Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel 3.1.9 hos Øsendal og give er bevis for Doobs martingale ulighed. 1 Nogle foldningsintegraler Dette er un medtaget, hvis nogle af jer er interesserede i at se, hvordan man får integraludtryet i trin 2 af onstrutionen af Itointegralet til at onvergere mod h. Lad T > og lad (ψ n ) være en følge af ie negative ontinuerte funtioner på R, som opfylder: (i) ψ n (x) = for alle x n 1 og alle x. (ii) ψ(x)dx = 1 for alle n N. Bemær, at da ψ n er ontinuert og lig udenfor det ompate interval [ n 1, ], er ψ n en begrænset funtion. For ethvert f L 1 ([, T ]) har følgende integral derfor mening: (f ψ n )(t) = f(s)ψ n (s t)ds for alle t [, T ] og alle n N. (1.1) Integraler af formen (1.1) aldes foldningsintegraler og spiller en stor rolle i matematis analyse. I forelæsningerne lod vi onret grafen for ψ n være benene i en ligebenet treant med grundlinie [ n 1, ] og højde 2n. I det følgende får vi ofte brug for at substituere i integraler af formen (1.1), og det er derfor pratis at udvide en funtion f L 1 ([, T ]) til ], T ] ved at sætte f(s) = for alle s <. Med denne onvention an (1.1) srives: (f ψ n )(t) = f(s)ψ n (s t)ds for alle t [, T ] og alle n N (1.2) 1
Vi får brug for følgende to lemmaer: Lemma 1.1 Hvis 1 p <, f L p ([, T ]) og n N, vil f ψ n L p ([, T ]) med f ψ n p f p. Bevis: Vi sætter f(s) = for alle s < og fastholder et t [, T ]. Da ψ (s t)ds = 1, er n målet defineret ved dµ = ψ n (s t)ds et sandsynlighedsmål, og Jensens ulighed giver derfor: (f ψ n )(t) p f(s) p ψ n (s t)ds. Hvis vi integrerer (1.3) fra til T og bruger Fubinis sætning, får vi, at f(s) p ψ n (s t)ds (1.3) Dette viser påstanden. (f ψ n )(t) p dt f(s) p ψ n (s t)dtds s f(s) p ψ n (s t)dsdt = (1.4) f(s) p ds. Lemma 1.2 Lad g : [, T ] R være ontinuert med g() =. Da gælder (i) (g ψ n )(t) g(t) uniformt for t [, T ]. (ii) g ψ n g i L p ([, T ]) for alle 1 p <. Bevis: Som ovenfor udvider vi g til ], T ] ved at sætte g(t) = for alle t <. Da g() =, er også det udvidede g ontinuert. For at vise (i) lader vi ε >. Da g er uniformt ontinuert, findes der et δ >, således at t s δ g(t) g(s) ε for alle s, t ], T ]. Lad nu n være bestemt, så n 1 δ, og lad t [, T ] og n n være vilårlige. Da psi n (s t)ds = 1, vil (g ψ n )(t) g(t) = (g(s) g(t))ψ n (s t)ds, således at (g ψ n )(t) g(t) ε ψ(s t)ds = ε. g(t) g(s) ψ n (s t)ds 2
Dette viser den uniforme onvergens. Lad nu 1 p <. For at vise (ii) bemærer vi, at (i) giver, at (g ψ n )(t) g(t) p uniformt for t [, T ], hvilet giver, at g ψ n g p p = (g ψ n )(t) g(t) p dt, således at g ψ n g i L p ([, T ]). Man an naturligvis også bruge den puntvise onvergens fra (i) sammen med majoriseret onvergens. Vi an nu vise den sætning, som vi bruger i trin 2 i onstrutionen af Itointegralet hos Øsendal (tilfældet p = 2). Sætning 1.3 Lad 1 p <. Hvis f L p ([, T ]), så vil f ψ n f i L p ([, T ]) for n. Bevis: Lad f L p ([, T ]) og ε > være vilårlige. Da mængden af reelle ontinuerte funtioner med ompat støtte i ], T [ er tæt i L p ([, T ]), an vi finde en ontinurt funtion g : [, T ] R med g() =, så f g p ε. Ifølge Lemma 1.2 an vi finde et n N, således at g ψ n g p ε for alle n n. Hvis n n, giver Lemma 1.1 og treantsuligheden, at f ψ n p (f g) ψ n p + g ψ n g p + g f p 2 f g p + ε 3ε. Dette viser påstanden. 2 Øsendals Esempel 3.1.9 Vi vil her vise følgende sætning: Sætning 2.1 Hvis t så vil B sdb s = 1 2 B2 t 1 2 t Bevis: Lad for ethvert n N (t n ) være den sædvanlige inddeling af intervallet fra [, t] og definer elementarfuntionen φ n ved φ n (s, ω) = B t (ω)1 [t n,t n +1 [ (s) for alle s og alle ω Ω. 3
Vi ønser at vise, at φ n B i L 2 ([, t] Ω). Lad ε > og bestem n N, så 2 n ε. For alle n n finder vi: E( (B s φ n ) 2 ds = (B s ) 2 = t n (s t n )ds = 1 (t n +1 t n 2 ) 2 n +1 t n 1 2 ε (t n +1 t n ) = 1 2 εt, ge n +1 hvilet viser påstanden. Øsendals Korollar 3.1.8 giver nu, at B s db s = lim hvor onvergensen er i L 2 (P ). Hvis u < v finder vi: hvilet giver: n φ n db = lim n B t n (B t n +1 ), B 2 v = (B u + (B v B u )) 2 = (B v B u ) 2 + B 2 u + 2B u (b v B u ), (2.1) B 2 t = (B 2 t n +1 B2 t n ) = (B t n +1 ) 2 + 2 B t n (B t n +1 ), således at φ n db = 1 2 (B2 t (B t n +1 ) 2 ). For at vise påstanden, sal vi derfor vise, at (B t n +1 ) 2 t for n, (2.2) hvor onvergensen er i L 2 (P ). Idet vi et øjebli undlader at srive indeset n, finder vi E(( (B t+1 B t ) 2 t) 2 = E( (B t+1 B t ) 2 ) 2 + t 2 + 2t E(B t+1 B t ) 2 = E( t+1 B t ) (B 2 ) 2 t 2. (2.3) Vi sal altså vurdere første led efter sidste lighedstegn i (2.3). I første omgang får vi: E( (B t+1 B t ) 2 ) 2 =,j E(B tj+1 B tj ) 2 (B t+1 B t ) 2. (2.4) 4
Hvis j <, er (B tj+1 B tj ) 2 uafhængig af (B t+1 B t ) 2, så E(B tj+1 B tj ) 2 (B t+1 B t ) 2 = (t j+1 t j )(t +1 t ), og derfor er j E(B tj+1 B tj ) 2 (B t+1 B t ) 2 = j (t j+1 t j )(t +1 t ) < t 2. (2.5) For = j finder vi: E(B t+1 B t ) 4 = 3 (t +1 t ) 2, (2.6) hvor vi har benyttet, at hvis en stoastis variabel X er normaltfordelt N(, σ 2 ), så er EX 4 = 3σ 4 (se Opgave 8 i Opgavehæftet for Sandsynlighedsteori I). Sammenfatter vi nu (2.3) (2.6), finder vi, at E( (B t n +1 ) 2 t) 2 3 (t n +1 t n ) 2. (2.7) I første del af beviset viste vi, at højresiden af (2.7) går mod, når n, hvormed vi har vist det ønsede. Når vi har lært Itos formel, får vi en lettere måde at regne Itointegraler ud på. Det ovenstå ende svarer jo til, at vi regnede alle Riemannintegraler ud ved hjælp af middelsummer. 3 Doobs martingale ulighed Vi sal i dette afsnit vise Doobs martingale ulighed, som udsiger: Sætning 3.1 Lad (M t ) være en martingale relativ til filtreringen (M t ) af F, således at funtionen t M t (ω) er ontinuert for n.a. ω Ω. For ethvert 1 p <, ethvert T og ethvert λ > gælder der P ( sup M t λ) λ p E( M T p ) t [,T ] Bevis: Vi lader 1 p <, λ > og T være vilårlige. Vi forudsætter desuden, at M T L p (P ), thi ellers står der jo på højresiden af uligheden, så den bliver triviel. Af tenise grunde vil vi først vise P ( sup M t > λ) λ p E(M T p ) (3.1) t [,T ] 5
Beviset for (3.1) falder i tre trin, hvor trin 1 svarer til Williams Sætning 14.6. Bemær, at alle sandsynlighedsteorestise argumenter ommer i trin 1, samt at ontinuiteten af M t først benyttes i trin 3. Trin 1: Lad F være en endelig delmængde af [, T ]. Vi vil vise, at P (max t F M t > λ) λ p E( M T p ) (3.2) Vi nummererer F, lad os sige F = {t 1, t 2,, t n }, hvor t 1 < t 2 < < t n T. Lad τ : Ω N { } være defineret ved: τ(ω) = inf{ M t (ω) > λ}, hvor vi sætter inf =. τ er en stoppetid, this hvis 1 n, så er: {w τ(ω) = } = {ω M t (ω) > λ} 1 j=1 {M t j (ω) λ} M t. Lad os for ortheds syld sætte A = {ω max t F M t (ω) > λ}. Vi påstår at: A = n =1(τ = ) (3.3) Hvis ω A, findes der t F, så M t (ω) > λ, og lader vi t være det mindste sådanne t, vil τ(ω) =, så ω er med på højresiden af (3.3). Hvis ω tilhører højresiden af (3.3), findes det et 1 n med τ(ω) =, men da vil max t F M t (ω) M t (ω) > λ, så ω A. Dermed er (3.3) verificeret. Da (M t ) er en martingale, giver Jensens ulighed for betingede middelværdier, at der for alle 1 n gælder E( M T p M t ) E(M T M t ) p = M t p. (3.4) Ved benyttelse af (3.3) og (3.4) finder vi: n =1 E( M T p ) (τ=) A M T p dp = E( M T p M t )dp λ p n =1 n =1 (τ=) (τ=) n P (τ = ) = λ p P (A), =1 M T p dp = (3.5) M t p dp hvilet er det samme som (3.2). Ved det andet lighedstegn af (3.5) har vi benyttet, at for alle 1 n vil (τ = ) M t. Vi har dermed vist trin 1. Trin 2: 6
Her vil vi vise, at P ( sup t [,T ] Q M t > λ) λ p E( M T p ) (3.6) Da mængden [, T ] Q er tællelig, an vi srive den som en følge; lad os sætte [, T ] Q = {q N} Vi sætter endvidere F n = {q j 1 j n}. Da F n er en endelig mængde, giver Trin 1, at P (max M t > λ) λ p E( M T p ) for alle n N. (3.7) t F n Vi påstår, at ( sup M t > λ) = n=1(max M t > λ). (3.8) t Q [,T ] t F n Hvis nemlig ω tilhører venstresiden af (3.8), vil sup t Q [,T ] M t (ω) > λ, og der findes derfor et t Q [, T ] med M t (ω) > λ (bemær, at det er væsentligt her, at der gælder sarpt ulighedstegn ved supremaet). Vælges n nu, så t = q n, vil t F n, og derfor vil max v Fn M v (ω) > λ, hvilet viser, at ω tilhører højresiden af (3.8). Hvis omvendt ω tilhører højresiden af (3.8), findes et n, så λ < max t F n M t (ω) sup M t (ω), t Q [,T ] hvilet viser, at ω tilhører venstresiden af (3.8); hermed er lighedstegnet i denne formel etableret. Vi bemærer, at mængderne på højresiden af (3.8) udgør en vosende følge af mængder, så (3.7) giver P ( sup M t > λ) = lim P (max M t > λ) λ p E( M T p ), n t F n t Q [,T ] således, at (3.6) er vist. Trin 3: Vi vil vise: ( sup M t > λ) = n.s sup M t > λ), (3.9) t [,T ] t Q [,T ] hvor = n.s betyder, at de to mænder er ens, når der fjernes en nulmængde. Lad ω tilhøre venstresiden af (3.9), således at funtionen t M t (ω) er ontinuert (herved har vi fjernet en nulmængde). Der findes derfor et t [, T ] med M t (ω) > λ, og da Q [, T ] er tæt i [, T ], findes en følge (q n ) Q [, T ], så q n t, og ontinuiteten sirer, at M qn (ω) M t (ω). Derfor vil også M qn (ω) M t (ω) > λ, hvilet medfører, at M qn (ω) > λ for n tilstræelig stor, hvilet viser, at ω tilhører højresiden af (3.9). Da den anden inlusion er lar, har vi vist (3.9). Sammenholder vi nu Trin 2 og 3 får vi (3.1), som sulle vises. Vi mangler nu blot at fjerne det sarpe ulighedstegn i (3.1). For ethvert n N giver (3.1), at P ( sup M t > (λ n 1 )) (λ n 1 ) p E( M T p ). (3.1) t [,T ] 7
Da lart ( sup M t λ) = n=1( sup M t > (λ n 1 )), (3.11) t [,T ] t [,T ] og mængderne på højresiden af (3.11) udgør en aftagende følge af mængder, giver (3.1), at P (sup t [, T ] M t λ) = lim P ( sup M t > (λ n 1 )) n t [,T ] lim n (λ n 1 ) p E( M T p ) = λ p E( M T p ), hvilet fuldfører beviset for sætningen. Det er let at se, at den ovenstående bevis også an gennemføres for ontinuerte submartingales,; det vigtigste er fatis at indse, at uligheden (3.4) gælder for submartingales. Doobs ulighed gælder derfor for ontinuerte submartingales. 8