Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når ) A(,, ) og B(,, ) ) (0,, ) A og (,, 5) B ) (,5, ) A og (,,6) B Opgave Besem en parameerfremsilling for hver af linjerne l og m, når l går gennem punkerne A(,,7) og B(,6,), mens m går gennem punke C(,,) og er parallel med a = (,,7) Vis, a l og m ikke er parallelle Opgave Undersøg, om linjerne m og m skærer hinanden, er parallelle eller er vindskæve Hvis de skærer hinanden, skal skæringspunkes koordinaer besemmes ) m : 6 8 7, m : 7 6 5 5 ) m :, m : Opgave Linjerne m og m har parameerfremsillingerne m : (,, ) = ( +, +, ) m : (,, ) = (, +, + ) Undersøg, om linjerne skærer hinanden, er parallelle eller er vindskæve
Opgave 5 En plan indeholder punke P(,, 5) og linjen l sår vinkelre på planen Linjen l er give ved, R a) Besem en ligning for planen Opgave 6 Besem en ligning for den plan, der har vekor n som normalvekor og indeholder punke P 0, når ) n, og P 0 (,,) ) n = (,,) og P 0 (,,7) ) n = (,0, ) og P 0 (,, ) ) n = (0,0,) og P 0 (,0,0) Gør rede for, hvordan planerne i ) og ) ligger i koordinasseme Opgave 7 Angiv en ligning for planen P, Q og R, når ) P(,0,), Q(,,), R(,,) ) P(,,), Q(5,,0), R(,,) Opgave 8 En vekor er give ved: a k En re linje er give ved:, R 0 k a) Beregn konsanen k således, a linjen er vinkelre på vekor a
Opgave 9 Besem afsanden fra punke A il planen α, når ) α: 0 og A(,, 5) ) α: 0 og A(,,6) ) α: og A(,,6) Opgave 0 a) En plan er give ved: 6 Besem koordinasæe il planens skæringspunk med -aksen b) En linje er give ved:, R Beregn koordinasæe il linjens skæringspunk med -planen Opgave I rumme er give en plan α og en linje l Besem skæringspunke mellem planen α og linjen l, når ) l:, R og α: 0 ) l: 0, R 0 og α: 0 Opgave a) Planerne α og α er give ved α : + = og α : ( ) ( ) + ( ) = 0 Vis, a planerne er parallelle og find afsanden mellem dem b) Beregn den spidse vinkel mellem planerne α og α med ligningerne α : + = og α : + =
Opgave En vekor er give ved: n En linje l er give ved: 5 R og e punk er give ved: P (,,) a) Besem en ligning for den plan, der har vekoren n som normalvekor og som indeholder punke P (,,) b) Beregn den spidse vinkel mellem linjen l og planen Opgave Besem koordinasæe il cenrum C og radius r for de kugler, hvis ligninger er: a) 0 b) 6 8 0 Opgave 5 a) En kugle er give ved ligningen: ( ) ( ) 0 Besem koordinasæene il skæringspunkerne med -aksen b) En kugle har cenrum i (,,) og radius 6 Opsil en ligning for kuglen og angiv koordinaerne il kuglens skæringspunker med akserne Opgave 6 En kugle er give ved ligningen: E punk er give ved: P (,0,) ( ) ( ) ( ) 8 a) Vis a punke P er e punk på kuglen b) Besem en ligning for kuglens angenplan i punke P
Opgave 7 En kugle er give ved ligningen: ( ) ( ) ( ) 6, og en plan er give ved ligningen: 0 E punk er give ved: A(, k, ), hvor k er en konsan a) Besem konsanen k, således a A bliver e punk på kuglen b) Undersøg om planen er angenplan il kuglen Opgave 8 Der er give o punker P 0 (,,) og Q (,,) sam en vekor r En re linje l indeholder punke P 0 og har vekoren r som reningsvekor a) Beregn afsanden mellem linjen l og punke Q b) Beregn koordinaerne il skæringspunke mellem linjen l og planen Opgave 9 En linje er give ved:, R a) Besem koordinasæe il linjens skæringspunk med -planen b) Beregn afsanden mellem punke P (,,) og linjen c) Besem en parameerfremsilling for linjens projekion på -planen Opgave 0 I rumme er følgende give: En plan : 8 5 0, sam punkerne: A( 0,,), B(,5,) og C (k,,5) a) Besem en parameerfremsilling for den linje l, der er vinkelre på planen og som indeholder punke A b) Besem afsanden mellem punke B og linjen l c) Besem værdierne af alle k således, a den rekan som punkerne A, B og C udspænder, får areale T 50
Opgave I rumme er følgende give: E punk A(, 0, ), en plan α med ligningen + + = 0, sam en linje l med parameerfremsillingen R, a) Besem afsanden fra punke A il planen α b) Besem afsanden fra punke A il linjen l c) Besem den spidse vinkel mellem linjen l og planen α d) Besem projekionen af reningsvekoren for linjen l på planen α En plan β indeholder punke A og er parallel med linjen l og sår vinkelre på planen α e) Besem en ligning for planen Opgave I e koordinassem i rumme er planerne og give ved ligningerne : 0, 5 : Desuden er der give en kugle K med cenrum C(,,) og radius r = sam en linje l med parameerfremsilling R l, : a) Besem en ligning for kuglen K b) Afgør med begrundelse om er angenplan il kuglen K c) Besem en ligning for den plan, som indeholder linjen l og punke P(,, ) d) Besem punke C s projekion på planen α e) Besem areale af rekan ABC, hvor A er punk på l for = og B er punk på l for =