Lidt om trigonometriske funktioner

Transkript

1 DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved hjælp af revinklede rekaner. Vi har brug fr mere generelle definiiner, således, a de rignmeriske funkiner cs g sin bliver definere fr alle reelle al. Her er én måde a gøre de på: Lad være en cirkel med radius g med cenrum i begyndelsespunke af e (sædvanlig) revinkle krdinasysem. Lad være punke med krdinaerne 0. Fr ehver reel al er de punk på, der har afsanden fra - mål langs i rening md ure, hvis 0 g med ure, hvis 0. Vi vil (sm sædvanlig) benye buelængden på sm e mål fr sørrelsen af vinklen (se egningen il højre), sm er radian. E ande vinkelmål er grader. Sammenhængen mellem radianmåle g gradmåle er, a radian svarer il 80. Vi vil alid medmindre de eksplici bliver nævn benye radianmåle. π x + y = y π/ π/ (radian) Vi definerer nu csinus g sinus funkinerne fr ehver! på følgende måde: C (cs, sin ) buelængde A (,0) x Fr ehver reel al er cs g sin henhldsvis "$# krdinaen g %$# krdinaen il punke på enhedscirklen (jvf. egningen venfr). cs '(" -krdinaen il ) sin *(% -krdinaen il,+ () å grund af denne definiin kaldes csinus g sinus funkinerne fe fr cirkulære funkiner. vennævne definiin gør de gså le a udlede en lang række af egenskaber ved disse funkiner. Eksempel Værdimængden fr såvel csinus sm sinus funkinen er inervalle [# ], d. v. s. fr ehver gælder de, a # - cs - g # - sin - +. Eksempel gælder de, a Funkinerne csinus g sinus er peridiske med periden, d. v. s. fr ehver. 5 cs 0/ cs g sin 0/ ' sin3+ 4 Vi vil alid beegne mængden af reelle al med

2 ; < > = N MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER Endvidere får man direke ud fra definiinen af csinus g sinus følgende velkende frmel, der gælder fr ehver : cs :/ sin * 9 () Nu kmmer de mege vigige frmler fr sinus g csinus addiinsfrmlerne ved hjælp af hvilke man er i sand il a besemme csinus g sinus fr en sum eller differens af vinkler ud fra csinus g sinus il disse /AB '? cs csc#? sin sin /AB '? sin cs0/? cs sin #DB '? cs cs0/? sin sin sin #DB '? sin csc#? cs sin (3) Lad s vise den redie af disse frmler (de øvrige re fås derefer le ud fra denne): Lad? g være reelle al g lad E,, E@FG g krdinaer er E : cs? sin? H : cs 3 sin B IH E@FJ : S y være de punker på enhedscirklen, hvis #DB I sin K? #LM B IH : 0 + s s s Q x + y = s R A Q x

3 l k k l k n MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER 3 De vinkler T Ü V E g T V E@FJ? er begge lig med #W radian, hvrfr! X EY ) Z[ E@FG [\. Udrykker vi kvadraerne på disse afsande i krdinaer, får vi? cs # csm /? sin # sinm K? cs #DB '# / K? sin #DB I eller cs? #? cs cs]/ cs ^/? sin #? sin sin0/ sin K? cs #DM cs #LM 0/ sin #DM + Udnyer vi derefer, a cs "_/ sin "` fr ehver "W, får vi #DM * cs? cs0/ sin? sin3+ Ersaer vi i denne frmel med # g udnyer, a cs #B ' cs g sin #M 'a# sin, får vi den førse frmlerne i rammen (3): /AM * cs? csc# sin? sin3+ De sidse frmler i (3) vises ved a udnye (beny egningen på side ), a /cb I sin K? /cb # sin? cs? g de lige vise frmler, f. eks. sin K? /dm *Z# / /LM *e# csk? / csf/ sink? / sin* sin? csf/ cs? sini+ Addiinsfrmlerne kan anvendes il løsning af visse rignmeriske ligninger, nemlig ligninger af frmen hvr, g g cs ^/hg sin * er kende reelle al med /hg j 0. Meden går ud på, a man knsaerer, a vekren med krdinaerne enhedsvekr g derfr kan den skrives på frmen g /hg /(g cs 0 sin 0 I mgn er en fr e eller ande 0 p, sm kan besemmes (sm regel valg i inervalle [0 ]). kan efer divisin med /qg skrives på frmen cs0/ g /qg sin* /(g /hg g derfr med anvendelse a de lige vise på frmen eller cs 0 cs^/ sin 0 sin* /hg cs C#D 0 ' + /hg 4 Hvis r g s er punker i planen, så beegner vi her afsanden fra r il s med urs

4 ~ ; < = > MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER 4 Nu finder man samlige løsninger il denne ligning hvis den i de hele age har løsninger g har dermed funde samlige løsninger Hvis v /wg er der ingen løsninger il ligningen Ki g hvis -x /wg uendelig mange løsninger (hvrfr?). Eksempel 3 Besem samlige løsninger il ligningen 3 cs0/ sin + l Vi gennemfører prceduren beskreve venfr g bemærker, a ligningen kan mfrmes il den dermed ækvivalene ligning 3! 3 cs]/ sin' cs C# ' b6 d. v. s. a '# b6 (y b 4 er 3 ' / z*, hvrfr mængden af løsninger il ligningen 3 cs0/ sin' cs b6 sin b6, hvrfr 5 b / z * # / z* b hvr zl 0 Iy Iy {++I+ +. Udfra addiinsfrmlerne kan man iøvrig le få e par andre nyige frmler (sæ? q i de førse frmler i (3)): } cs * cs '# sin sin ' cs sin (4) g fra den førse af disse kan man ved bl. a. a udnye () få: cs ' sin * / cs # cs (5) Frmlerne i (5) udnyes mege fe i frbindelse med udregning af inegraler, men gså i andre sammenhænge. Fr a vise, a funkinerne cs g sin er differeniable funkiner med cs e# sin g sin cs 3 skal man frøvrig bruge addiinesfrmlerne (3) (se pgaverne 3 g især 4 på side 6). 34 T ligninger er ævivalene, hvis de har den samme løsningsmængde.

5 ; < Œ = > Œ MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER 5 Funkinen an Tangensfunkinen an defineres fe sm an sin cs 0, d. v. s. angensfunkinen er ikke definere fr fr de ƒ, fr hvilke cs j / z* M, hvr z kan anage vær- V dierne 0 Iy Iy {+++. Derudfra kan angensfunkinens egenskaber afledes. De lønner sig imidlerid a kigge lid nærmere på egningen på side, men da der skal freages en del ændringer på egningen, så ager vi den med igen (nainerne er iøvrig de samme sm på egningen på side ). Da punke har krdinaerne csi sinm vil linjen gennem g skære linjen parallel med % -aksen gennem punke med krdinaerne 0 i punke med krdinaerne anm. π ˆ x + y = Šy Œ π / s Œ π/ Œ (,an ) (cs, sin ) A (,0) x Œ (,an s) å egningen venfr il højre er dee illusrere ved punker é svarende il værdien g é svarende il værdien?. Der findes gså addiinsfrmler fr funkinen an, men disse udledes lees ud fra addiinsfrmlerne (3) g de gælder selvfølgelig kun der hvr de indgående udryk har en mening (er definere). /AB ' #DB '? an / an #?? an an an # an /? an an (6) Bevise fr frmlerne (6) er le: /AM ' sin K? /ŽM /AM g ilsvarende fr den anden frmel. sin? cs^/ cs? sin cs? cs'# sin? sin an? / an # an? an Fr en gd rdens skyld skal de lige nævnes, a funkinen an er differeniabel i si definiinsmråde med an cs / an 3+ Vi får i frbindelse med mvende rignmeriske funkiner brug fr både egningen på side g øvers på denne side.

6 MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER 6 pgaver:. Besem samlige løsninger (eksak!) il følgende ligninger: a) sin " sin" b) cs " cs " c) sin" / 3 cs" 0 d) cs " # 3 cs" / 0. I kender (frhåbenlig!?) de eksake værdier fr cs b3, sin b 3, cs b 4, sin b 4, cs b 6 g sin b 6. a. Besem de eksake værdier af cs b g sin b ved a benye addiinsfrmlerne (3) (udny a b b 3 # b 4 ). b. Besem ved a benye frmlerne (5) de eksake værdier af cs b g sin b b6 b ). Sammenlign resulaerne fra a. g b. Er der nge gal? 3. Beny egningen på side il a argumenere fr, a lim ü sin' 0 4! g lim 0 ü cs* 4! + 0 (udny, a areale af rekan mindre end eller lig med 4. å egningen på side 5 er fr I b areale af cirkeludsnie \, sm igen er mindre end eller lig med areale a rekanen V, hvr er punke med krdinaerne anm. a. Udny dee il a vise, a cs sin b. Slu heraf udny ev. pgave 3 a - fr 0 q I sin lim ü 0 4! + c. Udny derefer den nederse a frmlerne i (5) il a slue, a lim 0 # cs 0 4! + d. Vis, a funkinerne cs g sin er differeniable fr ehver med cs Z# sin sin g cs 3+ Svar:.a) š0œ' hvr š 0Ÿž Ÿž,.b) š0œ' hvr š 0Ÿž Ÿž,.c) b3 š0œ* hvr š` 0Ÿž Ÿž,.d) š0œ' hvr š` 0Ÿž Ÿž. + Den. sepember 000 / NW 44 lim * G ^ªu«@ beyder de samme sm ^ª±«@ ³²w fr «³²µ (alså, a 0ªu«@ går md, når «går md ).