Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Transkript

1 Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når ) A(,, ) og B(,, ) ) (0,, ) A og (,, 5) B ) (,5, ) A og (,,6) B Opgave Besem en parameerfremsilling for hver af linjerne l og m, når l går gennem punkerne A(,,) og B(,6,), mens m går gennem punke C(,,) og er parallel med a = (,,) Vis, a l og m ikke er parallelle Opgave Undersøg, om linjerne m og m skærer hinanden, er parallelle eller er vindskæve Hvis de skærer hinanden, skal skæringspunkes koordinaer besemmes ) m : 6 8, m : ) m :, m : Opgave Linjerne m og m har parameerfremsillingerne m : (,, ) = ( +, +, ) m : (,, ) = (, +, + ) Undersøg, om linjerne skærer hinanden, er parallelle eller er vindskæve

2 Opgave 5 En plan indeholder punke P(,, 5) og linjen l sår vinkelre på planen Linjen l er give ved, R a) Besem en ligning for planen Opgave 6 Besem en ligning for den plan, der har vekor n som normalvekor og indeholder punke P 0, når ) n, og P 0 (,,) ) n = (,,) og P 0 (,,) ) n = (,0, ) og P 0 (,, ) ) n = (0,0,) og P 0 (,0,0) Gør rede for, hvordan planerne i ) og ) ligger i koordinasseme Opgave Angiv en ligning for planen der indeholder punkerne P, Q og R, når ) P(,0,), Q(,,), R(,,) ) P(,,), Q(5,,0), R(,,) Opgave 8 En vekor er give ved: a k En re linje er give ved:, R 0 k a) Beregn konsanen k således, a linjen er vinkelre på vekor a

3 Opgave 9 Besem afsanden fra punke A il planen α, når ) α: 0 og A(,, 5) ) α: 0 og A(,,6) ) α: og A(,,6) Opgave 0 a) En plan er give ved: 6 Besem koordinasæe il planens skæringspunk med -aksen b) En linje er give ved:, R Beregn koordinasæe il linjens skæringspunk med -planen Opgave I rumme er give en plan α og en linje l Besem skæringspunke mellem planen α og linjen l, når ) l:, R og α: 0 ) l: 0, R 0 og α: 0 Opgave En vekor er give ved: n En linje l er give ved: 5 R og e punk er give ved: P (,,) a) Besem en ligning for den plan, der har vekoren n som normalvekor og som indeholder punke P (,,) b) Beregn den spidse vinkel mellem linjen l og planen

4 Opgave Besem koordinasæe il cenrum C og radius r for de kugler, hvis ligninger er: a) 0 b) Opgave a) En kugle er give ved ligningen: ( ) ( ) 0 Besem koordinasæene il skæringspunkerne med -aksen b) En kugle har cenrum i (,,) og radius 6 Opsil en ligning for kuglen og angiv koordinaerne il kuglens skæringspunker med akserne Opgave 5 En kugle er give ved ligningen: E punk er give ved: P (,0,) ( ) ( ) ( ) 8 a) Vis a punke P er e punk på kuglen b) Besem en ligning for kuglens angenplan i punke P Opgave 6 En kugle er give ved ligningen: ( ) ( ) ( ) 6, og en plan er give ved ligningen: 0 E punk er give ved: A(, k, ), hvor k er en konsan a) Besem konsanen k, således a A bliver e punk på kuglen b) Undersøg om planen er angenplan il kuglen

5 Opgave Der er give o punker P 0 (,,) og Q (,,) sam en vekor r En re linje l indeholder punke P 0 og har vekoren r som reningsvekor a) Beregn afsanden mellem linjen l og punke Q b) Beregn koordinaerne il skæringspunke mellem linjen l og planen Opgave 8 En linje er give ved:, R a) Besem koordinasæe il linjens skæringspunk med -planen b) Beregn afsanden mellem punke P (,,) og linjen c) Besem en parameerfremsilling for linjens projekion på -planen Opgave 9 I rumme er følgende give: En plan : 8 5 0, sam punkerne: A( 0,,), B(,5,) og C (k,,5) a) Besem en parameerfremsilling for den linje l, der er vinkelre på planen og som indeholder punke A b) Besem afsanden mellem punke B og linjen l c) Besem værdierne af alle k således, a den rekan som punkerne A, B og C udspænder, får areale T 50

6 Opgave 0 I rumme er følgende give: E punk A(, 0, ), en plan α med ligningen + + = 0, sam en linje l med parameerfremsillingen R, a) Besem afsanden fra punke A il planen α b) Besem afsanden fra punke A il linjen l c) Besem den spidse vinkel mellem linjen l og planen α d) Besem projekionen af reningsvekoren for linjen l på planen α Opgave I e koordinassem i rumme er planerne og give ved ligningerne : 0, 5 : Desuden er der give en kugle K med cenrum C(,,) og radius r = sam en linje l med parameerfremsilling R l, : a) Besem en ligning for kuglen K b) Afgør med begrundelse om er angenplan il kuglen K c) Besem en ligning for den plan, som indeholder linjen l og punke P(,, )

7 Faci Opgave ) eller ) 8 eller 8 ) 8 5 eller 8 6 _ Opgave L : 5 0 5, m:, for a vis a l og m er ikke parallelle, man skal find krdsproduk mellem l og m, hvis krdsproduk 0 så l og m er ikke parallelle Opgave ) Linjerne skærer hinanden i 8 ) Linjerne er vindskæve Opgave a) Vindskæve

8 Opgave 5 a) α: 0 0 Opgave 6 ) α: 0 ) α: 0 ) α: 0 ) α: 0 Opgave ) α: 0 ) α: 0 Opgave 8 a) k = Opgave 9 ) dis(a, α) = 6 ) dis(a, α) = 9 6 Opgave 0 ) dis(a, α) = 0 a) P (0,0, ( )) b) P( 6,,0) Opgave ) P(,,) ) P(,,) Opgave

9 a) α: 9 0 b),0 _ Opgave a) C(,,0) og r = b) C(,,0) og r = 6 Opgave a) (,0,0) og (5,0,0) b) aksen: ( +,0,0) og (,0,0) aksen(0,,0) og (0,,0) aksen: (0,0, + ) og (0,0, ) Opgave 5 b) α: 6 0 Opgave 6 a) L = {,9} b) Hin: Afsand mellem e punk og en plan Opgave a) dis(q, l), b) P(,,0) Opgave 8 a) P(5,8,0) b) dis(p, l) 9 c) 0 Opgave 9

10 0 8 a) l: 5 b) dis(p, l),9 c) L = {, 5 } Opgave 0 a) dis(a, α) 9 9 c) θ d) Opgave b) dis(a, l) a) ( + ) + ( ) + ( ) = 6 b) β er ikke en angenplan il kuglen K Hin: Afsand mellem e punk og en plan c) 0