Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Formål Formålet med de gennemførte forsøg er at anvende og sammenligne 3 metoder til bestemmelse af bndforskydningsspændingen i strømningsrenden. Desden er formålet, at bestemme en værdi for den ækvivalente sandrhed i strømningsrenden for anvendelse i den senere modellering af de målte hastighedsprofiler. På Figr 1 ses en skitse af strømningsrenden. Figr 1 Skitse af strømningsrenden. Udførelse Der er målt hastighedsprofiler ved 3 forskellige strømningshastigheder. Profilerne er målt 7 cm fra den ene væg i strømningsrenden. Hastighedsprofilerne er anvendt til bestemmelse af bndforskydningsspændingen i strømningsrenden. Til bestemmelsen af bndforskydningsspændingen er der anvendt 3 forskellige metoder. I det følgende er dførelsen af disse 3 metoder gennemgået. Teorien bag metoderne er gennemgået i det efterfølgende afsnit. Kraftbalancemetoden Med kraftbalancen er forskydningsspændingen bestemt d fra energiliniens gradient og den hydraliske diameter. Energiliniens gradient er bestemt ved måling af vandspejlshøjden i to pnkter med en afstand på cirka 1 m. Den hydraliske diameter er bestemt ved måling af vandspejlshøjden og bredden af renden. Friktionshastighedsmetoden Ved anvendelse af denne metode er forskydningsspændingen bestemt af friktionshastigheden, som er beregnet af Nikrads ligning for strømning over r flade. For at beregne friktionshastigheden er der, ved hjælp af en laser gennemført målinger af hastighedsprofilet. Måling med laseren ses på Figr. 1
Figr Måling af hastighedsprofil med laser. Inden laseren er anvendt til måling af hastigheden i renden, er fokal længden indstillet. Denne indstilling er nødvendig, da der måles gennem 3 medier: lft, glas og vand. En egentlig formel til bestemmelsen af fokal længden har ikke været i hænde, derfor er fokal længden bestemt ved kalibrering. Kalibreringen er foregået ved, at hastigheden i et pnkt er bestemt med en propel, som det ses på Figr. Hastigheden er målt i det samme pnkt med laseren, efter fokal længden er kalibreret på plads, så hastigheden målt med propellen og laseren stemmer overens. Ved måling med laseren er der målt i 30 seknders intervaller. Det betyder, at der til hver hastighedsbestemmelse er foretaget 10.000 enkelte målinger, af det endelige resltat er middelværdien af disse målinger. Udover hastigheden er RMS-værdien også angivet. RMS-værdien er beregnet som spredningen af de 10.000 enkelte målinger. For yderligere information om laseren og teorien bag måling med den se: http://.dantecdynamics.com/lda/system/ Flktationsmetoden Ved denne metode er forskydningsspændingerne bestemt d fra Reynolds spændingerne. Disse er bestemt af RMS-værdier beregnet ved hjælp af laseren, som er drejet henholdsvis 45 og 135 grader i forhold til strømningsretningen. Teori I det følgende er teorien bag de 3 metoder gennemgået. Resltaterne af de 3 metoder er gennemgået i det efterfølgende afsnit. Kraftbalancemetoden Med metoden er forskydningsspændingen bestemt d fra kraftbalancen. Strømningen i renden er stationær og ensformig, med smmen af kræfter i projektion på strømningsretningen er lig 0. I nedenstående ligning er forskydningsspændingen sat lig tyngdekraftens påvirkning [Petersen, 1996]. τ 1 4 γ D I (1) τ er forskydningsspændingen [N/m ] γ er den specifikke tyngde [N/m 3 ] D er hydralisk diameter [m]
I er energiliniens gradient [m/m] Forskydningsspændingen, som er beregnet med kraftbalancemetoden, er en sm af glasvæggenes og bndens forskydningsspænding. Friktionshastighedsmetoden Ved anvendelse af denne metode er forskydningsspændingen bestemt af friktionshastigheden d fra nedenstående ligning [Petersen, 1996]. τ ρ U F () τ er forskydningsspændingen [N/m ] ρ er densiteten for vand [ kg/m 3 ] U F er friktionshastigheden [m/s] For at bestemme friktionshastigheden er Nikrads ligning for beskrivelse af hastighedsprofilet ved strømning over r flade anvendt, se nedenstående [Petersen, 1996]. y U U.46 ln U 8.6 (3) F k F U er hastigheden [m/s] k er den ækvivalente rhed [m] y er højden fra nlpnktet [m] Nlpnktet for højden, i målingerne med laseren er foretaget, er sat til ndersiden sandkornene. Nlpnktet for Nikrads ligning er i dybden k/33 nder oversiden af sandkornene. Det har derfor været nødvendigt, at korrigere målehøjderne. Korrigeringen er foretaget med nedenstående ligning. ( k k ) y h (4) 33 h er målehøjden [m] I ligningen er friktionshastigheden og den ækvivalente rhed kendte faktorer. Disse faktorer er bestemt ved at anvende Ecel s Problemløser til at finde minimm RMSE-værdien mellem de målte og beregnede hastigheder i forhold til højden. Nikrads ligning for beskrivelse af hastighedsprofilet ved strømning over r flade er kn gældende, når Karmans tal er større end 10 og i højden over det viskose væglag. For at ndersøge om ligningen er anvendelig til beskrivelse af de aktelle hastighedsprofiler, er Karmans tal beregnet af nedenstående ligning [Petersen, 1996]. k g D I Ka 0. 15 (5) ν 3
Ka er Karmans tal [-] g er tyngdeaccelerationen [m/s ] ν er den kinematiske viskositet [m /s] For at ndersøge om målingerne er foretaget over det viskose væglag og dermed er anvendelige i bestemmelsen af den ækvivalente sandrhed og friktionshastigheden, er tykkelsen på det viskose væglag beregnet af ligning 6 [Brorsen, 003]. 11.7 ν δ U F (6) δ er tykkelsen på det viskose væglag [m] Flktationsmetoden Med metoden er forskydningsspændingerne sat lig Reynolds spændingerne. Udtrykket for Reynolds spændingerne er angivet i ligning 7 [Brorsen, 003]. τ ρ (7) er middelværdien af prodktet af flktationer i og retningen [m /s ] Bestemmelsen af middelværdien af prodktet af flktationer i og retningen er gennemgået i det følgende. Ved at dreje laseren henholdsvis 45 og 135 grader i forhold til strømningsretningen er hastigheden og spredningen målt i retningerne skitseret på Figr 3. Figr 3 Skitse af måleretninger. RMS-værdierne og spredningen er dermed bestemt af hastighedsmålingerne i henholdsvis ()-retningen og (-)-retningen som nedenstående. (( W U ) ( W U )) i i RMS ( ) (8) N 4
5 ( ) ( ) ( ) ( ) N U W U W RMS i i (9) WU er hastighed i ()-retningen [m/s] er flktation i ()-retningen [m/s] W-U er hastighed i (-)-retningen [m/s] - er flktation i (-)-retningen [m/s] Middelværdien af prodktet af flktationer i og retningen er herefter bestemt som nedenstående [ Brorsen, 1978]. ( ) ( ) > 4 (10) Resltater I dette afsnit er resltaterne af beregningerne af forskydningsspændingerne samt delresltater i beregningerne med de 3 metoder angivet. På Figr 4 ses de 3 hastighedsprofiler, som er målt i de 3 forsøg.
0,5 0,0 Højde [m] 0,15 0,10 0,05 0,00 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 Hastighed [m/s] Figr 4 Hastighedsprofiler for de 3 forsøg. Forsøg 1 Forsøg Forsøg 3 Kraftbalancemetoden Forskydningsspændingen er bestemt ved gennemførelse af 3 forsøg med forskellig hastighed, af resltaterne for middelhastigheden, den hydraliske diameter, energiliniens gradient og forskydningsspændingen er angivet i Tabel 1. Forsøg 1 Forsøg Forsøg 3 U [m/s] 0,178 0,08 0,01 D [m] 0,369 0,37 0,37 I [m/m] 0,00058 0,00071 0,0005 Τ [N/m ] 0,53 0,65 0,47 Tabel 1 Forskydningsspændinger bestemt med metode 1. Det ses af Tabel 1, at den hydraliske diameter har været stort set ændret i de 3 forsøg. Da den specifikke tyngde er konstant, afhænger variationerne i forskydningsspændingerne af variationer i energiliniens gradient. Som tidligere beskrevet er forskydningsspændingerne en middelværdi af glasvæggenes og bndens forskydningsspændinger. Det vil sige, at bndforskydningsspændingen må forventes at være en del større end de beregnede værdier. Friktionshastighedsmetoden Som tidligere beskrevet er konstanterne den ækvivalente rhed og friktionshastigheden beregnet med Ecel s Problemløser. Konstanterne er bestemt gennem 3 forsøg med forskellig hastighed. Resltaterne af de 3 forsøg samt middelhastighederne ses af Tabel. Forsøg 1 Forsøg Forsøg 3 U [m/s] 0,178 0,08 0,01 k [m] 0,0049 0,0050 0,0051 U F [m/s] 0,013 0,016 0,013 Tabel Faktorer til ligning 3. Som det ses af Tabel, varierer faktorerne ikke meget fra forsøg til forsøg. Korrektheden af værdierne for friktionshastigheden er middelbart svære at vrdere, men en typisk værdi for friktionshastighed er 7 % af 6
middelhastigheden [ Petersen, 1996]. Det vil sige, at de beregnede friktionshastigheder er sandsynlige, da de svarer til henholdsvis 7%, 8% og 6% af middelhastigheden. Herdover er det vrderet, at den ækvivalent rhed reelt er på 4-5 mm. Denne vrdering er foretaget d fra 10 målinger gennemført med en skydelære. Dermed stemmer den beregnede og den reelle værdi fint overens. For at ndersøge om Nikrads ligning for strømning over r flade kan anvendes i de 3 forsøg, er Karmans tal for de 3 forsøg beregnet. Resltaterne heraf ses af Tabel 3. Forsøg 1 Forsøg Forsøg 3 Ka [-] 14,7 16,7 14,6 Tabel 3 Karmans tal for de 3 forsøg. Af Karmans tal for de 3 forsøg ses det, at Nikrads ligning for strømning over r flade er gældende for alle tre hastighedsprofiler, da Karmans tal i alle tilfælde er over 10. Resltaterne af ndersøgelsen, om at målingerne er foretaget over det viskose væglag, er angivet i Tabel 4, tykkelsen af det viskose væglag i de 3 forsøg er angivet. Forsøg 1 Forsøg Forsøg 3 δ [m] 0,001 0,001 0,001 Tabel 4 Tykkelsen af det viskose væglag i de 3 forsøg. Af Tabel 4 ses det, at det viskose væglag i alle 3 forsøg er på 1 mm. Den ækvivalente sandrhed er beregnet til 5 mm, det vil sige, at målinger foretaget minimm 6 mm over ndersiden af sandkornene kan anvendes i bestemmelsen af friktionshastigheden og den ækvivalente sandrhed. De målinger med laseren, som er dført nærmest bnden, er dført 15 mm over ndersiden af sandkornene. Det betyder, at det viskose væglag ikke giver problemer ved anvendelsen af målingerne i Nikrads ligning. Nedenstående på Figr 5, Figr 6 og Figr 7 er de målte hastighedsprofiler afbilledet i forhold til de beregnede. Nlpnktet for y-akserne er korrigeret, så det stemmer overens med nlpnktet for ligning 3. 0,5 0,0 Højde [m] 0,15 0,10 0,05 0,00 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 Hastighed [m/s] Målt Beregnet Figr 5 Beregnet og målt hastighedsprofil for forsøg 1. 7
0,5 0,0 Højde [m] 0,15 0,10 0,05 0,00 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 Hastighed [m/s] Målt Beregnet Figr 6 Beregnet og målt hastighedsprofil for forsøg. 0,5 0,0 Højde [m] 0,15 0,10 0,05 0,00 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 Hastighed [m/s] Målt Beregnet Figr 7 Beregnet og målt hastighedsprofil for forsøg 3. Figr 5, Figr 6 og Figr 7 viser, at de målte hastigheder er beskrevet godt med Nikrads ligning for strømning over r flade til en højde på 0,1 m. Over den højde kan ligningen ikke anvendes, da påvirkningen på strømningshastigheden fra rendens sider bliver for stor. Efter at have vist, at Nikrads ligning for strømning over r flade er gældende og beskriver hastighedsprofilet i de 3 forsøg godt, er forskydningsspændingen i de 3 forsøg beregnet med ligning. Resltaterne heraf ses af Tabel 5. Forsøg 1 Forsøg Forsøg 3 ρ [kg/m 3 ] 1000 1000 1000 Τ [N/m ] 0,17 0,4 0,17 Tabel 5 Forskydningsspænding i de 3 forsøg. Resltaterne i Tabel 5 viser, at bndforskydningsspændingerne vokser med stigende hastighed, hvilket er korrekt. Flktationsmetoden Bestemmelsen af forskydningsspændingen med flktationsmetoden er gennemført ved forsøg med forskellige hastigheder. Forsøgene svarer til forsøg og 3 i kraftbalancemetoden og friktionshastighedsmeto- 8
den. RMS-værdien målt 45 og 135 grader i forhold til strømningsretning er angivet i Tabel 6 i forhold til målehøjden. Herdover er den beregnede forskydningsspænding angivet i forhold til målehøjden. Forsøg Middelhastighed Densitet [m/s] [kg/m 3 ] 0,08 1000 3 0,01 1000 Målehøjde [m] RMS RMS - τ [N/m ] [m/s] [m/s] 0,015 0,0455 0,0011-0,4 0,0 0,0401 0,00108-0,13 0,03 0,09 0,00133 0,1 0,04 0,081 0,00141 0,16 0,05 0,061 0,00063-0,01 0,07 0,014 0,00075 0,07 0,10 0,0455 0,0011-0,4 0,015 0,0378 0,0447 0,14 0,0 0,034 0,0406 0,1 0,03 0,0 0,068 0,06 0,04 0,0 0,035 0,14 0,05 0,08 0,071 0,05 0,07 0,03 0,065 0,05 0,10 0,0194 0,063 0,08 Tabel 6 Forskydningsspændinger beregnet med metode 3. I Tabel 6 er den beregnede forskydningsspænding angivet i forhold til målehøjden. På Figr 8 og Figr 9 er forskydningsspænding for henholdsvis forsøg og 3 plottet i forhold til målehøjden af RMS-værdien. 1 10 Højde [cm] 8 6 4 0-0.3-0. -0.1 0 0.1 0. 0.3 Forskydningsspænding [N/m ] Figr 8 Beregnet forskydningsspænding i forhold til målehøjden af RMS-værdien samt tendenslinje for forsøg. Af forskydningsspændingerne på Figr 8 er der optegnet en tendenslinje. Tendenslinjen er kn optegnet efter de positive forskydningsspændinger, da de negative er realistiske. Linjens skæring med -aksen angiver forskydningsspændingen ved bnden, som på Figr 8 er på 0,1 N/m. 9
1 10 Højde [cm] 8 6 4 0-0.3-0. -0.1 0.0 0.1 0. 0.3 Forskydningsspænding [N/m ] Figr 9 Beregnet forskydningsspænding i forhold til målehøjden af RMS-værdien samt tendenslinje for forsøg 3. Ud fra forskydningsspændingerne er der på Figr 9, som der også er på Figr 8, optegnet en tendenslinje. Tendenslinjens skæring med -aksen angiver forskydningsspændingen ved bnden, som på Figr 9 er 0, N/m. Sammenfatning Forskydningsspændingerne bestemt med de 3 metoder er sammenlignelige, da strømningshastighederne ikke er ændret i forhold til bestemmelsesmetoderne men i forhold til forsøgene. I Tabel 7 ses sammenligningen af forskydningsspændingerne. Forsøg 1 [N/m ] Forsøg [N/m ] Forsøg 3 [N/m ] Kraftbalancemetoden 0,53 0,65 0,47 Friktionshastighedsmetoden 0,17 0,4 0,17 Flktationsmetoden - 0,1 0, Afv. min-ma 70 % 68 % 64 % Tabel 7 Sammenligning af forskydningsspændinger. Det ses af Tabel 7, at forskydningsspændingerne bestemt med kraftbalancemetoden generelt er højere, end når de er bestemt med friktionshastighedsmetoden og flktationsmetoden. Afvigelsen mellem minimm og maksimm værdierne for forskydningsspændingerne er på henholdsvis 70, 68 og 64 % i de 3 forsøg. Kraftbalancemetoden til bestemmelse af forskydningsspændingerne er den hrtigste at gennemføre, da den stort set kn kræver bestemmelse af energiliniens gradient. De to øvrige metoder kræver mere måle- og regnearbejde. Ved benyttelse af kraftbalancemetoden i dette tilfælde, er det antaget, at strømningsrenden er i vatter. Hvis renden ikke er i vatter får det betydning for energiliniens gradient, med forskydningsspændingen bliver forkert. En forklaring på, at forskydningsspændingen, bestemt med kraftbalancemetoden, afviger så meget fra de øvrige metoder, kan være, at renden ikke har været helt i vatter. Af de 3 anvendte metoder til bestemmelsen forskydningsspændingen er det vrderet, at friktionshastighedsmetoden er den mest korrekte. Vrderingen er foretaget d fra, at Nikrads ligning for strømning over r flade beskriver hastighedsprofilerne godt i alle tre forsøg med korrelationskoefficienter på henholdsvis 0,989, 0,985 og 0,990. Dermed må værdierne for den ækvivalente sandrhed og friktionshastighederne være korrekte, med forskydningsspændingerne også bliver korrekte, da de er beregnet af friktionshastighederne. Friktionshastighederne er påvirket af både friktion med bnden og siderne i renden, derfor kan forskydningsspændingerne ikke ses som egentlige bndforskydningsspændinger. 10
En del af formålet med forsøgene er at bestemme den ækvivalente sandrhed for senere anvendelse i modelleringen af hastighedsprofilerne. De beregnede sandrheder er angivet i Tabel 8. Forsøg 1 Forsøg Forsøg 3 k [m] 0,0049 0,0050 0,0051 Tabel 8 Beregnede ækvivalente sandrheder. Af værdierne i Tabel 8 ses det, at der ikke er store afvigelser for bestemmelsen, hvilket indikerer, at sandrheden er godt bestemt. Flktationsmetoden er vrderet til at være meget sikker, da korrelationen mellem de beregnede forskydningsspændinger og tendenslinjerne er meget dårlige. Korrelationen for forsøg og 3 er på henholdsvis 0,75 og 0,51. Det betyder, at skæringen med -aksen, som angiver forskydningsspændingen ved bnden, bliver meget sikkert bestemt. Igen kan forskydningsspændingerne ved bnden ikke ses om egentlige bndforskydningsspændinger, da forskydningsspændingerne, som tendenslinjerne er optegnet efter, er påvirket af både bnden og siderne i renden. Der er gennemført en modellering af hastighedsprofilerne for forsøg 1 og med DHI s MIKE 3. I modelleringerne er den ækvivalente rhed for bnden på trods af den forholdsvis sikre bestemmelse anvendt som kalibreringsfaktorer. 11