Trekantsberegning. Udgave Karsten Juul 25 B

Transkript

1 Trekansberegning Udgave 7, Karsen Juul

2 ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras' säning nsvinklede rekaner osinus Sinus Tangens eregning af sider og vinkler i revinkle rekan Opgaver...3 Nyere häfer: hp://ma.dk/rekansberegning_for_b_og_a_niveau_i_sx_og_hf.pdf hp://ma.dk/rekansberegning_for_c_niveau_i_hf.pdf hp://ma.dk/oevelser_il_haefe_korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf hp://ma.dk/geomerisk_algebra.pdf Trekansberegning. udgave 00 Ç 00 Karsen Juul ee häfe kan downloades fra HÄfe må benyes i undervisningen hvis läreren med de samme sender en il kj@ma.dk som dels oplyser a dee häfe benyes, dels oplyser om hold, lärer og skole.

3 fsni. real af rekan. Åvelse. Udregn areale af hver af de re rekaner, F og GHI. F I G 00 H Åvelse. (a) Tegn en linje der går gennem P og er vinkelre på l. (b) Tegn en linje der går gennem P og er vinkelre på m. (c) Tegn en linje der går gennem Q og er vinkelre på m. l m n P Q (d) Tegn en linje der går gennem Q og er vinkelre på n. Åvelse.3 (a) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og. (b) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og. (c) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og. Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

4 Åvelse.4 (a) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og F. (b) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og F. (c) Tegn en linje gennem F som er vinkelre på linjen gennem og. F FINITION.5 HÄjde og grundlinje Hvis vi välger som grundlinje: HÉjden er de linjesykke der går fra og vinkelre ind på. Hvis vi välger som grundlinje: HÉjden er de linjesykke der går fra og vinkelre ind på 's forlängelse. Åvelse.6 Figuren viser en rekan. (a) Hvis vi välger siden med längde 8 som grundlinje, så er héjdens längde. (b) Hvis vi välger siden med längde 4 som grundlinje, så er héjdens längde Åvelse.7 (a) Tegn de linjesykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje. (b) Tegn de linjesykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje. (Se definiion.5). Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

5 SÇTNING.8 real af rekan NÅr T = areale af rekanen g = grundlinjen (dvs. en side i rekanen) h = héjden (dvs. den af héjderne der sår vinkelre på den valge grundlinje) gälder T h g. Åvelse.9 Figuren viser e firkane bur se fra oven. Udregn bures areal på den nemmes mulige måde. m Åvelse.0 (a) Udregn areale af rekan. (b) Udregn areale af rekan. (c) Udregn areale af rekan Åvelse. n rekan PQR har areale 96. Siden PQ har längden 6. Udregn längden af héjden fra R på PQ. Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

6 fsni. Pyhagoras' säning. FINITION. Kaee og hypoenuse. I en revinkle rekan gälder: Kaeerne er de o sider der danner den ree vinkel. (Hvis du sidder i den ree vinkel og holder i de o sider, så vil kaeerne alså väre de sider du holder i). Hypoenusen er den side der ligger over for den ree vinkel. (Hvis du sidder i den ree vinkel og holder i de o sider, så vil hypoenusen alså väre den side du ikke holder i). Åvelse. Figuren viser en revinkle rekan. Kaeernes längder er og. Hypoenusens längde er Åvelse.3 Figuren viser en revinkle rekan med siderne p, r og. r Siderne og er kaeerne. Siden er hypoenusen. p SÇTNING.4 Pyhagoras' såning. For en revinkle rekan gälder: Hvis så er p og q er kaeerne, og r er hypoenusen p q r. p r q Trekansberegning, udgave Side 4 00 Karsen Juul

7 emärkning.5: n sprogbrug Hvis der sår i rekan F er f 4 gälder de er siden over for vinkelspidsen F der er 4. Sprogbrugen er nemlig sådan a når e sor bogsav er en vinkelspids i en rekan, gälder de ilsvarende lille bogsav er siden over for vinkelspidsen, hvis der ikke fremgår ande. f e d F enne sprogbrug er brug her: I en rekan hvor vinkel er re, er a b c. dvarsel Se figuren il héjre. Her dur de ikke hvis du skriver m, 6. LÄseren kan ikke vide om de er eller der er, 6. Skriv m på den side du mener. u skal alid egne en figur i en geomeriopgave. M Åvelse.6 fgér for hver ligning om den er korrek. () p q r p q () (3) p r r q q p r Åvelse.7 fgér for hver ligning om den er korrek. () 3,6 8, x 3,6 8, () (3) 3,6 x 8, x 8, 3,6 x Trekansberegning, udgave Side 5 00 Karsen Juul

8 Åvelse.8 fgér for hver ligning om den er korrek. () () (3) (4) a 30 a a Åvelse.9 (a) Udregn siden p. (b) Udregn siden q q 5, p 6,5 Åvelse.0 (a) Udregn areale af rekanen nedenfor il vensre. (b) Udregn areale af rekanen nedenfor il héjre Åvelse. Udregn areale af firkanen Trekansberegning, udgave Side 6 00 Karsen Juul

9 ksempel.: Udregne hypoenusen nçr kaeerne er kend. I rekan er vinkel re, längden af siden er 3,4, og längden af siden er,. SpÉrgsmÅl: Udregn längden af siden. Svar: Uden Solve FÉrs egner vi en skise af rekanen. f Pyhagoras' säning får vi a d 3,4,. SÅ må d 3,4,. Vi udregner dee på lommeregner: d 3,9965. Konklusion: LÄngden af siden er 4, 0. d 3,4, Svar: Med Solve FÉrs egner vi en skise af rekanen. f Pyhagoras' säning får vi a d 3,4,. Vi aser denne ligning og får den lés mh. d for d 0. Vi får: d 3,9965. Konklusion: LÄngden af siden er 4, 0. d 3,4, emärkning: I ligningen d 3,4, er der mere en Ñ al der passer på d 's plads. Vi skal kun bruge den lésning der er sérre en nul, fordi längden af en side alid er sérre end nul PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: fer ligningen skriver vi e komma, og efer kommae skriver vi d fordi de er d vi skal finde. fer solve-kommandoens sluparenes skriver vi en lodre sreg, og efer denne skriver vi a vi kun vil have lésninger der er sérre end nul. Trekansberegning, udgave Side 7 00 Karsen Juul

10 ksempel.3: Udregne en kaee nçr hypoenusen og den anden kaee er kend. I rekan er vinkel re, längden af siden er 84, og längden af siden er 85. SpÉrgsmÅl: Udregn längden af siden. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. 85 a 84 f Pyhagoras' säning får vi a Vi räkker 84 a fra begge sider: a Heraf får vi a a Vi udregner dee på lommeregner: a 3. Konklusion: LÄngden af siden er 3. ksempel.4: Udregne areal nçr kaeerne er kend. I rekan er vinkel re, längden af siden er 5, og längden af siden er 9. SpÉrgsmÅl: Udregn areale af rekan. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. Vi välger som grundlinje. SÅ er héjden. 5 9 reale er Konklusion: 5 9,5. reale af rekan er, 5. Trekansberegning, udgave Side 8 00 Karsen Juul

11 ksempel.5: Udregne areal nçr hypoenusen og en af kaeerne er kend. I rekan F er vinkel re, längden af siden F er, og längden af siden F er 5. SpÉrgsmÅl: Udregn areale af rekan F. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. F Vi välger som grundlinje. SÅ er F héjden. Vi udregner grundlinjen: 5 Vi bruger Pyhagoras' säning: f 5 Heraf får vi f 5. f Vi udregner areale: reale er f dvs Vi udregner dee på lommeregner og får 4,4949. Konklusion: reale af rekan F er 4, 5. Trekansberegning, udgave Side 9 00 Karsen Juul

12 fsni 3. nsvinklede rekaner. Åvelse 3. (a) Hvilke al skal vi gange siderne i rekan () med for a få siderne i rekan ()? a alle sider skal ganges med samme al, er () en forsérrelse eller en formindskelse af (). e al vi ganger med, er sérrelsesforholde og kaldes skalafakoren. (b) For hver af rekanerne (3), (4), (5) og (6) skal du afgére om der findes en skalafakor som gange med sidederne i () giver siderne i den pågäldende rekan. ngiv skalafakoren hvis den eksiserer. ( ) () 4 5,6 5, (3) 7,6 6,5,8 9,5 (5),4 (4) 6,8 3,5,8 3,4 8,5 (6),8,8 3,5 FINITION 3. n sides modsçende vinkel NÅr du på en egning af en rekan vil finde ud af hvilken af vinklerne der er modsående il en besem af siderne, så gér félgende: M Foresil dig a du sidder på denne side, og foresil dig a du holder i de o vinkler ved denne sides ender. en vinkel du ikke holder i, er sidens modsående vinkel. Vi siger også a siden ligger over for vinklen. ksempel: PÅ figuren ligger siden M over for vinklen H. H Trekansberegning, udgave Side 0 00 Karsen Juul

13 ksempel 3.3 PÅ figuren nedenfor bruger vi buer, dobbele buer og redobbele buer il a vise hvilke vinkler der er lige sore. Trekanerne har samme vinkler, så de har samme form. en sore er alså en forsérrelse af den lille. I den lille rekan er der en side med längde 4, og i den sore rekan er der en side med längde 8. isse o sider ligger over for vinkler der er lige sore. a vi skal gange den lille side med for a få den sore, er skalafakoren. Siden over for vinklen med dobbel bue i den sore rekan er alså gange 5, dvs Åvelse 3.4 u får nu en ny oplysning om den sore rekan fra eksempel 3.3: Siden over for vinklen med redobbel bue har längden. Hvor lang er den side i den lille rekan som ligger over for vinklen med redobbel bue? NÅr o vinkler i vensre rekan er lig o vinkler i héjre rekan, så må den redje vinkel i vensre rekan også väre lig den redje vinkel i den héjre. ee skyldes a summen af vinklerne i en rekan er den samme for alle rekaner (nemlig 80). SÇTNING 3.5 nsvinklede rekaner e o rekaner har samme vinkler. erfor er der en skalafakor k. a m og ligger over for vinkler der er lige sore, er mk a p og q ligger over for vinkler der er lige sore, er m p n k q r pk q a n og r ligger over for vinkler der er lige sore, er nk r Pilen på figuren viser hvilken vej vi ganger. Hvis vi i sede valge a gange siderne i héjre rekan, så ville k så for e ande al. e er illad a bruge andre bogsaver i sede for k. (LÄseren ved alså ikke på forhånd a k sår for skalafakoren, så de er nédvendig a vi skriver de). Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

14 Åvelse 3.6 e o rekaner il héjre er ensvinklede, så der findes e al k som gange med siderne i férse rekan giver siderne i anden rekan. fgér for hver af félgende ligninger om den er gyldig: () 5 k 7 () p k n (3) p k 7 (4) m k q (5) q k m. p 5 q 7 n m Åvelse 3.7 4, (a) PÅ figuren ser vi a de o rekaner er, så der er en skalafakor. (b) NÅr vi ganger siderne i den vensre rekan med skalafakoren, så får vi siderne i den héjre rekan. (c) NÅr vi ganger siderne i den héjre rekan med skalafakoren, så får vi siderne i den vensre rekan. (d) NÅr vi dividerer siderne i den héjre rekan med, så får vi siderne i den vensre rekan. Åvelse 3.8 0,4,5, F (a) NÅr vi ganger siderne i med, så får vi siderne i F. (b) NÅr vi ganger 0, 4 med, så får vi längden af F. LÄngden er. (c) NÅr vi dividerer, med, så får vi längden af. LÄngden er. Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

15 Åvelse 3.9 m n u 300 v u 435 v (a) 300 = 435 (b) n = = (c) m = : = réksreg (d) enne division skriver vi normal som en brék sådan: m = Åvelse z 6 x 95 fgér for hver ligning om den er sand eller falsk: 95 (a) z 95, 3 (b) x (c) z 95,, Åvelse 3. p m n q r fgér for hver ligning om den er sand eller falsk: (a) m q p (b) n r (c) r n q (d) q m p p (e) n r p Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

16 ksempel 3.: Udregne sider i ensvinklede rekaner. 5 0 F 8 Figuren viser o ensvinklede rekaner og F. SpÉrgsmÅl: Udregn längderne af siderne F og. Svar: a rekanerne er ensvinklede, er der en skalafakor k : 5 0 k F d c 8 Skalafakoren: Siden med längde 5 fra den férse rekan og siden med längde fra den anden ligger over for vinkler som er lige sore. erfor gälder 5 k. Heraf får vi k 5 dvs. k,4. Siden F: Siden med längde 0 i den férse rekan og siden med längde d i den anden ligger over for vinkler der er lige sore. erfor gälder dvs. 0, 4 d d 4. Siden : Siden med längde c i den férse rekan og siden med längde 8 i den anden ligger over for vinkler der er lige sore. erfor gälder c,4 8. Heraf får vi c 8,4 dvs. c 0. Konklusioner: LÄngden af siden F er 4 og längden af siden er 0. Trekansberegning, udgave Side 4 00 Karsen Juul

17 fsni 4. osinus. FINITION 4. Hosliggende kaee Foresil dig a du sidder i den spidse vinkel u og holder i de o sider. isse o sider kaldes vinklens hosliggende sider. n af de sider du holder i, er en kaee. enne side kaldes vinklens hosliggende kaee. en vinkel er spids, beyder a vinklen er mindre end I den vise rekan gälder alså: Vinkel u 's hosliggende kaee har längden 5. u 5 Åvelse 4. 3,6 F 0,09 0, 3,9,5 0,5 (a) Vinkel 's hosliggende sider har längderne og. (b) Vinkel 's hosliggende kaee har längden. (c) Vinkel 's hosliggende sider har längderne og. (d) Vinkel 's hosliggende kaee har längden. (e) Vinkel 's hosliggende kaee har längden. (f) Vinkel 's hosliggende kaee har längden. Åvelse 4.3 u f v g e (a) Vinkel u 's hosliggende sider er og. (b) Vinkel u 's hosliggende kaee er. (c) Vinkel v 's hosliggende kaee er. Trekansberegning, udgave Side 5 00 Karsen Juul

18 FINITION 4.4 osinus NÅr vi rykker på -asen, får vi udfér en besem udregning. Vi har brug denne udregning i opgaver om rekaner (Pyhagoras). NÅr vi rykker på cos-asen, får vi udfér en anden udregning som vi også skal bruge i opgaver om rekaner. Figuren viser en revinkle rekan hvor hypoenusen er. Hvis vi udregner: cosinus il gradalle for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels hosliggende kaee. Vi skriver: cos( v). v Lommeregneren (eller maemaikprogramme) skal väre indsille il a regne med enheden grader. ksempel 4.5 PÅ lommeregner udregner vi a cos( 49,5 ) 0, ee beyder a längden af siden er 0, ,5 Åvelse 4.6 rug cosinus il a udregne längden af hver af siderne og QR. Q 38 53, P R Åvelse 4.7 I rekan er vinkel re, vinkel er er q, hvor q er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen, og besem alle q. 33,9, längden af siden er, og längden af siden Åvelse 4.8 I rekan F er vinkel F re, vinkel er siden F er p 4, hvor p er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen og besem alle p. 36,9, längden af siden er, og längden af Trekansberegning, udgave Side 6 00 Karsen Juul

19 ksempel 4.9 PÅ figuren ser vi a cos( u ) 0,750. Vi aser denne ligning og får den lés mh. u for u mellem 0 og 90. Vi får: u 4, ee beyder a u 0,750 F vinklen er 4,4. emärkning I ligningen cos( u) 0,750 er der mange al der passer på u 's plads. Vi skal kun bruge den lésning der ligger mellem 0 og 90. PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: emärkning Vi kan finde vinklen uden a bruge solve. I sede kan vi bruge omvend cosinus som skrives cos ee symbol kan vi få frem ved hjälp af cos -asen eller ved a skrive symbole. Hvis vi skriver symbole, skal vi välge i symbolmenuen. Symbole cos er ikke en sädvanlig poens. e hävede beyder "omvend". PÅ lommeregner udregner vi a cos (0,750) 4,4096. Åvelse 4.0 Udregn vinklerne og ,809 F Trekansberegning, udgave Side 7 00 Karsen Juul

20 Åvelse 4. OplÅg il 4.. Nedenfor er vis o rekaner. () rug cosinus på lommeregneren il a udregne längden af siden () rug svare på () il a udregne längden af siden F. (3) Hvilken säning fra dee häfe skal bruges i ()? 36,8 3 36,8 F SÇTNING 4. cosinus Om en spids vinkel i en revinkle rekan gälder: vinklens hosliggende kaee cos( vinklen). hypoenusen Åvelse 4.3 v p r d n u g w Hvilke af ligningerne nedenfor er ok ifélge säning 4.? (a) cos( u) p (b) cos( v) r p (c) u p (d) cos( v) p (e) cos( w) d n (f) cos( w) g n (g) n cos( w). g Trekansberegning, udgave Side 8 00 Karsen Juul

21 egrundelse 4.4 egundelse for gyldigheden af såning 4. er er give félgende rekan:,6 v,3 Vi egner en ny rekan som har samme vinkler, men hvor hypoenusen er : hypoenuse,6 v cos(v) v,3 v ' s hosliggende kaee Trekanerne er ensvinklede. Skalafakoren er, 6 da hypoenusen i vensre rekan skal ganges med,6 for a få hypoenusen i héjre rekan. Vi får alså siden cos(v) når vi dividerer, 3 med skalafakoren, 6, dvs. Her sår a cos( v),3,6 cos( vinklen) vinklens hosliggende kaee hypoenusen ee er ligningen fra säning 4.. e er klar a vi kan komme frem il denne ligning selv om siderne har andre längder end, 3 og, 6. Åvelse 4.5 rug säning 4. il a skrive o ligninger der er gyldige for den vise rekan. u skal ikke regne noge ud. 7 h 8 63 k Trekansberegning, udgave Side 9 00 Karsen Juul

22 ksempel 4.6 n vinkel og hypoenusen er kend. Udregn vinklens hosliggende kaee. I rekan er vinkel re, vinkel er 5, og längden af siden er 6,. SpÉrgsmÅl: esem längden af siden. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. a rekanen er revinkle og vinkel er spids, er cos( ) ' s hosliggende kaee hypoenusen dvs. cos(5 ) b. 6, Vi aser denne ligning og får den lés mh. b. Vi får 6, 5 b b dvs. 3,9076 längden af er 3, 9. emärkning: PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: ksempel 4.7 n vinkel og dens hosliggende kaee er kend. Udregn hypoenusen. I rekan F er vinkel F re, vinkel er 50, og längden af siden F er 3, 6. SpÉrgsmÅl: esem längden af siden. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. a rekanen er revinkle og vinkel er spids, er dvs. cos( ) cos( 50 ) 3,6. f ' s hosliggende kaee hypoenusen Vi aser denne ligning og får den lés mh. f. Vi får f 50 3,6 F dvs. f 5,6006 längden af siden er 5, 6. Trekansberegning, udgave Side 0 00 Karsen Juul

23 ksempel 4.8 n kaee og hypoenusen er kend. Udregn kaeens hosliggende spidse vinkel. I rekan PQR er vinkel R re, längden af siden PQ er 6, 5, og längden af siden PR er 4, 0. SpÉrgsmÅl: esem vinkel P. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. Q a rekanen er revinkle og vinkel P er spids, er 4,0 cos( P) 6,5 Vi aser denne ligning og får den lés mh. P for P mellem 0 og 90. Vi får 6,5 P dvs. vinkel P er 5, P 4,0 R emärkning : PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: PÅ lommeregneren kan vi skrive sp i sede for sor P. emärkning : Ovenfor bruger vi P i o forskellige beydninger. NÅr vi siger "rekan PQR ", så er P e punk, og når vi skriver cos(p ), så er P e gradal. er er radiion for a de bogsav der beegner punke, også bruges il a beegne gradalle. Åvelse 4.9 I rekan FG er vinkel F re, längden af siden F er 3, og längden af siden G er 64. Udregn gradalle for vinkel. Åvelse 4.0 Om rekan KLM er oplys a gradalle for vinkel K er og a hypoenusens längde er 49. Udregn längden af kaeen KL. 90, a gradalle for vinkel L er 6, Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

24 fsni 5. Sinus. FINITION 5. ModsÇende kaee Foresil dig a du sidder i den spidse vinkel u og holder i de o sider. er er Ñn side ilbage som du ikke holder i enne side kaldes vinklens modsående kaee. I den vise rekan gälder alså: u 5 Vinkel u 's modsående kaee har längden 39. Åvelse 5. F 0,48,0, 5 0,0 0,5,5 rug meoden fra definiion 5. il a finde svarene på félgende spérgsmål: (a) Vinkel 's modsående kaee har längden. (b) Vinkel 's modsående kaee har längden. (c) Vinkel 's modsående kaee har längden. (d) Vinkel 's modsående kaee har längden. FINITION 5.3 Sinus NÅr vi rykker på lommeregnerens sin-as, får vi udfér en udregning som vi skal bruge i opgaver om rekaner. Figuren viser en revinkle rekan hvor hypoenusen er. Hvis vi udregner: sinus il gradalle for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels modsående kaee. Vi skriver: sin( v). v Lommeregneren (eller maemaikprogramme) skal väre indsille il a regne med enheden grader. Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

25 ksempel 5.4 PÅ lommeregner udregner vi a sin( 49,5 ) 0, ee beyder a längden af siden er 0, ,5 ksempel 5.5 PÅ figuren ser vi a sin( u ) 0,66. Vi aser denne ligning og får den lés mh. u for u mellem 0 og 90. Vi får: 0,66 u 4, 376. ee beyder a u F vinklen er 4,4. emärkning I ligningen sin( u) 0,66 er der mange al der passer på u 's plads. Vi skal kun bruge den lésning der ligger mellem 0 og 90. PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: emärkning Vi kan finde vinklen uden a bruge solve. I sede kan vi bruge omvend sinus som skrives sin ee symbol kan vi få frem ved hjälp af sin -asen eller ved a skrive symbole. Hvis vi skriver symbole, skal vi välge i symbolmenuen. Symbole sin er ikke en sädvanlig poens. e hävede beyder "omvend". PÅ lommeregner udregner vi a sin (0,66) 4,376. Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

26 Åvelse 5.6 Nedenfor er vis o rekaner rug sinus il a udregne längden af hver af siderne og PR. Q 37 54, P R Åvelse 5.7 Nedenfor er vis o rekaner. Udregn vinklerne og. 0, F Åvelse 5.8 I rekan er vinkel re, vinkel er er 3 q, hvor q er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen. Udregn alle q. 33,6, längden af er, og längden af siden Åvelse 5.9 I rekan F er vinkel F re, vinkel er er p 5, hvor p er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen Udregn alle p. 34,4, längden af er, og längden af siden F Trekansberegning, udgave Side 4 00 Karsen Juul

27 SÇTNING 5.0 sinus Om en spids vinkel i en revinkle rekan gälder: vinklens modsçende kaee sin( vinklen). hypoenusen Åvelse 5. evis for 5.0 () Tegn en revinkle rekan T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v. Ved denne vinkels modsående kaee skal du skrive q, og ved hypoenusen skal du skrive p. () Tegn en ny rekan S med samme vinkler som T og med hypoenuse (skriv dee al ved hypoenusen). (3) I rekan S er hypoenusen, så v 's modsående kaee har längden sin(v ). Skriv sin(v) ved denne kaee. (4) e o rekaner er ensvinklede, så der er en skalafakor. rug de o hypoenuser il a finde den skalafakor som vi skal gange siderne i S med for a få siderne i T. (5) Hvordan kan vi udregne siden sin(v) ved hjälp af skalafakoren? (6) Hvorfor beviser dee a säning 5.0 er rigig? ksempel 5. I rekan er vinkel re, vinkel er 5, og längden af siden er 3, 3. SpÉrgsmÅl: Udregn längden af siden. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. a rekanen er revinkle og vinkel er spids, er sin( ) dvs. a sin(5 ). 3,3 ' s modsçende kaee hypoenusen Vi aser denne ligning og får den lés mh. a. Vi får 3,3 5 a dvs. a,60044 längden af er, 6. Åvelse 5.3 I rekan RST er vinkel S re, vinkel R er Udregn längden af siden RT. 5, og längden af siden ST er,. Åvelse 5.4 I rekan F er vinkel re, längden af siden er 3, 5, og längden af siden F er 6,. Udregn gradalle for vinkel F. Trekansberegning, udgave Side 5 00 Karsen Juul

28 fsni 6. Tangens. FINITION 6. Tangens NÅr vi rykker på lommeregnerens an-as, får vi udfér en udregning som vi skal bruge i opgaver om rekaner. Figuren viser en revinkle rekan hvor v's hosliggende kaee er. Hvis vi udregner: angens il gradalle v, så får vi: längden af v 's modsående kaee. Vi skriver: an( v). Lommeregneren (eller maemaikprogramme) skal väre indsille il a regne med enheden grader. v ksempel 6. PÅ lommeregner udregner vi a an( 34,8 ) 0, ee beyder a längden af siden er 0, ,8 ksempel 6.3 PÅ figuren ser vi a an( u ) 0,65. Vi aser denne ligning og får den lés mh. u for u mellem 0 og 90. Vi får: u 3, ee beyder a vinklen er 3,0. u 0,65 F emärkning Vi kan finde vinklen uden a bruge solve. I sede kan vi bruge "omvend angens" som skrives an. PÅ lommeregner udregner vi an (0,65) 3, Åvelse 6.4 I rekan er vinkel re, vinkel er er p 6, hvor p er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen, og besem alle p. 8,6, längden af er, og längden af siden Trekansberegning, udgave Side 6 00 Karsen Juul

29 SÇTNING 6.5 angens Om en spids vinkel i en revinkle rekan gälder: vinklens modsçende kaee an( vinklen). vinklens hosliggende kaee Åvelse 6.6 evis for 6.5 () Tegn en revinkle rekan T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v. Ved v 's modsående kaee skal du skrive q, og ved v 's hosliggende kaee skal du skrive p. () Tegn en ny rekan S hvor vinklerne er de samme som i T, og hvor v 's hosliggende kaee er (skriv dee al ved kaeen). (3) I rekan S er v 's hosliggende kaee, så v 's modsående kaee har längden an(v ). Skriv an(v) ved denne kaee. (4) e o rekaner er ensvinklede, så der er en skalafakor. rug de o hosliggende kaeer il a finde den skalafakor som vi skal gange siderne i S med for a få siderne i T. (5) Hvordan kan vi udregne siden an(v) ved hjälp af skalafakoren? (6) Hvorfor beviser dee a säning 6.5 er rigig? ksempel 6.7 I rekan PQR er vinkel R re, längden af siden PR er 3, 7, og längden af siden QR er 5,. SpÉrgsmÅl: Udregn gradalle for vinkel P. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. a rekanen er revinkle og vinkel P er spids, er Q an( P ) P' s modsçende kaee P' s hosliggende kaee dvs. 5, an( P ). 3,7 Vi aser denne ligning og får den lés mh. P for P mellem 0 og 90. Vi får: P 3,7 5, R P 54, 0395 dvs. vinkel P er 54. Åvelse 6.8 I rekan HIJ er vinkel I re, vinkel H er 8, og längden af siden HI er 7, 7. Udregn längden af siden IJ. Åvelse 6.9 I rekan er vinkel re, vinkel er Udregn längden af siden. 36, og längden af siden er 8, 0. Trekansberegning, udgave Side 7 00 Karsen Juul

30 fsni 7. eregning af sider og vinkler i revinkle rekan. OVRSIGT 7. Formler il beregning af sider og vinkler i revinkle rekan I en revinkle rekan gälder p q r, p og q er kaeerne, r er hypoenusen. For en spids vinkel i en revinkle rekan gälder: cos( vinklen) sin( vinklen) an( vinklen) vinklens hosliggende kaee hypoenusen vinklens modsçende kaee hypoenusen vinklens modsçende kaee vinklens hosliggende kaee Åvelse 7. (a) Formler il beregning af sider og vinkler i revinkle rekan. Foresil dig a du sidder i vinkel v og holder i de o vinkelben. Hvilke af siderne d, k og p holder du i? (b) Hvilke af siderne d, k og p er hosliggende il vinkel v? (c) Hvilke o af siderne d, k og p danner en re vinkel? (d) Hvilke af siderne d, k og p er kaeer? (e) Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende kaee il v? (f) Hvilken af siderne d, k og p er modsående kaee il v? (g) Hvilken af siderne d, k og p er hypoenuse? (h) Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende kaee il? (i) Hvilken af siderne d, k og p er modsående kaee il? (j) NÅr vi siger a re sérrelser indgår i en opgave om revinkle rekan, så mener vi a vi skal finde Ñn af dem og kender de o andre. ngiv i hver af félgende ilfälde om der skal bruges cos, sin, an eller pyh (Pyhagoras' säning): () er indgår en spids vinkel og denne vinkels modsående kaee sam hypoenusen. () er indgår hypoenusen og de o kaeer. (3) er indgår en spids vinkel og de o kaeer. (4) er indgår en spids vinkel og denne vinkels hosliggende kaee sam hypoenusen. (k) ngiv i hver af félgende ilfälde om der skal bruges cos, sin, an eller pyh.: (5) Vi skal finde d og kender k og. (0) Vi skal finde p og kender d og v. (6) Vi skal finde d og kender k og v. () Vi skal finde v og kender p og d. (7) Vi skal finde d og kender k og p. () Vi skal finde v og kender k og p. (8) Vi skal finde d og kender p og. (3) Vi skal finde og kender k og p. (9) Vi skal finde d og kender p og v. (4) Vi skal finde v og kender k og d. k v d p Trekansberegning, udgave Side 8 00 Karsen Juul

31 OVRSIGT 7.3 e opgaveyper med sider og vinkler i revinkle rekan I rekanen il héjre er siderne med längde 3 og 4 kaeer, fordi vinklen mellem dem er re. Siden med längde 5 er hypoenuse, fordi den ikke er en af kaeerne. Foresil dig a du sidder i den spidse vinkel u og holder i de o vinkelben. en kaee du holder i, er vinklens hosliggende kaee. en anden kaee er vinklens modséende kaee. u Type Give: Hypoenusen og en spids vinkel. Find: Vinklens hosliggende kaee. LÉs cos(37) mh.. 5 vinklens hosliggende kaee hypoenusen spids vinkel Type Give: n spids vinkel og dens hosliggende kaee. Find: Hypoenusen. 4 LÉs cos( 37) mh.. vinklens hosliggende kaee hypoenusen spids vinkel Type 3 Give: Hypoenusen og en kaee. Find: Vinklen mellem disse. 4 LÉs cos( u) mh. u for 0 u vinklens hosliggende kaee hypoenusen spids vinkel u 4 Type 4 Give: Hypoenusen og en spids vinkel. Find: Vinklens modsående kaee. LÉs sin(37) 5 mh.. vinklens modsående kaee hypoenusen spids vinkel Type 5 Give: n spids vinkel og dens modsående kaee. Find: Hypoenusen. 3 LÉs sin( 37) mh.. vinklens modsående kaee hypoenusen spids vinkel Type 6 Give: Hypoenusen og en kaee. Find: Kaeens modsående vinkel. 3 LÉs sin( u) mh. u for 0 u vinklens modsående kaee hypoenusen spids vinkel u 3 3 VN! Trekansberegning, udgave Side 9 00 Karsen Juul

32 Type 7 Give: n spids vinkel og dens hosliggende kaee. Find: Vinklens modsående kaee. LÉs an(37) mh.. 4 vinklens modsående kaee vinklens hosliggende kaee spids vinkel Type 8 Give: n spids vinkel og dens modsående kaee. Find: Vinklens hosliggende kaee. 3 LÉs an( 37) mh.. vinklens modsående kaee vinklens hosliggende kaee spids vinkel Type 9 Give: e o kaeer. Find: n spids vinkel. LÉs an( u) 3 mh. u for 0 u vinklens modsående kaee vinklens hosliggende kaee spids vinkel u Type 0 Give: e o kaeer. Find: Hypoenusen. LÉs 3 4 mh. for 0. hypoenuse kaeer Type Give: Hypoenusen og en kaee. Find: en anden kaee. LÉs 4 5 mh. for 0. hypoenuse kaeer Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

33 Åvelse 7.4 I denne opgave skal du bruge oplysningerne i Oversig 7.3. I hver af opgaverne -0 skal du: skrive ypen, dvs. e af allene,,..., skrive en ligning med opgavens re albeegnelser. u skal ikke lése opgaven. e v g u f. Udregn e når u og f er oplys.. Udregn f når u og e er oplys. 3. Udregn g når u og e er oplys. 4. Udregn g når v og e er oplys. 5. Udregn f når e og g er oplys. 6. Udregn e når f og g er oplys. 7. Udregn g når v og f er oplys. 8. Udregn g når u og f er oplys. 9. Udregn u når e og g er oplys. 0. Udregn v når e og g er oplys. h m s k. Udregn s når h og m er oplys.. Udregn s når h og k er oplys. 3. Udregn når h og k er oplys. 4. Udregn h når og m er oplys. 5. Udregn m når og h er oplys. 6. Udregn m når s og h er oplys. 7. Udregn m når h og k er oplys. 8. Udregn k når s og m er oplys. 9. Udregn k når og h er oplys. 0. Udregn k når s og h er oplys. Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

34 fsni 8. Opgaver. Opgave 8. I rekan er 90, 6 og 6, 5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem. Opgave 8. I rekan F er F 90, F 4, 8 og F. a) Tegn en skise af rekanen, og besem. Opgave 8.3 6,0 4, 5 4,5 Trekanerne og er revinklede.,7 a) esem areale af rekan. b) esem areale af rekan. Opgave 8.4 I rekan GHI er I 90, GI og HI, 5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem areale. Opgave 8.5 I rekan JKL er L 90, JK 3 og KL, 8. a) Tegn en skise af rekanen, og besem areale. Opgave 8.6 3,6 h c,5 Figuren viser rekan hvor vinkel er re, sam héjden hc fra på siden. a) esem. b) esem areale af rekan, og besem derefer längden af h c. Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

35 Opgave F 0 Figuren viser o ensvinklede rekaner og F. a) esem längden af hver af siderne og. Opgave 8.8 3,6, 5 4,5 Trekanerne og er ensvinklede. Nogle af rekanernes mål fremgår af figuren. a) esem längden af siden og längden af siden. 7, Opgave Trekanerne og er ensvinklede. Nogle af rekanernes mål fremgår af figuren. a) esem längden af siden og längden af siden. Opgave 8.0,8,5 a,0 b 4, PÅ billede ses o ensvinklede rekaner. a) eregn a og b. Opgave 8. I de ensvinklede rekaner og ' ' ' er ', ' og '. esuden er 36, 4, ' ' 45 og ' ' 65. a) Tegn en skise af rekanerne, og besem '' og. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

36 Opgave 8. Trekanerne og F er ensvinklede. a) esem längden af siden. 4 0 F Opgave 8.3 F, 0,5 0,8 Trekanerne og F er revinklede. a) esem längden af siden. b) esem längden af siden F.,0 Opgave Trekanerne og er revinklede og ensvinklede. a) esem. b) esem. 6 6 Opgave 8.5,8 3,4 5, F e o revinklede rekaner og F er ensvinklede. a) esem og F. Opgave 8.6 Trekanerne er ensvinklede og revinklede. a) esem siden m m Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

37 Opgave 8.7 I en revinkle rekan er vinkel re, längden af siden a er 6, og längden af siden c er 7. a) Tegn en skise af rekan, og besem vinkel. Opgave 8.8 I rekan er vinkel re, längden af siden er 5,, og vinkel er 47,5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem längden af siden. Opgave 8.9 I rekan er vinkel re. Vinkel er 39,5, og längden af er 4,. a) Tegn en skise af rekanen, og besem längden af. Opgave 8.0 I rekan QRS er S 90, QR 6 og QS 5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem Q. Opgave 8. I en revinkle rekan er vinkel re, längden af siden c er 8, 5, og vinkel er,3. a) Tegn en skise af rekan, og besem längden af siden b. Opgave 8. 69,0,0 Figuren viser en rekan hvor vinklen er re. a) esem. Opgave 8.3 I en revinkle rekan er vinkel re, längden af siden er 348 og vinkel er a) Tegn en skise af rekan, og besem längden af hypoenusen. Opgave 8.4 I rekan JKL er L 90, J 49 og KL 4. a) Tegn en skise af rekanen, og besem JK. Opgave 8.5 I rekan MNP er P 90, M 55 og MN. a) Tegn en skise af rekanen, og besem NP. 63,6. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

38 Opgave 8.6 sige mur Figuren viser en sige der når op il oppen af en 3 m héj mur. Sigen danner en vinkel på jordoverfladen. a) esem längden af sigen. Opgave a) eregn siderne p og q i de vise rekaner. 55 med p 49 6, q 54 8,0 Opgave Figuren viser en revinkle rekan. a) esem längden af siden, og besem vinkel. Opgave 8.9 I en revinkle rekan PQR er vinkel Q re, längden af siden p er 5, og längden af siden r er 0. a) Tegn en skise af rekan PQR, og besem vinkel P. Opgave 8.30 I en revinkle rekan PQR er vinkel Q re, längden af siden p er, og vinkel P er a) Tegn en skise af rekan PQR, og besem längden af siden r. Opgave 8.3 I rekan er 90, 3 og 5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem. 55. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

39 Opgave 8.3 I rekan F er F 90, 8 og F. a) Tegn en skise af rekanen, og besem F. Opgave 8.33 I rekan GHI er I 90, GI 4 og HI 0. a) Tegn en skise af rekanen, og besem G. Opgave 8.34 a) eregn vinklerne u og v i de vise rekaner. 4,4 4,3 u 4,6 4, v Opgave 8.35 a) eregn x på den vise figur. 6,0 7,5 x 4 Opgave 8.36 Figuren viser o lodree solper og en skrå lise. Lisen er fasgjor il solperne i punkerne og. Punke er,5 meer over gulve, og punke er, meer over gulve. fsanden mellem solperne er,8 meer. a) esem vinklen v mellem den vensre solpe og den skrå lise. Opgave 8.37 a) eregn areale af den vise figur. 4 35, Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

40 Opgave m 8 m 3 Figuren viser värsnie af e kunsmuseum. TvÄrsnie er en firkan hvor vinkel er re, og diagonalen sår vinkelre på siden. a) esem längden af, og besem vinkel. b) esem längden af. Opgave 8.39 Figuren viser en ribune i värsni. Sangen F holder age. n person har mål de al der sår på figuren. a) esem. b) esem. c) esem F. Opgave 8.40 I en revinkle rekan er vinkel re, längden af siden b er 4, og rekanens areal er 0. a) esem vinkel. Opgave 8.4 Vinklen v er faslag ved figuren. a) esem uden hjälpemidler cosv og an v. Opgave 8.4 I rekanerne og ' ' ' er ' og '. ndvidere er 3 og ' '. I rekan er längden af héjden fra vinkel lig. a) esem areale af rekan ' ' '. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

41 Opgave 8.43 Figuren viser o ensvinklede rekaner og F. Nogle af sidelängderne er give på figuren. a) esem F. Opgave ,5,5,5 Trekanerne og er revinklede og ensvinklede. a) esem. b) esem areale af rekan. c) esem vinkel. Opgave 8.45 a) esem. 65, 3,5 Opgave 8.46 a) esem längden af. b) esem areale af rekan. 5,8 37,3 30,8 Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

42 Opgave 8.47 I rekan er re. PÅ siden ligger e punk. e er oplys a, 0, 3, 8 og 4, 0. a) esem. esem i rekan. 4,0 3,8,0 Opgave 8.48 a) esem vinkel u på den vise figur. b) esem vinkel v på den vise figur. v u Opgave 8.49 PÅ figuren er angive nogle af målene. a) esem längden af. 7,0 3 5 Opgave 8.50 I rekan PQR er R 90, P 33 og PQ, 4. Midpunke af PR hedder T. a) Tegn en skise, og besem T i rekan QRT. Opgave 8.5 I firkan sår diagonalen vinkelre på både og. iagonalen har längden 48, siden har längden 36, og siden har längden 5. a) Tegn en skise af firkanen, og besem vinklerne og. b) esem firkanens omkreds. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul