Tal og Regneoperationer

Transkript

1 Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Tal De naturlige tal De hele tal De rationelle tal De reelle tal De komplekse tal Intermezzo Hvad skal regneregler bruges til? Om at læse, lære og huske regneregler Regneoperationer og Regneregler Addition og Subtraktion Multiplikation Division Potenser og rødder Eksponenter som ikke er naturlige tal Andre regneoperationer

3 Resumé I dette dokument skal vi se på de forskellige talmængder og de regneoperationer som findes i disse mængder. 1 Introduktion Tal er et begreb som er blevet udviklet og udvidet over meget lang tid. I begyndelsen af tallenes historie skulle tal primært bruges til at tælle får og geder med. Derfor havde man ikke brug for andet end naturlige tal (0,1,2,3,... ) og regneoperationerne plus og minus. På et tidspunkt begyndte man at handle med hinanden. Derfor opstod først de negative tal (der var jo nogen som brugte mere end de havde) og senere regneoperationerne multiplikation og division. Med division opstod der pludselig brug for brøker (det måtte jo ske at nogen fik brug for at dele et får mellem to mennesker). Senere begyndte man at bruge tallene i teoretiske beskrivelser af virkeligheden, og så opdagede man at der manglede endnu flere tal. Det blev først til de reelle tal og siden de komplekse. 1 Det er disse forskellige talmængder som vi nu vil se nærmere på. 2 Tal 2.1 De naturlige tal De naturlige tal er dem som vi bruger til at tælle med. Altså tallene 0, 1, 2, 3, 4 og så videre. De naturlige tal udgør en mængde 2, og når man vil tale om denne mængde, skriver man ofte bare N i stedet for mængden af de naturlige tal. (Bogstavet er et stort N med en ekstra 1 Historien om udviklingen af talbegrebet er selvfølgelig meget mere kompliceret end dette. Alene historien om hvordan man fandt på at bruge tallet nul er lang og spændende. 2 Læs mere om mængder her side 1

4 streg. Grunden til den ekstra streg er, at man meget tit har lyst til at bruge bogstavet N til noget andet.) På mængdesprog kan vi altså skrive: N = {0, 1, 2, 3, 4,...} Værd at vide om de naturlige tal Der er uendeligt mange naturlige tal. Det kan godt være svært at forstå hvad uendeligt mange betyder 3. Men i bund og grund betyder det bare det modsatte af endeligt mange, hvor endeligt mange altså betyder at hvis man begynder at tælle dem, én efter én, så vil man på et eller andet tidspunkt nå til den sidste og blive færdig. Bemærk at vi vedtager at nul er et naturligt tal. Dette er en definitionssag, og man vil ofte støde på folk der foretrækker at nul ikke er et naturligt tal. Begge synspunkter har gode argumenter, og i virkeligheden er det fuldkommen ligegyldigt, så længe man holder sig til den definition man har valgt. 4 De naturlige tal skrives som regel i titalssystemet. I dette system har man defineret ti grundtal (såkaldte cifre), nemlig de 10 første naturlige tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Det næste naturlige tal, skriver man som 10. Desuden skriver man som 100, man skriver som 1000, og så videre. Hvis man så skriver flere cifre efter hinanden, f.eks. 127, skal dette forstås som Grunden til at vi nævner dette er at der findes andre talsystemer end titalssystemet. Dem vil vi dog ikke komme ind på her. 5. En meget vigtig delmængde af de naturlige tal, er primtallene. Primtallene består af de naturlige tal som ikke kan skrives som produkt af to andre naturlige tal, uden at det ene er 1 (og det andet er tallet selv). Dog er 1 selv ikke et primtal. F.eks. er 2, 3, 5, 7, 11 og 13 primtal, mens 0, 1, 4, 6, 8 og 9 ikke er det. Primtal er ekstremt inter- 3 Læs mere om uendelighedsbegrebet her 4 Læs mere om hele denne diskussion her. 5 Læs om det binære talsystem her side 2

5 essante, og selv nutildags er der masser af spørgsmål om primtallene som man ikke kender svaret på De hele tal De hele tal er en udvidelse af de naturlige tal. Det vil sige, at de hele tal indeholder alle de naturlige tal. Derudover indeholder de for hvert naturligt tal, et tilhørende negativt tal. Til det naturlige tal 5 hører f.eks. det negative tal 5. Nul er sit eget negative tal. Et naturligt tal og dets tilhørende negative tal opfører sig sådan at hvis man lægger dem sammen så giver det nul. De hele tal udgør en mængde, og man skriver tit denne mængde som Z (et Z med en ekstra streg). På mængdesprog kan vi altså skrive: Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,...}. Dog er der tradition for at skrive de hele tal op i størrelsesorden, idet man vedtager at de negative tal er mindre end de naturlige, og jo større et naturligt tal er, desto mindre er dets negative tal. Derfor skriver man hellere : Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Værd at vide om de hele tal Læg rigtig godt mærke til at minus -tegnet i det negative tal 5 ikke er det samme tegn som tegnet for regneoperationen minus! Det vender vi tilbage til i afsnittet om regneoperationer. At de hele tal indeholder de naturlige tal kan vi skrive som: N Z. I de hele tal er der en meget vigtig operation, som hedder fortegnsskift. Det foregår ved at man sætter et minus -tegn foran et 6 Læs mere om primtal her side 3

6 helt tal. Hvis det hele tal er positivt, får man det tilsvarende negative tal ud (præcis lige som før). Men hvis det hele tal er negativt, f.eks. 5, så får man det tilsvarende positive tal ud, altså: ( 5) = 5. Bemærk at dette er en udvidelse af betydningen af minus -tegnet i forhold til før, og at det stadig ikke er det samme tegn som regneoperationen minus En lille advarsel Netop denne udvidelse er årsag til en utroligt populær fejl, nemlig at hvis a symboliserer et ukendt tal, og man ser udtrykket a, så tror man fejlagtigt at der er tale om et negativt tal. ( Der står jo minus foran!.) Men det kommer helt an på om det oprindelige a var positivt eller negativt; a betyder nemlig bare a med modsat fortegn. 2.3 De rationelle tal De rationelle tal er en udvidelse af de hele tal. Man får ideen til at lave dem hvis man stiller alle de hele tal op i størrelsesorden, med nul i midten og lige store mellemrum imellem sig. Herefter spørger man sig selv: Hvis jeg starter i nul (dvs. lige i midten) og går en trediedel af vejen ud mod 7, hvor havner jeg så? Figur 1: Et rationelt tal side 4

7 Hvis man tegner situationen (se figur 1), ser man hurtigt at man havner lidt forbi 2. Lige præcis her opfinder vi et nyt tal som skal ligge, og dette tal kalder vi 7 (læses som syv trediedele eller en 3 trediedel af syv eller syv delt med tre ). På samme måde laver vi alle andre mulige nye tal på formen a b hvor a er et helt tal og b er et helt tal, som er forskelligt fra nul. (Bemærk at en inddeling i nul dele ikke giver mening, derfor er det strengt forbudt at skrive nul for neden i et sådant tal. Hvis enten a (eller b) er et negativt tal, bestemmer vi at tallet a ligger på den b modsatte side af nul, i forhold til hvis a (eller b) havde været positivt. F.eks. er 5 3 = 5 3 = 5 3 Til gengæld er 5 3 = 5 3 fordi der her er skiftet fortegn to gange. Et sådant tal kaldes en brøk, tallet foroven kaldes brøkens tæller og tallet forneden kaldes brøkens nævner. Mængden af alle brøker kaldes de rationelle tal, og benævnes traditionelt med bogstavet Q. (Q står for quotients, altså brøker på engelsk.) På mængdesprog kan vi altså skrive: Q = { a b a Z, b Z \ {0}} Værd at vide om de rationelle tal Den vigtigste egenskab ved brøken a er, at hvis man ganger den med b b, så får man a. Bemærk at nogle brøker er ens. F.eks. er 18 og 9 præcis det samme 8 4 tal. (Tegn selv!) Generelt, hvis man ganger både tælleren og nævneren i en brøk med det samme hele tal (undtagen nul), så får man den samme brøk som man startede med. Man siger at man har forlænget brøken. Hvis man dividerer både tælleren og nævneren med et helt tal side 5

8 (undtagen nul), hvor dette hele tal går op i både tæller og nævner, får man også den samme brøk. Man siger at man har forkortet brøken. Det betragtes som god opførsel at man forkorter en brøk så meget som muligt når man skal skrive den op. Inden man opskriver et rationelt tal, skal man altså lige undersøge, om der skulle være nogen hele tal 7 der går op i både tælleren og nævneren. Og hvis det er tilfældet, forkorte med disse hele tal Blandede tal Der er opfundet et par andre måder at skrive rationelle tal på. En af disse måder er som såkaldt blandede tal. Skrivemåden benyttes når et rationelt tal er større end 1 eller mindre end 1. (F.eks. 7 3, som vi startede med, er jo lidt større end 2.) Man udregner først hvor mange hele gange nævneren går op i tælleren. I vores eksempel med 7 3 er dette antal altså 2. Derefter udregner man hvor meget der mangler fra dette tal til det oprindelige rationelle tal. I vores eksempel er dette = = 1 3 Til sidst skriver man så tallet på følgende måde: eller 2 1 / 3 Denne skrivemåde er tåbelig og bør afskaffes! Desværre kan man ikke fjerne en tradition på et øjeblik, og derfor bør du være forberedt på at andre kan finde på at bruge den. Men lad være med selv at bruge den, og lær gerne andre at de skal lade være! Når skrivemåden med blandede tal er tåbelig så skyldes det at der allerede findes en (fornuftig) regel om at to talstørrelser der er 7 Det er faktisk tilstrækkeligt at prøve efter med alle primtal som er mindre end kvadratroden af både tælleren og nævneren. Det sparer lidt tid. Læs mere om primtal her side 6

9 skrevet lige efter hinanden er underforstået ganget sammen. Således er f.eks. 2x det samme som 2 x Blandede tal kan især når man skriver i hånden let misforstås som om tallet er ganget på brøken. I eksemplet ovenover kunne man således fristes til at tro at der stod hvor der jo egentlig menes 2 plus brøken. Hvis man endelig vil oplyse at brøken er 1 større end 2, kan man skrive: = Blandede tal er hermed anvendt for første og sidste gang i Mat- Bog Decimaltal En anden måde at skrive rationelle tal på er som decimaltal eller kommatal. Når man f.eks. skriver 12,148, skal dette læses som Det er ikke alle rationelle tal som kan skrives som kommatal med endeligt mange cifre. F.eks. er 7 = 2, I denne situation 3 bruger man notationen 2,3 for at vise at 3-tallet skal gentages i det uendelige. På samme måde betyder 3,13298 at decimalerne 98 skal gentages, altså: 3,13298 = 3, Et sådant kommatal, der gentager en endelig sekvens fra et vist trin, kaldes periodisk. En temmeligt overraskende (og behagelig) kendsgerning er at: side 7

10 Sætning 1 Alle rationelle tal kan skrives enten som et endeligt kommatal eller som et periodisk kommatal. Og omvendt: Alle endelige kommatal og periodiske kommatal kan skrives som en brøk. Fordelen ved kommatal er at man lynhurtigt kan se hvor store de er. F.eks. er der ingen tvivl om at 401,375 er lidt over en trediedel større end 401. Til sammenligning kan det være temmeligt udfordrende at se hvor stort 9633 er. 24 Der er dog også ulemper ved at bruge kommatal. Det vil jeg gerne give hele fire eksempler på: Eksempel 1 For det første er de meget praktiske, forstået på den måde at de er bedst når man arbejder med konkrete tal. Så snart der kommer ukendte størrelser 8 i spil bliver kommatallene meget svære at bruge til noget. Mens brøkerne håndterer ukendte størrelser uden problemer: Hvis man dividerer det ukendte tal a med 4, så får man nu engang tallet a, men det er ikke til at sige noget som helst fornuftigt 4 om hvilket kommatal det giver. Eksempel 2 En anden grund til at kommatal er farlige er at der hersker international forvirring om hvorvidt et kommatal skal skrives som 8 Læs om udtryk med ukendte størrelser her side 8

11 12,4 eller Det bliver endnu værre af, at de lande som bruger komma som komma bruger punktum som tusindtalsseperator, mens det er lige omvendt i andre lande. Derfor vil en person fra USA sige at tallet 1,001 er lig tusinde og en, mens vi i Danmark mener at det er lig en og en tusindendedel. Eksempel 3 Den tredie grund til at undgå kommatal er at vi skal bruge tegnet komma til meget andet, nemlig til at adskille elementerne i en mængde 9, til at adskille endepunkterne i såkaldte intervaller 10 og til at adskille koordinaterne i punkter i koordinatsystemet 11. F.eks. ser følgende mængde fornuftig ud: { 1 2, 1 4, 1 5} Men hvis man skriver den samme mængde med kommatal bliver den næsten ulæselig: {0,5, 0,25, 0,2} Eksempel 4 Et sidste problem ved kommatal er faktisk lidt sjovt, og kan ofte sætte en vild diskussion i gang. Det viser sig nemlig at to kommatal godt kan se forskellige ud, men alligevel være det samme 9 Læs om mængder her 10 Vi vender tilbage til intervaller lige om lidt. 11 Læs om koordinatsystemet her. side 9

12 tal. Problemet opstår i det øjeblik man tillader uendeligt mange decimaler. F.eks. er 1, (uendeligt mange nuller) præcis det samme tal som 0, (uendeligt mange 9-taller) Selvom dette irriterer mange menneskers intuition så er det fuldkommen nødvendigt at disse to tal skal være ens. Ellers kan vi ikke definere hvordan sådanne tal skal lægges sammen og trækkes fra hinanden på en meningsfuld måde. Det viser sig nemlig at med den eneste fornuftige definition af hvordan dette gøres, så er differensen af de to ovenstående tal præcis lig med nul. Og derfor må de jo være ens Antallet af rationelle tal Hvis man er lidt snedig, kan man godt skrive de rationelle tal op på listeform (altså på samme måde som vi har gjort med de naturlige og de hele tal oven over). Se om du kan gennemskue systemet: Q = {..., 3 1, 2 2, 1 3, 2 1, 1 2, 1, 0, 1, 1 2, 2 1, 1 3, 2 2, 3 1,...}. Ganske vist er vi kommet til at skrive nogle af tallene flere gange, men opskrivningen viser at der i en vis forstand er lige så mange rationelle tal som der er naturlige tal. Man siger at de rationelle tal er tællelige, lige som de hele tal og de naturlige tal Læs om tællelige og overtællelige mængder her side 10

13 2.4 De reelle tal Hvis man tegner en retvinklet trekant (se figur 2), hvor begge kateder er 1 lange, så siger Pythagoras sætning 13 at hypotenusens længde bliver et tal, c, som opfylder at c 2 = = 2. De gamle grækere opdagede til deres forfærdelse at dette tal (populært kendt som 2) ikke kan være et rationelt tal. 14. Figur 2: En irrationel længde Der findes altså (teoretiske) længder som ikke kan angives med et rationelt tal. Derfor er der brug for endnu en udvidelse af talbegrebet. Denne udvidelse til et tal for hver teoretisk længde af et linjestykke kaldes de reelle tal, og skrives med bogstavet: R. I dette dokument vil vi ikke komme nærmere ind på hvordan de reelle tal er konstrueret, fordi det er meget indviklet Værd at vide om de reelle tal Hvis vi husker at de rationelle tal kunne skrives som endelige eller periodiske decimaltal, så kan de reelle tal beskrives som alle tænkelige decimaltal også uendeligt lange, uden perioder. 13 Læs mere om retvinklede trekanter her 14 Læs beviset for at kvadratroden af 2 er irrationel her 15 Læs i stedet om konstruktioner af talmængderne her side 11

14 De reelle tal som ikke er rationelle, kaldes irrationelle. Det sjove er, at man aldrig vil kunne skrive sådan et tal ned, for man når jo aldrig til et punkt, hvor man kan sige og så videre hvis ikke kommatallet er periodisk. Heldigvis er der andre måder at angive irrationelle tal på. Vi har jo allerede set at "længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katedelængder 1 og 1 eller det reelle tal som i anden potens giver 2 eller ganske enkelt 2 er irrationelt. Vi nævner lige et par andre vigtige eksempler på irrationelle tal: Pi Tallet π er defineret som forholdet mellem en vilkårlig cirkels omkreds og diameter 16, og det er en lille smule større end 3, (...) Det ikke er muligt at finde noget mønster i decimaludviklingen af π. Faktisk formodes det at... Formodning: Enhver endelig sekvens af tal forekommer uendeligt mange gange i decimaludviklingen af π. Det betyder at Shakespeare s samlede værker, JPG-billeder af letpåklædte piger, musiknumre i MP3-format og samtlige film der nogensinde er lavet altsammen information der kan præsenteres ved en endelig sekvens af tal står pænt og nydeligt i decimaludviklingen af π fra et eller andet trin. F.eks. optræder mit mobilnummer som cifre nummer til efter kommaet. Egenskaben er en konsekvens af en endnu mere underlig egenskab som (ironisk nok) kaldes at π er et normalt tal. Det er (august 2010) 16 Denne definition forudsætter naturligvis at man først beviser at forholdet er det samme for alle cirkler. Det er i sig selv en ret dyb, filosofisk øvelse som vi ikke vil kaste os ud i her. side 12

15 endnu ikke bevist om π er et normalt tal, selvom alle tror at det er tilfældet. Derfor kaldes egenskaben en formodning (på engelsk: conjecture ). Den omtales nogle gange som The Infinitely many Monkeys Conjecture. 17 Selvom der ikke findes mønstre i decimaludviklingen af π, findes der flere systematiske måder at angive en formel for beregning af π på. En af de mest berømte er: π = Vi skal på et tidspunkt se et bevis for at π er irrationelt. Beviset er utroligt snedigt og elegant, og det benytter stort set al den teori man lærer i gymnasiematematik e Et andet vigtigt irrationelt tal er grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion og logaritme 19. Det benævnes med bogstavet e, og det er lidt større end 2, ( ). 17 Navnet med de uendeligt mange aber skyldes en populær illustration af begrebet et eller andet sted : Hvis man fanger rigtigt mange aber og udstyrer dem med hver sin skrivemaskine og lader dem trykke på tilfældige taster i rigtig lang tid, så vil der på et eller andet tidspunkt være en abe som har skrevet manuskriptet til Shakespeares Hamlet. Man skal bare vente længe nok. Ventetiden er altså endelig, selvom den er enormt lang. Som det fremgår af eksemplet med telefonnummeret i decimaludviklingen af π, skal man lede næsten en halv milliard cifre igennem for at finde et ottecifret tal. Så i praksis vil alle aberne være døde inden nogen får skrevet, og solen vil være gået under længe inden nogen af dem eller deres efterkommere får stavet sig frem til den første side af manuskriptet. 18 Læs beviset for at π er irrationelt her 19 Læs om den naturlige eksponentialfunktion og logaritme her side 13

16 Igen er der ingen systematik i decimaludviklingen, men der findes en meget smuk formel for beregning af e: e = Eller skrevet ved hjælp af summationstegnet 20 og fakultettegnet 21 : Intervaller e = n=0 Nogle vigtige delmængder af de reelle tal, er de såkalde intervaller. Hvis man f.eks. skriver [ 3, 2] menes der alle de reelle tal som ligger mellem 3 og 2. De to tal 3 og 2 kaldes intervallets venstre intervalendepunkt og højre intervalendepunkt. Man bruger de kantede parenteser til at angive hvorvidt endepunkterne skal være med i mængden eller ej. Hvis en kantet parentes vender indad betyder det at endepunktet skal være med. (I eksemplet ovenfor er begge intervalendepunkter med.) Og hvis den kantede parentes vender udad betyder det at endepunktet ikke skal være med (men alle de reelle tal, der ligger inde i intervallet, helt tæt op ad endepunktet skal være med). F.eks. er: ] 3, 2[ næsten den samme delmængde som før, bortset fra at den lige netop ikke indeholder de to intervalendepunkter. Et interval som indeholder begge sine endepunkter kaldes lukket og et interval som ikke indeholder nogen af sine endepunkter kaldes åbent. Man kan også have halvåbne intervaller. F.eks: 1 n! [ 3, 2[. 20 Læs om summationstegnet her 21 Læs om fakultettegnet senere i dokumentet side 14

17 Dette interval indeholder 3, men ikke 2. Hvis man skriver ( uendelig ) som en eller begge intevalendepunkter, menes der alle de reelle tal i den pågældende retning. Bemærk at ikke er et reelt tal i sig selv, så derfor skal intervaltegnet altid vende udad når man bruger det som endepunkt. F.eks. kan vi skrive de positive reelle tal som intervallet: Antallet af reelle tal R + =]0; [ Det er svært at finde eksempler på irrationelle tal. Ikke desto mindre, er der faktisk ufatteligt mange af dem. Det viser følgende sætning, kaldet Archimedes princip: Sætning 2 (Archimedes princip:) I ethvert interval (med mere end 1 element) på den reelle akse vil der findes både rationelle tal og irrationelle tal Den parentetiske bemærkning skyldes at princippet naturligvis ikke er rigtigt for intervaller af typen [5, 5]. Men Archimedes princip afslører kun en lille del af sandheden. Der er faktisk I en vis forstand mange flere irrationelle tal end rationelle (selvom der er uendelig mange af begge dele). 22. Antallet af reelle tal er så vanvittigt stort at det kan være svært at fatte. For at få en lille ide om det, så prøv at meditere over det følgende. Det kan selvfølgelig ikke lade sig gøre at skrive alle de reelle tal ned. Selv hvis hele verdens befolkning hjalp hinanden, så ville de ikke engang kunne skrive alle cifrene i π i løbet af et menneskeliv. 22 Læs mere om forskellige størrelser af uendelig her side 15

18 Men selv hvis man fik lov til at give de reelle tal navne (f.eks. bare π) og så bare skrive dem i stedet for, og selv hvis hele menneskeheden besluttede sig for at det var det eneste de nogensinde ville foretage sig, og selv hvis menneskeheden klarede at overleve i uendeligt lang tid (og endda formere sig så meget vi havde lyst til), så ville vi ikke komme i nærheden af at kunne identificere hvert enkelt reelt tal. Faktisk ville ideen med at finde et symbol til hvert af dem hurtigt vise sig at være dum, fordi antallet af mulige symboler er endeligt. Men selv hvis vi bare skulle pege på hvert enkelt reelt tal, så ville det ikke engang kunne gøres på uendeligt lang tid De komplekse tal Selvom vi ikke vil beskæftige os med andre tal end de reelle foreløbig, bør det lige nævnes at der findes en udvidelse mere af talbegrebet, nemlig de komplekse tal. På en måde kan man sige at alle de foregående udvidelser af talbegrebet har været motiveret af en ligning som ikke kunne løses med det gamle talbegreb. De hele tal opstod fordi der ikke var nogen løsninger i de naturlige tal til ligningen: x + 1 = 0. De rationelle tal opstod fordi der ikke var nogen løsninger i de hele tal til ligningen: 2x = 1. De reelle tal opstod fordi der ikke var nogen løsninger i de rationelle tal til ligningen: x 2 = At gøre noget på uendeligt lang tid er et ekstremt underligt udtryk. Hvis man på et tidspunkt bliver færdig, så har man jo gjort det på endeligt lang tid. Hvad der menes er om man kan beskrive en strategi hvorved man kan fortsætte uendelig lang tid, men sådan at hvis man vælger et tilfældigt reelt tal, så vil dette reelle tal nødvendigvis fremkomme efter et eller andet (endeligt) stykke tid, uanset hvilket reelt tal vi har valg. Men selv ikke dette er altså muligt med de reelle tal. side 16

19 De komplekse tal opstår på samme måde, fordi der ikke er nogen reelle tal, der løser ligningen: x 2 = 1. For at skaffe løsninger til denne (og mange andre) ligninger, indfører man et nyt tal i, med den egenskab at i 2 = 1. Tallet i giver anledning til en masse andre nye tal, på formen a i + b hvor a og b er gammeldags reelle tal. Disse nye tal kaldes de komplekse tal, og skrives med bogstavet C. Disse tal kan man selvfølgelig ikke forestille sig som afstande eller mulige pengebeløb, da de reelle tal jo allerede udgjorde samtlige tænkelige længder af linjestykker. Til gengæld er der andre fysiske fænomener hvor det giver rigtigt god mening at der kan optræde komplekse talstørrelser. I en vis forstand udgør de komplekse tal den sidste fornuftige udvidelse af talbegrebet. Det er nemlig en såkaldt algebraisk afslutning. Det betyder at vi nu endelig har en talmængde, hvori alle algebraiske ligninger har løsninger. (En algebraisk ligning er en ligning, der kun bruger de 4 basale regnearter.) Man kan skrive hele striben af udvidelser på mængdesprog som: N Z Q R C. Hvis man har svært ved at huske bogstavbetegnelserne, men kan lide fjollede huskeregler, kan man huske på remsen: Nina, the Zebra Queen Rules in Congo. Vi vil som sagt ikke komme yderligere ind de komplekse tal her 24. Resten af dette dokument handler udelukkende om reelle tal, altså tal som ligger pænt og nydeligt på den reelle tallinje. I øvrigt kan du roligt gå ud fra at enhver talstørrelse som forekommer i gymnasiel matematik er reel hvis ikke andet er oplyst. 24 Læs i stedet om de komplekse tal her side 17

20 3 Intermezzo 3.1 Hvad skal regneregler bruges til? Mangt en gang har et ungt menneske udtalt ordene: Hvorfor skal jeg lære regneregler når lommeregneren kan regne for mig? Derfor tager vi lige diskussionen en gang for alle. Grunden til at lære at regne er ikke at du nogensinde vil komme sammen med uden i en situation hvor du får brug for at lægge 3 2 at bruge lommeregner. Matematik handler faktisk lige så meget om at regne regnestykker som tømreruddannelsen handler om at slå søm i et bræt! Matematik handler derimod om at opdage, undersøge og beskrive sammenhænge mellem matematiske objekter. Sådanne sammenhænge (som f.eks. Einstens berømte sammenhæng mellem energi og masse) dukker op fordi man kender flere forskellige måder at skrive den samme størrelse på. Og det er lige præcis dét regnereglerne giver os. Regneregler giver os en forståelse af talbegrebet. Og eftersom tallene er helt fundamentale i enhver præcis beskrivelse af omverdenen kan svaret siges meget enkelt: Hvis du gerne vil arbejde med noget hvor du har brug for at forstå præcis hvad der foregår, så start med at lære at regne! 3.2 Om at læse, lære og huske regneregler Vi gennemgår her regnereglerne for de basale regneoperationer idet vi går ud fra konkrete taleksempler. Reglerne gælder selvfølgelig også når tallene erstattes af bogstavudtryk (der er de endda endnu vigtigere). Det er ofte smart at huske regneregler ved at tænke på de simpleste taleksempler. For eksempel kan det ske for selv den bedste at man i et svagt øjeblik tror at et udtryk af formen: (a + b) k side 18

21 kan omskrives til a k + b k. Det kan det ikke! 25 Hvis man kontrollerer om (1+2) 3 giver det samme som , så opdager man lynhurtigt at det er forkert. Senere vil du møde mange andre regneregler, og ofte er de præsenteret med generelle bogstavudtryk som f.eks: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Mange tror så (fejlagtigt) at man er nødt til at lære reglen udenad, bogstav for bogstav. Derfor slår vi lige et faktum fast: Det kan ikke lade sig gøre at lære regneregler udenad ved at huske på bogstavudtrykkene! Prøv i stedet, hver gang du møder en regneregel, at lave dine egne taleksempler. Og prøv så at huske hvordan det føles når man bruger regnereglen. Og sidst, men ikke mindst: Hold øje med de små forskelle! Mange 1 regneudtryk ser ens ud hvis man kun kigger på dem i sekund. 10 F.eks. er der mennesker som i en presset situation kan finde på at forveksle udtrykkene 26 : og og Men det er tre helt forskellige udregninger som giver tre helt forskellige resultater. Og hvis man er opmærksom på det, så kan man undgå en masse dumme fejl. 25 Det første udtryk er et såkaldt binomium, og det kan omskrives ved hjælp af den såkaldte binomialformel som vi kommer tilbage til senere. 26 Det er ikke en vits! side 19

22 4 Regneoperationer og Regneregler 4.1 Addition og Subtraktion Addition og subtraktion, også kendt som operationerne plus og minus skulle gerne være velkendte. Vi sætter bare lige nogle ord på plads: Symbolet + læses som plus og symbolet læses som minus. Når symbolet + står mellem to tal, siger man at de to tal bliver lagt sammen eller adderet (ikke at de bliver plusset ) og resultatet kaldes en sum. Når symbolet - står mellem to tal, siger man at tallet til højre bliver trukket fra tallet til venstre (ikke at de bliver minusset ) og resultatet kaldes en differens. Læg godt mærke til at det er meget vigtigt hvilket af de to tal som står til højre og til venstre. Således er ikke det samme som 5 7 (Syv bliver trukket fra fem) 7 5 (Fem bliver trukket fra syv) Størrelser som er lagt sammen eller trukket fra hinanden kaldes led. F.eks. er der tre led i følgende regneudtryk: π Subtraktion og fortegnsskift Som nævnt tidligere er regneoperationen minus ikke det samme som fortegnsskift-operationen. Den ene operation foretages mellem side 20

23 to tal, og den anden foretages på et enkelt tal. Derfor er det altid nemt at se forskel på dem, selvom de skrives med det samme symbol. Til gengæld har de to operationer en masse med hinanden at gøre. At trække et tal fra er nemlig det samme som at skifte fortegn på det og lægge det til i stedet for. F.eks. er: 5 8 = 5 + ( 8). Derfor trækker man negative tal fra andre tal på denne måde: 5 ( 4) = Sagt på slogan-form bliver kan denne regneregel formuleres som at minus minus giver plus. Bemærk at når fortegnsskift blandes med andre regneoperationer, så skal det altid pakkes ind i en parentes. Symbolerne og er morsetegn, men de forekommer ikke i korrekt matematisk notation Leddenes rækkefølge er ligegyldig Når man har mange led i samme udtryk, må man bytte om på deres rækkefølge lige som man vil. F.eks. er = Man skal bare lige være opmærksom på at tallet helt ude til venstre er lidt specielt. Det er nemlig underforstået lagt til. Derfor: Hvis tallet helt ude til venstre flyttes et andet sted hen, så bliver det lagt til. Og omvendt: Hvis et tal er trukket fra, og det rykkes helt ud til venstre, så bliver regneoperationen minus til et fortegnsskift. Derfor er: = ( 2) Disse finesser bliver meget logiske hvis man forestiller sig at alle minusserne i virkeligheder består af et plus og et fortegnsskift. Reglen om ombytning af led kaldes den kommutative lov for regneoperationerne plus og minus. (Ordet kommutativ er afledt af det samme som det engelske ord to commute og betyder noget i retning af flytte sig.) side 21

24 4.1.3 Parenteser Parenteser bruges når et udtryk skal udregnes separat, og derefter bruges i videre udregninger som en helhed. Hvis et udtryk i en parentes består af flere led, og parentesen er trukket fra noget mere, eller der er foretaget fortegnsskift på den, kaldes den en minus-parentes. Sådanne parenteser kan hæves, idet man ændrer alle plus-operationer inde i parentesen til minus-operationer og omvendt (inklusive fortegnet på leddet helt ude til venstre.) Det foregår f.eks. sådan her: Brøker 5 ( ) = Hvis to brøker skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden, skal de have fælles nævner. Dette kan altid opnås ved at forlænge begge brøker, indtil deres nævnere er ens. Når to brøker har samme nævner, kan man lægge den sammen og trække dem fra hinanden, ved at udføre operationen på tællerne og beholde den fælles nævner. Eksempel 5 Vi vil udregne: Vi kan se at hvis den første brøk forlænges med 5, og den anden brøk forlænges med 3, så får de samme nævner. Derfor omskriver vi: = Nu kan brøkerne trækkes fra hinanden: = = side 22

25 Når man regner med brøker, er det en god ide at tænke på f.eks. tiendedele som tiendedele af en kage. Fordi hvordan lægger man mon tre af dem sammen med fem af dem? Så er der forhåbentlig ingen som kunne finde på at lægge nævnerne sammen og få tyvendedele. 4.2 Multiplikation Igen sætter vi lige nogle ord på plads: Symbolet læses som gange. Når det står mellem to tal, siger man at de to tal bliver multipliceret eller ganget sammen og resultatet kaldes et produkt. Størrelser som er ganget sammen kaldes faktorer. F.eks. er der tre faktorer i det følgende udtryk: 3 π 1 2 Når der ikke er nogen risiko for misforståelser, kan man lade være med at skrive den lille prik. Således betyder 3π det samme som 3 π. Derimod betyder 12 naturligvis aldrig Faktorernes rækkefølge er ligegyldig I et udtryk med mange faktorer, må man bytte om på deres rækkefølge. F.eks. er 2π 1 1 ( 1) = ( 1) π Denne regel kaldes den kommutative lov for multiplikation Fortegn i produkter At gange med et negativt tal er det samme som at gange med det tilsvarende positive tal og derefter skifte fortegn. Hvis man ganger et negativt tal med et positivt, får man derfor et negativt tal, og hvis man ganger to negative tal med hinanden, får man noget positivt. side 23

26 At skifte fortegn er altså præcis det samme som at gange med 1. Derfor kan man hurtigt rydde op i et produkt som indeholder faktorer med fortegnsskift ved at bruge den kommutative lov: ( 5) ( 2) ( π) = ( 1) ( 1) ( 1) 5 2 π = (5 2 π) Parenteser Hvis et udtryk indeholder både summer og produkter, skal man huske at produkterne udregnes før summerne 27. Man kan tænke på at der er usynlige parenteser rundt om alle produkter. F.eks. giver resultatet 23, og ikke 35. Når en parentes med flere led optræder som faktor i et produkt, kan man gange ind i parentesen. Det foregår sådan her: 5 ( ) = Denne regel kaldes den distributive lov for addition og multiplikation. Navnet kommer af det samme ord som at distribuere altså at dele ud, sådan som man f.eks. gør med reklamer. Og det er jo netop det der foregår: Man uddeler faktoren uden for parentesen til alle leddene inde i parentesen. Man bruger mindst lige så ofte den distributive lov baglæns: Hvis man kan se at den samme faktor er ganget på flere led, kan den sættes uden for parentes. Det kan f. eks. se sådan ud: Brøker 3π = 3 (π 2 + 3). Det er utroligt nemt at gange brøker med hinanden. Man ganger ganske enkelt tæller med tæller og nævner med nævner. F.eks. er: = = 2 6 = Læs om regneoperationernes rækkefølge her. side 24

27 Også denne regel kan man ofte have nytte af at bruge baglæns. F.eks. til omskrivningerne: og: = = = Division Division og brøker er præcis det samme. Man bør ikke bruge det såkaldte divisionstegn (skrevet enten som en skråstreg eller et kolon). De er udelukkende opfundet fordi man ikke kan indtaste brøkstreger på lommeregnere Parenteser En brøk skal altid læses som om der er en usynlig parentes omkring både tælleren og nævneren. Dette er utroligt vigtigt hvis et udtryk som det nedenstående skal indtastes på lommeregneren: = 4 7. Hvis man glemmer parenteserne ved indtastning på lommeregneren, giver det 6, hvilket er helt forkert. Hvis tælleren i en brøk består af en parentes med flere led, kan man ofte have nytte af en omskrivning af typen: = ( ) 1 3 = Man siger at der divideres op i hvert led, men som mellemregningen viser, er det jo bare den distributive lov for multiplikation som bruges igen. side 25

28 4.3.2 Brøker inde i brøker Hvis en udregning involverer flere divisioner kan det hurtigt blive uoverskueligt med brøker inde i brøker. Man kan dog simplificere de fleste sådanne udtryk, hvis bare man husker følgende regel: Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte brøk F.eks. udregner man: = = Reciprokværdi At dividere 1 med et tal kaldes også at udregne tallets reciprokværdi. F.eks. er reciprokværdien til 5 lig med: mens reciprokværdien til er lig med: = = 3 Vi kan altså formulere en specialtilfælde af den foregående regel som: Man tager reciprokværdi af en brøk ved at vende den på hovedet 28 Husk på at det vigtigste ved brøken 1 er, at hvis man ganger a den med a, så giver det 1. Derfor giver det god mening at en brøks reciprokværdi er lig brøken på hovedet. Den omvendte brøk opfylder jo netop at når man ganger den med den oprindelige, så giver det 1. Se selv: = = = Dette forklarer også navnet reciprokværdi fordi reciprok betyder noget i retning af gensidigt på latin. Og man kan sige at en brøk og dens reciprokke er hinandens gensidige spejlbilleder. side 26

29 Øvelse 1 Her er et lille puslespil: ( 2 2 ) ( 2 2) ) ( ( 2 2 ) Potenser og rødder Hvis n er et naturligt tal så definerer vi at opløfte et tal i n te potens som at man ganger tallet med sig selv n gange. F.eks. er: π 3 = π π π. Et tal opløftet i nul te potens giver per definition altid 1. Sågar: 0 0 = 1 I en potensopløftning som f.eks. 3 5 omtaler man 5 som eksponenten 29 og 3 som grundtallet. Læg mærke til at hvis n er et lige tal, så kan en potensopløftning i n te potens kun give positive tal eller nul. F.eks. er både og ( 2) Eksponenten kaldes nogle gange bare for potensen. Dette er egentlig ukorrekt fordi ordet potens således både betyder det man opløfter i og selve resultatet af potensopløftningen. Det er en uskik som kommer fra moderne engelsk hvor man er begyndt at udelade ordet of i udtryk som three to the power of five. Lad være med selv at lave denne fejl, men vær opmærksom på at andre nogle gange gør det. side 27

30 lig med 16. Til gengæld, hvis n er ulige, kan en opløftning i n te potens give både negative og positive værdier, afhængig af grundtallet. F.eks. er ( 2) 3 = 8 mens 2 3 = 8 Når n er lige definerer vi den n te rod af et positivt tal x som: dét ikke-negative tal som opløftet i n te potens giver x. Man skriver den n te rod af x som n x. For eksempel er der præcis to tal, der opløftet i fjerde giver 16, nemlig 2 og 2. Kun det ene er ikke-negativt, så derfor er 4 16 = 2 Når n er ulige, definerer vi den n te rod af et vilkårligt tal x som det tal som opløftet i n te potens giver x. Man skriver den n te rod af x som n x. For eksempel er der præcis et tal, der opløftet i tredie giver 8, nemlig 2. Derfor er: 3 8 = En advarsel om kvadratrodstegnet Den specielle rod, hvor n er lig 2 kaldes kvadratroden. Normalt skriver man bare x i stedet for 2 x. Man skal passe rigtig godt på, når man arbejder med kvadratrodstegnet 30 For det første skal man huske at x kun er defineret når x er ikke-negativ. Det betyder på den ene side, at hvis man i en bog ser et udtryk som indeholder x, så er det underforstået (hvis ikke det er sagt direkte) at x ikke er negativ. Omvendt betyder det også at hver gang man selv skriver et kvadratrodstegn så skal man først sikre sig at det som skal stå inde i er ikke-negativt. 30 Den samme advarsel gælder for alle andre lige potenser. side 28

31 For det andet giver kvadratroden x, hvis x er positiv, det positive tal som når det opløftes i anden, giver x. Man bør altid huske at der jo også er et negativt tal med denne egenskab, nemlig x (altså: kvadratroden med omvendt fortegn). Når man derfor møder en ligning 31 af typen: x 2 = 9 så skal man huske at den har to løsninger, nemlig x = 9 = 3 og x = 9 = 3. Dette hænger sammen med at funktionen f(x) = x 2, x R ikke er injektiv Potensregnereglerne Når potensopløftninger eller rødder optræder sammen med de andre regneoperationer skal man huske at potensopløftninger udregnes før summer og produkter. Derfor giver f.eks. udregningen: = = = 17. Det at eksponenten i en potensopløftning skrives med en mindre, hævet skrift, skal man læse som en usynlig parentes. Hvis således eksponenten består af et sammensat udtryk, skal dette udregnes først: = 3 5. Disse parenteser er vigtige at huske, når man indtaster regneudtryk med potenser på lommeregneren. Desuden gælder følgende meget vigtige regneregler 33. Som med alle de andre regneregler, kan de være nyttige at kende både forlæns og baglæns. Derfor er det en god ide at øve sig i at genkende de situationer hvor de forskellige regneregler kan benyttes. 31 Læs mere om ligninger her 32 Læs om injektive funktioner her 33 Potensregnereglerne er samlet på en mere overskuelig måde her side 29

32 1. Hvis en potensopløfning har en sum i eksponenten, kan den omskrives til et produkt. For eksempel: (Regn selv efter at det passer!) = Omvendt, hvis man ser et produkt af flere potensopløftninger hvor grundtallet er det samme, kan disse slås sammen. F.eks: = = Hvis en potensopløftning har en differens i eksponenten, kan den omskrives til en brøk. For eksempel: = Igen virker denne regneregel selvfølgelig også baglæns. Hvis man ser en brøk af to potenser hvor grundtallet er det samme, kan de slås sammen. 3. Hvis en potensopløftning har et produkt i eksponenten, kan den omskrives den en potensopløftning af en potensopløftning. F.eks: = ( 2 3) 4 = ( 2 4 ) 3. Også denne regneregel er god at kunne baglæns. Hvis man ser en potensopløftning opløftet i yderligere en potens, kan man altså snige den yderste potens ind i den inderste potens ved at gange den på. 4. Hvis en potensopløftning har en brøk eller et produkt i grundtallet, kan potensen rykkes ind på tæller og nævner i brøken eller på hver faktor i produktet. F.eks: ( 4 3) 2 = 42 og 3 2 (3 4) 2 = side 30

33 Bemærkninger Den sidste regneregel er i virkeligheden bare en gentagelse af hvordan man ganger brøker med hinanden (eller i dette tilfælde: Med sig selv). Hvis man f.eks. vil undersøge om en eksponent består af flere faktorer (for at bruge regneregel nummer 3), så skal hele eksponenten kunne skilles ad i faktorer. F.eks. kan eksponenten i dette udtryk: ikke skilles ad i to faktorer, selvom der ganske vist står et produkt i eksponenten. Derimod kan eksponenten skilles ad i en sum af to led, nemlig (2 2) og 1, og dermed ville man kunne anvende regneregel nummer 1: = Bemærk også at der ikke er nogen regneregel for potensopløftninger hvor der er en sum eller en differens i grundtallet. Det er en meget hyppig fejl at tro at man kan omskrive udtrykket (1 + 3) 2 til Det kan man ikke! (Regn selv efter og se at de to udregninger ikke giver det samme.) Der findes en regel, netop når eksponenten er 2, i form af kvadratsætningerne som vi gennemgår i et andet dokument Eksponenter som ikke er naturlige tal En potensopløftning hvor eksponenten ikke er et naturligt tal, f.eks. 2 0,3 er meget svær at forestille sig intuitivt. Hvordan skal man mon gange 2 med sig selv 0,3 gange? 34 Læs om kvadratsætningerne her side 31

34 I stedet for at finde på noget som er intuitivt (det er der nemlig ikke noget som er), definerer man hvad der skal menes med potenser hvor eksponenten ikke er et naturligt tal. Det vigtigste at vide om disse definitioner er følgende: Alle de følgende definitioner er lavet sådan at de ovenstående regneregler stadig gælder! Negative eksponenter Hvis n er et negativt tal, f.eks. 5, så definerer vi for alle tal x, bortset fra nul, at: x 5 = 1 x 5 Bemærk at denne definition selvfølgelig er inspireret af regneregel nummer 2. Hermed kan vi nemlig stadig omskrive: 2 5 = = = 1 5 Læg også mærke til at vi specielt har defineret: og x 1 = 1 x Dermed har vi nu tre ting som betyder præcis det samme: Den reciprokke værdi af x x 1 og 1 x Bemærk at det ganske enkelt ikke giver mening at opløfte nul i en negativ potens. Det ville være det samme som at skrive nul i nævneren på en brøk, og det er som bekendt strengt forbudt. side 32

35 4.5.2 Rationelle eksponenter Hvis n er en brøk, f.eks. 2, så definerer vi for alle ikke-negative tal x, 3 at: x = x 2. Læg mærke til at vi specielt har lavet den meget vigtige definition: x 1 n = n x, for x > 0 Det vil sige: At tage en n te rod er det samme som at opløfte i 1 n. Derfor kan man helt undlade at bruge de besværlige rodtegn, idet de alle kan erstattes af passende potenser. Dette er grunden til at mange lommeregnere slet ikke har en n terod-knap. (Nogle har ikke engang en kvadratrodsknap.) Irrationelle eksponenter Eftersom vi strengt taget ikke har defineret de reelle tal præcist nok, er det svært at definere hvad en opløftning i en irrationel potens skal betyde 35. Vi kan dog lave en næsten rigtig definition, ved at sige at et positivt tal, x, opløftes i f.eks. π te potens, ved først at udregne: Derefter udregne: (Bemærk: 3,1 = Derefter udregne: her x 3 x 3,1 er et rationelt tal, så det kan man udregne: x 3,1 = x = 10 x 31 x 3,14 = x Det er dog et meget spændende emne som behandles i et seperat dokument side 33

36 Og så videre. Man ville på den måde udregne uendeligt mange tal: x 3, x 3,1, x 3,14, x 3,141, x 3,1415, x 3, Man kunne så definere x π til at være den værdi som alle disse værdier nærmer sig, hvis man tager tilstrækkeligt mange cifre med. Dermed er x π defineret som en grænseværdi 36 af rationelle potenser. Vi har dog hverken argumenteret for at en sådan grænseværdi eksisterer eller givet nogen konkret metode til at beregne den i praksis. Der findes heldigvis en meget mere elegant definition af irrationelle potensopløftninger, som benytter sig af den naturlige eksponentialfunktion og logaritme 37. Under alle omstændigheder kan man trygt overlade det til en lommeregner at udregne potenser med irrationelle eksponenter. 4.6 Andre regneoperationer Til sidst nævner vi lige nogle lidt mere eksotiske regneoperationer som kan forekomme hist og her Nummerisk værdi Den nummeriske værdi at et tal er ganske enkelt tallet selv, hvis det er positivt eller nul, og tallet med omvendt fortegn, hvis det er negativt. På den måde giver den nummeriske værdi af et tal altid noget som er nul eller positivt. Man skriver nummerisk værdi ved at sætte lodrette streger på begge sider af et tal. F.eks. er: 13 = 13. En praktisk anvendelse af nummerisk værdi er til at udregne den nummeriske differens mellem to tal. Det består i at trække de to tal fra hinanden, og derefter beregne den nummeriske værdi. Netop fordi 36 Læs mere om grænseværdibegrebet her 37 Læs om den naturlige eksponentialfunktion og logaritme her side 34

37 man tager nummerisk værdi er det ligegyldigt hvilket af de to tal der trækkes fra hvilket. F.eks. er: 7 3 = 3 7 = 4. Den nummeriske differens angiver altså afstanden mellem de to tal på tallinjen, uden at tage hensyn til hvilket af tallene der er størst Fakultet For et naturligt tal, n, defineres n! (læses som: n fakultet ) som produktet af alle de naturlige tal mellem 1 og n. F.eks. er: 6! = = 720 Fakultetoperationen optræder bl.a. i forbindelse med kombinatorik, fordi n! angiver det antal måder hvorpå man kan ombytte rækkefølgen af elementerne i en mængde med n forskellige elementer. For eksempel kan 11 fodboldspillere (de skal være forskellige, så der må helst ikke være nogen tvillinger) stilles op i rækkefølge på 11! = forskellige måder. Som en lille finurlighed, er 0! (nul fakultet) defineret til at være Binomalkoefficienter Binomialkoefficienten er en anden regneoperation som forekommer i kombinatorik. Binomialkoefficienten til to naturlige tal, a og b, hvor a b, er defineret som: ( a b ) = a! b! (a b)! ( ) a Man læser binomialkoefficienten som a over b, og den b angiver det antal måder, hvorpå man kan tage b elementer ud af en mængde med i alt a elementer. For eksempel er der: side 35

38 ( 11 5 ) = 11! 5! (11 5)! = 462 forskellige måder at udvælge 5 favoritspillere fra et fodboldhold med 11 spillere på. På samme måde er der beskedne: ( 36 7 ) = 36! 7! (36 7)! = forskellige måder at vælge sig 7 forskellige lottonumre ud af i alt 36. side 36