Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 16. august 2015 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, 02402 og 02593) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 9 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres i det i CampusNet uploadede svarark, med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. KUN følgende 5 svarmuligheder er gyldige: 1, 2, 3, 4 eller 5. Hvis et spørgsmål efterlades blankt eller andet type svar angives tæller det ikke med i besvarelsen. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde og online-aflevere svararket via CampusNet. Skemaet her er KUN et nød-alternativ til dette. Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 III.1 III.2 IV.1 IV.2 IV.3 IV.4 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave IV.5 V.1 V.2 V.3 V.4 V.5 VI.1 VI.2 VI.3 VI.4 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave VI.5 VII.1 VII.2 VII.3 VII.4 VIII.1 VIII.2 VIII.3 IX.1 IX.2 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at angive dit studienummer på din besvarelse. Sættets sidste side er nr. 26; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1
Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I Et teglværk producerer mursten og deres længde X i kan antages normalfordelt med middellængde 228 mm og standardafvigelse 4 mm. Spørgsmål I.1 (1) Teglværket vil nu give en 95% garanti for den enkelte murstens faktiske længde, X. Hvilket af følgende udsagn er korrekt? 1 Sandsynligheden for at 221 mm < X < 235 mm er ca 95% 2 Sandsynligheden for at 197 mm < X < 259 mm er ca 95% 3 Sandsynligheden for at 220 mm < X < 236 mm er ca 95% 4 Sandsynligheden for at 224 mm < X < 232 mm er ca 95% 5 Sandsynligheden for at 217 mm < X < 231 mm er ca 95% Spørgsmål I.2 (2) I teglværket udtages en tilfældig stikprøve på 50 sten og gennemsnittet af længderne beregnes ved 50 X = 1 50 i=1 X i Hvad er sandsynligheden for at gennemsnittet af længderne, X, ligger indenfor intervallet 227-229 mm? 1 1 2 0.9982 3 0.1974 4 0.4284 5 0.9229 Fortsæt på side 3 2
Opgave II I mange statistiske undersøgelser benytter man binomialfordelingen til at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål II.1 (3) For hvilken af følgende 5 stokastiske variable kunne binomialfordelingen være velegnet til beskrivelse af den tilfældige variation? 1 Antal studerende ud af et hold på 30, der i løbet af en sommer bliver stukket af en bi. 2 Samlet antal øjne ved kast med 3 terninger. 3 Indhold af sukker i gram i en flaske sodavand. 4 Indhold af sukker i gram i 6 flasker sodavand. 5 Antal punkteringer for en cykel i løbet af et år. Spørgsmål II.2 (4) Antag at man har to uafhængige i.i.d. binomialfordelte stokastisk variabler X i B(n, p) og man definerer en ny stokastisk variabel Y = X1 2 X 2 Man vil da ved simulering bestemme sandsynligheden for at få et udfald af Y over 50 for n = 100 trækninger og p = 0.02 for success. Til det har man kørt følgende R kode ## Sæt parametre n <- 100 p <- 0.02 ## Antal simuleringer k <- 10000 ## Simuler x1 <- rbinom(k, size=n, prob=p) x2 <- rbinom(k, size=n, prob=p) y <- x1^2 * x2 Hvilken af følgende R koder beregner da korrekt en approksimation til P (Y > 50)? 1 quantile(y, 0.5) 3
2 mean(y < 50) 3 quantile(y, 0.5) / k 4 sum(y < 50) / k 5 sum(y > 50) / k Fortsæt på side 5 4
Opgave III For at holde øje med kvaliteten i en produktion af brødristere udtages en stikprøve på 14 brødristere, hvor det undersøges, om de lever op til firmaets specifikationer. Man forventer, at 92% af brødristerne lever op til specifikationerne. Hvis der er mere end 1 brødrister i stikprøven, som ikke lever op til specifikationerne, skal hele dagens produktion gås efter. Spørgsmål III.1 (5) Hvad er sandsynligheden for, at man har taget en stikprøve, der medfører at hele dagens produktion skal testes, selvom 92% af brødristerne lever op til specifikationerne? 1 1 (e (14 0.08) + (14 0.08) e (14 0.08) ) = 0.3083 2 1 (( ) 14 0 (0.08) 0 (0.92) 14 + ( ) 14 1 (0.08) 1 (0.92) 13) = 0.3100 3 1 2π exp( (1 14 0.08)2 2 ) = 0.3961 4 ( ) 14 0 (0.08) 0 (0.92) 14 + ( ) 14 1 (0.08) 1 (0.92) 13 = 0.6900 5 (0.08) 1 (0.92) 13 = 0.0271 Spørgsmål III.2 (6) Hvis det kun er 75% af brødristerne, som lever op til specifikationen, hvilken R kode beregner da sandsynligheden for at dagens produktion alligevel ikke gås efter? 1 pbinom(0.75, 14, 0.25) 2 dpois(0, 14*0.25) + dpois(1, 14*0.25) 3 dbinom(0, 14, 0.25) + dbinom(1, 14, 0.25) 4 dbinom(0, 14, 0.75) 5 pnorm(1, mean= 14*0.25) Fortsæt på side 6 5
Opgave IV Et dansk forsikringsselskab har i forsøget på at fastholde kunder arbejdet med et såkaldt I love You koncept, hvor nye kunder fik et telefonisk opkald. Udgangspunktet er ikke et mersalg, men et forsøg på at fortælle kunden, at man er glad for, at de har valgt det pågældende forsikringsselskab og produkt. I den forbindelse tilbydes kunden et servicetjek - har kunden nu de rigtige forsikringer og forsikringsdækning. Man har i den forbindelse udtaget en tilfældig stikprøve omfattende 958 nye kunder og randomiseret om kunden skal have et såkaldt I love You -opkald. For hver kunde har man registreret forskellige baggrundsoplysninger som køn, alder, postnr. og forsikringspræmie (kundens årlige pris for sine forsikringer) før forsøget (før-præmie eller PRM1). Forsøget løber et halvt år. Efter perioden registreres præmien igen (efter-præmie eller PRM2), og derved om kunden har ændret sine policer. Man kan i følgende spørgsmål antage at log(prm1) er normalfordelt N(µ, σ 2 ). Resultaterne af registreringen af før-præmie kan opgøres ved følgende output fra R: n mean var std PRM1 958 1960 4217452 2054 log(prm1) 958 7.19 0.78 0.88 2.5% Q1 median Q3 97.5% PRM1 218 839 1374 2177 7530 log(prm1) 5.38 6.73 7.23 7.69 8.93 Spørgsmål IV.1 (7) Bestem 90 pct. konfidensintervallet for variansen σ 2 0.78 1 [0.88 1.65 958 ; 0.88 + 1.65 2 [ 958 0.88 1045 ; 958 0.88 873 ] = [0.81; 0.97] 3 [ 886 957 0.88 2 ; 1030 957 0.88 2 ] = [1.2; 1.39] 4 [0.88 886 0.88 958 5 [ 957 0.882 1030 ; 957 0.882 886 ] = [0.72; 0.84] 0.78 958 ] = [0.83; 0.93] 0.88 ; 0.88 + 1030 958 ] = [0.066; 1.83] Spørgsmål IV.2 (8) For forsikringsselskabet er der omkostninger ved at oprette en ny kunde. Typisk er dækningsbidraget (det selskabet har tjent i en periode) negativt de første år med en ny kunde. Det vurderes, at en ny kunde skal have præmier for mindst 2000 kr., før der er et overskud på kunden. Det ønskes undersøgt (i log domænet) om middelværdien af før-præmien er under 2000. Hypotesen testes på signifikansniveau α = 0.05. Bestem den relevante teststørrelse 6
1 t obs = ( 7.19 log(2000) ) 0.78 / 958 = 14.4 2 t obs = ( 1960 2000 ) 2054 / 958 = 27.3 0.78 3 t obs = 7.19/ 958 = 252 4 t obs = ( 7.23 log(2000) ) / 0.88 958 = 13.0 5 t obs = 1960/ 4217452 958 = 0.014 Spørgsmål IV.3 (9) I det følgende udtages en tilfældig stikprøve omfattende 12 nye kunder fra stikprøven med nye kunder, der får et I-love-You opkald Respondent id Før-præmie Efter-præmie Køn PRM1 PRM2 126 120 884 1332 Mand 604 590 1541 1541 Mand 521 507 5141 5356 Mand 729 709 3033 3033 Kvinde 745 725 1721 1721 Mand 213 207 793 793 Kvinde 15 14 3411 8357 Mand 584 570 2026 2026 Mand 452 440 1369 7444 Kvinde 515 502 482 536 Kvinde 809 787 5944 6090 Mand 285 277 755 755 Kvinde Der indføres nu følgende to variable: X = log(prm1) og Y = log(prm2). Man kan i følgende spørgsmål antage at X er normalfordelt N(µ x, σx) 2 og at Y er normalfordelt N(µ y, σy). 2 Opsummering i R giver følgende resultater: n mean var std PRM1 12 2261 3192133 1787 PRM2 12 3249 7843826 2801 log(prm1) 12 7.44 0.63 0.80 log(prm2) 12 7.70 0.89 0.94 2.5% Q1 median Q3 97.5% PRM1 557 861 1631 3128 5732 7
PRM2 596 1197 1874 5540 8106 log(prm1) 6.30 6.76 7.40 8.05 8.65 log(prm2) 6.38 7.06 7.53 8.62 9.00 Bestem et 99 pct. konfidensinterval for middelværdien µ x 1 7.44 ± 1.96 0.80 12 = [6.99; 7.89] 3192133 2 2261 ± 2.72 11 = [796; 3726] 0.63 3 7.44 ± 3.11 12 = [6.73; 8.15] 4 7.70 ± 2.20 0.95 12 = [7.10; 8.30] 5 7.40 ± 3.11 8.05 6.76 2 = [5.39; 9.41] Spørgsmål IV.4 (10) Vi ønsker at lave en sammenligning af før-præmien (PRM1) med efter-præmien (PRM2) for de kunder, der har fået et I love You opkald, for at vurdere om I love You opkald har en effekt. Derfor foretages følgende kørsler i R: > x <- log(prm1) > y <- log(prm2) > mean(x)-mean(y) [1] -0.2637024 > t.test(x,y) Welch Two Sample t-test data: x and y t = -0.7393, df = 21.383, p-value = 0.4677 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -1.0046324 0.4772276 sample estimates: mean of x mean of y 7.440421 7.704123 > t.test(x,mu=mean(y)) One Sample t-test data: x t = -1.1476, df = 11, p-value = 0.2755 8
alternative hypothesis: true mean is not equal to 7.704123 95 percent confidence interval: 6.934665 7.946177 sample estimates: mean of x 7.440421 > t.test(x) One Sample t-test data: x t = 32.3797, df = 11, p-value = 2.904e-12 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: 6.934665 7.946177 sample estimates: mean of x 7.440421 > t.test(x,y, paired=true) Paired t-test data: x and y t = -1.7443, df = 11, p-value = 0.109 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.5964533 0.0690485 sample estimates: mean of the differences -0.2637024 Hvad er svaret på vurderingen af om I love You opkald har en effekt er der forskel på µ x og µ y, idet hypotesen testes på niveau α = 0.05? 1 Idet ˆµ x ˆµ y = -0.2637 er negativ er der en klar I love You effekt 2 Nej, der er ingen I love You effekt, idet den relevante p-værdi er 0.1090 3 Ja, der er en signifikant I love You effekt, idet den relevante p-værdi er 2.9 10 12 4 Nej, der er ingen I love You effekt, idet den relevante p-værdi er 0.2755 5 Nej, der er ingen I love You effekt, idet den relevante p-værdi er 0.4677 Spørgsmål IV.5 (11) På baggrund af ovenstående beskrevet stikprøve vil vi nu undersøge om der er forskel i præmie niveauet før forsøget for mænd og kvinder. 9
Først udtages delmængde med henholdsvis mænd og kvinder, og logaritmen til deres før-præmie tages > male <- subset(data, Data$gender=="male") > female <- subset(data, Data$gender=="female") > > m <- log(male$prm1) > f <- log(female$prm1) I det følgende spørgsmål antage at m er normalfordelt N(µ m, σ 2 m) og at f er normalfordelt N(µ f, σ 2 f ) > t.test(f) One Sample t-test data: f t = 22.0214, df = 4, p-value = 2.517e-05 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: 6.068440 7.819411 sample estimates: mean of x 6.943926 > t.test(m,f) Welch Two Sample t-test data: m and f t = 2.0783, df = 8.659, p-value = 0.06867 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.08090846 1.78317798 sample estimates: mean of x mean of y 7.795060 6.943926 > t.test(m,mu=mean(f)) One Sample t-test data: m t = 3.2569, df = 6, p-value = 0.01731 alternative hypothesis: true mean is not equal to 6.943926 95 percent confidence interval: 7.155611 8.434510 sample estimates: mean of x 7.79506 > mean(f)-mean(m) [1] -0.8511348 10
Hvad er svaret på vurderingen af om der er forskel på mænd og kvinders præmie før forsøget, svarende til hypotesen: idet hypotesen testes på niveau α = 0.05. H 0 : µ f = µ m H 1 : µ f µ m 1 Nej der er ingen forskel mellem mænd og kvinders før-præmie, idet den relevante p-værdi er 0.01731 2 Ja der er en signifikant forskel på før-præmien for mænd og kvinder, idet den relevante p-værdi er 2.5 10 5 3 Ja der er en signifikant forskel på før-præmien for mænd og kvinder, idet den relevante p-værdi er 0.01731 4 Nej der er ingen forskel mellem mænd og kvinders før-præmie, idet den relevante p-værdi er 0.06867 5 Idet ˆµ f ˆµ m = 0.8511 er negativ fremgår det at før-præmie for mænd er større end for kvinder Fortsæt på side 12 11
Opgave V En ostefrabrikant har lavet en ny spændende opskrift og man har lavet en prøveproduktion. Udfra denne har man taget en tilfældig stikprøve på 20 målinger af fedtprocenten. Data er indlæst i R med følgende kode x <- c(25.3, 23.2, 21.2, 22.6, 26.4, 21.9, 24.5, 23.9, 22.8, 24.9, 29.9, 26.8, 25, 26, 27.7, 26.9, 22.7, 28.2, 23.4, 25.6) og følgende er beregnet (resultat er her udskrevet med 2 decimaler) > mean(x) [1] 24.95 > sd(x) [1] 2.28 Spørgsmål V.1 (12) Det er ønsket at vurdere hvilken fordeling udfaldene i stikprøven kunne stamme fra og man har derfor lavet nedestående histogram af x Histogram of x Frequency 0 1 2 3 4 5 6 20 22 24 26 28 30 x Vurder på baggrund af de givne oplysninger hvilken af følgende fordelinger, der med størst rimelighed kan antages at have genereret udfaldene i stikprøven? 12
1 En normal fordeling 2 En Poisson fordeling 3 En exponentiel fordeling 4 En t-fordeling 5 En χ 2 -fordeling Spørgsmål V.2 (13) Det er på forhånd ønsket at holde fedtprocenten under 30% og man vil derfor teste om det kan konkluderes at middelværdien er derunder. Man vil derfor lave en t-test med et to-sidet alternativ for middelværdien med hypotesen H 0 : µ = 30 H 1 : µ 30 p-værdien beregnes ved? 1 p-værdi = P ( T < 24.95 30 2.28/ 20 ) 2 p-værdi = P ( T > 24.95 2.28/ 20 ) 3 p-værdi = 2 P ( T > 24.95 30 2.28/ 20 ) 4 p-værdi = 2 P ( T < 24.95 30 2.28/ 20 ) 5 p-værdi = 2 P ( T > 2.28 24.95/ 20 ) Spørgsmål V.3 (14) Det er desuden vigtigt at ostene bliver ensartede og man vil derfor undersøge spredningen af fedtprocenten. Man vil undlade at antage en fordeling og derfor bootstrappe et ikke-parametrisk 95% konfidensinterval for spredningen. Hvilken af følgende R koder beregner dette korrekt? 1 simsamples <- replicate(10000, sample(x, replace = TRUE)) simmeans <- apply(simsamples, 2, sd) quantile(simmeans, c(0.05, 0.95)) 2 simsamples <- replicate(10000, sample(x, replace = FALSE)) simmeans <- apply(simsamples, 2, sd) quantile(simmeans, c(0.05, 0.95)) 13
3 simsamples <- replicate(10000, sample(x, replace = FALSE)) simmeans <- apply(simsamples, 2, mean) quantile(simmeans, c(0.05, 0.95)) 4 simsamples <- replicate(10000, sample(x, replace = TRUE)) simmeans <- apply(simsamples, 2, mean) quantile(simmeans, c(0.025, 0.975)) 5 simsamples <- replicate(10000, sample(x, replace = TRUE)) simmeans <- apply(simsamples, 2, sd) quantile(simmeans, c(0.025, 0.975)) Spørgsmål V.4 (15) Man har nu kørt endnu en produktion med små ændringer af opskriften på den nye ost og alle hos ostefabrikanten er meget spændte på resultatet. Man har udtaget en tilfældig stikprøve af fedtprocenten fra den nye produktion, denne gang dog kun på 15 målinger. Denne er indlæst i R med ## Ny stikprøve y <- c(26, 28.3, 29.1, 25.1, 26.4, 28.5, 26.5, 33.8, 27.5, 24.7, 23.8, 25.8, 26.7, 27.7, 26.3) og følgende er beregnet (resultat er her udskrevet med 2 decimaler) > mean(y) [1] 27.08 > sd(y) [1] 2.36 Man vil nu gerne undersøge om fedtprocenten har ændret sig mellem den første og den nye produktion. Man udfører den sædvanlige Welch t-test for forskel i middelværdi mellem de to produktioner. Dette gøres i R med > t.test(x,y, conf.level=0.99) Welch Two Sample t-test data: x and y t = -2.6859, df = 29.74, p-value = 0.01172 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 99 percent confidence interval: -4.32221561 0.05221561 14
sample estimates: mean of x mean of y 24.945 27.080 Hvad vil da kunne konkluderes på baggrund af ovenstående resultat fra R? 1 Der kan påvises en signifikant forskel i middelværdi på 5% signifikansniveau 2 Der kan påvises en signifikant forskel i middelværdi på 1% signifikansniveau 3 Der kan påvises en signifikant forskel i middelværdi på 0.1% signifikansniveau 4 Der kan ikke påvises en signifikant forskel i middelværdi på 10% signifikansniveau 5 Der kan ikke påvises en signifikant forskel i middelværdi på 5% signifikansniveau Spørgsmål V.5 (16) Den sidste test man udfører gøres med følgende R kode ## Simuler simxsamples <- replicate(10000, rnorm(length(x), mean(x), sd(x))) simysamples <- replicate(10000, rnorm(length(y), mean(y), sd(y))) simdiff <- apply(simxsamples, 2, sd) - apply(simysamples, 2, sd) ## Beregn resultatet quantile(simdiff, c(0.025,0.975)) Hvad beregnes derved i sidste linie? 1 Et 95% bootstrap konfidensinterval for forskel i median uden antagelse om fordeling af stikprøverne 2 Et 99% bootstrap konfidensinterval for forskel i standard afvigelse med antagelse af exponentialfordeling af stikprøverne 3 Et 95% bootstrap konfidensinterval for forskel i standard afvigelse med antagelse af normalfordeling af stikprøverne 4 Et 99% bootstrap konfidensinterval for forskel i standard afvigelse uden antagelse om fordeling af stikprøverne 5 Et 99% bootstrap konfidensinterval for forskel i median med antagelse af normalfordeling af stikprøverne Fortsæt på side 16 15
Opgave VI I en undersøgelse ønsker man at belyse sammenhængen mellem kørselsøkonomi (y, [km/l]) og pris (x 1, [kkr]) for forskellige biler. I undersøgelsen ønsker man at tage højde for en eventuel effekt af motorydelsen (x 2, [hk]). Sammenhængende værdier mellem kørselsøkonomi, pris og motorydelse er vist for 25 biler i tabellen herunder. Obs nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y i 19.6 19.2 23 16.6 18.5 13.5 16.9 17.5 24.4 25.6 x 1,i 180.0 205.0 225 250.0 270.0 285.0 285.0 296.0 296.0 300.0 x 2,i 100.0 109.0 105 140.0 120.0 204.0 180.0 180.0 150.0 120.0 Obs nr. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y i 16.9 22.7 12.5 17.5 23.8 17.5 23.8 20 17.2 20 x 1,i 304.0 308.0 330.0 340.0 350.0 355.0 364.0 400 435.0 448 x 2,i 182.0 120.0 180.0 170.0 150.0 192.0 150.0 140 150.0 184 Obs nr. 21 22 23 24 25 y i 18.5 12.8 26.3 11.8 21.3 x 1,i 495.0 540.0 553.0 600.0 669.0 x 2,i 170.0 200.0 181.0 240.0 184.0 Indledningsvis foretages en grafisk analyse af sammenhængene mellem de tre variable, resultatet er vist i figuren herunder: Kørselsøkonomi (y) 15 20 25 Kørselsøkonomi (y) 15 20 25 Motorydelse (x2) 100 140 180 220 200 400 600 100 140 180 220 200 400 600 Pris (x 1 ) Motorydelse (x 2 ) Pris (x 1 ) Spørgsmål VI.1 (17) Udfra figuren, afgør hvilket udsagn om værdierne af de tre empiriske korrelationer, som kan være sandt (her betegnes eksempelvis Cor(x 1, x 2 ) som ρ x1,x 2 )? 16
1 0 < ρ y,x1 < ρ y,x2 < ρ x1,x 2 2 ρ y,x2 < ρ x1,x 2 < ρ y,x1 3 ρ y,x2 < ρ y,x1 < ρ x1,x 2 4 ρ y,x2 < ρ x1,x 2 < ρ y,x1 < 0 5 0 < ρ y,x2 < ρ y,x1 < ρ x1,x 2 < 1 Spørgsmål VI.2 (18) Man ønsker nu at modellere kørselsøkonomien som en lineær funktion af pris og motorydelse, eller (omsat til en lineær model): Y i = β 0 + β 1 x 1,i + β 2 x 2,i + ɛ i hvor ɛ i N(0, σ 2 ) er i.i.d.. Til det formål har man kørt følgende R-kode (inklusiv resultater, idet signifikanskoder dog er udeladt) > y <- c(19.6, 19.2, 23, 16.6, 18.5, 13.5, 16.9, 17.5, 24.4, 25.6, + 16.9, 22.7, 12.5, 17.5, 23.8, 17.5, 23.8, 20, 17.2, 20, + 18.5, 12.8, 26.3, 11.8, 21.3) > > x1 <- c(180.0, 205.0, 225, 250.0, 270.0, 285.0, 285.0, 296.0, + 296.0, 300.0, 304.0, 308.0, 330.0, 340.0, 350.0, 355.0, + 364.0, 400, 435.0, 448, 495.0, 540.0, 553.0, 600.0, + 669.0) > > x2 <- c(100.0, 109.0, 105, 140.0, 120.0, 204.0, 180.0, 180.0, + 150.0, 120.0, 182.0, 120.0, 180.0, 170.0, 150.0, 192.0, + 150.0, 140, 150.0, 184, 170.0, 200.0, 181.0, 240.0, + 184.0) > > fit <- lm(y ~ x1 + x2) > > summary(fit) Call: lm(formula = y ~ x1 + x2) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -4.972-2.706 0.031 1.686 6.458 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 29.51397 3.03900 9.71 2e-09 x1 0.01485 0.00678 2.19 0.03943 x2-0.09882 0.02431-4.07 0.00051 17
--- Residual standard error: 3.2 on 22 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.434,Adjusted R-squared: 0.382 F-statistic: 8.43 on 2 and 22 DF, p-value: 0.00192 Hvad er parameterestimatet for skæringen β 0 og residual variansen σ 2 for modellen? 1 ˆβ 0 = 3.04 og ˆσ 2 = 0.434 2 ˆβ 0 = 9.71 og ˆσ 2 = 0.382 3 ˆβ 0 = 29.5 og ˆσ 2 = 3.039 2 4 ˆβ 0 = 3.04 og ˆσ 2 = 3.2 5 ˆβ 0 = 29.5 og ˆσ 2 = 3.2 2 Spørgsmål VI.3 (19) Ved dette spørgsmål anvendes R kode og resultat fra forrige spørgsmål. Hvad er 95% konfidensintervallet for β 2 (hvor relevant angiver df frihedgrader for fordelingen)? 1 [ 0.15; 0.048] = 0.09882 ± t 0.975 0.02431, med df = 22 2 [ 7.29; 1.21] = 3.039 ± t 0.975 3.22 25, med df = 22 3 [5.48; 13.9] = 9.71 ± t 0.975 2.039, med df = 22 4 [2.01; 2.37] = 2.19 ± t 0.975 0.434 25, med df = 22 5 [ 1.43, 1.23] = 0.09882 ± t 0.975 3.2 25, med df = 22 Spørgsmål VI.4 (20) For at vurdere den samlede økonomi (pris og kørselsøkonomi) er man interesseret i at teste hypotesen H 0 : β 1 = 0.01 mod et tosidet alternativ. Hvad er p-værdien og konklusion for hypotesen (benyt konfidensniveau α = 0.05)? 1 p-værdi = 0.039 og β 1 0.01 2 p-værdi = 0.98 og det kan ikke afvises at β 1 = 0.01 18
3 p-værdi = 0.019 og β 1 0.01 4 p-værdi = 0.039 og det kan ikke afvises at β 1 = 0.01 5 p-værdi = 0.48 og det kan ikke afvises at β 1 = 0.01 Spørgsmål VI.5 (21) Hvilken af følgende R-kommandoer udregner et 95% konfidensinterval for brændstoføkonomien for biler som koster 350 kkr og har en motorydelse på 160 hk? 1 predict(fit, newdata = data.frame(x1 = 160, x2 = 350), interval = "confidence", level = 0.975) 2 confint(fit, newdata = data.frame(x1 = 350, x2 = 160), level = 0.95) 3 predict(fit, newdata = data.frame(x1 = 350, x2 = 160), interval = "confidence", level = 0.95) 4 confint(fit, newdata = data.frame(x1 = 160, x2 = 350), level = 0.975) 5 predict(fit, newdata = data.frame(x1 = 160, x2 = 350), interval = "prediction", level = 0.95) Fortsæt på side 20 19
Opgave VII Gallup har for Berlinske Tidende i juni 2012 undersøgt holdninger til organdonation blandt vælgere landet over på 18 år eller derover. De følgende spørgsmål handler om denne undersøgelse. Spørgsmål VII.1 (22) På spørgsmålet Er du grundlæggende for eller imod organdonation får man følgende resultater: Svar For Imod Ved ikke I alt Pct. 84.85 4.04 11.11 993 Det interessante ved sådan en undersøgelse er jo bla. hvordan vi får personer, der ikke har et afklaret forhold til organdonation, til at tage stilling til spørgsmålet. Bestem et 90 pct. konfidensinterval for andelen der svarer Ved ikke 1 0.1111 ± 1.2816 0.8889 0.1111 993 = [0.0998; 0.1224] 0.8889 0.1111 2 0.1111 ± 1.2816 992 = [0.0983; 0.1239] 3 0.1111 ± 1.6449 0.1111 0.8889 993 = [0.1059; 0.1163] 4 0.1111 993 ± 1.96 0.1111 993 0.8889 = [90.91; 129.73] 0.1111 0.8889 5 0.1111 ± 1.6449 993 = [0.0947; 0.1275] Spørgsmål VII.2 (23) I forbindelse med undersøgelse af, om der er en sammenhæng mellem køn og holdning til spørgsmålet Mener du, at staten bør give en økonomisk kompensation til borgere, der tilmelder sig donorregisteret, har vi følgende resultater: Køn Mener du, at staten bør give en økonomisk Kvinde Mand Total kompensation til borgere, der tilmelder sig donorregisteret Ja 31 59 90 Nej 414 384 798 Ved ikke 61 49 110 Total 506 492 998 20
Det fremgår således af tabellen, at der er 59 mandlige respondenter, der mener staten bør give økonomisk kompensation. Desuden ses det, at stikprøven omfatter 998 respondenter. Bestem bidraget q til teststørrelsen χ 2 obs hidhørende fra respondenter, der svarer Nej og som er kvinde, idet uafhængighedshypotesen skal testes. 1 q Nej, Kvinde = 0.2185 2 q Nej, Kvinde = 46.08 3 q Nej, Kvinde = 414.0 4 q Nej, Kvinde = 2.135 5 q Nej, Kvinde = 404.6 Fortsæt på side 22 21
Spørgsmål VII.3 (24) Gallup anfører, at stikprøven er repræsentativ. Til vurdering af dette har man en række baggrundsvariable: køn, alder, region og hvad man stemte på ved det foregående folketingsvalg (15. september 2011). På baggrund af udtræk fra Danmarks Statistik har vi, at blokfordelingen ved folketingsvalget kan beskrives ved følgende tabel: Blok Rød Blå Pct. 50.19 49.81 At undersøge om stikprøven er repræsentativ med hensyn til blokfordeling, svarer til at undersøge følgende hypotese: H 0 : p = 0.5019, H 1 : p 0.5019 hvor p er sandsynligheden for at et tilfældigt valgt individ stemte på rød blok ved sidste folketingsvalg. Stikprøven omfattede 906 respondenter og i stikprøven var der 401 respondenter, der havde stemt rød blok. Test hypotesen ved α = 0.05, bestem teststørrelse, p-værdi og konklusion: 1 χ 2 obs = (0.5019 906 401)2 401 = 7.20. Idet χ 2 fordelingen med 2 frihedsgrad er den relevante at benytte, har vi p-værdi = P (χ 2 obs 7.20) = 0.0273, H 0 accepteres, dvs. at det på det foreliggende data vurderes stikprøven at være repræsentativ mht. blokfordeling 0.5019 0.4981 2 z obs = (0.4426 0.5019) / 906 = 3.57. Idet normalfordelingen er den relevante at benytte, har vi at p-værdi = 0.00036, H 0 forkastes, dvs. at det på det foreliggende data vurderes, at stikprøven ikke er repræsentativ mht. blokfordeling (401 0.5019 906) 3 z obs = 2 0.5019 906 = 2.52. Idet normalfordelingen er den relevante at benytte, har vi at p-værdi = 0.0117, H 0 accepteres, dvs. at det kan ikke afvises, at stikprøven er repræsentativ mht. blokfordeling. 4 z obs = (0.4426 0.5019)/ 0.5019 0.4981 ( 1 401 + 1 505 ) = 1.77. Idet normalfordelingen er den relevante at benytte, har vi at p-værdi = 2 P (z obs 1.77) = 0.0767, H 0 accepteres, dvs. at det på det foreliggende data vurderes, at stikprøven er repræsentativ mht. blokfordeling. 0.5019 0.4981 5 t obs = (0.4426 0.5019) / 401 = 2.37. Idet t-fordelingen med 401 frihedsgrader er den relevante at benytte, har vi at p-værdi = 0.00913, H 0 forkastes, dvs. at det kan afvises, at stikprøven er repræsentativ mht. blokfordeling Fortsæt på side 23 22
Spørgsmål VII.4 (25) Hvor stor skal stikprøven være, hvis vi vil lave en ny undersøgelse, hvor 90 pct. konfidensintervallet for andelen, der er for organdonation højest har bredden 2 pct. point, når der tages udgangspunkt i, at 87 pct. er for organdonation. 1 n 0.87 0.13/ ( 0.02 2 1.96) 2 = 4344.9 rundet op altså n=4345 2 n 0.13 0.87 ( 1.6449 0.02/2) 2 = 3060.1 rundet op altså n=3061 3 n 1 4 /( 0.01 1.2816) 2 = 4106.2 rundet op altså 4107 4 n ( 0.87 2 0.01) = 7569.0 rundet op altså 7569 ) 1.6449 5 2 n 0.25 ( 0.02 = 1691.1 rundet op altså n=1692 Fortsæt på side 24 23
Opgave VIII Tre forskellige insulinformuleringer (A, B og C) blev testet på 15 hunde - 5 hunde til hver formulering. Man målte tiden til maximal insulinabsorbtion (Tmax), og fik følgende data for de 15 hunde (i sekunder): Formulering A Formulering B Formulering C 972 1218 1191 926 1065 1259 1008 1044 1302 846 1025 1441 767 925 1267 903.8 1055.4 1292.0 Tallene i nederste række angiver gennemsnittene. En analyse af disse data gav følgende resultat fra R: (hvor 4 af tallene dog er erstattet med bogstaverne I, J, K og L) Analysis of Variance Table Response: Tmax Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Formulering I 382769 K L 0.0001637 *** Residuals J 116862 9739 --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Spørgsmål VIII.1 (26) Hvad er de korrekte værdier for I, J, K og L: 1 I=2, J=12, K=116862/2, L=9739/2 2 I=2, J=12, K=382769/2, L=K/9739 3 I=3, J=15, K=382769/3, L=K/15 4 I=3, J=15, K=9739/3, L=0.05 5 I=2, J=12, K=382769/12, L=9739/K Spørgsmål VIII.2 (27) Hvad er det mest korrekte udsagn, der opsummerer konklusionen for den udførte analyse? (Anvend det sædvanlige signifikansniveau α = 0.05) 24
1 Residualvariansen er for lille 2 De tre Tmax varianser kan påvises at være ens 3 De tre Tmax middelværdier kan afvises at være ens 4 De tre Tmax middelværdier kan accepteres som værende ens 5 Formulering C har den største spredning. Spørgsmål VIII.3 (28) En forudplanlagt sammenligning af formulering A og B giver følgende konklusion vedrørende middelværdi µ A og µ B : (Anvend det sædvanlige signifikansniveau α = 0.05) (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1055.4 903.8 1 µ A og µ B er forskellige, idet < t 1 0.025/6 = 3.15 9739 (1/5+1/5) 1055.4 903.8 2 µ A og µ B er ikke forskellige, idet < t 1 0.025/6 = 3.15 9739 (1/5+1/5) 1055.4 903.8 3 µ B er signifikant større end µ A, idet > t 0.975 = 2.13 9739/15 (1/5+1/5) 4 µ A og µ B er ikke forskellige, idet 1055.4 903.8 < t 0.975 = 2.18 9739/2 5 µ B er signifikant større end µ A, idet 1055.4 903.8 > t 0.975 = 2.18 2 9739/5 Fortsæt på side 26 25
Opgave IX Skarpheden for tre TV-apparater scoredes af 8 personer, således at hver person scorede hvert TVapparat netop en gang. Man antager at scoren er normalfordelt. De 24 observationer analyseredes med den relevante variansanalyse, og man fik følgende resultat fra R: Analysis of Variance Table Response: Skarphed Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Person 7 52.663 7.5233 4.693 0.0067727 ** TVapparat 2 38.523 19.2617 12.015 0.0009161 *** Residuals 14 22.443 1.6031 --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Spørgsmål IX.1 (29) Den totale kvadratsum for alle observationerne, SST = 3 i=1 8 j=1 (y ij ȳ) 2 bliver: 1 SST = 91.186 2 SST = 113.629/14 3 SST = 16.708 4 SST = 113.629 5 SST = 28.3881 Spørgsmål IX.2 (30) Hvad er den mest korrekte konklusion på analysen? (Anvend det sædvanlige signifikansniveau α = 0.05) (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 Der er ingen påviselig forskel på hverken personernes eller på TV-apparaternes middelskarphed 2 Der er signifikant forskel på både personernes og på TV-apparaternes middelskarphed 3 Den totale variation er stor 4 Der er signifikant forskel på personernes middelskarphed men ikke på TV-apparaternes 5 Der er signifikant forskel på TV-apparaternes middelskarphed men ikke på personernes SÆTTET ER SLUT. FORTSAT GOD SOMMER! 26