Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning
Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software: SPSS I kan hente en CD hos
Flyskræk! Passer overskriften? Politiken 6/12-07 Er du tryg ved at flyve? Ja: 86% i 2005 83% i 2007 Er der virkelig sket en ændring eller kunne det lige så godt være tilfældigt? Svaret kommer til sidst i kurset ;-)
BMI blandt mænd og kvinder (i Kbh) BMI = vægt/højde 2 Er der en signifikant forskel i middel BMI for mænd og kvinder?
Deskriptiv versus inferential statistik Deskriptiv statistik: Metoder til at organisere og præsentere data på en informativ måde. 40 30 KARAKTER Inferential statistik Metoder til at konkludere noget ud fra data. Eksempel: Hvad er middel-længden af en hugorm? Er den større en 50? 20 Frequency 10 0 0 3 5 6 7 8 9 10 11 13 KARAKTER
Nogle definitioner Population: Mængden af alle individer vi er interesserede i. fx alle virksomheder i DK Parameter: Et deskriptivt mål for populationen (for eksempel middelværdi og varians). fx gennemsnits antal ansatte Sample/stikprøve: Mængde af data taget fra en delmængde af populationen fx 10 tilfældigt udvalgte virksomheder Statistik: Et deskriptivt mål for stikprøven. fx gennemsnits antal ansatte blandt de 10. Variabel: En karakteristik af populationen eller stikprøven fx antal ansatte, omsætning, region, type
Diskrete og kontinuerte data Diskrete data Kontinuerte data Katagoriske data, for eksempel: Hvilken øjenfarve? 1. Brun 2. Blå 3. Grøn 4. Grå Data, der er reelle tal, eks: Højde Vægt Temperatur Hastighed Osv...
Data hierarki Interval skala fx. højde. Data kan placeres på en skala, hvor man kan sammenligne afstande mellem data punkter. Kan også behandles som ordinale eller nominale data Ordinal skala fx. løngruppe (lav, middel, høj) Data kan ordnes på en skala. Beregninger kan baseres på ordningen. Kan opfattes som nominale data. Nominal skala fx. farve (rød,grøn,blå) Kun beregninger baseret på antal obs. i hver kategori må udføres. Kan ikke opfattes som ordnede eller interval data.
Percentiler og kvartiler Den P te percentil af en mængde data punkter, er den værdi hvor P % af dataene ligger under. Positionen af den P te percentil er givet ved (n+1)p/100, hvor n er antallet af data punkter. Kvartiler er de procent point, der inddeler data i kvarte. 1. kvartil er 25 percentilen. Under denne ligger 25 % af data. 2. kvartil er 50 percentilen. Under denne ligger 50 % af data. Kaldes også medianen. 3. kvartil er 75 percentilen. Under denne ligger 75 % af data. Den interkvartile range defineres som afstanden mellem den første og den tredje kvartil.
Ordinale data - karakterer Karakter Valid 0 3 5 6 7 8 9 10 11 13 Total Cumulative Frequency Percent Valid Percent Percent 14 10,9 10,9 10,9 36 28,1 28,1 39,1 9 7,0 7,0 46,1 9 7,0 7,0 53,1 10 7,8 7,8 60,9 9 7,0 7,0 68,0 11 8,6 8,6 76,6 14 10,9 10,9 87,5 11 8,6 8,6 96,1 5 3,9 3,9 100,0 128 100,0 100,0
Central lokation i stikprøve Stikprøvens størrelse: n Gennemsnit: 1 n x = x i Interval data n i= 1 Median: Den midterste observation Interval og ordinal Mode: Den observation, der forekommer med størst frekvens Interval, ordinal og nominal Statistics KARAKTER N Valid Missing Mean Median Mode 128 0 6,05 6,00 3 Frekvens = antal gange en observation forekommer SPSS: Analyze Descriptive Statistics Frequencies
Variation (interval data) Range: største mindste observation Stikprøve varians s 2 = n i= 1 ( x i n 1 x) 2 = n i= 1 x 2 i n x i= 1 n 1 i 2 / n Standard afvigelse s = 2 s Bemærk: n-1 og ikke n. KARAKTER N Std. Deviation Variance Statistics Valid Missing 128 0 3,686 13,588
Populations parametre Deskriptive mål for populationen Populationens størrelse: Populations middelværdi: N N = x i μ = 1 N i Populations varians: Populations spredning: N = ( x i i μ) 2 1 σ = N σ = 2 σ 2 Bemærk: N og ikke N-1.
Grafik præsentation: Histogram Antal $ brugt af 184 kunder i en butik. 31 kunder brugte for mellem 350$ og 450 $ SPSS: Graphics
Box Plot Et Box Plots Anatomi Et Box Plots Anatomi Ekstrem Smallest data point not below inner fence Largest data point not exceeding inner fence Outlier * X X o Outer Fence Inner Fence Q Median 1 Q 3 Inner Fence Outer Fence Q 1-1.5(IQR) Q 1-3(IQR) Interquartile Range (IQR) 50% af data Q 3 +1.5(IQR) Q 3 +3(IQR)
Box Plots for BMI
Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten af en usikker begivenhed. En sandsynlighed er et reelt tal mellem 0 og 1. 0 = sker aldrig 1 = sker altid Ex: Sandsynligheden for regn i morgen er 0,5 Ex: Sandsynligheden for at få 7 rigtige i lotto er 0,000000001 I modsætning til deterministiske hændelser: Det er juleaften den 24. december I morgen står solen op kl. 8.04 Forskellige statistiske retninger: Klassisk Frekventistisk (jeres, fortrinsvist) Subjektiv (Bayesiansk) Den klassiske sandsynlighedsteori blev udviklet i 1600 tallet inspireret af Casino spil!
Lidt om mængder En mængde er en samling af elementer Eksempel: A={1,2,3,4} eller A={plat, krone} Den tomme mængde A=Ø, indeholder ingen elementer Den universelle mængde S, indeholder alle elementer Komplementet af en mængde A, er mængden Ā, der indeholder alle elementer i S, der ikke er i A. Eksempel: S={1,2,3,4,5,6} og A={1,4,6}. Så er Ā={2,3,5} Venn Diagram A 1, 4, 6 Ā 2,3,5 S
Mere om mængder Fællesmængden af A og B, A B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i både A og B A={1,2,3} B={3,4,5} A B={3} A A B 1, 2 3 4, 5 Foreningsmængden af A og B, A U B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i A eller B eller begge S B 6 S A={1,2,3} B={3,4,5} A U B={1,2,3,4,5} A 1, 2 3 4, 5 B 6 A U B
Den tomme mængde To mængder er disjunkte, hvis fællesmængden A B=Ø A={1,2,3} B={4,5} A B={Ø} A 1, 2, 3 4, 5 6 B S
Mere om sandsynlighed Eksperiment: Handling, der leder frem til et af flere mulige udfald Fx. Kast med en terning eller Vælg 10 tilfældige virksomheder. Udfald: Observation eller måling Fx: Antal øjne på en terning eller 10 navngivne virksomheder.
Mere om sandsynlighed Udfaldsrum: En liste af mulige udfald af eksperimentet, lig med den universelle mængde S={o1,o2,,ok} Udfaldene skal være udtømmende Eksempler: Terningkast: S={1,2,3,4,5,6} S={1,2,3,4,5} duer ikke! Møntkast: S={plat, krone} S={plat} duer ikke Udfaldene skal være disjunkte O i er i te udfald af k mulige. Terningkast S={1,2,3,4,5,6} S={1-2,2-3,3-4,4-5,5-6} dur ikke!
Hændelser En simpel hændelse er et udfald i udfaldsrummet Eksempel: Terningkast en 6 er er en simpel hændelse En hændelse er en mængde af en eller flere simple hændelser i et udfaldsrummet Eksempel: Terningkast A={2,3,4} er en hændelse Sandsynligheden for en hændelse, A, betegnes P(A) P(A) er summen af sandsynlighederne for de simple hændelser i A Eksempel: P(A)=P(2)+P(3)+P(4)=1/6+1/6+1/6=3/6
Hændelser Antag at alle simple hændelser forekommer med lige stor sandsynlighed. Da er sandsynligheden for en hændelse A givet ved: P( A) = n( A) n( S) n( A) = antal elementer i A n(s) = antal elementer i S Eksempel: Terningkast lige sandsynlighed for alle udfald. Lad A={1,2,4} n(a) = 3 n(s) = 6 P(A) = 3/6 = 0.5
Regler for sandsynlighed Givet et udfaldsrum S={o1,o2,,ok} da skal sandsynlighederne opfylde: 1) 0 P(o ) 1 for alle i 2) k i= 1 P(o i i ) = 1 og dermed også 0 P(A) 1, for enhver hændelse A Eksempel: Terningkast lige sandsynlighed for alle udfald: S = {1,2,3,4,5,6} P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 6 P(o ) = 1 6 + 1 6 i i= 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 = 1 1 6
Flere regler Sandsynligheden for Ā: P(Ā)=1-P(A) Sandsynligheden for Ø: P(Ø)=0 Sandsynligheden for S: P(S)=1 Fællesmængden for hændelserne A og B, A B, er hændelsen, der forekommer, når både A og B forekommer Sandsynligheden for A B, P(A B), kaldes den simultane sandsynlighed (joint probability)
Betinget sandsynlighed Den betingede sandsynlighed P(A B) er sandsynligheden for hændelsen A, givet at vi ved at hændelsen B allerede er indtruffet: P(A B) = P(A IB) P(B) og P(B A) = P(B I A) P(A) eller ligeledes P(A IB) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A)
Eksempel (Kontingenstabel) Frekvenser AT& T IBM Total Telecommunication 40 10 50 Computers 20 30 50 Total 60 40 100 Sandsynligheder AT& T IBM Total Telecommunication.40.10.50 Computers.20.30.50 Sandsynligheden for at et projekt udføres af IBM givet at det er et telekommunikationsprojekt: P ( IBM T ) = = P ( IBM 0.10 0.50 P ( T = I ) 0.2 T ) Total.60.40 1.00
Additionsreglen Sandsynligheden for foreningen mellem to mængder A og B, A U B, er givet som: P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) Hvis A og B er disjunkte hændelser, er P(A B) = 0 og dermed: P(A U B) = P(A) + P(B) Eksempel: Sansynlighed for at et projekt er IBM eller Telekom: P(IBM U T) = P(IBM) + P(T) - P(IBM I = 0,40 + 0,50 0,10 = 0,80 T)