Formelsamling til Kvantemekanik 7. marts 1 Dennis Hansen 1
Indhold 1 Grundlæggende ligninger 4 1.1 Generelt...................................... 4 1. Postulater i kvantemekanik............................ 4 1.3 Vigtige sætninger................................. 5 1.4 Kommutatoren.................................. 5 Simple kvantemekaniske systemer 6.1 Uendelig potentialbrønd............................. 6. Harmonisk oscillator............................... 6.3 Fri partikel.................................... 8.4 δ-funktions potential............................... 8.4.1 Den bundne tilstande........................... 9.4. De frie tilstande.............................. 9.5 Endelige potentialbrønd............................. 9.6 Periodisk potential, båndstruktur........................ 1 3 Stedoperator og impulsoperator 1 3.1 Stedoperator.................................... 1 3. Impulsoperator.................................. 11 3.3 Kommutatorrelationer.............................. 11 3.4 Impulstransformation............................... 11 4 Impulsmoment og spin 1 4.1 Impulsmoment.................................. 1 4.1.1 Denitioner................................ 1 4.1. Egentilstande og egenværdier for L, L z................. 1 4.1.3 Kommutatorrelationer.......................... 13 4.1.4 Hæve/sænkeoperatorer.......................... 13 4. Spin........................................ 14 4..1 Operatorer og egentilstande....................... 14 4.. Kommutatorrelationer.......................... 14 4.3 Spin ½....................................... 15 4.3.1 Matrixrepræsentation af operatorerne og egenvektorer......... 15 4.3. Forventningsværdier........................... 15 4.3.3 Kommutatorrelationer og virkning på ikke-egentilstande....... 15 4.4 Total impulsmoment, Spin-Impulsmoment kobling............... 15 5 Identiske partikler 16 5.1 Symmetrikravet.................................. 16 5. Bosoner...................................... 16 5.3 Fermioner..................................... 16 6 Atomer 16
7 Approksimationer 17 7.1 Tidsuafhængig Pertubationsteori........................ 17 7. Tidsafhængig pertubationsteori......................... 17 7.3 Variationsmetoden................................ 17 7.4 WKB-approksimation............................... 17 8 Statistisk kvantemekanik 18 9 Symmetrier 18 1 Operatorer 18 A Appendix A.1 Enheder...................................... A. Vigtige integraler................................. 1 A..1 Eksponentiale- og gaussiske integraler.................. 1 A.. Trigonometriske integraler........................ 1 A.3 Vigtige formler.................................. 1 A.4 Sfæriske koordinater............................... A.5 Deltafunktionen og stepfunktion......................... 3 3
1 Grundlæggende ligninger 1.1 Generelt Tidsafhængig Schrödingerligning i d S Ĥ(t) S dt Tidsuafhængige Schrödingerligning (for tidsuafhængige Ĥ). Nyttige relationer, bølgemekanik Ĥ S E S λ v ν π k Usikkerhedsrelationen Ehrenfests sætning (symmetrier) Virialsætningen E ω hν σâσ B 1 i [Â, B], σx σp d Q dt i ] [Ĥ, Q + Q t 1. Postulater i kvantemekanik Påstand 1 (Tilstanden S, Hilbertrum). Ket'en S der opfylder Schrödingers ligning er en repræsentation af vores viden om systemets tilstand. Ethvert system associeres med et Hilbertrum H, hvor S H. Påstand (Normalisering). epræsentationen af tilstanden S skal kunne normaliseres, dvs. S S 1. Påstand 3 (Superpositionsprincippet). En tilstand S kan skrives som en superposition af alle mulige tidsudviklinger for systemet, dvs. S c n Sn. Bemærk at det kan både forekomme at S SN, dvs. netop netop lig én anden tilstand (så den ligger i det komplette sæt), eller at den er en linearkombination af uendelig mange andre tilstande (lineært afhængigt af det komplette sæt). Påstand 4 (Dynamiske variable). En dynamisk variabel er repræsenteret af en hermetisk operator, og Q Q S er en ket som repræsenterer de mulige værdier som vi kan måle. 4
Påstand 5 (Borns generaliserede statistiske fortolkning). En måling af en dynamisk variabel vil retunere en af egenværdierne for den tilhørende operator. Absolutværdien af Fourierkoecienten i anden ift. given basis af en-eller-anden observabel Γ (så vi kan skrive S(t, Γ) eγ S eγ dγ) er sandsynligheden for at en måling af Γ har værdien i intervallet [γ, γ + dγ] netop e γ S dγ når spektraet er kontinuert. For en observabel Λ med et diskret spektra (så vi kan skrive S(t, Λ) eλ S eλ ), er sandsynligheden for at måle værdien λ blot e λ Ψ. 1.3 Vigtige sætninger Sætning. Energien for en partikel må altid være større end minima for den potentielle energi, dvs. E > inf x {V (x)}. Sætning. En bølgefunktion ψ kan altid vælges til at være en reel funktion ved fx 1 (ψ + ψ ) eller i (ψ ψ ). Sætning. Givet et 1D system med et lige potential, dvs. V (x) V ( x), da kan bølgefunktionen altid vælges til at være lige eller ulige ved ψ(x) ± ψ( x). Sætning. Givet et 1D system med et lige potential, dvs. V (x) V ( x), da er bølgefunktionen for grundtilstanden altid en lige funktion, og den første eksiterede tilstand er altid en ulige funktion. (Har noget at gøre med energien er lavest for en lige funktion, da den ingen nodepunkter har, da bølgelængden for partiklen da vil være længst). Sætning (Kontinuitet af bølgefunktionen). Bølgefunktionen Ψ skal altid være kontinuert i alle punkter, og dψ/dx skal være kontinuert i alle punkter bortset fra de x hvor V (x ). 1.4 Kommutatoren Sætning 6 (Kommutator og basis). For to operatorer Q, P gælder [ ] det at de diagonaliseres Q, P af det samme komplette sæt af egenvektorer hvis og kun hvis Dette betyder at kan vi vise at de kommuterer, ved vi at har vi en ortonormalbasis for den ene, har vi det også for den anden, dette har vi fx for L z og L. Det følger heraf at når man måler en observabel på et system og den bestemmer sig for en tilstand som målingen returnerer, ved vi når to operatorer kommuterer, vil begge operatorer returnere samme tilstand og vi kan derfor kende begge forventningsværdier på én gang. Dog vil det ikke samtidigt gælde at egenværdierne nødvendigvis er ens. Der er en række nyttige regneregler og identiteter for kommutatoren som kan bruges til at lave manipulationer med:. 5
Q, Û, P L (H), λ C : [ Q, Û] [ Q, Q] [ Q + P, Û] [ Q P, Û] [ Q, Û P ] ] [Û, Q [ ], Q, λ [ [ ] Q, Û] + P, Û Q [ ] [ P, Û + Q, Û] P [ ] [ ] Q, Û P + Û Q, P Simple kvantemekaniske systemer.1 Uendelig potentialbrønd Hamiltonoperator { Ĥ p m + V, for x [, a], V (x), ellers Egentilstande (bølgefunktioner) og egenenergier ( πn ) ψ n (x) a sin a x, x [, a], n N E n π n ma Forventningsværdi af impuls og position for n'te egentilstand x a, x ( ) 1 a 3 1 (πn) p, p ( ) π n a Heisenbergs usikkerhedsrelation for den n'te tilstand. Harmonisk oscillator Hamiltonoperator σ x σ p π n 3 Ĥ p m + V, V (x) 1 kx 1 mω x Egentilstande (bølgefunktioner) og egenenergier ( mω ) ( ) ) 1/4 1 mω ψ n (x) π n n! H n x exp ( mωx, x, n N 6
( E n ω n + 1 ) Sammenhæng mellem ω og fjederkonstanten k Hæve/sænkeoperatorerne â /â â ω k/m, k mω 1 mω (ip + mωx), â 1 mω ( ip + mωx) â n n n 1, â n n + 1 n + 1 ââ n (n + 1) n, â â n n n Impuls og position, og potenser deraf x (â + â ) mω mω p i (â â ) x ( (â ) + (â) + ââ + â â) mω p mω ( (â ) + (â) ââ â â) x 3 ( ) 3/ ( (â ) 3 + â (â) + ( â ) ) â + â ââ + (â ( â ) ) + (â) 3 + ââ â + (â) â mω Indre produkter og forventningsværdier af impuls, position, kinetisk og potentiel energi n x m ( mδm 1,n + ) nδ n 1,m, x mω n p m i mω ( mδm 1,n nδ n 1,m ), p x p mω ( ω T n + 1 ), Usikkerhedsrelationen for den n'te tilstand σ x σ p ( n + 1 ) mω ( n + 1 ) V ω ( n + 1 ) ( n + 1 ) 7
.3 Fri partikel Hamiltonoperator Ĥ p m Schrödingers ligning og generel løsning for bølgefunktionen d ψ dx k ψ, k me > ψ(x) Ae ikx + Be ikx Sammenhæng mellem impuls og bølgetal for en partikel (de Broglie ligningen) p k Generel løsning for given impulsfordeling Φ(x, ) (som kan ndes fra en given startbølgefunktion Ψ(x, ) ved impulstransformationen) Ψ(x, t) 1 ) px p Φ(x, ) exp (i i dp π m Generel impulstransformation i én dimension Φ(p, t) p x 1 Ψ(x, t)dx π Parsevals sætning.4 δ-funktions potential Hamiltonoperator Ψ(x, t) x p 1 Φ(p, t)dp π Φ(p, t) dp Ψ(x, t) dx 1 Ψ(x, t)e ipx/ dx Φ(p, t)e ipx/ dp Ĥ p m + V, V (x) αδ(x) Schrödingerligningen og generel løsning for E < (bundne tilstande) d ψ dx κ ψ, κ me > ψ(x) Ae κx + Be κx Schrödingerligningen og generel løsning for E > (frie tilstande) d ψ dx k ψ, 8 k me >
ψ(x) Ae ikx + Be ikx Aedte af bølgefunktion med et potential V (x) αδ(x) ( ) dψ dψ dψ mα dx dx dx ψ().4.1 Den bundne tilstande + Altid kun én tilstand med bølgefunktionen ψ(x) mα exp ( mα ) x / E mα.4. De frie tilstande 1 En løsning i dette tilfælde svarer til en partikel der kommer ind fra venstre, og da reekteres med en sandsynlighed eller transmitteres med en sandsynlighed T gennem potentialet. { Ae ikx + Be ikx, x < ψ(x) F e ikx, x, hvor B eektionskoecienten Transmissionskoecient iβ 1 iβ A, F 1 1 iβ A, β mα k. T B A.5 Endelige potentialbrønd Hamiltonoperator β 1 + β 1 1 + E mα F A 1 1 + β 1 1 + mα E { Ĥ p m + V V, for x [ a, a], V (x), ellers Schrödingerligningen for de bundne tilstande ( V < E < ) 1 Denne bølgefunktion er ikke normaliserbar og kan da ikke repræsentere en fysisk tilstand, men kan bruges til at sige noget om transmission og reektions sandsynlighederne. 9
x [ a, a] d ψ dx l ψ, l m (E + V ) > x > a d ψ dx κ ψ, κ me > Ge κx x < a ψ(x) C sin (lx) + D cos (lx) a x a F e κx x > a Lige løsninger (lige bølgefunktioner, da V er lige) ψ L og ulige løsninger ψ U, og transcendentale ligninger der bestemmer energierne F e κx x < a ψ L (x) D cos (lx) a x a, κ l tan (la) F e κx x > a F e κx x < a ψ U (x) C sin (lx) a x a, κ l cot (la) F e κx x > a.6 Periodisk potential, båndstruktur Hamiltonoperator Ĥ p m + V, med V (x) V (a + x) (a periodisk potential) Blochs sætning fortæller at for et sådant potential, opfylder løsningerne til Schrödingerligningen ψ(x + a) e ika ψ(x), hvor K er en funktion af energien E og/eller nogle kvantetal, der ndes ved at bruge randbetingelser mv. 3 Stedoperator og impulsoperator 3.1 Stedoperator I positionsbasis har denne i tre dimensioner formen r (x, y, z), mens den i et étdimensionelt Hilbertrum reducerer til x x Egenfunktionerne er for hver af komponenterne f y (x) δ(x y) med egenværdien y. 1
3. Impulsoperator I positionsbasis er impulsoperatoren givet ved p i i i det tredimensionelle Hilbertrum, og blot p x i x ( ) x, y,, z i én dimension. Egenfunktionerne for hver af komponenterne er f p (x) 1 π e ipx/ for en given egenværdi p. 3.3 Kommutatorrelationer [r, p x ] (i,, ), [r, p y ] (, i, ), [r, p z ] (,, i ) 3.4 Impulstransformation Man kan skifte basis mellem positionsbasis hvor en tilstand givet ved ket'en S er beskrevet ved bølgefunktionerne Ψ(r, t) r S og impulsbasis, hvor tilstandene er beskrevet ved impulsbølgefunktionerne Φ(p, t) p S. Da egenfunktionerne udgør et komplet sæt for Hilbertrummet, har vi at og derfor Og tilsvarende har vi Î r r d 3 r Φ(p, t) p S p Î S 1 (π ) 3/ p p d 3 r 3 Ψ(r, t)e ip r/ d 3 r Ψ(r, t) r S r Î S 1 (π ) 3/ 3 Φ(p, t)e ip r/ d 3 p p r r S d 3 r r p p S d 3 p I 1D: Φ(p, t) p x 1 Ψ(x, t)dx Ψ(x, t)e ipx/ dx π Ψ(x, t) x p Φ(p, t)dp 1 π Φ(p, t)e ipx/ dp 11
4 Impulsmoment og spin 4.1 Impulsmoment 4.1.1 Denitioner Operatorerne har denitionen Kartesiske koordinater Sfæriske koordinater L x ŷp z ẑ p y, Ly ẑ p x xp z, Lz xp y ŷp x L L x L y L z, L x i L y i L z i L L x + L y + L z ( y z z ) y ( z x x ) z ( x y y ) x L x ( sin φ ) cos φ cot θ i θ φ L y ( cos φ ) sin φ cot θ i θ φ L [ 1 sin θ φ L z i ( sin θ θ θ ) + 1 ] sin θ φ 4.1. Egentilstande og egenværdier for L, L z Egentilstandene er de samme for både L, L z da de kommuterer. I positionsbasis (sfæriske koordinater) er egenfunktionerne de sfæriske harmoniske funktioner ( ) Y m l + 1 l l ml! l (θ, φ) ɛ ( ) 4π l + ml e imlφ P m l! l (cos θ), l N, ml l, der er en ortonormalbasis for L ([, π] [, π]). I Dirac-notation er egenfunktionerne med kvantetallene l, m l da l ml, og har operatorerne har virkningen L l ml l (l + 1) l ml 1
L z l ml ml l ml 4.1.3 Kommutatorrelationer Vigtige [Lx, L ] y i L z, [Ly, L ] z i L x, [Lz, L ] x i L y [L, L] [Lx, r] (, i ẑ, i ŷ), [Ly, r] ( i ẑ,, i x), [Lz, r] (i ŷ, i x, ) [Lx, p] (, i p z, i p y ), [Ly, p] ( i p z,, i p x ), [Lz, p] (i p y, i p x, ) [L, p ], [L, r ] Knap så vigtige [L, ẑ] [L, p] p + i p L i ( L x y y L x + L ) ( y x + xl y i xl y ŷ L ) x i ẑ [L [L ( ),, r]] rl + L r [r L, L ] i rl Er potentialet sfærisk symmetrisk (altså er potentialet funktion kun af radius r), har vi [Ĥ, L], [Ĥ, L], og de har da fælles egenfunktioner og impuslmomentet i hver retning er bevaret. 4.1.4 Hæve/sænkeoperatorer L ± L x ± il y L ± l ml (l ml ) (l ± m l + 1) l m l ± 1 l (l + 1) m l (m l ± 1) l m l ± 1 Bemærk at vi specielt har L + l l L l l 13
Operatorerne L i termer af hæve/sænke-operatorer L L ± L + L z L z L L + L + L z L z, L L L+ + L z + L z 4. Spin Forgående formler gælder også for spin hvor l må antage halvtallige værdier og nu betegnes med s som siges at være partiklens spin (partiklen har spin s). Vi har da s ½N, 1, 1,..., m s s, s + 1,..., s 1, s. I modsætning til impulsmoment, kan en partikels spin s ikke ændre sig, men har altid samme værdi. En basis for spin-hilbertrummet (der er s dimensionalt og lig C s ) er da givet ved ket'ene på formen s s, s s + 1,..., s ms,..., s s 1, s s, der da skal repræsenteres på en-eller-anden måde vha. s-dimensionelle vektorer. 4..1 Operatorer og egentilstande Ŝ Ŝ x Ŝ y Ŝ z, Ŝ Ŝ x + Ŝ y + Ŝ z Ŝ s ms s (s + 1) s ms Ŝ z s ms ms s ms Ŝ ± s ms (s ms ) (s ± m s + 1) s ms ± 1 s (s + 1) m s (m s ± 1) s ms ± 1 4.. Kommutatorrelationer Spin er fuldstændig afkoblet fra den rumlige del og bygget op som en algebraisk struktur: [ ] [ ] [L, Ŝ] r, Ŝ p, Ŝ [Ŝx Ŝy], i Ŝz, [Ŝy Ŝz], i Ŝx, ] [Ŝ, Ŝ [Ŝz Ŝx], i Ŝy 14
4.3 Spin ½ Der ndes to lineært uafhængige tilstande 1 1, 1 1, spin op og spin ned, og dette er et to-dimensionelt Hilbertrum C. 4.3.1 Matrixrepræsentation af operatorerne og egenvektorer Ŝ x ( ) ( ) ( ) 1, 1 1 x, 1 1 x 1 1 1 Ŝ y ( ) ( ) ( ) i, 1 1 y, 1 1 y i i i Ŝ z ( ) ( ) ( ) 1, 1 z, z 1 1 Man bruger normalvis z og z (egentilstande for Ŝ z ) som basis for Hilbertrummet der repræsenterer spin. En generel tilstand er da ( ) χ a + b a b I termer af de andre egenvektorer har vi for en generel tilstand χ a +b ( ) a b da netop χ a + b x + a b b x χ a ib y + a + ib b y χ a z + b z 4.3. Forventningsværdier 4.3.3 Kommutatorrelationer og virkning på ikke-egentilstande 4.4 Total impulsmoment, Spin-Impulsmoment kobling Kommutator [L, Ŝ] Denition Ĵ L + Ŝ Ĵ L + Ŝ + L Ŝ, L Ŝ 1 (Ĵ L ) Ŝ Clebsh-Gordan koecienter 15
5 Identiske partikler 5.1 Symmetrikravet Ombytningsoperatoren f(r 1, r ) f(r, r 1 ) ] [Ĥ, Spektrum Î σ ( ) { 1, 1} Symmetrikravet er da at der om løsningerne til Schrödingers ligning gælder at ψ(r 1, r ) ±ψ(r, r 1 ) 5. Bosoner Heltalligt spin. Bølgefunktioner skal være symmetriske. 5.3 Fermioner Halvtalligt spin. Bølgefunktionerne skal være antisymmetriske. Slater-determinant 6 Atomer Hydrogen s n l m l ẑ n l ml iff m l m l n l m l ẑ n l ml n l m l x n l ml n l m ẑ l n l ml iff l + l lige Én elektron atomer En Z Z E n, a Z a /Z, Z Z Flerelektron atomer Helium 16
Flerpartikel systemer og identiske partikler: Bosoner og fermioner Symmetriseringskrav ψ(r 1, r ) ±ψ(r, r 1 ) 7 Approksimationer 7.1 Tidsuafhængig Pertubationsteori Løsning af problemer på formen Ĥ Ĥ + Ĥ, hvor Ĥ kan og er løst eksakt og ingen af ledene afhænger af tiden. Ikke-udartet En 1 ψn Ĥ ψ n ψn Ĥ ψ m E n m n E n E m 7. Tidsafhængig pertubationsteori Løsning af problemer på formen Ĥ Ĥ + Ĥ (t), hvor Ĥ kan og er løst eksakt og Ĥ (t) afhænger af tiden. Ligning ċ m i H mn(t)e i(em En)t/ H mn ψm Ĥ ψ n n Førsteordens pertubation for et system der starter i tilstand N c 1 N(t) 1 i t H NN(t )dt, c m (t) i t H mn(t )e i(em E N )t / dt (m N) P N M cm (t) 7.3 Variationsmetoden s 7.4 WKB-approksimation Det klassiske område: For E > p(x) m (E V (x)) x φ (x) ± p (x ) dx, ψ(x) C e i φ(x) p(x) Der integereres over hele det klassiske område hvor E > V. 17
Tunnelering, det ikke-klassiske område: For E < V har vi nu p(x) m (V (x) E) x φ (x) ± p(x) dx, ψ(x) C e 1 φ(x) p(x) Her integreres over hele det ikke-klassiske område hvor E < V. Patching: For 8 Statistisk kvantemekanik s 9 Symmetrier s 1 Operatorer Projektionsoperator P i Projicerer bølgefunktionen ned på den i'te egentilstand for Ĥ med overgangsamplituden c i P i Ψ c i i Idempotent Spektrum P i P i ( ) σ Pi {, 1} Paritetsoperator Π Kartesiske koordinater Sfæriske koordinater Πf(r) f( r) Π x y z Πf(r, θ, φ) f(r, π θ, φ + π) Cylinder koordinater 18
Virkning på sfæriske harmoniske Πf(r, θ, z) f(r, π θ, z) Kommutation ΠY m l ( 1) l Y m l [Ĥ, Π] Π Î Spektrum ) σ (Π { 1, 1} Translationsoperatoren D r Drf(r) f(r + r) [Ĥ, Dr] D r D r Î 19
A Appendix A.1 Enheder Størrelse Enhed A magnetisk vektorpotential Tm N/A kg m/ (s A) α polarisabilitet C m/n A s 4 /kg B magnetfelt T N/ (Am) kg/ (s A) χ e elektrisk susceptibilitet enhedsløs χ m magnetisk susceptibilitet enhedsløs D forskydningsfelt C/m A s/m E elektromotorisk kraft V J/C m kg/ (s 3 A) E elektrisk felt V/m m kg/ (s 3 A) ɛ, ɛ (vakuum) permittivitet C / (m N) A s 4 / (m 3 kg) ɛ r relativ permittivitet enhedsløs H H-felt A T/N A/m I strøm C/s A J volumenstrømtæthed C/ (m s) A/m K overadestrømtæthed C/ (ms) A/m C kapacitans F C/V A s 4 / (m kg) L selvinduktans H Vs/A m kg/ (A s ) λ linjeladningstæthed C/m As/m M (gensidig) induktans H Vs/A m kg/ (A s ) M magnetisering A T/N A/m m magnetisk dipolmoment m A µ, µ (vakuum) permeabilitet N/A m kg/ (A s ) µ r relativ permeabilitet enhedsløs N kraftmoment Nm m kg /s P polarisering C V/ (m 3 N) As/m p elektrisk dipolmoment C V/N Asm Φ B magnetisk ux Wb Tm m kg/ (s A) Φ E elektrisk ux Vm m 3 kg/ (s 3 A) Q ladning C As modstand Ω V/A m kg/ (A s 3 ) ρ volumenladningstæthed C/m 3 As/m 3 ρ resistivitet Ωm m 3 kg/ (A s 3 ) σ overadeladningstæthed C/m As/m σ konduktivitet (Ωm) 1 A s 3 / (m 3 kg) V elektrisk potential V J/C m kg/ (s 3 A)
A. Vigtige integraler A..1 Eksponentiale- og gaussiske integraler e (ax +bx+c) dx π a e(b 4ac)/4a x n e x/a dx n!a n+1 x n e x /a dx π (n)! ( a n+1 ) n! x n+1 e x /a dx n! an+ cos (bx) e ax dx sin (bx) e ax dx a a + b b a + b A.. Trigonometriske integraler π/ π/ sin n xdx sin n+1 xdx π/ π/ π/ cos n xdx cos n+1 xdx cos p 1 x sin q 1 dx 1 3 5... (n 1) π 4 6... n 4 6... n π 1 3 5... (n + 1) p!q! (p + q)! A.3 Vigtige formler s 1
A.4 Sfæriske koordinater Sfæriske koordinater beskriver situationer hvor der er sfærisk symmetri meget simpelt. Arbejdes der med kugler, cirkler mv. i problemet, opnår man en fordel ved at skifte til sfæriske koordinater. For at kunne beskrive ethvert punkt i koordinatsystemet, skal (r, θ, φ) antage følgende værdier: Størrelse Interval r [, ) θ [, π] φ [, π] Skift fra kartesiske koordinater til sfæriske (x, y, z) (r, θ, φ): x r sin θ cos φ y r sin θ sin φ z r cos θ Skift fra sfæriske til kartesiske koordinater (r, θ, φ) (x, y, z): r x + y + z θ arccos (z/r) φ arctan (y/x) Enhedsvektorernes retning i det kartesiske koordinatsystem, er funktioner af θ, φ på følgende vis:
r sin θ cos φx + sin θ sin φŷ + cos θẑ θ cos θ cos φx + cos θ sin φŷ sin θẑ φ sin φx + cos φŷ På samme måde kan de kartesiske enhedsvektorer udtrykkes i termer af de sfæriske enhedsvektorer på følgende vis: x sin θ cos φr + cos θ cos φθ sin φ φ ŷ sin θ sin φr + cos θ sin φθ + cos θ φ ẑ cos θr sin θθ A.5 Deltafunktionen og stepfunktion { 1, x > H(x), x {, x δ(x), ellers δ(x)f(x)dx f() H (x) δ(x) 3