Rente, lån og opsparing

Rente, lån og opsparing Simpel rente og sammensat rente... 107 Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing... 109 Serielån... 110 Annuitetslån... 111 Opsparing... 115 Rente, lån og opsparing Side 106

Simpel rente og sammensat rente Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter. Renten oplyses normalt som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno). Pengene står sjældent i netop et år, så renten beregnes efter det præcise antal dage. På terminsdagen lægges den beregnede rente oveni det beløb, der er på kontoen. På indlån er der normalt en årlig terminsdag. Det er ofte 31/12 (til nytå. På udlån er der tit flere terminsdage pr. år. Eksempler på opgaver Der indsættes 10.000 kr. på en konto med årlig på rente på 3%. Hvor meget bliver renten, hvis beløbet står på kontoen - i 2 mdr. fra 30/6 til 31/8? - i 2 mdr. fra 30/11 til 31/1? Årsrenten bliver 3% af 10.000 kr. = 300 kr. Perioden er på 62 dage (tæl selv efte, 62 så renten bliver af årsrenten. 365 62 Man får 300 = 50,96 kr. 365 10.000 3 62 I en beregning skrives = 50, 96kr. 100 365 Ofte er det præcist nok at tælle måneder. 2 Så får man 300 = 50,00 kr. 12 Fra 30/11 til 31/12 er der 31 dage. 31 Renten bliver 300 = 25,48 kr., som lægges 365 til de 10.000 kr., fordi 31/12 er terminsdag. Efter 31/12 skal renten beregnes af 10.025,48 kr. Årsrenten bliver 3% af 10.025,48kr. = 300,76 kr. Fra 31/12 til 31/1 er igen 31 dage, og renten bliver 31 300, 76 = 25,54 kr. 365 Den samlede rente er 25,48 + 25,54 = 51,02 kr. I eksemplet ovenfor til venstre taler man om simpel rente. Beregningen er vist på flere måder, men der er bl.a. brugt denne formel: K r d R = 100 365 R = beregnet rente i kr. K = kapital i kr. r = renten pr. år i procent d = antal dage (kaldet rentedage) I eksemplet ovenfor til venstre bliver den præcise rente 50,96 kr. I eksemplet til højre er den præcise rente 6 øre højere, selv om beløbet på 300 kr., står lige lang tid på kontoen. Forskellen skyldes at pengene står hen over en terminsdag. De ekstra 6 øre, der beregnes for januar måned, er renterne af den rente, der blev tilskrevet på terminsdagen 31/12. Beløbet kaldes for rentes rente. Hvis en kapital forrentes i flere år, og renten er høj, kan rentes rente betyde en hel del. Rente, lån og opsparing Side 107

Hvis et beløb forrentes over flere hele rente-tilskrivnings-perioder (termine, bruger man sammensat rentesregning. En rente-tilskrivnings-periode er ofte et kalenderår, men det kan også være en måned, et kvartal eller et halvt år. Eksempler på opgaver Et år til nytår indsættes 5.000 kr. på en konto med en årlig rente på 4%. Hvor meget står der på kontoen (med rente) - efter præcis et år? - efter 3 år? Der skal lægges 4% til. Det gøres lettest ved at gange med 1,04. Man får 5.000 1, 04 = 5.200 kr. Der skal lægges 4% til tre gange. Det gøres lettest ved at gange med 1,04 tre gange. Man får 5.000 1,04 1,04 1, 04 = 5.624,32 kr. Heraf må renten udgøre 624,32 kr. I en beregning skrives 3 5.000 1,04 = 5.624,32 kr. I eksemplet ovenfor til højre er brugt denne formel (ofte kaldet vækst-formlen): K + n n = K 0 (1 K n = kapital efter n rente-tilskrivninger K 0 = startkapital. r = renten som decimaltal n = antal rentetilskrivnninger Eksempler på opgaver Et år til nytår optages et lån på 20.000 kr. til en årlig rente på 10%. Lånet skal betales tilbage (med rente på en gang efter 5 år. Hvor meget skal der betales tilbage, hvis der er - helårlig rentetilskrivning? - kvartårlig rentetilskrivning? Man får ved at bruge formlen ovenfor, at K 5 10 5 = 20.000 1, = 32.210 kr. Der er reelt lagt 61% til fordi 1,10 5 1, 61 Den kvartårlige rentetilskrivning betyder, at der hvert kvartal skal lægges 10 % : 4 = 2,5% til. Der er 5 4 = 20 kvartaler, så i alt fås: 20 K 20 = 20.000 1, 025 = 32.772 kr. I eksemplet overfor til højre ganges hvert år med 1,025 4 1, 1038. Derfor lægges der reelt 10,38% til hvert år. Dette tal kaldes den nominelle rente, mens 10% er den pålydende rente. Rente, lån og opsparing Side 108

Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing Når man låner penge skal man normalt betale renter og afdrag hver termin. En termin er en periode på f.eks. en måned et kvartal eller et år. Den periode, det tager at betale lånet tilbage, kaldes lånets løbetid. Det beløb, man i alt låner, kaldes lånets hovedstol. Et afdrag er det beløb, som man i en bestemt termin reelt betaler af på lånet. Det beløb, som man mangler at betale tilbage, kaldes restgæld. Renten i en termin er en bestemt procentdel af restgælden. Renten er betaling for at låne penge. Summen af renter og afdrag i en termin kaldes ydelse. Når man betaler renter får man et skattefradrag og skal derfor betale mindre i skat. Hele ydelsen kaldes bruttoydelsen. Nettoydelsen er ydelsen minus det beløb, man sparer i skat Når man sparer op får man renter hver termin, men renten på opsparing er lavere end renten på lån. Det er på den måde, at bankerne tjener penge. Der findes mange forskellige former for lån, og man kan låne penge mange andre steder end i banken. Hvis man låner penge til køb af et hus eller en ejerlejlighed, så låner man de fleste af pengene i en kreditforening. Hvis man køber noget på afbetaling, så optager man reelt et lån. Det sker ofte i et finansieringsselskab. Du kan læse mere om de forskellige slags lån andre steder. Der er ret stor forskel på renten på forskellige lån. Det er mange gange let at få et lån hos et finansieringsselskab, men til gengæld er renten høj. Det kan være sværere at få banklån og kreditforeningslån, men her er renten ofte lidt lavere. Hvis dem, der låner pengene ud, kan føle sig sikre på at få deres pengene tilbage, så er renten lavere end, hvis der er en risiko for, at pengene ikke bliver betalt tilbage. Det er ofte meget kompliceret at regne på rigtige lån og opsparinger. Derfor er eksemplerne og opgaverne i dette materiale lidt forenklede sammenlignet med mange rigtige lån. Rente, lån og opsparing Side 109

Serielån Ved et serielån betaler man et fast afdrag hver termin. Renten bliver mindre og mindre, fordi restgælden bliver mindre og mindre. Ydelsen bliver ligeledes mindre og mindre Serielån bruges ikke så ofte i praksis, men de er lette at regne på. Et serielån på 50.000 kr. afvikles over 5 år med helårlige terminer og en årlig rente på 10%. Find først det årlige afdrag og første års rente. Opstil også en amortiseringstabel og vis lånets afvikling grafisk. Det årlige afdrag bliver Amortiseringstabellen ser således ud: 50.000 = 10.000 kr. Første års rente bliver 10% af 50.000 = 5.000 kr. 5 Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 50.000 1 5.000 10.000 15.000 40.000 2 4.000 10.000 14.000 30.000 3 3.000 10.000 13.000 20.000 4 2.000 10.000 12.000 10.000 5 1.000 10.000 11.000 0 Termin 0 er ved lånet optagelse, og restgælden er 50.000 kr. det første år. Efter et år (termin 1) betales et afdrag på 10.000 kr. samt 5.000 kr. i rente. Restgælden falder til 40.000 kr. Efter to år (termin 2) betales igen et afdrag på 10.000 kr. Renten er nu 10% af 40.000 = 4.000 kr. Efter fem år er lånet betalt tilbage. Bemærk at summen af afdragene (naturligvis) er 50.000 kr. Summen af renterne er 15.000 kr., og det er en del mere end 10% af 50.000 kr. Grafisk kan lånets afvikling vises på mange måder. Til venstre er vist ydelsernes fordeling på renter (øverst) og afdrag (nederst). Til højre er vist restgælden termin for termin. 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0 1 2 3 4 5 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0 0 1 2 3 4 5 Rente, lån og opsparing Side 110

Annuitetslån Ved et annuitetslån betaler man en fast ydelse hver termin. I starten, hvor restgælden og renten er stor, er der kun plads til små afdrag. Senere falder renten, mens afdragene vokser. Langt de fleste rigtige lån er annuitetslån. Et annuitetslån på 50.000 kr. afvikles med en årlig ydelse på 13.000 kr., og en årlig rente på 10%. Opstil en amortiseringstabel. Amortiseringstabellen ser således ud. Det er vigtigt, at du selv prøver at regne (nogle af) tallene efter. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 50.000 1 5.000 8.000 13.000 42.000 2 4.200 8.800 13.000 33.200 3 3.320 9.680 13.000 23.520 4 2.352 10.648 13.000 12.872 5 1.287 11.713 13.000 1.159 6 116 1.159 1.275 0 Efter et år (termin 1) betales den faste ydelse på 13.000 kr. Fordi renten er 10% af 50.000 = 5.000 kr., bliver der 13.000-5.000 = 8.000 kr. til afdrag. Restgælden falder til 42.000 kr. Efter to år (termin 2) betales igen den faste ydelse på 13.000 kr. Renten er nu kun 10% af 42.000 = 4.200 kr. Derfor bliver afdraget nu lidt større. Efter fem år er der stadig en lille restgæld, så der bliver brug for en noget mindre 6. ydelse. Det er besværligt, at opstille tabeller, som den ovenfor, men hvis du prøver, får du en god fornemmelse af, hvorledes et annuitetslån er skruet sammen. I eksemplet ovenfor er ydelsen et rundt tal, nemlig 13.000 kr. Til gengæld bliver den sidste ydelse anderledes end de øvrige. Hvis man betaler en ydelse, der er lidt større end 13.000 kr., kan man nøjes med at betale 5 lige store ydelser. Ydelsen kan findes med denne formel: G r y = n y = ydelsen pr. termin G = gælden (lånets hovedstol) r = renten pr. termin som decimaltal n = antal terminer Formlen kaldes for ydelsesformlen. På de næste sider kan du se eksempler på brug af formlen. Forklaring på formlen er indviklet. Den kan du finde andre steder. Her skal kun lære at bruge formlen. Rente, lån og opsparing Side 111

Et annuitetslån på 50.000 kr. afvikles over 5 år med helårlig ydelse og en årlig rente på 10%. Beregn den årlige ydelse. Opstil en amortiseringstabel og vis lånets afvikling grafisk. Ydelsen beregnes således G r 50.000 0,10 = 1,10 y = = n 5 13.190kr. På regnemaskinen trykkes 50000 X 0,10 ( 1 1,10 ^ (-) 5 ) = eller på lidt ældre modeller således 50000 X 0,10 ( 1 1,10 y x 5 +/- ) = 50.000 0,10 5.000 5.000 Du kan også lave mellemregninger: y = = = = 13.190 5 1,10 0,6209... 0,3791... Amortiseringstabellen ser således ud: Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 50.000 1 5.000 8.190 13.190 41.810 2 4.181 9.009 13.190 32.801 3 3.280 9.910 13.190 22.892 4 2.289 10.901 13.190 11.991 5 1.199 11.991 13.190 0 Efter et år (termin 1) betales den faste ydelse på 13.190 kr. Fordi renten er 10% af 50.000 = 5.000 kr. bliver der 13.190-5.000 = 8.190 kr. til afdrag. Restgælden falder til 41.810 kr. Efter to år (termin 2) betales igen den faste ydelse på 13.000 kr. Renten er nu kun 10% af 41.810 = 4.181 kr. Derfor bliver afdraget nu lidt større. Grafisk kan lånets afvikling vises på mange måder. Til venstre er vist ydelsernes fordeling på renter (øverst) og afdrag (nederst). Til højre er vist restgælden termin for termin. 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0 1 2 3 4 5 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 Grafen til venstre viser tydeligt, at renterne falder og afdraget vokser. Grafen til højre viser - dog ikke så tydeligt - at restgælden falder hurtigst til sidst. 0 0 1 2 3 4 5 Rente, lån og opsparing Side 112

Et annuitetslån på 1.000.000 kr. afvikles over 30 år med kvartårlige terminer og en årlig rente på 8%. Beregn ydelsen og undersøg, hvor meget der i alt bliver betalt i rente. Opstil også et par rækker af en amortiseringstabel. Der er i alt 30 4 = 120 terminer, og renten pr. termin er 8 % : 4 = 2%. Man får G r 1.000.000 0,02 = 1 1,02 y = = n 20 I alt betales der 120 22. 048 = 2.645.760 kr. 22.048kr. Heraf må 2.645.760-1.000.000 = 1.645.760 kr. være renter. Tallene kan lyde voldsomme, men lånet ligner mange realkreditlån til køb af bolig. Amortiseringstabellen starter på denne måde: Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 1.000.000 1 20.000 2.048 22.048 997.952 2 19.959 2.089 22.048 995.863 Det ses tydeligt, at der i starten næsten kun betales renter. Amortiseringstabeller som den ovenfor er umulige at lave fuldt ud i hånden, men de kan let laves på computer med et regnearksprogram. Til højre er - lidt formindsket - vist nogle udsnit at amortiseringstabellen for lånet i eksemplet ovenfor. Læg mærke til at man - efter halvdelen af løbetiden - stadig betaler langt mere i rente end i afdrag. Læg også mærke til at man - efter halvdelen af løbetiden - kun har betalt lidt under ¼ af lånet tilbage. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 1.000.000 1 20.000 2.048 22.048 997.952 2 19.959 2.089 22.048 995.863 3 19.917 2.131 22.048 993.732 4 19.875 2.173 22.048 991.559 58 15.716 6.332 22.048 779.458 59 15.589 6.459 22.048 773.000 60 15.460 6.588 22.048 766.411 61 15.328 6.720 22.048 759.692 62 15.194 6.854 22.048 752.837 116 2.078 19.970 22.048 83.953 117 1.679 20.369 22.048 63.584 118 1.272 20.776 22.048 42.808 119 856 21.192 22.048 21.616 120 432 21.616 22.048 0 Rente, lån og opsparing Side 113

Ydelsesformlen kan omskrives på denne måde: G = y r n G = gælden (lånets hovedstol) y = ydelsen pr. termin r = renten pr. termin som decimaltal n = antal terminer Denne udgave af formlen kaldes for gældsformlen. Formlen bruges til at beregne, hvor stort et lån man kan få, når renten er kendt, og man kan betale en bestemt ydelse i et bestemt antal terminer. Du vil købe en computer på afbetaling over 2 år. Renten er 1,5% pr. måned, og du kan betale en ydelse på 500 kr. pr. måned. Hvor dyr en computer kan du købe? Når man køber på afbetaling, optager man reelt et lån. Derfor kan man bruge gældsformlen. Man får G = y r n 1,015 = 500 0,015 24 = 10.015kr. 10.000 kr. På regnemaskinen trykkes 500 X ( 1 1,015 ^ (-) 24 ) 0,015 = eller på lidt ældre modeller således 500 X ( 1 1,015 y x 24 +/- ) 0,015 = Bemærk at der i alt skal betales 24 500 = 12.000 kr., så renterne udgør cirka 2.000 kr. En rente på 1,5% pr. måned lyder voldsom, men ved køb på afbetaling kan renten sagtens være endnu højere. Det er vigtigt, at du er klar over, at rigtige lån ofte er mere indviklede at regne på end lånene i disse eksempler og de tilhørende opgaver. Det kan fx skyldes at: rigtige lån næsten aldrig har helårlige terminer. der ud over renter og afdrag skal betales forskellige "gebyrer" og "omkostninger". der skal betales et afdrag hver måned men kun beregnes og betales renter hvert kvartal. lånet næsten aldrig optages på "terminsdagen". Hvis lånet optages midt i en termins-periode, skal der til første termin kun betales rente for resten af denne periode. Ikke for en hel termin. man på grund af "kurstab" skal betale renter og afdrag af et beløb, der er større end det beløb, man får udbetalt. Det er tilfældet ved realkreditlån til køb af bolig. renten ofte er variabel. Den kan ændre sig mens lånet betales tilbage. Du kan få en god fornemmelse for, hvorledes lån afvikles, ved at regne opgaverne. Men du skal være klar over, at dine beregninger nogle gange kun giver dig cirka-tal. Rente, lån og opsparing Side 114

Opsparing På en opsparingskonto indsættes hvert år til nytår 6.000 kr. Renten er 5% pr. år. Lav en tabel der beskriver opsparingen år for år. Tabellen starter således: Indbetaling Rente Indsat Opsparing 1 0 6.000 6.000 2 300 6.000 12.300 3 615 6.000 18.915 Ved 2. indbetaling har de første 6.000 kr. stået på kontoen i et år. Derfor tilskrives en rente på 5% af 6.000 = 300 kr. Ved 3. indbetaling har der stået 12.300 kr. på kontoen det seneste år. Derfor tilskrives en rente på 5% af 12.300 = 615 kr. Det er besværligt, at lave en tabel som den ovenfor, hvis der foretages mange indbetalinger. Men der findes en formel til at beregne opsparingen efter et bestemt antal indbetalinger: O n = y r n 1 O n = opsparingen efter n indbetalinger y = indbetaling pr. termin n = antal indbetalinger r = renten pr. termin På en opsparingskonto indsættes hvert år til nytår 6.000 kr. Renten er 5% pr. år. Find opsparingen (med rente efter den 8. indbetaling. Man får O 8 8 1,05 1 = 6.000 = 57.294 kr. 0,05 På regnemaskinen trykkes 6.000 X ( 1,05 ^ 8 1 ) 0,05 = Da der er indbetalt 8 6. 000 = 48.000 kr., må der i alt være tilskrevet 9.294 kr. i renter. Bemærk også at den 8. indbetaling sker 7 år efter at indbetalingerne er begyndt. Rigtige opsparinger er ofte mere indviklede at regne på. Det kan fx skyldes at: der indbetales penge hver måned men kun beregnes og tilskrives renter hvert år. pengene bliver stående på kontoen i en periode efter sidste indbetaling. Men du får udmærkede cirka-tal ved at bruge opsparingsformlen. Rente, lån og opsparing Side 115