der lagt 1 til. Derefter er der divideret med. Til sidst er der lagt 2 til. For at få styr på den rigtige rækkefølge, er det meget vigtigt at man kender regneoperationernes rækkefølge, og at man eventuelt sætter alle de usynlige parenteser 4. Vi nævner hurtigt at der er usynlige parenteser omkring... tæller og nævner i brøker. eksponenten i en potensopløftning. Når man har sat alle disse parenteser, vil man opdage at man ganske enkelt skal læse udtrykket udad, idet man starter inde i den parentes hvor x optræder. Eventuelle parenteser som ikke indholder x skal betragtes som et tal, helt for sig selv. I vores eksempel ser ligningen sådan her ud når alle de usynlige parenteser er sat: ( ) (x + 1) 2 + = 4 () Næste skridt er det essentielle i løsningsmetoden: 4 Læs om hvordan man læser regneudtryk her side 4
Spørg dig selv: Hvad er det sidste som er sket med x? Hvis man skal løse en simpel ligning, foregår det på præcis samme måde som hvis har taget en hel masse tøj på og skal tage det hele af igen: Man gør alt hvad der er sket baglæns, i omvendt rækkefølge! (Altså: Det sidste stykke tøj man tog på er det første man tager af.) Man kan læse ligningen som at nogen har udsat stakkels lille x for en hel masse ting, og til sidst er det hele endt med at give et eller andet resultat. I vores eksempel tænker vi: Det sidste som er sket med x at der er blevet lagt 2 til, og det har givet 4. 2.2 En sidebemærkning om logik: Vi har nu læst vores ligning, og vi ved hvad der er gjort ved x, i hvilken rækkefølge det er sket, og hvad der er kommet ud af det. Herefter er det vores opgave at tage tøjet af igen, så vi ender med at finde ud af hvad x oprindeligt var. For at indse hvordan det foregår skal vi lige kigge på ligningen fra det allersimpleste eksempel: x + 1 = 9 I dette eksempel er det sidste (og det eneste) som er sket med x at der er lagt 1 til, og dette har altså givet 9. Det som rent logisk leder os frem til konklusionen (nemlig at x er 8) er følgende vigtige (men ekstremt logiske) faktum: Hvis to størrelser er ens, og man gør det samme ved dem begge, så er de også ens bagefter! side 5
og I vores tilfælde er der to størrelser som er ens, nemlig: x + 1 9 Derfor må de to størrelser også være ens hvis man trækker 1 fra hver af dem. Når man trækker 1 fra den første, får man: x + 1 1 = x og når man trækker 1 fra den anden, får man: 9 1 = 8 Dermed kan vi altså konludere at x er det samme som 8, hvilket selvfølgelig også er den rigtige konklusion. Man kan skrive vores logiske konklusion meget kort og præcist sådan her: Vi ved at: x + 1 = 9 at: Eller med andre ord: x + 1 1 = 9 1 x = 8 Man siger at vi trækker 1 fra på begge sider af lighedstegnet. Men hvorfor trak vi 1 fra på begge sider? Hvorfor lagde vi ikke 9 til eller gangede med 17. Det er selvfølgelig fordi det at trække 1 fra er det omvendte af at lægge 1 til, hvilket var det sidste som var sket med x. side 6
2. Løsningsmetode del 2 Vi kan nu formulere det sidste skridt i løsningsmetoden: Gør det sidste som er sket med x baglæns på begge sider af lighedstegnet og konkluder at de også er ens bagefter I vores eksempel: 2 + x + 1 = 4 Var det sidste som skete med x at der blev lagt 2 til. Det omvendte af at lægge 2 til er at trække 2 fra. Derfor vil vi trække 2 fra på begge sider af lighedstegnet. Vi kan således konkludere: 2 + x + 1 2 = 4 2 x + 1 = 2 Dermed er vi nået et enkelt skridt nærmere imod at isolere x, svarende til at vi har taget det yderste stykke tøj af. Herefter er det bare et spørgsmål om at gentage punkt og 4 indtil x står helt alene på den ene side af lighedstegnet. Vi samler hele løsningsmetoden for overskuelighedens skyld: Man løser en simpel ligning på følgende måde: 1. Fokuser på den ukendte som du vil isolere. 2. Spørg dig selv: Hvad er der sket med x?. Spørg dig selv: Hvad er det sidste som er sket med x? side 7
4. Gør det sidste som er sket med x baglæns på begge sider af lighedstegnet og konkluder at de også er ens bagefter. Dette gentages indtil x er isoleret. Om intuitive huskeregler: Glem alle de forklaringer som du eventuelt har lært om at tal og bogstaver flyver over på den anden side af lighedstegnet! Disse huskeregler er ganske enkelt ikke præcise nok! Hvorfor skal 1-tallet i ligningen: x + 1 = 9 f.eks. trækkes fra når det lander ovre på højresiden? Hvorfor skal det ikke lægges til eller ganges på? Når ligningerne bliver mere komplicerede vil sådanne intuitive huskeregler kun hjælpe dig til at lave fejl. Hvis man holder af fjollede analogier, er der en anden, meget bedre måde at tænke på ligninger på: Alle og enhver kender situationen hvor man ved et uheld læser en trylleformular op og kommer til at trylle et familiemedlem om til et krybdyr... En simpel ligning er præcis det samme: Ligningen siger at hvis man gør noget bestemt (trylleformularen) ved x (vores elskede familiemedlem), så kommer der noget bestemt ud af det (krybdyret). Man står med andre ord med trylleformularen og krybdyret, og man ønsker sig sit familiemedlem tilbage. Som bekendt er der en standardløsning på dette problem, nemlig at læse trylleformularen op baglæns. Så for at finde ud af hvad x oprindeligt var, er man nødt til at tage fat i krybdyret og sige trylleformularen baglæns. Hvert ord udtales baglæns, og ordene udtales i omvendt rækkefølge. Og det er jo præcis hvad der foregår når man løser en simpel ligning: Når man til sidst har isoleret x har man gjort alt det som side 8
oprindeligt var gjort ved x baglæns og i omvendt rækkefølge på det som stod på højresiden af lighedstegnet til at starte med. 2.4 Eksempler Eksempel 1 Lad os færdiggøre løsningen af den ligning som har fulgt os gennem hele kapitlet. Vi fik at vide at: 2 + x + 1 = 4 Det sidste som er sket med x er at der er lagt 2 til. Derfor trækker vi 2 fra på begge sider. Vi kan dermed konkludere at x + 1 = 2 Nu er det sidste som er sket at der er divideret med tre. Derfor ganger vi med på begge sider og konkluderer at: eller med andre ord: x + 1 = 2 x + 1 = 6 Nu er det sidste som er sket med x at der er lagt 1 til, så vi trækker 1 fra på begge sider og konluderer: x + 1 1 = 6 1 altså at: x = 5 side 9
Når man løser ligninger og skal forklare sig skriftligt behøver man ikke at skrive helt så meget som i det sidste eksempel. Man kan som regel klare sig med meget færre ord uden at det bliver svært for læseren at forstå logikken. Det kan se ud som i det næste eksempel. Prøv at se om du kan følge argumentationen så godt at du selv kunne have gjort det: Eksempel 2 Vi får oplyst om et reelt tal, x at: ( x 6 + 2 4 ( x 2 4 x 4 x 4 ) 2 = 8 ) 2 = 8 6 = 2 2 = 2 2 = 1 = 1 + 2 = x = 4 = 12 x = 12 + = 15 Bemærk hvordan den lille mellemregning i hver linje hjælper læseren med at se hvad der er foregået. Bemærk også den lille forkortelse "dvs."mellem hver linje. Den viser læseren at vi kommer fra en information til en logisk konklusion. I hver linje ved vi jo at de to ting på hver side af lighedstegnet er ens, og kan derfor konkludere at de to sider af lighedstegnet i næste linje er ens, fordi vi jo netop har gjort det samme på begge sider. side 10
Øvelse 1 Prøv som en øvelse at løse nedenstående ligning. Husk at du kan tjekke at din løsning er rigtig ved at indsætte den i den oprindelige ligning bagefter. 2x 4 + 5 = 6 (x R) Eksempel Lad os også vise et eksempel hvor en ukendt størrelse isoleres, selvom der optræder andre ukendte størrelser i ligningen. Vi kan tage udgangspunkt i eksemplet fra afsnit 2: a 2 + bx y = k d (hvor a, b, d, k, x og y alle er ukendte reelle tal. Og lad os prøve at isolere b, bare for variationens skyld. Dermed sætter vi lige fingeren på b i ligningen og forestiller os at alle de andre bogstaver er kendte tal. Vi går frem efter metoden: Vi ved at: a 2 + bx y = k d bx y = k a d 2 (Bemærk at a bare er et tal. Vi kan dog ikke udregne hvad det 2 giver når man trækker det fra på højresiden. Derfor lader vi det bare stå som det gør.) Vi fortsætter og konkluderer at: bx y = ( k a ) d 2 side 11
(Bemærk at vi satte en parentes om udtrykket på højresiden. Dette er nødvendigt for at sikre at hele udtrykket bliver ganget med d.) Vi går videre: bx = ( k a ) d + y 2 Og til sidst: ( ) k a 2 d + y b = x Hermed har vi isoleret b i ligningen. Det er endnu ikke muligt at sige hvad b er, men hvis vi får oplyst værdien af alle de andre størrelser, kan vi nemt udregne værdien af b. Øvelse 2 Prøv at isolere a i den samme ligning som det foregående eksempel. (Det kan gøres i kun to skridt!) Komplikationer.1 Ikke-injektive operationer Det er vigtigt at vide at nogle af de ting man kan finde på at gøre ved x i en simpel ligning ikke bare kan udføres baglæns. Et meget vigtigt eksempel på dette er opløftning i anden potens. Problemet er at to forskellige tal godt kan give det samme resultat, når de opløftes i anden potens. F.eks. er både ( 4) 2 = 16 og side 12
4 2 = 16. Derfor, hvis man får at vide at x 2 = 16 (x R) så kan man ikke vide om x var 4 eller 4 inden det blev opløftet i anden potens. Man kan altså ikke bare udføre potensopløftningen baglæns på begge sider. Fænomenet kaldes at potensopløftning i anden potens ikke er en injektiv funktion. 5 Når man støder på en operation som ikke er injektiv i en ligning, er man nødt til at stoppe op og tage højde for alle muligheder. Man kan have stor nytte af det logiske tegn for eller : Når man skriver dette tegn imellem to udsagn, så mener man at enten det ene eller det andet udsagn er sandt, eller eventuelt dem begge. Det kan foregå på følgende måde: Eksempel 4 Lad os forestille os at vi får følgende oplysning om et reelt tal x: (x 1) 2 + 9 = 6 (x 1) 2 + 9 = 6 = 18 (x 1) 2 = 18 9 = 9 Indtil videre er alting gået uden problemer. Men nu skal vi huske at der er to forskellige tal som giver 9 når de opløftes i anden potens. Dermed er der to muligheder for hvad størrelsen 5 Ordet injektiv er temmeligt mærkeligt. For at få en bedre forståelse af det kan du læse om injektive funktioner her. side 1
inde i parentesen kan være. Det kan man skrive på følgende måde: (x 1) = (x 1) = (Bemærk at vi slet ikke har kigget på hvad der stod inde i parentesen endnu. Vi har kun konkluderet at eftersom det giver 9 når man opløfter det i anden potens, så må det enten være eller.) Herefter har man to muligheder der hver især skal håndteres som en simpel ligning. I begge tilfælde vil vi fortsætte med at lægge 1 til på begge sider: x = + 1 = 4 x = + 1 = 2 Om kvadratrodstegnet Jamen... siger den vakse læser: Er kvadratroden ikke det omvendte af at opløfte i anden potens? Fremragende spørgsmål! Men svaret er nej. Kvadratroden er det som med et fint ord hedder en højreinvers til potensopløftning i anden potens. Det betyder at kvadratroden af et tal (f.eks. 117) giver et af de tal som giver 117 når det opløftes i anden potens. Dette tal skrives som bekendt: 117 Men det er vigtigt at huske at der findet et tal mere, nemlig det tilsvarende negative tal: 117 I praksis betyder det bare at hver gang man støder på en potensopløftning i anden potens 6 som det sidste der er sket med x, så skal 6 Eller en anden ikke-injektiv operation. side 14
man huske at der er to muligheder, som man skal arbejde videre med seperat. Øvelse Om et reelt tal x oplyses at (x 1) 2 + 1 = 118 Hvad er x?.2 Udtryk hvor den ukendte er trukket fra Nogle gange kan det være lidt svært at gennemskue hvordan man skal gøre en operation baglæns. En sådan situation opstår hvis den ukendte indgår i et udtryk som er trukket fra noget andet. Betragt f.eks. ligningen: x + 2 = 8 Her er det sidste som er sket med x at hele brøken er trukket fra. Det kan godt være lidt svært at se hvad der er det omvendte af at trække noget fra er. Derfor laver vi et ekstra punkt til løsningsmetoden: Hvis det sidste som er sket med den ukendte er en differens, hvor den ukendte står i det udtryk som er trukket fra, kan man skifte fortegn på begge sider af lighedstegnet. Når man skifter fortegn på en differens, bytter man bare om på de to led. Derfor bliver konklusionen at: x + 2 = 8 side 15
Og derefter kører løsningsmetoden som den skal.. Brøker med den ukendte i nævneren Hvis den ukendte størrelse står nede i nævneren af en brøk, kan det også være svært at følge løsningsmetoden. F.eks. i ligningen: 2 x 4 = 8 Her er det sidste som er sket med x at den foregående udregning (x 4) er divideret op i 2. Igen er det ikke så let at gennemskue hvad det omvendte af at dividere noget op i 2 er. Derfor laver vi endnu et punkt til løsningsmetoden: Hvis det sidste som er sket med den ukendte er en brøk, hvor den ukendte står i nævneren, kan man tage reciprokværdien på begge sider af lighedstegnet. Man tager som bekendt reciprokværdien af en brøk ved at vende den på hovedet. Tallet til højre for lighedstegnet kan betragtes som brøken 8. Derfor bliver konklusionen når vi tager reciprokværdi på 1 begge sider: x 4 = 1 2 8 og herefter kører løsningsmetoden som den skal..4 Potenser med den ukendte i eksponenten For fuldstændighedens skyld nævner vi lige en sidste komplikation, nemlig hvis vores ukendte størrelse står oppe i eksponenten af en side 16
potensopløftning. F.eks. i ligningen: 2 x+4 = 117 Her er det sidste som er sket med x at 2 er blevet opløftet i resultatet fra den sidste udregning. Igen er det svært at gennemskue hvad det omvendte er af at opløfte 2 i noget, så igen er der et trick som er godt at kende: Hvis det sidste som er sket med den ukendte er en potens, hvor den ukendte står i eksponenten, kan man tage en logaritme på begge sider af lighedstegnet. Du har sandsynligvis ikke lært om logaritmefunktioner endnu 7. Men det kan allerede nu afsløres at logaritmerne er en form for regneoperationer som opfylder følgende nyttige regneregel: log(a b ) = b log(a) for alle værdier af a og b, så længe a er et positivt tal. Hvis vi således tager en logaritme på begge sider af ovenstående ligning, kan vi konkludere at: Hvilket kan omskrives til: log(2 x+4 ) = log(117) (x + 4) log(2) = log(117) Og herfra kører løsningsmetoden, idet log(117) og log(2) bare er tal der kan udregnes på en lommeregner. 7 Læs om eksponentialfunktioner og logaritmer her side 17