Stokastisk Kalkyle II E05

Transkript

1 Forelæsningsnoter til Stokastisk Kalkyle II E5 Svend Erik Graversen August 25 1

2 Indledning. En del af det, jeg vil fortælle jer her i starten, vil være vel kendt, men da det indeholder en lidt anden vinkel på stoffet, end den I kender fra Goran s gennemgang, vil jeg alligevel gøre det. En anden begrundelse er, at vi hermed får opbygget en fælles notation og tilhørende sprogbrug. Alle processer omtalt i det følgende tænkes defineret på et givet filtreret sandsynlighedsfelt Ω, F, F t t, P. Da dette altså tænkes fastholdt, vil vi generelt undlade eksplicit at fremhæve elementerne i Ω, F, F t t, P i notationerne nedenfor, også selvom begreberne eksplicit afhænger af de enkelte bestanddele. F.eks. vil vi kort skrive adapteret, stoptid, lokalisering og martingal i stedet for det mere korrekte F t -adapteret, F t -stoptid, F t -lokalisering og F t, P -martingal. Ligeledes vil vi, da vi udelukkende arbejder med tidsparametermængden [,, kort skrive F t i stedet for F t t og tilsvarende X t i stedet for X t t. Bemærk at vi ikke antager, at F t er P -komplet, idet en sådan antagelse komplicerer målskifte. Vi får brug for forskellige typer adapterede processer samt notation i forbindelse med sådanne. Definition. Previsibilitet En stokastisk proces X t med udfaldsrum S, et polsk rum, siges at være previsibel, hvis afbildningen s, ω X s ω fra R + Ω ind i S er målelig mht. PF., BS, hvor PF. := σ { {} F F F } { ] u, v ] F u < v, F F u }. PF., der kaldes den previsible σ-algebra, er altså frembragt af alle såkaldte elementære previsible mængder, dvs. mængderne { {} F F F og ] u, v ] F u < v, F F u. Previsible processer er specielt adapterede, og omvendt er enhver venstrekontinuert adapteret proces previsibel. Mere generel gælder for enhver reel adapteret proces X t, at X t er previsibel, hvor X t er defineret ved hvis t = X t := lim sup s t, s Q X s hvis t > og lim sup s t, s Q X s er endelig ellers. Bemærk at hvis for givet ω t X t ω har venstre grænseværdier i ethvert punkt t >, så er t X t ω venstrekontinuert, idet der da gælder, at X t ω = lim s t X s ω for alle t >. 2

3 Definition. Progressiv målelighed En stokastisk proces X t med udfaldsrum S, et polsk rum, siges at være progessivt målelig, hvis afbildningen s, ω X s ω fra R + Ω ind i S er målelig mht. PrF., BS, hvor PrF. := {A BR + F A [, t ] Ω B [, t ] F t for alle t}. Progressivt målelige processer er adapterede, og omvendt er enhver højre - eller venstrekontinuert adapteret proces progessivt målelig. Ligeledes er enhver previsibel proces progessivt målelig, idet PF. er indeholdt i PrF.. Da vi hovedsageligt skal studere reelle processer, lader vi i det følgende PR / PrR betegne mængden af hhv. previsible/progressivt målelige reelle processer. For enhver højrekontinuert adapteret reel proces X t definerer X t := X t X t derfor et element i PrR, ofte omtalt som springprocessen hørende til X t. For hvis t X t ω er cadlag, angiver funktionen t X t ω netop springene, idet den er, hvis t X t ω er kontinuert i t, og springet i t, hvis t X t ω er diskontinuert i t. Det er i denne sammenhæng værd at erindre, at en caldlag funktion kun har endelig mange spring større end et vilkårligt tal på ethvert endeligt interval, dvs. alt i alt kun tællelig mange spring. Vi skal ofte arbejde med tilvækster i reelle processer, og for en sådan proces X t indføres notationen Xi, n, t := X i/2 n t X i 1/2 n t i, n 1, dvs. t i 1/2 n Xi, n, t = X t X i 1/2 n i 1/2 n < t i/2 n X i/2 n X i 1/2 n i/2 n < t. For givne t, n og ω er Xi, n, tω altså kun forskellig fra for endelig mange i og Xi, n, t = X t X t, n 1. i 1 Endvidere betegnes med C h procesrummet bestående af de reelle adapterede højrekontinuerte processer. Dvs. en adapteret reel proces X t ligger i C h, hvis og kun hvis t X t ω er højrekontinuert for alle ω Ω. Vi får brug for forskellige P -afhængige delmængder af C h, nemlig C h P := {X t C h P X = = 1 } 3

4 og samt gennemsnit CP := {X t C h t X t ω kontinuert for P -n.a. ω } DP := {X t C h t X t ω cadlag for P -n.a. ω } VP := {X t C h t X t ω voksende for P -n.a. ω }. CP := CP C h P, DP := DP C h P VP := VP C h P, V c P := CP VP og V c P := CP VP. Endvidere indføres BVP :=VP VP tillige med rummene BV c P, BVP og BV c P. Det kan ved hjælp af Proposition 1 nedenfor vises, at BV c P =V c P V c P, BVP =VP VP og BV c P =V c P V c P. Enhver proces X t i BVP er altså højrekontinuert og adapteret samt opfylder, at sup Xi, n, t < P -n.o. for alle t, n i 1 og X t siges at have integrabel variation, hvis E[ sup Xi, n, t ] = sup E[ Xi, n, t ] < for alle t. n n i 1 i 1 Da for ethvert par af dyadisk rationale tal t < s Xi, n, tω Xi, n, sω for alle ω i 1 i 1 og alle n tilstrækkelig stor samt for alle n m Xi, n, tω Xi, m, tω for alle ω og t, i 1 i 1 ses ved brug af Proposition 1, at der findes et element VarX t VP, så at lim Xi, n, t = VarX t i d P n i 1 og for P -n.a. ω og alle t er VarX t ω = den totale variation over intervallet [, t ] af s X s ω X ω. VarX t V c P, hvis X t er P -kontinuert. 4

5 Bemærk at alle de indførte rum pånær C h P er indeholdt i C h P l.b. := {X t C h t X t ω lokalt begrænset P -n.a. ω } Endvidere er de alle tydeligvis stabile under standsning med udvidede stoptider og identiske med de tilhørende lokaliserede rum, hvor for en delmængde H C h stabilitet under standsning betyder og X t H og τ udvidet stoptid X τ t := X τ t H LH := {X t C h τ n lokalisering X τn t H for n 1 }. LH omtales som det lokaliserede rum hørende til H, og elementerne i LH kaldes lokale H-processer. I denne sammenhæng er flg. bemærkninger relevante. 1 H stabil under standsning LH stabil under standsning. 2 H stabil under standsning og et vektorrum LH et vektorrum. 3 H 1 og H 2 stabil under standsning LH 1 H 2 = LH 1 LH 2 4 H stabil under standsning LLH = LH. 1, 2 og 3 overlades til læseren, og da det lokaliserede rum altid indeholder det oprindelige rum, udestår i 4 kun at vise, at ethvert element i LLH ligger i LH. Lad derfor X t LLH være givet. Pr. definition findes der lokaliseringer så at X τn t τ n og S n, k k 1 for n 1, LH n 1 og X. τn S n, k t = X τn S n, k t H n, k 1. Da lim k S n, k = P -n.o. for alle n kan vi for ethvert n vælge et k n n, så at Sæt nu P S n, kn < n 2 n. R n = inf l n S l, k l n 1. For ethvert n er R n en udvidet stoptid og R n R n+1 og R n S n, kn samt P R n < n P S l,kl < n P S l,kl < l 2 l = 2 2 n. l=n l=n l=n Ifølge det første Borel-Cantelli Lemma er R n og dermed også τ n R n en lokalisering, og da X τn Rn t = X τn Rn S n, kn t = X. τn S n, kn R n t for alle n 1 5

6 følger påstand 4, da H er stabil under standsning. Det er i mange sammenhænge nødvendigt at operere med flere sandsynlighedsmål samtidigt, og i forbindelse hermed er flg. begreb vigtigt. Definition. Lad P og Q betegne to sandsynlighedsmål på Ω, F. P siges da lokalt at dominere Q betegnes Q loc P, hvis Q P opfattet som mål på Ω, F t for ethvert t. Lokal ækvivalens defineres tilsvarende og betegnes Q loc P. Implikationen: Q P på F Q loc P, er her oplagt, men P og Q kan være singulære på F selvom Q loc P. Læseren opfordres til at overveje, at ingen af de ovenfor indførte rum ændres ved skift til et lokalt ækvivalent mål Q. Dette gælder ligeledes alle lokaliserede rum, da en følge af udvidede stoptider τ n er en lokalisering mht. P hvis og kun hvis τ n er en lokalisering mht. Q, idet τ n P -n.o. P sup τ n < t = for alle t >. n P inducerer et konvergensbegreb d P på C h ved fastsættelsen. dvs. Xt n d P X t lim sup Xs n X s = i P -mål for alle t. n s t Xt n d P X t lim P sup Xs n X s ɛ = for alle t og ɛ >. n s t d P -konvergens, der omtales som uniform konvergens i P -mål, er metrisk, idet den svarer til konvergens i pseudo metrikken Bemærk at d P X t, Y t := 2 n sup s n X s Y s E[ 1 + sup s n X s Y s ] X t, Y t C h. n=1 d P X t, Y t = X t og Y t P -uskelnelige kort X t P = Y t Konvergensbegrebet, der er sammenfaldende for lokalt ækvivalente sandsynlighedsmål P og Q, harmonerer pænt med den lineære struktur, idet en linearkombination af konvergente følger konvergerer mod den tilsvarende linearkombination af de oprindelige grænseværdier. Eventuelle grænseværdier er entydigt bestemt op til P -uskelnelighed idet Xt n d P X t Xt n X t i P -mål for alle t. Der gælder endog, at X n τ X τ i P -mål for enhver endelig udvidet stoptid τ, og afbildningen X t X τ t 6

7 er endvidere d P -kontinuert for enhver udvidet stoptid τ. Mere præcist gælder at Xt n d P X t X n, τ k t d P X τ k t for alle k for en lokalisering τ k k 1. Bemærk at C h P, CP, DP og VP sammen med herudfra dannede gennemsnit alle er lukkede under d P -konvergens. Dvs. grænseprocessen hørende til en konvergent følge af elementer fra et af rummene ligger igen i det samme rum. Et standardargument baseret på Borel-Cantelli lemmaet viser, at hvis Xt n d P X t så findes der en delfølge n k k 1, så at sup X n k s X s P -n.o. for alle t >. s t Dette sikrer derfor, at de tilhørende springprocesser også konvergerer, f. eks. har vi for X n t, X t DP, at Xt n d P X t X n k d P X t for en delfølge n k k 1. t De indtil nu nævnte egenskaber er mere eller mindre trivielle konsekvenser af definitionen. Derimod er det næste resultat, som viser, at d P -konvergens er fuldstændig, mere indviklet. Påstanden, der spiller en vigtig rolle i det følgende, formuleres u- den bevis, men den interesserede læser kan finde et bevis på side 97 i Stroock og Varadhan s bog: Multidimensional Diffusion Processes. Resultatet er ikke totalt indlysende, idet vi, som allerede tidligere har nævnt, med vilje har undladt at forlange, at det givne filter er P -komplet. Proposition 1 En følge X n t n 1 C h konvergerer i d P, dvs. der findes et element X t C h så at Xt n d P X t, hvis og kun hvis lim P sup Xs n Xs m ɛ = for alle k 1 og ɛ >. m,n s k Fuldstændigheden muliggør, at vi kan definere en proces via lokalisering, thi som en umiddelbar konsekvens af Proposition 1, har vi flg. udsagn. Korollar 1 Hvis X n t n 1 er en følge af elementer i C h, og τ n n 1 er en lokalisering, så at X n+1, τn t P = X n t for alle n 1, så findes der op til P -uskelnelighed præcist et element X t C h så at X τn t P = X n t for alle n 1. Ved nærmere eftersyn af beviset for Proposition 1 ses, at der gælder flg. tillæg omhandlende processer afhængig af en parameter. Korollar 2 Lad for ethvert n 1 og a R Xt n a, n 1 være elementer i C h, så at a, t, ω Xt n a, ω er BR PrF.-målelig og lim P m,n sup Xs n a, Xs m a, ɛ s k 7 = for alle a R, k 1 og ɛ >.

8 Da findes der for alle a R et X t a, C h, så at Xt n a, d P X t a, og a, t, ω X t a, ω er BR PrF.-målelig. Som allerede nævnt sikrer Proposition 1 også, at ethvert element i VP kan opsplittes i en kontinuert og en ren diskontinuert del, dvs. for ethvert A t VP findes der to processer A c t og A d t i VP, så at 1 A t P = A c t + A d t og 2 A c t V c P og A d t = s t A s t > P -n.o. Ideen i beviset, som overlades til læseren, er først at bevise påstanden for ethvert af A n t erne, hvor for alle n 1 A n t ω := sup A s ω n t, ω Ω. s t Da A n t erne har lutter voksende og højrekontinuerte udfaldsfunktioner, er dekompositionen her mulig, da der på ethvert endeligt interval kun er endelig mange spring, som er numerisk større end en fast værdi. Den ønskede dekomponering fås derefter ved en d p -grænseovergang. Lad mig afslutte denne indledning med definere to meget vigtige processer nemlig Wiener og Poisson processen. Læg mærke til at begreberne afhænger eksplicit af både P og F t. Definition Wiener processen. En proces W t CP kaldes en Wiener proces med parameter σ 2 >, hvis a W t W s N, σ 2 t s for alle s < t. b F t og σ{w t+u W t u } er uafhængige for alle t. Definition Poisson processen. En proces P t VP kaldes en Poisson proces med parameter λ >, hvis a P t P s poλ t s for alle s < t. b F t og σ{p t+u P t u } er uafhængige for alle t. Som bekendt antager en Poisson proces P t kun ikke-negative heltallige værdier og dens spring er alle af størrelse 1, dvs. P P t N for alle t = 1 og P t > : P t / {, 1} =. 8

9 Martingalteori De delmængder af C h, der blev indført i sidste kapitel, afhang kun af P gennem de tilhørende nulmængder. Martingalrummenne MP og M 2 P er derimod i høj grad målafhængige. MP hhv. M 2 P betegner her de processer i C h, som er martingaler hhv. kvadratisk integrable martingaler. Procesrummene MP, M c P og M c P og tilsvarende MP 2, M 2 cp og M 2 cp defineres herudfra på naturlig måde. Alle er vektorrum, som er stabile under standsning, men modsat tidligere er de tilhørende lokaliserede rum, som også er vektorrum og stabile under standsning, generelt meget større. Bemærk endvidere at Martingal Modifikationssætningen sikrer inklusionen MP DP. Da teorien om martingaler for en stor del er kendt stof, vil vi nøjes med at formulere og delvis bevise flg. tre udsagn, som vi ofte vil gøre brug af i det følgende. Af overskuelighedsgrunde vil i dette og kommende afsnit for ethvert X t C h lade X t betegne maksimumsprocessen Bemærk at X t VP. Xt := sup X s for t. s t Proposition 2 Doob s Ulighed For ethvert X t MP og ethvert t og λ > er og derfor P X t λ 1/λ E[ X t, X t λ ] 1/λ E[ X t ], E[X p p t ] p 1 p E[ X t p ] for alle p > 1. Proposition 3 Lenglart s Ulighed Lad X t C h P og < X > t V c P være givet, så at X 2 t < X > t LMP. Da gælder med notation som i Doob s Ulighed for alle positive t, δ og λ, at P X t λ E[δ < X > t ]/λ 2 + P < X > t δ δ λ 2 + P < X > t δ specielt er P X t < = 1 for alle t. For ethvert p, 2 gælder derfor, at E[X p t ] 4 p E[< X >p/2 t ]. 2 p Korollar 3 Hvis X t yderligere er P -kontinuert, gælder også omvendt P < X > 1/2 t λ E[δ X 2 t ]/λ 2 + P X 2 t δ for alle t, δ og λ, og dermed for alle p, 2 E[< X > p/2 t ] 4 p 2 p E[X p t ]. 9

10 Proposition 4 Ethvert element X t LM c P BV c P er konstant, dvs. P X t = X 1. Mere generelt gælder, at hvis X t BV c P er submartingal, så er X t en P -voksende, dvs. X t V c P. Da beviset for Doob s Ulighed er vel kendt, bevises kun propositionerne 3 og 4. De anførte momentuligheder er konsekvenser af flg. generelle resultater for ikke-negative stokastiske variable. Beviserne findes i Appendiks 1. Momentuligheder. For ikke-negative stokastiske variable X og Y gælder a Hvis λ P X λ E[Y, X λ] for λ > er E[X p p ] p 1 p E[Y p ] for p > 1. b Hvis P X λ 1/λ E[λ Y ] + P Y λ for λ > er E[X p ] 2 p 1 p E[Y p ] for < p < 1. Bevis for Proposition 3. Da C h P og V c P er stabil under standsning, viser et simpelt lokaliseringsargument, at det er nok at betragte tilfældet, hvor X 2 t < X > t MP. Vi behøver endvidere kun vise den første ulighed, og da højresiden heri er en kontinuert funktion af λ, er det nok at vise uligheden, hvor vi på venstre side erstatter λ med > λ. Lad derfor positive tal t, λ og δ være givet. Definer τ λ := inf{s > X s > λ} og S δ := inf{s > < X > s > δ}. τ λ og S δ er da vel definerede udvidede stoptider, og der gælder P X t > λ = P X t > λ, < X > t < δ + P X t > λ, < X > t δ P X t > λ, < X > t < δ + P < X > t δ. Benyttes nu, at X t er højrekontinuert og < X > t P -kontinuert, fås endvidere ved brug af Optional Sampling, at P X t > λ, < X > t < δ E[ X τ λ λ, X t > λ, < X > t < δ ] λ 2 E[ X 2 τ λ t S δ, X t > λ, < X > t < δ ] λ 2 E[ X 2 τ λ t S δ ] = λ 2 E[ < X > τλ t S δ ] λ 2 E[ δ < X > t ] δ/λ 2. Hvilket alt i alt er de søgte uligheder. 1

11 Bevis for Korollar 3. I det netop gennemførte bevis anvendtes Optional Sampling Sætningen på martingalen X 2 t < X > t og den begrænsede stoptid τ λ t S δ, dvs. ligheden E[X 2 τ λ t S δ < X > τλ t S δ ] = eller ækvivalent E[X 2 τ λ t S δ ] = E[< X > τλ t S δ ]. For beviset er det ikke afgørende, at der gælder =, idet er nok, og da t Xt en ikke-negativ P -kontinuert voksende proces, samt er E[ < X > τ 2 ] = E[< X > τ ] = E[X 2 τ ] E[X 2 τ ] for enhver begænset udvidet stoptid τ, kan man i det P -kontinuerte tilfælde derfor tilsvarende vise, at for alle positive t, λ og δ. P < X > t λ λ 2 E[ δ X 2 t ] + P X 2 t δ. Bevis for Proposition 4. Lad X t LM c P BV c P være givet. Da X t X er element i det samme procesrum, kan og vil vi antage, at X t er i og er på formen A t B t, hvor A t og B t er elementer i V c P. Sæt for n 1 τ n = inf{t > A t + B t > n}. τ n erne er da udvidede stoptider, og Xt τn erne, der hermed er uniformt begrænsede, er derfor elementer i M 2 cp. For alle t, k og n gælder nu i X τn i, k, t 2 sup X τn i, k, t i i X τn i, k, t sup X τn i, k, t i i A τn i, k, t + B τn i, k, t sup X τn i, k, t A τn t i + B τn t n sup X τn i, k, t. i P -kontinuiteten sikrer derfor, at lim k i Xτn i, k, t 2 = P -n.o. Men da martingalegenskaben bevirker, at E[X 2 t τ n ] = E[ i X τn i, k, t 2 ] for alle k, fås ved brug af Doob s ulighed og Lebesgue s sætning, at X t τn = P -n.o. for alle n og dermed X t = P -n.o., da τ n P -n.o. Lad os dernæst vise bemærkningen. Det er klart nok at vise, at P X t X s = 1 for ethvert par af dyadisk rationale tal t < s. Lad derfor et sådant par være givet. 11

12 Som ovenfor kan vi antage, at processen er i og uniformt begrænset specielt kvadratisk integrabel. Resultatet vil derfor være vist, hvis og tilsvarende S n t := i 1 E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ] n X t i L 2 S n s := i 1 E[ Xi, n, s F i 1 2 n s ] n X s i L 2. For da t < s og begge er dyadisk rationale, er summen svarende til t en delsum i summen hørende til s for tilstrækkeligt store n, dvs. E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ] E[ Xi, n, s F i 1 2 n t ] P -n.o. i 1 i 1 for n stor, da leddene ifølge submartingal egenskaben er ikke negative. Hvad angår L 2 -konvergensen har vi for alle n 1 2 E[ X t S n t 2 ] = E[ Xi, n, t E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ] ] i 1 = i 1 E[ Xi, n, t E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ] 2 ] = E[ Xi, n, t 2 E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ]2 ] E[ Xi, n, t 2 ]. i 1 i 1 Men som vist ovenfor, konvergerer denne sum imod, og da det tilsvarende gælder for s, er bemærknigen vist. Doob s Ulighed viser at det er interessant at udstyre M 2 P med den såkaldte d 2 P - konvergens, hvor for elementer M n t n 1 og M t i M 2 P M n t M t i d 2 P hvis og kun hvis lim n E[ M n t M t 2 ] = for alle t >. Doob s Ulighed viser, at d 2 P -konvergens medfører d P -konvergens, samt at M 2 P er d 2 P -fuldstændig i flg. forstand: Hvis lim E[ M t n Mt m 2 ] = for alle t > for Mt n n 1 M 2 P, n,m så findes der et M t M 2 P, så at M n t M t i d 2 P. Resultatet ses ved at observere, at Doob s Ulighed sikrer, at M n t n 1 er Cauchy i d P. Ifølge Proposition 1 har M n t n 1 derfor en grænseværdi M t C h, dvs. specielt M n t M t i P -mål for alle t >. Konvergensen derfor også i L 2, hvorefter det er let at vise, at M t M 2 P og at M n t M t i d 2 P. 12

13 Proposition 4 viser, at der til et X t i M 2 P op til P -uskelnelighed højst findes et element < X > t i V c P, så at X 2 t < X > t MP entydigheden retfærdiggør notationen. Med baggrund heri indføres M 2 P := {X t M 2 P < X > t V c P : X 2 t < X > t MP }. En simpel øvelse viser, at enhver Wiener proces W t ligger i M 2 P tillige med enhver proces af formen P t λt, hvor P t er en Poisson proces med parameter λ. Men M 2 P udgør normalt ikke hele M 2 P, dog omfatter den altid M 2 cp. Da M 2 P, V c P og MP er stabil under standsning gælder dette også for M 2 P. Mere præcist gælder for enhver udvidet stoptid τ og ethvert X t i M 2 P, at X τ t M 2 P og < X τ > t P = < X > t τ. Sammen med Proposition 1 viser dette derfor, at M 2 P L M 2 P = mere generelt, at M 2 P og L M 2 P = {X t LM 2 P < X > t V c P : X 2 t < X > t LMP }. Ifølge Lenglart s Ulighed findes der derfor for ethvert p, 2 to universalkonstanter c p og C p kun afhængig af p, så at c p E[< X > p/2 t ] E[ sup X s p ] C p E[< X > p/2 t ] for alle t > s t og alle X t i L M 2 cp med tilhørende voksende proces < X > t. Den højre ulighed forudsætter ikke P -kontinuitet. Som nævnt ovenfor udgør M 2 P normalt ikke hele M 2 P, og spørgsmålet om, hvorvidt et givent element X t i M 2 P ligger i M 2 P eller ej, viser sig at være sig at være et spørgsmål om forudsigeligheden af springene i X t. Der gælder nemlig flg. udsagn. Et X t i M 2 P ligger i M 2 P, hvis og kun hvis der for enhver udvidet stoptid τ gælder X τ 1 {τn<τ for alle n} = P -n.o. for enhver følge τ n af udvidede stoptider, så at τ n τ P -n.o. Da hvis-delen kræver et stort arsenal af generel teori, nøjes vi her med at vise kun hvis -delen. Lad hertil τ og τ n være givet, så at τ n τ P -n.o. Ved at se på τ t og τ n t for t > ses, at vi uden tab af generalitet kan antage, at τ er begrænset. Da X t, som tidligere nævnt, ligger i DP, har vi X τ 1 {τn<τ for alle n} = lim n X τ X τn 1 {τn<τ for alle n} P -n.o. og ifølge Fatou s Lemma derfor E[ X τ 2 1 {τn<τ for alle n} ] lim inf n 13 E[X τ X τn 2 ].

14 Men Optional Sampling anvendt på martingalen X 2 t < X > t og de begrænsede stoptider τ n τ viser, at E[X τ X τn 2 ] = E[X 2 τ ] E[X 2 τ n ] = E[< X > τ ] E[< X > τn ] for alle n 1, hvoraf resultatet følger ved brug af Monoton konvergens. LMP er generelt meget større end MP, og spørgsmålet om, hvornår en given lokal martingal er en martingal, er normalt vanskeligt at besvare. Men der gælder dog flg. to resultater. Lemma 1 For et givet M t LMP gælder implikationen E[ M t ] < t > M t MP. Bevis. Lad M t LMP opfyldende betingelsen være givet. Pr. definition findes der da en lokalisering τ n, så at Mt τn MP for alle n. Men da M τn t M t P -n.o. for alle t og dermed ifølge antagelsen og Lebesgue s Sætning også i L 1, følger konklusionen umiddelbart af den vel kendte implikation X n X i L 1 E[X n, B] E[X, B] B F. Lemma 2 Enhver ikke negativ lokal martingal er en supermartingal. Dvs. et element M t i LMP + er en martingal, hvis og kun hvis E[M t ] = E[M ] for alle t >. Bevis. Lad M t LMP + være givet og lad τ n betegne en lokalisering, så at Mt τn er en martingal for alle n. Da fås af Fatou s Lemma, at E[M t ] lim inf n M τn t M t P -n.o. for alle t > E[Mt τn ] = E[M τn ] = E[M ] < for alle t > og tilsvarende af Fatou s Lemma for betingede middelværdier, at E[M t F s ] lim inf n E[M τn t F s ] = lim inf n M τn s = M s for alle s < t. Dvs. M t er en supermartingal og dermed en martingal, hvis og kun hvis den har konstant middelværdi. Ud fra Lemma 1 og Doob s Ulighed kan man nu vise, at for ethvert X t L M 2 P med tilhørende voksende proces < X > t V c P gælder og X t M 2 P E[< X > t ] < for alle t > E[< X > t ] E[X t 2 ] 4 E[< X > t ] for alle t > Lad mig afslutte kapitlet om martingaler med at nævne flg. simple, men dog nyttige resultat. 14

15 Lemma 3 Et givet X t CP er en martingal, hvis og kun hvis for alle begrænsede udvidede stoptider S. X S L 1 og E[X S ] = Bevis. kun hvis er en umiddelbar konsekvens af Optional Sampling. Ved først at bruge antagelsen på konstante S ses, at X t erne er integrable med middelværdi. Martingalegenskaben følger nu let ved for givne s < t og A F s at udnytte antagelsen på S := s 1 A + t 1 A c. 15

16 Appendiks 1. Lad i det følgende X og Y betegne to ikke-negative stokastiske variable defineret på et sandsynlighedsfelt Ω, F, P. Vi skal i dette appendiks deducere forskellige momentuligheder ud fra fordelingsuligheder. Vi starter med et resultat, som bruges i Doob s ulighed. Resultat 1 For alle p > 1 gælder implikationen t P X t E[Y, X t] t > E[X p p ] p 1 p E[Y p ]. Bevis. Lad p > 1 være givet, og antag at fordelingsuligheden holder. Da X n for ethvert n ligeledes opfylder uligheden, kan og vil vi antage, at X er begrænset. Integreres på begge sider med p t p 1 dt fås ved brug af Tonelli s sætning, at E[X p ] = P X t p t p 1 dt E[Y X Men ifølge Hölder s ulighed er p t p 2 dt] = E[Y, X t] p t p 2 dt = p p 1 E[Y Xp 1 ]. E[Y X p 1 ] E[Y p ] 1/p P [X p ] p 1 p, og indsættes dette fås ved forkortning, da E[X p ] er endelig, at E[X p p ] p 1 p E[Y p ]. Det generelle tilfælde følger nu ved brug af monoton konvergens. Beviset udnytter eksplicit at p > 1, og modeksempler viser også, at resultatet ikke holder for p = 1. Men for fuldstændigheden skyld vises, at den samme fordelingsulighed sikrer implikationen. Resultat 2 Bevis. Ifølge antagelserne er og dermed E[Y log + Y ] < E[X] <. 2t P X 2t E[Y, X 2t] E[Y, Y t, X 2t]+ E[Y, Y > t, X 2t] t P X 2t + E[Y, Y > t], P X 2t 1/t E[Y, Y > t] for alle t >. Integreres denne ulighed fra 1 til med dt fås ved brug af Tonelli s sætning 1 P X 2t dt 1 E[Y, Y > t]/t dt E[Y log Y 1] = E[Y log + Y ], 16

17 hvoraf påstanden følger, da E[X] = P X t dt P X t dt = P X 2t dt. En variant af Resultat 1, som dog holder for alle p 1, er indeholdt i flg. implikation. Resultat 3 E[X, X t] E[Y + t, X t] for alle t > E[X p ] p p E[Y p ]. Bevis. Tilfældet p = 1 følger umiddelbart ved at lade t på begge sider i de givne sæt af betingelser. For at klare tilfældet p > 1 lader vi r > være givet. På samme vis som ovenfor kan og vil vi antage, at X er begrænset. Integreres uligheden på begge sider med r t r 1 dt fås via Tonelli s sætning, at 1/r 1/r + 1 E[X r+1 ] 1/r E[Y X r ], og derfor ifølge Hölder s ulighed brugt på r + 1 og dets konjugerede r + 1/r, at 1 r + 1 E[Xr+1 ] E[X r+1 ] r r+1 E[Y r+1 ] 1 p+1. Den ønskede ulighed følger nu igen ved forkortning. Til slut vises momentuligheden, som bruges sammen med Lenglart s ulighed. Resultat 4 For alle < p < 1 gælder implikationen P X t 1/t E[t Y ] + P Y t t > E[X p ] 2 p 1 p E[Y p ]. Bevis. Lad < p < 1 være givet. Ved brug af Tonelli s sætning fås som før E[X p ] = = E[ Y P X t p t p 1 dt E[t Y ] p t p 2 dt + p t p 1 dt + Y Y P Y t p t p 1 dt p t p 2 dt] + E[Y p ] = E[Y p ] + p 1 p E[Y p ] + E[Y p ] = 2 p 1 p E[Y p ]. 17

18 Stokastisk integration A. Vi vil nu indføre begrebet en stokastisk integrator eller retteligt en F t, P -stokastisk integrator. Med baggrund i integralteori på R + og det faktum at vi ønsker at tænke på et stokastisk integral som en afbildning, som til visse integrantprocesser tilordner en integralproces på lineær og kontinuert vis alle disse begreber kan og vil afhænge af P forekommer nedenstående definition naturlig. I formuleringen gøres brug af flg. notation. Notation. H PrR kaldes en D-mængde, hvis i H er et vektorrum, som er stabil under punktvis max og min dannelse, og indeholder EF., hvor EF. := span {Z 1 {}, Y 1 ] a,b ] a < b og Z bmf, Y bmf a }. ii H er stabil under lokalt domineret punktvis konvergens, dvs. hvis Z n t og Y n t er to følger af elementer i H, så at lim n Z n t ω eksisterer for alle ω og alle t samt for ethvert m 1 og ethvert ω opfylder Z n t ω Y m t ω for alle t [, m] og alle n, så er Z t H, hvor Z t ω := lim n Z n t ω for alle ω og alle t. Ud fra definitionen ses umiddelbart, at et vilkårligt gennemsnit af D-mængder igen er en D-mængde, samt at PR u.l.b. er en D-mængde, som er indeholdt i enhver anden D-mængde. Med lidt mere arbejde kan man vise, at også LPR u.l.b. PR er en D-mængde. Det er oplagt kun punkt ii, der volder kvaler. Men hvis processer Z n t og Y n t i LPR u.l.b. PR, er valgt, så at de opfylder betingelserne i punkt ii, så er Z t previsibel og Z t 1 [[,τn]]t PR u.l.b. for alle n 1, hvor med τ Y k τ n := inf k n τ Y k k for alle n 1 værende en udvidet stoptid valgt så at P τ Y k < k < 2 k og Y k t 1 [[,τ Y k ]]t PR u.l.b. for alle k 1. Definition En proces X t C h kaldes en P -integrator, hvis der findes en afbildning IP X med definitionsområde DIX P, så at 1 DIP X er en D-mængde, og IX P er P -lineær med værdier i C h. 2 I X P er en P -udvidelse af det simple integral IX, EF., dvs. den lineære afbildning af EF. ind i C h, som er bestemt ved I X Z 1 {} t = Z X og I X Y 1 ] a,b ] t = Y X b t X a t, 18

19 hvor Z bmf, Y bmf a og a < b. 3 Hvis Zt n DIP X konvergerer lokalt domineret punktvis mod et Z t i DIP X, så konvergerer IP X P Z. n t d P IP X Z. t for n. I X P, DX P kaldes i givet fald et P -stokastisk integral mht. X t. I overensstemmelse med den vedtagne konvention skrives fremover integrator / stokastisk integral i stedet for P -integrator / P -stokastisk integral, hvis ikke det er vigtigt at fremhæve P. Hvis integratoren X t ligger i C h P, kræver man også, at de tilhørende integralprocesser ligger i C h P. Det er i det hele taget nok at se på integratorer i C h P. For er I X P, DIX P er integral mht. X t, så er I X P Z. t := I X P Z. t I X P Z. Z t DI X P et integral mht. X t := X t X ; og er I X P, DI X P et integral mht. X t, så er I X P Z. := Z X + I X P Z. Z t DI X P et integral mht. X t. Dvs. X t er en integrator, hvis og kun hvis X t er en integrator. Til en given integrator kan der knyttes flere integraler defineret på forskellige delmængder af PrR. Men de har alle en fælles kerne, for ifølge et Monotont klasse argument er de alle definerede og identiske på PR u.l.b.. Men man kan endda sige lidt mere, for er IP X, DIX P og ĨX P, DĨX P to stokastiske integraler mht. til en integrator X t, så gælder I X P Z. t P = ĨX P Z. t for alle Z t DI X P DĨX P LPR u.l.b., hvis begge integraler identificerer P -uskelnelige integranter, dvs. definitionsmængden indeholder hele ækvivalensklasser af P -uskelnelige processer, samt tilordner samme integralproces til P -uskelnelige integranter. Bevis. Lad Z t DI X P DĨX P LPR u.l.b. være givet. Pr, definition findes der derfor en lokalisering τ n, så at og dermed Men da Z t 1 [[,τn]]t PR u.l.b. for alle n 1, I X P Z. 1 [[,τn]] t P = ĨX P Z. 1 [[,τn]] t for alle n 1. Z t 1 [[,τn]]t n 1 konvergerer punktvis lokalt domineret i både DIP X og DĨX P mod en proces, som er uskelnelig fra Z t, følger påstanden umiddelbart af antagelsen og integralernes kontinuitet. 19

20 Inden vi går i gang med det egentlige arbejde, der består i at bestemme processer eller rettere procestyper, som er integratorer, samt studere de tilhørende integraler, udnyttes ovenstående måske lidt abstrakte definition til at formulere interessante og vigtige påstande angående integratorer og integration. Udsagnene er i det store hele umiddelbare konsekvenser af definitionen, og beviserne overlades for en stor del til læseren. A Mængden af integratorer er et vektorum. Dvs. hvis X t og Y t er integratorer med tilhørende integraler I X P, DIX P og IY P, DIY P, så er ax t + by t en integrator for alle reelle tal a og b, og et tilhørende integral er givet ved ai X P + bi Y P, DI X P DI Y P. B Mængden af integratorer er stabil under lokalt ækvivalent målskifte. Dvs. hvis X t er en P -integrator med tilhørende P -integral IP X, DIX P, og Q er et andet sandsynlighesmål, som er lokalt domineret af P, så er X t også en Q-integrator, og afbildningen IP X, DIX P er et Q-integral mht. X t. C Mængden af integratorer er stabil under standsning. Dvs. hvis X t er en integrator med tilhørende integral I X P, DIX P og τ en udvidet stoptid, så er Xτ t også en integrator, og et tilhørende integral er givet ved Z t I X P Z. τ t for Z t DI X P. Kombineres C med Korollar 1 ovenfor fås yderligere. D Lad X t C h være givet, så at Xt n := Xt τn er en integrator med tilhørende integral I Xn P, DI Xn P for en lokalisering τ n. Da er X t en integrator med et tilhørende integral IP X, DIX P specificeret ved DI X P := PR u.l.b. og IP X Z. τn t = IP Xn Z. t n 1 for Z t DIP X. Bevis. Ifølge C er I Xn+1 P Z. τn t = P IP Xn Z. t for alle n 1 og alle Z t DIP X. Korollar 1 sikrer derfor, at IX P Z. t er vel defineret, og resten følger nu af definitionen på en stokastisk integrator og egenskaberne ved d P -konvergens. E For enhver integrator X t og tilhørende integral IP X, DIX P konvergerer Z X + i 1 Z i 1/2 n Xi, n, t d P I X P Z. t for n. hvis Z t er uniformt lokalt begrænset og venstrekontinuert. Specielt gælder derfor, at I X P Z. t P = Z X τ2 t X τ1 t, hvis Z t = Z 1 ]]τ1,τ 2 ]]t for udvidede stoptider τ 1 τ 2 og Z bmf τ1 +. 2

21 Bevis. Den første formel følger umiddelbart af egenskaber ved integralet, da følgen af simple previsible processer n2 n Z 1 {} t + Z i 1/2 n 1 ] i 1/2 n,i/2 n ]t n 1 i=1 konvergerer punktvis lokal domineret mod Z t, som er element i PR u.l.b.. Den anden fås ved at bemærke, at for n tilstrækkelig stor er for ethvert ω {τ 1 < τ 2 } og ethvert t > Z X + i 1 Z i 1/2 n Xi, n, t ω = Zω X t i2 /2 nω X t i 1 /2 nω hvor i 1, i 2 1 er bestemt ved i 1 1/2 n τ 1 ω < i 1 /2 n i 2 1/2 n τ 2 ω < i 2 /2 n. Da der for enhver udvidet stoptid τ gælder, at Z 1 {} t 1 [[,τ]] t = Z 1 {} t og Y 1 ] a,b ] t 1 [[,τ]] t = Y 1 {τ a} 1 [[a,b τ]] t for a < b samt Z bmf og Y bmf a }, fås ved linearitet ud fra E, at I X P Z. 1 [[,τ]] t P = I X P Z. τ t for enhver udvidet stoptid τ og ethvert Z t EF. og dermed også for ethvert Z t PR u.l.b. ifølge et Monotont klasse argument. Alt i alt flg. resultat. F For enhver integrator X t og tilhørende integral IP X, DIX P er I X P Z. 1 [[,τ]] t P = I X P Z. τ t for enhver udvidet stoptid τ og ethvert Z t PR u.l.b.. Bemærkning. Approksimationer af samme type, som dem der blev anvendt nederst side 19, viser, at hvis IP X, DIX P identificerer P -uskelnelige integranter, så gælder formlen i F også for alle Z t DIP X LPR u.l.b.. Ud fra F kan man også vise, at for enhver stokastisk integrator X t, hvis integral identificerer P -uskelnelige elementer i PR u.l.b., findes der et kanonisk integral I X P på LPR u.l.b. givet ved I X P Z. t = lim n I X P Z. 1 [[,τn]] t, hvor grænseovergangen sker i d p, og τ n er en lokalisering, så at Z t 1 [[,τn]]t PR u.l.b. for alle n 1. Integralet identificerer P -uskelnelige elementer og opfylder F. 21

22 Beviset, der i det store hele overlades til læseren, består først og fremmest i at få vist, at grænseværdien eksisterer og er uafhængig af den valgte lokalisering. Men for Z t og τ n valgt som ovenfor fås af F, at I X P Z. 1 [[,τn]] t P = I X P Z. 1 [[,τn+1 ]] 1 [[,τn]] t P = I X P Z. 1 [[,τn+1 ]] τn t for alle n, hvilket ifølge Korollar 1 sikrer eksistensen af grænseværdien. Er endvidere S n en anden lokalisering med samme egenskab gælder ifølge integralets kontinuitet samt F, at I X P Z. 1 [[,Sk ]] t P = lim n I X P Z. 1 [[,Sk ]] 1 [[,τn]] t P = lim n I X P Z. 1 [[,τn]] S k t P = I X P Z. S k t for alle k, hvilket viser uafhængigheden af den valgte lokalisering. 22

23 Stokastisk integration B. For bedre at forstå konstruktionen af de to hovedtyper af stokastiske integraler indføres yderligere lidt notation hørende til et A t VP. Definer for Y t P rr + og t hvor ω L.S. Y s da s ω = Y s ω da s ω ω V A t ω / V A t, V A t = {ω s A s ω er voksende i [, t] }. L.S. notationen er valgt for at understrege tilknytningen til Lebesgue-Stieltjes integralet. Da V A t F t er den herved definerede variabel F t -målelig med værdier i R + { }. Herudfra defineres og dvs. L 1 A., P := {Y t P rr L.S. L 2 A., P := {Y t P rr L.S. Y s da s < P -n.o. for alle t} Y 2 s da s < P -n.o. for alle t}, Y t L 2 A., P Y 2 t L 1 A., P. I det vigtige specialtilfælde, hvor A t er den deterministiske proces t, benyttes specialbetegnelserne L 1 λ, P og L 2 λ, P. Til senere brug udvides ovenstående L.S.-variabel til hele L 1 A., P via fastsættelsen L.S. Y s + da s L.S. Ys da s hvis L.S. Y s da s < L.S. Y s da s := ellers. En simpel overvejelse viser inklusionen PrR l.b. L 2 A., P L 1 A., P, og at de to L-rum er D-mængder, som yderligere er stabile under multiplikation med processer i PrR l.b.. Disse egenskaber holder også for de for os mere interessante rum L 1 E, A., P og L 2 E, A., P, hvor L 1 E, A., P betegner de elementer Y t i L 1 A., P, for hvilke der findes en følge Yt n EF., så at L.S. Y s Y n s da s n i P -mål for alle t. 23

24 og tilsvarende L 2 E, A., P de elementer Z t i L 2 A., P, for hvilke der findes en følge Zt n EF., så at L.S. Z s Z n s 2 da s n i P -mål for alle t. Bemærk at en anvendelse af trekantsuligheden hhv. Cauchy-Schwarz s Ulighed viser, at hvis hhv. så gælder hhv. L.S. L.S. L.S. L.S. Y s Y n s da s n i P -mål for alle t. Z s Z n s 2 da s n i P -mål for alle t. Y n s da s n L.S. Z n s 2 da s n L.S. Y s da s i P -mål for alle t Z 2 s da s i P -mål for alle t. Det næste resultat omhandler størrelsen af L 1 E, A., P og L 2 E, A., P. Proposition 5 L 1 E, A., P / L 2 E, A., P indeholder begge alle previsible samt alle P -venstrekontinuerte elementer i L 1 A., P / L 2 A., P, og hvis A t V c P er L 1 E, A., P = L 1 A., P og L 2 E, A., P = L 2 A., P. Udsagnet vedrørende de previsible elementer følger af det Monotone klasse lemma, og hvad angår de P -venstrekontinuerte processer, er der tale om en anvendelse af Lebesgue s Sætning. Derimod er identiteterne mere komplicerede, og læseren henvises til Lemma 5.4 på side 185 i R. Sh. Liptser og A.N.Shiryaev s bog Stochastics of Random Processes. Tilfældet A t = t følger det dog ved et simpelt approksimerende kerne -argument. Bemærk at fuldstændigheden af L 2 -rummet hørende til målrummet hvor for t > sikrer, at hvis µ t B = E[ L.S. [, t ] Ω, B[, t ] F t, µ t, 1 B s, da s ] B B[, t ] F t, lim E[ L.S. Zs n Zs m 2 da s ] = for Zt n n 1 L 2 A., P, n,m så findes der et Z t L 2 A., P, så at E[ L.S. Z n s Z s 2 da s ] for alle t >. 24

25 Stokastisk integration C. Vi er nu klar til at vise, at ethvert element i VP og i M 2 P er en integrator, samt at konstruere de dertil hørende kanoniske integraler. Ifølge påstandene A, C og D på side 2 er alle processer af typen BVP + L M 2 P derfor også integratorer. Lad først A t VP være givet. Da I A Y. t og L.S. Y s da s er P -uskelnelige for alle Y t EF., gælder for ethvert par af processer Y t, Z t EF. P sup I A Y. s I A Z. s ɛ = P sup I A Y. Z. s ɛ s k s k = P sup I A Y. Z. s ɛ = P sup L.S. s Qk s Qk P sup L.S. s Qk s s Y u Z u da u ɛ P L.S. k Y u Z u da u ɛ Y s Z s da s ɛ for alle k 1 og ɛ >, hvor Qk = [, k ] Q. Proposition 1 sikrer derfor, at lim n I A Y n. t eksisterer i d p for ethvert Y t L 1 E, A., P og enhver følge Yt n EF. så at L.S. Y s Y n s da s n i mål for alle t. Eksistensen af grænseværdien for enhver approksimerende følge viser, at grænseværdien ikke afhænger af den eksplicitte valgte approksimerende følge. Vi kan derfor definere en afbildning IP A fra L1 E, A., P ind i C h P ved fastsættelsen hvor Yt n EF. er valgt så at L.S. I A P Y. t := lim n I A Y n. t i d p, Y s Y n s da s n i mål for alle t. Da I A er lineær, bliver IP A tydeligvis P -lineær. Tidligere overvejelser viser, at hvis Y t L 1 E, A., P er P -venstrekontinuert kan Yt n EF. vælges således, at der findes en delfølge n k k 1, så at I A P Y. t = lim k I A Y n k. t = lim k Y n k t A t i d p 25

26 og dermed Endvidere er hvilket sikrer uligheden I A P Y. t P = Y t A t. L.S. Y s da s P = I A P Y. t, P sup IP A Y. s IP A Z. s ɛ P L.S. s t Y s Z s da s ɛ for alle t, ɛ > og alle Y t, Z t L 1 E, A., P. Ved brug heraf ses nu let, at I A P, L1 E, A., P er et stokastisk integral mht. A t. Det netop konstruerede integral mht. til et element i VP kaldes det kanoniske integral, og det er altid det, man har i tankerne, når vi taler om et stokastisk integral mht. en proces i VP. Som det fremgår af definitionen, er integralet op til uskelnelighed et punktvis Lebesgue-Stieltjes integral. Denne egenskab sikrer udover ekstra kontinuitetsegenskaber, at alle integralprocesserne er elementer i BVP. For integralprocessen hørende til en ikke-negativ integrant er tydeligvis P -n.o. voksende, dvs. element i VP, hvoraf resten følger ved linearitet. Vi samler det viste i en sætning, hvor vi i følge sædvane i stedet for IP AY. t skriver Y s da s Sætning 1 Ethvert A t i VP er en integrator, og det tilhørende kanoniske integral defineret på L 1 E, A., P har flg. egenskaber, hvor Y t og Yt n betegner elementer i L 1 E, A., P og τ en udvidet stoptid. a b Y s da s BVP BV c P hvis A t V c P. Y s da s og L.S. Y s da s er P -uskelnelige, og integralprocesserne hørende til Yt n konvergerer i d P -forstand mod integralprocessen hørende til Y t, hvis L.S. Y s Y n s da s n i P -mål for alle t. Specielt gælder, hvis Y t er P -kontinuert eller mere generelt P -venstrekontinuert og lokalt begrænset, at d Y i 1/2 n Ai, n, t P n Y s da s og Y s da s = P Y t A t. i 1 26

27 c Y s 1 [[,τ]] da s τ t P = Y s da s Påstand A side 2 giver derfor anledning til flg. korollar. P = Y s da τ s. Korollar 4 Ethvert A t i BVP er en integrator, og idet Y t og Yt n betegner tilladelige integranter gælder a b Y s da s BVP BV c P hvis A t BV c P. Y s da s og L.S. Y s da 1 s L.S. Y s da 2 s er P -uskelnelige, og integralprocessen hørende til Yt n konvergerer i d P -forstand mod integralprocessen hørende til Y t, hvis L.S. Y s Y n s da 1 s + A 2 s n i P -mål for alle t, hvor A i t VP for i = 1, 2 er valgt, så at A t = A 1 t A 2 t. Heraf fås specielt stoptidskalkylereglen, dvs. punkt c i Sætning 1, samt at d Y i 1/2 n Ai, n, t P n Y s da s og Y s da s = P Y t A t, i 1 hvis Y t er kontinuert eller mere generelt P -venstrekontinuert og lokalt begrænset. Hvis A t BVP MP og har integrabel variation, og Y t er P -venstrekontinuert og uniformt lokalt begrænset, er integralprocessen element i MP. Bevis. Kun martingaludsagnet er nyt. Men dette fås ved at observere, at antagelserne sikrer, at for alle n er i 1 Y i 1/2 n Ai, n, t MP og Y i 1/2 n Ai, n, t i 1 Y s da s i L 1 for alle t >. Integralprocesserne er altså igen integratorer, og sammenhængen mellem det oprindelige integral og integralet mht. en integralproces er derfor af interesse. I denne forbindelse er flg. resultat næsten oplagt. Proposition 6 Lad A t BVP og en tilhørende integrantproces Y t være givet. Afbildningen Z t Z s Y s da s, defineret for de progressivt målelige processer Z t for hvilke Z t Y t er en integrantproces for A t, er da et stokastisk integral hørende til integralprocessen Y s da s. 27

28 Lad nu i stedet X t M 2 P være givet. Skønt situationen her er helt anderledes, da udfaldsfunktionerne ikke nødvendigvis er af begrænset variation, er ideen i beviset den samme. Blot tager vi nu udgangspunkt i flg. egenskab ved det simple integral I X, EF.. Resultatet, hvis bevis overlades til læseren, udnytter ikke, at < X > t er P -kontinuert. Proposition 7 For alle Y t i EF. er I X Y. t M 2 P og I X Y. 2 t I <X> Y. 2 t MP, og I X Y. t er P -kontinuert, hvis X t er P -kontinuert. Mere præcist gælder I X Y. t P = Y t X t. Da I <X> Y. 2 t V c P for Y t i EF. fås derfor af Lenglart s Ulighed, at P sup I X Y s I X Z. s λ δλ + P s t 2 L.S. Y s Z s 2 d < X > s δ for alle t, δ, λ > og Y t, Z t EF.. Ud fra denne ulighed og Proposition 1 kan vi nu med samme argumentation som ovenfor definere en P -lineær afbildning IP X fra L 2 < X >., P ind i C h P ved fastsættelsen hvor Yt n EF. er valgt så at L.S. I X P Y. t := lim n I X Y n. t i d p, Y s Y n s 2 d < X > s n i mål for alle t. Ved approksimation med elementer i EF. ses endvidere, at ovenstående ulighed udvider til L 2 < X >., P, dvs. P sup I X Y s I X Z. s λ δλ + P s t 2 L.S. Y s Z s 2 d < X > s δ opfylder derfor kontinui- for alle t, δ, λ >, og alle Y t, Z t L 2 < X >., P. IP X tetsbetingelsen L.S. Y s Y n s 2 d < X > s i mål for t > I X P Y. t = lim n I X Y n. t i d p, for alle Y t og Y n t n 1 elementer i L 2 < X >., P. Specielt gælder at I X P Z 1 {} t P = og I X P Y 1 ] a,b ] t P = Y X b t X a t, hvor Z MF, Y MF a og a < b. Da I X P endvidere er en P -udvidelse af det simple integral, er det alt i alt oplagt, at 28

29 I X P, L2 < X >., P er et stokastisk integral mht. X t. Igen er der tale om et såkaldt kanonisk integral, og idet man normalt skriver HX, P i stedet for L 2 < X >., P, kan det viste med sædvanlig integralnotation formuleres som følger. Sætning 2 I X P, HX, P er et P -stokastisk integral mht. X t, som opfylder. 1 Integralprocesserne er kontinuerte, hvis X t er kontinuert, og mere generelt er hvis Y t HX, P er P -venstrekontinuert. Y s dx s P = Y t X t, 2 Hvis Y t og Yt n er elementer i HX, P så at konvergerer L.S. Y n s Y s 2 d < X > s n i P -mål for alle t, Ys n dx s d P Y s dx s for n. Er specielt Y t P -kontinuert eller mere generelt P -venstrekontinuert og lokalt begrænset, konvergerer d Y i 1/2 n Xi, n, t P Y s dx s for n. i 1 3 For ethvert Y t HX, P og enhver udvidet stoptid τ er τ t P P Y s 1 [[,τ]] s dx s = Y s dx s = Y s dxs τ. Bevisskitse. 2 følger umiddelbart af, og da de simple integraler er P -kontinuerte, hvis X t er P -kontinuert, fås P -kontinuiteten i 1, da CP er lukket under d p - konvergens. Hvad angår formlerne i 1 og 3 indses først, at de gælder for simple processer, hvorefter det generelle følger ved grænseovergang. Men vi kan sige mere om integralprocesserne. For da < X > t er en integrabel proces, findes der for ethvert Y t H 2 X, P, hvor H 2 X, P = {Y t HX, P E[ L.S. en følge Y n t EF., så at Y 2 s d < X > s ] < for alle t}. lim E[ L.S. Y s Ys n 2 d < X > s ] = for alle t. n 29

30 og dermed samt lim E[ L.S. Y 2 d < X > s L.S. n lim E[ L.S. Ys n m,n Men ifølge Proposition 7 er E[I X Y. n 2 t ] = E[ L.S. for alle n, og der må derfor gælde, at Y n s 2 d < X > s ] = Y m s 2 d < X > s ] = for alle t. Y n s 2 d < X > s ] I X Y. n t n Y s dx s i L 2 for alle t, for alle t hvilket alt i alt giver anledning til flg. resultat. Sidste del følger af Sætning 2 punkt 3, idet vi udnytter, at der for ethvert Y t HX, P findes der en lokalisering τ n så at Y t 1 [[,τn]]t H 2 X, P for alle n 1. τ n erne kan f.eks. vælges som τ n = inf {t > Sætning 3 For alle Y t H 2 X, P er Y s dx s M 2 P og < Y 2 s d < X > s > n }. Y s dx s > t P = og dermed for alle t og alle Y t og Z t i H 2 X, P og E[ 2 E[ Y s dx s ] = E[ L.S. Y s dx s Z s dx s ] = E[ L.S. Mere generelt gælder for Y t HX, P, at Y s dx s L M 2 P og < Y 2 s d < X > s ] Y s dx s > t P = Y 2 s d < X > s, Y s Z s d < X > s ]. Y 2 s d < X > s. 3

31 Korollar 5 For alle Y t H 1 X, P er H 1 X, P := {Y t HX, P E[ L.S. M t H 1 X, P for ethvert M t M 2 P. Bevis. Ifølge Lenglart s Ulighed er E[ sup s t s Y s dx s MP, hvor Y 2 s d < X > s 1/2] < for alle t }. Y u dx u ] < for alle t > for ethvert Y t H 1 X, P, og første del følger derfor umiddelbart af Lemma 1. Anden del fås af Doob s ulighed, idet E[ L.S. for alle M t M 2 P. 1/2 Ms 2 d < X > s ] E[ sup Ms 2 1/2 < X > 1/2 t ] s t E[ sup Ms 2 ] E[ < X > t ] < s t Ved brug af stoptidskalkylereglen i Sætning 2 og korollarret til Proposition 1 ses at for ethvert X t L M 2 P med tilhørende voksende proces < X > t V c P, der ifølge Proposition 4 er entydigt karakteriseret ved at er afbildningen hvor τ n er en lokalisering så at X 2 t < X > t LMP, L 2 < X >., P Y t d P lim n X τn Y s dx τn s, t M 2 P og Xt τn 2 < X > τn t MP, vel defineret. Betegnes grænseprocessen ses let, at Y s dx s L 2 < X >., P Y t Y s dx s er et stokastisk integral mht. X t, samt at påstandene i sætningerne 2 og 3 med tilhørende korollar også holder for dette integral. Integralprocesserne er altså igen integratorer af samme type, og ikke overraskende gælder her som tidligere flg. sammenhæng mellem de tilknyttede integraler. 31

32 Sætning 4 Lad X t L M 2 P og Y t HX, P være givet og betegn med M t den tilhørende integralproces. Da er Z s dm s P = Z s Y s dx s for Z t {U t P rr U t Y t HX, P } = HM, P. Beviset, der overlades til læseren, består i at indse, at det er nok at vise resultatet for simple processer Y t og Z t. Men for simple processer følger identiteten ved umiddelbar opskrivning. Advarsel. Fællesmængden M 2 P BVP er ikke tom, idet den f.eks. indeholder processen X t := P t λt, hvor P t er en Poisson proces med parameter λ. Vi har altså to såkaldte kanoniske integraler mht. til denne proces. Som tidligere bemærket er disse sammenfaldende på PR u.l.b., men som flg.regnerier viser, gælder dette ikke for mere generelle integranter. P t og P t er tilladelige integranter for begge integraltyper, men beregning af integralerne opfattende X t som et element i BVP hhv. M 2 P giver P s dx s P = P t + Dvs. forskellige da P s dx s hhv. P s dx s P = P s dx s. P s dx s, som nævnt, er uafhængig af beregningsmetoden. Vi vil afslutte kapitlet med at indføre begrebet kvadratiske variation. Notation Et element X t C h siges at have endelig kvadratisk variation, hvis lim Xi, n, t 2 n i 1 eksisterer i d P. Grænseprocessen betegnes [X] t og kaldes den kvadratiske variationsproces hørende til X t. Endvidere siges to elementer X t og Y t i C h at have endelig mikset variation, hvis lim Xi, n, t Y i, n, t n i 1 eksisterer i d P. Grænseprocessen betegnes [X, Y ] t og kaldes den miksede variationsproces hørende til X t og Y t. Bemærk at [X, X] t P = [X] t, hvis X t har endelig kvadratisk variation. Definitionen giver umiddelbart anledning til flg. tre kommentarer. I. Ud fra definitionen på Xi, n, t fås at for givne dyadiske rationale tal < s < t gælder, at Xi, n, t 2 P -n.o. i 1 Xi, n, s 2 i 1 32

33 for n tilstrækkelig stor. Dvs. enhver kvadratisk variationsproces er P -voksende eller ækvivalent [X] t VP, hvis X t i C h har endelig kvadratisk variation. II. Yderligere ses let, at hvis X t i C h har endelig kvadratisk variation [X] t, så har X τ t for enhver udvidet stoptid τ også endelig kvadratisk variation, og der gælder flg. sammenhæng [X τ ] t P = [X] τ t P = [X] τ t III. Hvis X t, Y t og X t + Y t har endelig kvadratisk variation, har X t og Y t endelig mikset variation, og der gælder flg. sammenhæng [X, Y ] t P = 1 2 [X + Y ] t [X] t [Y ] t. Specielt er [X, Y ] t derfor i denne situation element i BVP, og kalkylereglerne vedrørende stoptider omtalt i punkt II overføres umiddelbart til den miksede variation. IV. Hvis X t og Y t har endelig kvadratisk variation og [Y ] t P =, har X t og Y t endelig mikset variation og [X, Y ] t P =. Da vi kun skal beskæftige os med begrebet mikset variation i situationer, hvor forudsætningerne i punkt III eller IV er opfyldte, vil vi i det følgende kun beskæftige os med kvadratisk variation. Flg. simple regnerier holder for ethvert X t i C h. 2 i 1 X i 1/2 n Xi, n, t = 2 i 1 X i 1/2 n t Xi, n, t = i 1 Xi/2 n t + X i 1/2 n t X i/2 n t X i 1/2 n t Xi, n, t = i 1 X i/2 n t + X i 1/2 n tx i/2 n t X i 1/2 n t i 1 Xi, n, t 2 = X 2 t X 2 i 1 Xi, n, t 2. Dvs. X t har endelig kvadratisk variation, hvis og kun hvis lim X i 1/2 n Xi, n, t n i 1 eksisterer i d P. Det er derfor ikke overraskende, at mængden af processer med endelig kvadratisk variation er tæt forbundet med mængden af stokastiske integratorer. Dette kommer tydeligt frem i flg. resultater. 33

34 Sætning 5 Ethvert X t L M 2 P har endelig kvadratisk variation og Xt 2 = P 2 X s dx s + [X] t. Specielt gælder derfor a X 2 t [X] t, [X] t < X > t LMP MP hvisx t M 2 P. b [X] t P = X t 2, dvs. [X] t er P -kontinuert, hvis og kun hvis X t er P -kontinuert, og i givet fald er [X] t P = < X > t. Bevis. Lad X t L M 2 P være givet. Egenskaber ved integralet mht. X t viser sammen med Proposition 4, at det er nok at vise den første lighed. Men som allerede tidligere nævnt, sikrer Martingal Modifikationssætningen, at X t en P -caglad previsibel proces, så at hvor L.S. X s X n s 2 d < X > s n P -n.o. for alle t, X n t := 1 i 2 n X i 1/2 n 1 ] i 1/2 n,1/2 n ]t t. Egenskaber ved integralet sikrer derfor, at lim X i 1/2 n Xi, n, t n i 1 eksisterer i d P, hvoraf påstanden umiddelbart følger af de ovenstående regnerier. Bemærk at hvis X t M 2 P er endvidere E[ [X] t ] = E[X 2 t ] for alle t. Ikke overraskende gælder der et tilsvarende resultat for X t BVP. Ved brug af strukturen af det tilknyttede integral kan vi endog her give en mere nøjagtig beskrivelse af [X] t. Der gælder nemlig flg. resultat. Sætning 5A Ethvert X t BVP har endelig kvadratisk variation og Xt 2 = P 2 X s dx s + [X] t samt [X] t ω = s t X 2 s ω for alle t 34

35 for P -n.a. ω. Specielt har ethvert X t BV c P en forsvindende kvadratisk variationsproces, dvs. X t BV c P [X] t P =. Korollar 6 For ethvert X t BVP og ethvert Y t DP eksisterer den miksede variation, og der gælder [Y, X] t ω = Y s ω X s ω for alle t s t for P -n.a. ω. Specielt er [Y, X] t P = hvis Y t CP. Bevis for Sætning 5A. Beviset for den første formel forløber som ovenfor, og da simple egenskaber ved Lebesgue-Stieltjes integralet viser, at Xt 2 ω = 2 X s ω dx s ω + Xs 2 ω s t for alle t, hvis t X t ω er af begrænset variation, følger også den anden. Thi for P -n.a. ω gælder derfor ifølge sammenhængen mellem det stokastiske integral mht. X t og Lebesgue-Stieltjes integralet udfaldsfunktion for udfaldsfunktion, at [X] t ω = Xs 2 ω for alle t. s t Bevis for Korollar 6. Følger umiddelbart af egenskaber ved Lebesgue-Stieltjes integralet, da Xi, n, t Y i, n, t = Y i/2 n Xi, n, t Y i 1/2 n Xi, n, t i 1 i 1 i 1 for alle t > og n 1, og derfor Y i/2 nω Xi, n, tω n Y s ω dx s ω og i 1 Y i 1/2 nω Xi, n, tω n Y s ω dx s ω i 1 for alle t > og for de P -n.a. alle ω, hvor s X s ω er af begrænset variation på ethvert endeligt interval, og s Y s ω er højrekontinuert med venstre grænseværdier. Resultaterne forklarer, hvorfor man for X t BVP i stedet for [X] t som regel benytter betegnelsen. s t X 2 s Kombineres sætningerne 5 og 5A ses, at for X t M 2 P BVP er E[Xt 2 ] = E[ Xs 2 ] for alle t. s t 35

36 Itô s formel med anvendelser. Vektorrummet SM c P bestående af de processer i C h, som er P -uskelnelig fra en proces på formen X + M t + A t hvor X F, M t LM c P og A t BV c P, spiller en væsentlig rolle i stokastisk kalkyle og omtales som mængden af kontinuerte semimartingaler. Som notationen indikerer udgør SM c P netop de P -kontinuerte elementer i vektorrummet SMP, mængden af alle F t, P -semimartingaler, hvor X t C h ligger i SMP, hvis X t er P -uskelnelig fra en proces på formen X + M t + A t hvor X F, M t LMP og A t BVP. Beviset for påstanden er dog på ingen måde trivielt, idet det apriori ikke er klart, at springene i M t og A t ikke bare ophæver hinanden. Komponenterne M t og A t benævnes hhv. martingaldelen og den begrænsede variationsdel af den betragtede semimartingal. Bemærk at martingaldelen ikke nødvendigvis er en martingal. Da LMP BVP er de i det generelle tilfælde ikke entydigt bestemte op til P -uskelnelighed, men ifølge Proposition 4 ses dette at være tilfældet for kontinuerte semimartingaler. Da begge rum klart er stabil under standsning, følger umiddelbart af overvejelserne nederst side 4, at LSMP = SMP og LSM c P = SM c P. Som vist i sidste kapitel har ethvert element X t i SM c P endelig kvadratisk variation. Den miksede variationsproces eksisterer derfor også for ethvert par af processer i X t, Y t SM c P. Flg. formler er i denne forbindelse oplagte konsekvenser af resultaterne i sidste kapitel. [X] t P = [M] t og [X, Y ] t P = [M, N] t hvis X t P = X + M t + A t og Y t P = Y + N t + B t. Hovedresultatet indenfor stokastisk kalkyle, den såkaldte Itô s formel, viser, samtidigt med at den angiver specifikke regneregler for stokastiske integraler, at SMP og SM c P begge er stabil under såkaldte C 2 -transformationer. Men da vi ikke har udviklet teori til at klare det generelle tilfælde, nøjes vi med at formulere flg. vel kendte sætning. Sætning 6 Itô s formel. Lad f C 2 R n være givet, og lad X t betegne vektorprocessen X 1 t,..., X n t, hvor X i t erne er elementer i SM c P givet ved X i + M i t + A i t for i = 1,..., n, hvor X i F, M i t LM 2 cp og A i t BV c P. Da er fx t igen et element i SM c P, og fx t = P fx + M t + A t, hvor n t M t = fx x s dms i i i=1 36

37 og A t = n i=1 x i fx s da i s + 1/2 n i, 2 fx x i x s d[m i, M j ] s. j Resultatet kan ækvivalent beskrives ved, at fx t P = fx + n i=1 x i fx s dx i s + 1/2 n i, hvor vi skal huske på, at for en integrator X t, som ikke i, er 2 fx x i x s d[x i, X j ] s, j Y s dx s en kort skrivemåde for variablen I P X Y. t I P X Y.. Specielt fås for ethvert X t SM c P ved at benytte Itô s formel på funktionen og vektorprocessen X t, [X] t, at f : x, y expx y/2 EX t := expx t 1 2 [X] t = fx t, [X] t ofte omtalt som den stokastiske eksponential hørende til semimartingalen X t opfylder eksponential -ligningen EX t = P 1 + EX s dx s. Hvis M t M c P ses derfor, at EM t M c P, dvs. en ikke negativ lokal martingal og dermed en supermartingal. Da den endvidere er 1 i viser Lemma 2, at EM t er en martingal, dvs. en Radon-Nikodym proces, hvis og kun hvis E[ EM t ] = E[ expm t 1 2 [M] t ] = 1 for alle t >. Vi skal senere se, at martingalegenskaben er opfyldt under den såkaldte Novikov s betingelse, dvs. antagelsen E[ exp 1 2 [M] t ] < for alle t >. 37

38 Som den første anvendelse af Itô s formel vil vi bevise flg. sæt af maksimal uligheder kendt under navnet Burkholder Davis Gundy Ulighederne. Sætning 7 Burkholder Davis Gundy Ulighederne For ethvert p > findes der konstanter c p og C p kun afhængige af p, så at der for enhver M t LM c P med tilhørende kvadratisk variationsproces [M] t og maksimumsproces M t gælder c p E[ [M] p/2 t ] E[ M t p ] C p E[ [M] p/2 t ] for alle t. Bevis. Da tilfældet p, 2] allerede er klaret ved hjælp af Doob s og Lenglart s uligheder, betragtes et p > 2. Et lokaliseringsargument viser, at det er nok at se på processer M t, som tillige med den tilhørende kvadratiske variationsproces er uniformt begrænsede. Specielt er E[ Mt p ] og E[ [M] p/2 t ] derfor begge endelige for alle t >. Da p > 2 er x x p af klasse C 2, og Itô s formel giver derfor, at og da M t p P = p E[ da variablene er begrænsede, er sgnm s M s p 1 dm s + p p 1 2 M s p 2 d[m] s, M s 2p 1 d[m] s 1/2 ] E[ sup M s p 1 [M] t ] <, s t sgnm s M s p 1 dm s en martingal ifølge Korollar 5. Tages derfor middelværdi på begge sider i ovenstående opskrivning af M t p fås, idet vi kort skriver a p i stedet for p p 1/2, at E[ M t p ] = a p E[ M s p 2 d[m] s ] a p E[ sup M s p 2 [M] t ], s t hvilket ved brug af Doob s ulighed viser, at der findes en konstant C p kun afhængig af p, så at E[ M t p ] C p E[ M t p 2 [M] t ]. Hölder s ulighed brugt på de konjugerede tal p/2 og p/p 2 giver derfor E[ M t p ] C p E[ M t p ] p 2/p E[[M] p/2 t ] 2/p, og dermed ved forkortning, da tallene alle er endelige, at E[ M t p ] 2/p C p E[[M] p/2 t ] 2/p. Bemærk at C p ikke-nødvendigvis havde samme værdi gennem hele beviset. 38

39 Lad fortsat M t M 2 cp være valgt, så at den tillige med den tilhørende variationsproces er uniformt begrænsede. Sæt M t = Ifølge den udviklede integralteori er M s dm s. samt og derfor M t M 2 cp og [ M] t P = [M] t P = M 2 t 2 M 2 s d[m] s, M s dm s = M 2 t 2 M t, [M] p/2 t 2 p sup M s p + sup M s p/2 P -n.o. for alle t >. s t s t Tages her middelværdi på begge sider sider, fås af den allerede viste eksistens af C p/2, at der for alle t > gælder p/4 E[ [M] p/2 t ] 2 p E[ Mt p ] + C p/2 E[ Ms 2 d[m] s ] 2 p C p/ p C p/2 + 1 E[ Mt p ] + E[ sup M s p/2 [M] p/4 t s t E[ M t p ] + E[ M t p ] Eksistensen af c p følger nu af implikationen x C y + x y x E[ [M] p/2 t ]. C/2 + C + C 2 /4 y for x, y og C i R +. Korollar 7 Lad X t = M t + A t SM c P og Y t HM, P L 1 A. være givet. Da er E[ sup u t u Y s dx s ] 3 Yt p [M] 1/2 t + V ara t q for alle t > og p 1 hvor q er det konjugerede til p. Hvis p = 1 er q :=. Bevis. Lad p 1 samt X t og Y t som ovenfor være givet. Simple uligheder sikrer, at der for alle t > gælder sup u t u Y s dx s sup u t u 39 Y s dm s + sup u t u Y s da s

40 sup u t u Y s dm s + Y t V ara t. Tages her middelværdi på begge sider fås af Sætning 7 eller Lenglart s ulighed, at u E[ sup Y s dx s ] 3 E[ Ys 2 d[m] s 1/2 ] + E[ Yt V ara t ] u t 3 E[ Y t [M] 1/2 t + V ara t ] og dermed resultatet ifølge Hölder s Ulighed. Ovenstående uligheder omhandler L p -integrabilitet, og de viser specielt, at hvis den kvadratiske variation for en kontinuert lokal martingal har momenter af enhver orden, så gælder dette også maksimumsprocessen. Men gælder der tilsvarende resultater for eksponentielle momenter? For at undersøge dette lader vi fortsat M t betegne et givent element i LM 2 cp med tilhørende kvadratisk variationsproces [M] t og maksimumsproces M t. Svaret bygger på flg. resultat. Lemma 4 Lad t > være givet. Hvis [M] t K < P -n.o., så er og dermed P M t y 2 exp y2 2K y >. E[ expcm t 2 ] < for c < 1/2K og E[ exppm t ] < for p >. Bevis. Lad y > være givet. For ethvert θ > har vi Udnyttes her at P sup M s y = P sup θm s θy s t s t P sup θm s θ 2 /2 [M] s + θ 2 K/2 θy s t P sup exp θm s θ 2 /2 [M] s exp θy θ 2 K/2. s t exp θ M s θ 2 [M] s /2 er en positiv lokal martingal og dermed en supermartingal sikrer maksimalulighederne for sådanne, at hvilket ved evaluering i θ = y/k giver at P sup M s y exp θy + θ 2 K/2, s t P sup M s y exp y2 s t 2K. 4

41 Et analogt argument viser, at P inf M s y = P sup M s y exp y2 s t s t 2K og dermed ved addition den ønskede fordelingsulighed. Hvad de to øvrige påstande angår, er det nok at vise den første, men denne følger umiddelbart af, at E[ expcm t 2 ] < P X > u/c e u du <. Korollar 8 For alle t, x, y > er P M t x 2 exp x2 2y + P [M] t y. Bevis. Lad t, x, y > være givet og sæt τ y = inf {s > [M] s > y }. Da er P Mt x P Mt x, [M] t < y + P [M] t y P Mt τ y x, [M] t < y + P [M] t y P M τy t x + P [M] t y. Men da [M τy ] t = [M] t τy y P -n.o. fås af Lemma 4, at og dermed den ønskede vurdering. P M τy t x 2 exp x2 2y, Ud fra ovenstående to resultater er vi nu i stand til at vise flg. udsagn om eksponentielle momenter. M t, [M] t og M t er som ovenfor. Proposition 8 For ethvert t > og ethvert r > gælder E[ exp λ [M] t ] < for alle λ < r E[ exp λ M t ] < for alle λ < r/2, og dermed specielt E[ exp λ [M] t ] < for alle λ > E[ exp λ M t ] < for alle λ >. Bevis. Lad t > være givet. Vi viser først at for givet λ < 1/2 gælder E[ exp λ [M] t ] < E[ exp λ M t ] <. Vel kendte udregninger viser, at dette er ækvivalent med at vise, at e u P λ [M] t u du < e u P λ M t u du <. 41

42 Men udnyttes Korollar 6 for x = y = u/λ, fås og dermed e u P λ M t u du e u 2 exp u 2λ + P [M] t u/λ du e u P λ M t u du 4λ/1 2λ + e u P λ [M] t u du. Opskrives det netop viste resultat for am t, hvor a >, fås, idet det udnyttes at at for alle λ < 1/2 og a > gælder [am] t P = a 2 [M] t og am t P = am t, E[ exp λ a 2 [M] t ] < E[ exp λ a M t ] <, hvilket umiddelbart medfører den ønskede påstand. Ved hjælp af Proposition 8 kan vi nu vise Novikov s resultat side 37 nederst. Lad derfor M t M c P og t > være givet. Vi skal altså vise implikationen E[ exp 1 2 [M] t ] < E[ EM t ] = E[ expm t 1 2 [M] t ] = 1, eller rettere 1, da vi ved, at uligheden 1 holder. Da EM t LM c P ved vi, at der findes en lokalisering τ n, så at E[ EM τn t] = E[ expm τn t 1 2 [M] τ n t ] = 1 for alle n 1. Det er derfor nok at vise, at vi kan vælge lokaliseringen τ n, så at { expm τn t 1 2 [M] τ n t n 1 } er uniformt integrabel. Hvis [M] t er en begrænset variabel, er dette ifølge Proposition 8 opfyldt for enhver lokalisering, da expm τn t 1 2 [M] τ n t expm t L p for alle p > 1. Antag nu i stedet at der findes et ɛ >, så at E[ exp ɛ [M] t ] < og betragt en lokalisering τ n, så at [M τn ] t = [M] τn t er begrænset og E[ EM τn t] = E[ expm τn t 1 2 [M] τ n t ] = 1 for alle n 1. For alle r, p > 1 har vi, idet q betegner det konjugerede til p, expm τn t 1 2 [M] τ n t r exprm τn t 1 2 pr2 [M τn ] t exppr 2 /2 r/2 [M τn ] t 42

43 for alle n og dermed ifølge Hölder s Ulighed r E[ expm τn t 1 [M] 2 τ n t ] Men da E[ expprm τn t 1 2 pr2 [M τn ] t ] 1/p E[ exp 1 2 qrpr 1 [M τn ] t ] 1/q E[ expprm τn t 1 2 pr2 [M τn ] t ] 1/p E[ exp 1 2 rqpr q [M] t ] 1/q. expprm τn t 1 2 pr2 [M τn ] t = expprm τn t 1 2 [ pr M τn ] t fås af det netop betragtede begrænsede tilfælde, at og dermed E[ E[ expprm τn t 1 2 pr2 [M τn ] t ] = 1 expm τn t 1 2 [M] τ n t r ] E[ exp 1 2 rqpr q [M] t ] 1/q for alle n og alle p, r >. Dvs. det drejer sig om at indse, at vi kan vælge p, r >, så at 1 rqpr q = 1 rpr + qr 1 1/2 + ɛ. 2 2 Men dette er muligt ved at vælge p = 1 + ɛ og dernæst r tilstrækkeligt tæt ved 1. Antag nu at den generelle Novikov s betingelse E[ exp 1 2 [M] t ] < er opfyldt og betragt for ethvert ρ > processen M ρ t := 1 ρ M t. Da [M ρ ] t = 1 ρ 2 [M] t findes der for ethvert ρ > et ɛ ρ >, så at E[ exp ɛ ρ [M ρ ] t ] = E[ exp ɛ ρ 1 ρ 2 [M] t ] E[ exp 1 2 [M] t ] <. Dvs. for alle ρ > gælder ifølge det netop viste, at 1 = E[ expm ρ t 1 2 [M ρ ] t ] = E[ exp1 ρ M t ρ2 [M] t ] = E[ exp1 ρ M t 1 2 [M] t exp ρ ρ [M] t ] E[ expm t 1 2 [M] t ] 1 ρ E[ exp ρ [M] t ] ρ E[ expm t 1 2 [M] t ] 1 ρ E[ exp 1 2 [M] t ] ρ. Men da sidste faktor pr. antagelse går mod 1 for ρ gående mod, må der gælde E[ expm t 1 2 [M] t ] 1. 43

44 Som allerede bemærket er den derfor præcis 1, og vi har hermed vist, at Novikov s betingelse er til strækkelig til at sikre, at EM t er en martingal. Betingelsen er klart ikke nødvendig, men eksempler viser, at eksponenten 1 er det bedste, man kan 2 håbe på. Da exp 1M 2 t = exp 1M 2 t 1[M] 4 t exp 1[M] 4 t og derfor ses, at E[ exp 1 2 M t ] E[ EM t ] 1/2 E[ exp 1 2 [M] t ] E[ exp 1 2 M t ] < for alle t > under Novikov s antagelse. Endelghed af disse middelværdier medfører ikke Novikov s betingelse, men interessant nok gælder flg. udsagn: For ethvert M t M c P og ethvert t > gælder E[ exp 1 2 M t ] < E[ EM t ] = 1. Resultatet er en konsekvens af det såkaldte Kazamaki s kriterium, som på samme måde som Novokov s betingelse sikrer martingalegenskaben af EM t for et generelt M t LM c P. Men da kriteriet er vanskeligt at bruge, vil jeg ikke gå i dybden med dette emne. 44

45 I forbindelse med fordelingskonvergens for kontinuerte lokale martingaler, dvs. konvergens af de tilhørende fordelingsmål opfattet som sandsynlighedsmål på rummet CR +, R af kontinuerte funktioner fra R + R, er det med henblik på at vise stramhed vigtigt at kunne vurdere sandsynligheder af typen P sup s t <δ, s, t n M s M t > η for δ, η >, n 1 for en given kontinuert lokal martingal M t. For givne parametre δ, η og n er den betragtede sandsynlighed domineret af nδ P i=1 nδ { sup M iδ+u M iδ > η/3 } 1 u δ hvor nδ = [n/δ]. Sæt for i 1 i=1 N i t = M iδ+t M iδ og G i t = F iδ+t. P sup M iδ+u M iδ > η/3, 1 u δ En simpel overvejelse gennemfør denne viser, at Nt i LM 2 cp, Gt i med tilhørende kvadratisk variationsproces [M] iδ+t [M] iδ, og ifølge Lemma 2 er for ethvert y > P sup M s M t > η derfor domineret af s t <δ, s, t n 2nδ + 1 exp η2 nδ 18y + P [M] i+1δ [M] iδ > y, og dermed sæt y = η 2 /27 log δ af i=1 nδ 2n + δ δ 1/2 + P [M] i+1δ [M] iδ > Resultatet er specielt anvendeligt under flg. antagelser. i=1 1 Der findes konstanter c, α, β >, så at η2 27 log δ. E[ [M] t [M] s α ] c t s 1+β for s < t s Der findes et p > 1, så at [M] t = Z s ds og E[ Z s p ds ] = C t < t >. For ved anvendelse af Markov og Jensens uligheder vises let, at 1 P sup M s M t > η 2n + 1 δ 1/2 + cn α s t <δ, s, t n η log 2α δα δ β 45

46 og 2 P sup M s M t > η 2n + 1 δ 1/2 + C n n p s t <δ, s, t n η log 2p δp δ p 1. Bemærk at højresiderne for givne valg af n og η kan gøres vilkårligt lille ved at vælge δ lille nok. Som nævnt er ovenstående vurdering interessant i forbindelse med fordelingskonvergens for en følge X n t n 1 af kontinuerte lokale martingaler, dvs svag konvergens af de tilhørende fordelingsmål P X ṇ n 1 opfattet som mål på det polske rum CR +, R udstyret med topologien svarende til uniform konvergens på endelige intervaller. Ved brug af Arzela-Ascoli s Sætning gælder nemlig, at P X ṇ n 1 er en stram følge, hvis og kun hvis flg. to punkter er opfyldte a b lim sup δ n P sup s t <δ, s, t k lim sup P X n > M =. M n X n s X n t > η = for alle η > og k 1. Bemærk at a specielt er opfyldt, hvis sup E[ X n ] <. n 46

47 Som endnu en anvendelse af Itô s formel vil vi se på den såkaldte Tanaka s formel. Som tidligere nævnt er SM c P stabil under C 2 -transformationer, dvs. hvis X t er en kontinuert semimartingal på formen X + M t + A t hvor X F, M t LM 2 cp og A t BV c P, og f C 2 R, så er fx t igen en kontinuert semimartingal, idet fx t = P fx + f X s dm s + f X s da s + 1 f X s d[x] s. 2 Vi vil nu vise, at SM c P endvidere er stabil under transformation med konvekse funktioner og derfor, da SM c P er et vektorrum, stabil under transformation med differenser af sådanne. Lad hertil f betegne en funktion som er konveks på hele R. Ifølge resultater fra klassisk analyse er f kontinuert og differentiabel fra venstre i et ethvert punkt, og f x := lim t fx h fx h = lim t fx fx h h er en venstrekontinuert voksende funktion. Sæt for n 1 f n x = hvor ψ er en funktion af klasse C b ψ, fx y n ψny dy = opfyldende ψx = x 1 og 1 x R fz n ψnx z dz, ψx dx = 1. Simple overvejelser viser, at f n er konveks og element i C 2 R for alle n, og endvidere konvergerer f n x fx og f nx f x for alle x R. Bemærk at den sidste grænseovergang sker lokalt domineret. For ethvert n 1 gælder derfor ifølge Itô s formel at f n X t = P f n X + f nx s dm s + f nx s da s + 1 f 2 nx s d[x] s, og da kontinuitetsegenskaber ved de indgående integraler sikrer, at f nx s dm s + f nx d s da P s f X s dm s + f X s da s. eksisterer der derfor et A f t CP, så at f nx s d[x] s d P A f t. 47

48 Men da de approksimerende processer alle ligger i V c P, da f n ifølge konveksiteten er ikke-negativ, ligger A f t også i V c P. Alt i alt har vi altså beskrivelsen fx t P = fx + f X s dm s + f X s da s Af t dvs. fx t er en kontinuert semimartingal. SM c P er altså stabil under transformation med konvekse funktioner. Vi vil nu nærmere studere specialtilfældet f a x := x a + x, a R. For givet a er f a tydeligvis konveks, og da f a, = 1 ] a, gælder som netop vist ligheden X t a + = P X a ] a, X s dm s + 1 ] a, X s da s La t, hvor vi ifølge gængs notation skriver L a t i stedet for A fa t. Udnyttes at fås derfor, at X t a P = samt hvor X t a P = x = x + x og x = x + + x for x R X a + X a + 1,a, ] X s dm s + sgnx s a dm s +, 1,a, ] X s da s La t sgnx s a da s + L a t sgnx := 1 ] x 1, ] x x R specielt sgnx 2 1. L a t kaldes lokaltiden for semimartingalen X t hørende til punktet a, en betegnelse der blandt andet hænger sammen med flg. egenskab. Lemma 5 For n.a. ω vokser t L a t ω kun på mængden {t X t ω = a}. Bevis. Et muligt bevis bygger på, at man ved nærmere at studere konstruktionen via de angivne approksimationer observerer, at L a t = P 1 ] a ɛ,a+ɛ [ X s dl a s for alle ɛ >. En mere elegant metode beror på at opskrive X t a 2 = X t a 2 ved hjælp af Itô s formel. Da de to opskrivninger naturligvis er uskelnelige, fremkommer ligheden X s a dl a P s = 48,,

49 og dermed det ønskede resultat. Ovenstående formler viser, at lokaltiden for en standset proces fremkommer ved standsning af den oprindelige lokaltid, dvs. hvis L a t er lokaltiden for X t hørende til et a, så er L a τ t en lokaltid for X τ t hørende til punktet a for enhver udvidet stoptid τ og for ethvert a R. Men i beviset for Tanaka s Sætning får vi brug for at vide, at lokaltiden kan vælges målelig som funktion af rumvariablen a. Der gælder nemlig flg. simple resultat, hvor X t er som ovenfor. Lemma 6 Der findes en parametriseret mængde {L a t a R} V c P, så at a, t, ω L a t ω er BR PrF. målelig og L a t P = L a t for alle a R. Bevis. Det er tydeligvis nok at vise, at vi kan vælge en a-målelig udgave af sgnx s a dx s = sgnx s a dm s + sgnx s a da s. Dette gøres ved brug af Korollar 2. For da sgnx t a er venstrekontinuert og uniformt begrænset, sikrer egenskaber ved de indgående integraler, at denne integralproces for ethvert a er en d P -grænseværdi af sgnx i 1/2 n a Xi, n, t, i 1 og da disse oplagt opfylder den krævede målelighed, følger det ønskede resultat af Korollar 2. I det følgende vil vi derfor stiltidende antage, at lokaltiderne opfylder betingelsen i Lemma 6. Vi kan nu bevise flg. sætning. Sætning 8 Tanaka s Formel Lad X t = X + M t + A t betegne en kontinuert semimartingal og f en differens mellem to konvekse funktiner. Da er fx t = P fx + f X s dx s + 1 L a t µ f da, 2 hvor µ f er Radon målet svarende til den anden afledede af f. Bevis. Lineariteten viser, at det er nok at se på konvekse funktioner. Lad derfor f være en sådan og lad µ f betegne Radon målet repræsenterende den anden afledede af f. Sæt for n 1 f n x = 1 2 n n R x a µ f da x R. f n erne er da konvekse med anden afledede givet ved restriktionen af µ f til intervallet [ n, n ], og for ethvert n findes der derfor to konstanter α n og β n, så at fx = f n x + α n x + β n n x n. 49

50 Antag nu at formlen er vist for f n erne, dvs. f n X t = P f n X + f n X s dx s for alle n 1. Defineres for n 1 følger derfor ved standsning, at f n Xt τn = P f n X τn + og dermed på mængden {τ n > } fx τn t α n X τn t + τn for alle t, hvilket simplificerer til fxt τn = fx τn + τ n := inf {t > X t > n } τn n f n X τn s dx s n L a t µ f da + β n = fx τn α n X τn + β n α n Xt τn f X τn s dx s τn R R L a t τ n µ f da P -n.o. f X s dx s R L a t τ n µ f da X τn L a t τ n µ f da. Formlen for f fås nu ved grænseovergang, da τ n P -n.o. Vi kan og vil derfor antage, at f er på formen fx = x a µda x R, R hvor µ er et endeligt mål koncentreret på et endeligt interval. En simpel overvejelse viser, at µ f = 2 µ og at f x = sgnx a µda x R. Men som allerede vist gælder derfor P X t a µda = fx + R og da sgnx s a dx s P = R R sgnx s a dx s µda sgnx s a dm s + udestår derfor kun at vise flg. to Fubini-resultater : sgnx s a dm s µda = sgnx s a µda dm s = R R 5 R sgnx s a da s L a t µ f da f X s dm s

51 samt R sgnx s a da s µda = R sgnx s a µda da s = f X s da s P -n.o. for alle t. Her er det sidste umiddelbart, som følge af den nære sammenhæng mellem integralet mht. til A t og det punktvise Lebesgue-Stieltjes integral. Det første er derimod mere kompliceret. Lad t > være givet. Et standsningsargument viser, at vi kan og vil antage, at M t M 2 cp og < M > t derfor integrabel. Ifølge standard uligheder gælder med C angivende en konstant, som er uafhængig af M t, men kan variere fra linie til linie, 2 E[ sgnx s a dm s µda sgnx i 1 a Mi, n, t µda ] 2n R C C R R i 1 E[ sgnx s a dm s 2 sgnx i 1/2 n a Mi, n, t ] µda i 1 R i 1 1/2 n t E[ sgnx s a sgnx i 1/2 n a 2 d < M > s ] µda. i 1/2 n t Ved brug af Lebesgue s Sætning fås derfor, da E[< M > t ] + µr < og at R i 1 s sgnx s a venstrekontinuert og uniformt begræset, sgnx i 1/2 n a Mi, n, t µda R sgnx s a dm s µda i L 2. Men da sgnx i 1/2 n a Mi, n, t µda = f X i 1/2 n Mi, n, t R i 1 i 1 konvergerer det ligeledes i sandsynlighed mod f X s dm s, hvilket alt i alt sikrer det ønskede Fubini-resultat. Korollar 9 Occupation time formlen. For P -n.a. ω er φx s ω d[x] s ω = R φa L a t ω da for alle t og alle Borel målelige funktioner φ : R R, som enten er begrænsede eller ikke-negative. 51

52 Bevis. Sammenholdes Itô s og Tanaka s formler ses, at formlen holder for ethvert t, hvis φ = f for et f C 2 R med en nulmængde, der muligvis afhænger af både t og φ. Afhængigheden af t fjernes umiddelbart ved at fokusere på rationale t, og ved at vælge en passende følge φ n, som er tæt i CR i den uniforme topologi ses, at formlen holder for alle t og alle φ CR udenfor en fast nulmængde. Resten følger derefter af Det Monotone Klasse Lemma. Som allerede vist, afhænger lokaltiden måleligt af rumvariablen. Men i mange situationer kan man vælge en udgave, der n.s. er kontinuert som funktion af a, t. Da tingene er noget komplicerede for generelle kontinuerte semimartingaler, vil jeg nøjes med at se på et X t af formen X + M t, hvor X F og M t LM 2 cp. I denne situation har vi ifølge det ovenstående beskrivelsen 1 2 La t P = X t a + X a + 1 ] a, X s dm s, dvs. det drejer sig om at vise eksistensen af en tilstrækkelig pæn udgave af M a t := 1 ] a, X s dm s. For givne reelle tal a < b fås af B-G-D-Ulighederne og Korollar 6, at der for ethvert t og k 1 gælder k E[ sup M s a M s b 2k ] C k E[ 1 {a<xs b} d < M > s ] s t Men da og k b k = C k E[ 1 {a<xs b} d[x] s ] = C k E[ L x t dx ] a C k b a k 1 E[ b L x t = 2 X t x + X x + a L x t k dx ] C k b a k sup x y x + z x + y z 1 ] x, X s dm s x, y, z R E[L x t k ]. fås ved fornyet brug af B-G-D-Ulighederne, at der findes en konstant d k kun afhængig af k, kan varierere fra linie til linie, så at sup x E[L x t k ] d k E[ sup X s X k + < M > k/2 t ] s t = d k E[ sup M s k + < M > k/2 t ] d k E[ < M > k/2 t ]. s t Dvs. alt i alt er for alle t og k 1 E[ sup M s a M s b 2k ] d k C k b a k E[ < M > k/2 t ], s t 52

53 og der gælder tilsvarende lokaliserede udgaver, dvs. E[ sup M s τ a M s τ b 2k ] d k C k b a k E[ < M > k/2 t τ] s t for enhver stoptid τ. Ved nu at vælge en lokalisering τ n, så at sup t E[ < M > k/2 t τ n ] < for alle k, n 1, følger af Kolmogorov s Modifikationssætning, at der for ethvert n 1 findes en udgave af M a t τ n, som n.s. afhænger kontinuert af a, t. Dette gælder derfor også for M a t, og vi har hermed vist flg. resultat. Proposition 9 For enhver kontinuert semimartingal X t = X + M t, hvor X F og M t LM 2 cp, findes der en udgave af processen {L a t a R, t R + }, så at a, t L a t ω er kontinuert for n.a. ω. For generelle kontinuerte semimartingaler kan man normalt kun vise kontinuitet i t og højrekontinuitet med venstre grænseværdier i a. Proposition 9 muliggør flg. direkte beskrivelse af lokaltiden, som understreger betydningen af den anvendte betegnelse. Korollar 1 Hvis X t er en kontinuert semimartingal på formen X + M t, hvor X F og M t LM 2 cp, gælder n.o. for alle t og a, at L a 1 t = lim ɛ 2ɛ 1 ] a ɛ,a+ɛ [ X s d < X, X > s. Hvis X t er en generel kontinuert semimartingal gælder tilsvarende n.o. for alle t og a, at L a 1 t t = lim 1 [ a,a+ɛ [ X s d < X, X > s. ɛ ɛ Bevis. Vi viser kun første del, idet den anden går analogt. Lad {L a t a R, t R + } være valgt i hht. Proposition 9. Ifølge Occupations formlen gælder n.o. for alle a og t, ɛ >, at 1 2ɛ 1 ] a ɛ,a+ɛ [ X s d < X, X > s = 1 2ɛ R 1 ] a ɛ,a+ɛ [ x L x t dx, hvoraf resultatet følger ved grænseovergang udnyttende kontinuiteten af lokaltiden som funktion af rumvariablen. 53

54 I forbindelse med studiet af lokaltider er flg. funktionalanalytiske lemma ofte af interesse. Lemma 7 Skorokhod Lad f : R + R betegne en kontinuert funktion, så at f >. Da findes der et entydigt bestemt par g, h af reelle kontinuerte funktioner på R +, som opfylder 1 g = f + h 2 g og h er voksende og i, og det tilhørende Lebesgue-Stieltjes mål λ h er koncentreret på mængden {s gs = }. Funktionen h er givet ved ht = sup fs + s t Bevis. Det ses let, at hvis g := f + h, hvor h er defineret som angivet i lemmaet, så opfylder g, h de krævede betingelser. For at vise entydigheden lader vi g, h betegne endnu et par med de samme egenskaber. Funktionen g g = h h er derfor kontinuert, i og af begrænset variation, og ifølge simple regneregler for Lebesgue-Stieltjes integralet gælder derfor for alle t >, at g gt 2 = 2 g gs dg gs = 2 og dermed ifølge punkt 2 ligheden g gt 2 = 2 gs dh s 2 g gs dh hs, gs d h s t >. Men ifølge punkt 2 er højresiden ikke-positiv. Den må derfor være lig, og beviset er hermed ført. 54

55 Orthogonalitet af martingaler. I lighed med situationen i L 2 P vil vi i dette afsnit indføre et orthogonalitetsbegreb i martingalrummet M 2 P. Notation M t og N t i M 2 P siges at være orthogonale, hvis M t N t er en martingal, dvs. element i MP, dvs. ifølge Lemma 3 E[M τ N τ ] = for enhver begrænset stoptid τ. Dette betegnes i givet fald M t N t. Bemærk at M t M t M t P =. Hvis M t og N t er P -kontinuerte, dvs. elementer i M 2 cp, viser Itô s formel at og dermed M t N t P = N s dm s + M s dn s + [M, N] t M t N t [M, N] t P =. Heraf fås ifølge vel kendte formler for samt kontinuitetsegenskaber ved den miksede variation, at for M t og N t i M 2 cp gælder yderligere implikationen M t N t L 2 M t L 2 N t, hvor for et X t M 2 P L 2 X t := { Y s dx s Y t H 2 X, P }. Som normalt defineres for enhver delmængde H M 2 P H := {N t M 2 P M t N t for alle M t H } Det ses umiddelbart, at H er et d 2 P -lukket underrum i M2 P, samt at H er stabil under standsning. For lader vi N t betegne et element i H og S en udvidet stoptid, har vi for alle M t H og alle begrænsede stoptider τ, at E[N S τ M τ ] = E[N S τ M τ ] = E[N S τ E[M τ F S τ ] ] = E[N S τ M S τ ] =. Tilfældet, hvor H også er et d 2 P -lukket underrum, som er stabil under standsning, er særligt vigtigt. Interessante eksempler er her M 2 cp samt L 2 X t for et X t i M 2 P. d 2 P -lukketheden af L 2X t følger her af Sætning 3 og bemærkningen, der afslutter afsnittet Stokastisk Integration B. I denne sammenhæng gælder nemlig flg. dekompositionsresultat. 55

56 Proposition 1 Hvis H er et d 2 P -lukket underrum, som er stabil under standsning, er M 2 P = H H. Dvs. ethvert M t M 2 P kan skrives på formen M 1 t + M 2 t hvor M 1 t H og M 2 t H, og dekompositionen er entydig op til uskelnelighed. Bevis. Entydigheden følger ved linearitet, da H H, som allerede nævnt, kun består af nulprocessen. Dvs. kun eksistensen mangler. Lad hertil N t M 2 P være givet. Sæt for n 1 Bemærk at hvor V n = {M n M t H }. V n = {M n M t H n }, H n = {M t H M t P = M n t }. Simple argumenter baseret på antagelserne om H sikrer, at V n er et lukket underrum i L 2 P samt at V n V n+1 for alle n. Ifølge Projektionssætningen kan vi derfor for ethvert n 1 bestemme et M n t H, så at Det gælder nu om at vise M n n er den orthogonale projektion af N n på V n. M n+1 t n P = M n t n n 1. For da simpel induktion viser, at der dermed gælder M m t n P = M n t n for 1 n m, fås af Korollar 1, at der findes et M t C h P, så at M t n P = M n t n for alle n 1 og dermed M t M 2 P samt M t n n d2 P M t. Da H er d 2 P -lukket, kan vi antage et M t H. M t er den ene del af den søgte dekomposition, for som vi nu skal se, er N t M t H. Lad hertil M t H og τ n en begrænset stoptid være givet. Martingalegenskaben viser at E[ N τ M τ M τ ] = E[ N n M n M τ ] 56

57 og dermed E[ N τ M τ M τ ] =, da M τ V n, da H er stabil under standsning. Vi mangler derfor kun at vise. n+1 Hertil er det for givet n 1 nok at vise, at M n = M n n P -n.o., hvilket pr. valg af M n n n+1 vil være vist, hvis N n M n Vn. Men for alle M n V n V n+1 har vi n+1 n+1 E[ N n M n M n ] = E[ N n+1 M n+1 M n ] =. Inden vi fortsætter noteres flg. i sig selv interesante resultat. Bemærk at vi allerede ovenfor har omtalt et specialtilfælde af dette resultat. Lemma 8 Lad H betegne en ikke-tom delmængde af M 2 P. Da gælder X t H M 2 P L 2 X t H. Bevis. Lad H og X t H M 2 P være givet. Ved udnytte konstruktionen af integralet ses, da H er d 2 P -lukket, at det er nok at vise, at H indeholder alle simple integraler mht. X t, og da H endvidere er et underrum, er det endog nok at vise, at Y X t v X t u H for alle u < v og alle Y bmf u. Lad derfor en sådan proces Y X t v X t u være givet og vælg M t H. Vi skal altså vise at M t Y X t v X t u er en martingal. Men hertil er det klart nok at vise, at for alle u s < t er E[M t Y X t v X t u F s ] = M s Y X s v X s u P -n.o. Men dette er en umiddelbar konsekvens af, at M t og M t X t er martingaler, da E[M t Y X t v X t u F s ] = Y E[M t X t v F s ] Y X u E[M t F s ] = Y E[M t v X t v F s ] Y X u M s = M s Y X s M s Y X u = M s Y X s v X s u. M 2 cp betegnes normalt M 2 d P og omtales som rummet af rent diskontinuerte martingaler. Dvs. M t M 2 d P hvis M t M 2 P og M t N t MP for alle N t M 2 cp. Til senere brug skal det bemærkes, at det her er nok, at martingalegenskaben gælder for alle N t M 2 cp, som er uniformt begrænset. For antag at dette er tilfældet og betragt et vilkårligt element N t M 2 cp. Ved standsning eksisterer der altså en lokalisering τ n n 1, så at Men da E[ M t N t M t N τn t ses at M t N τn t Herudfra fås nu let. M t N τn t MP for alle n 1. ] = E[ M t N t Nt τn ] E[Mt 2 ] E[ N t Nt τn 2 ] M t N t i L 1 for alle t ifølge Lebesgue s Sætning, da N t Nt τn 2 P -n.o. domineret af sup Ns 2. s t 57

58 Proposition 11 Ethvert element i BVP M 2 P, som har integrabel variation, ligger i M 2 d P. Bevis. Lad X t BVP M 2 P have integrabel variation og lad et uniformt begrænset N t i M 2 cp være givet. For alle n og t gælder identiteten N t X t = i 1 N i 1/2 n Xi, n, t + i 1 X i 1/2 n Ni, n, t + i 1 Ni, n, t Xi, n, t, og da N t ligger i M 2 P og X t i BVP fås heraf ved grænseovergang ifølge e- genskaber ved de stokastiske integraler og Lebsgue-Stieltjes integralet samt Korollar 6, at N t X t P = N s dx s + X s dn s. Resultatet følger nu herudfra ved brug af korrollarene 4 og 5. Korollar 11 Hvis P t er en Poisson proces med parameter λ, så er P t λt M 2 dp og derfor også L 2 P t λt M 2 dp. Bevis. Da P t λt ligger i BVP M 2 P og har P -integrabel variation, fås første del umiddelbart af Proposition 11. Anden del følger af Lemma 8, idet de stationære uafhængige poisson-fordelte tilvækster viser, at P t λt 2 λt MP, og dermed P t λt M 2 P. Vi er nu i stand til at vise flg. martingalkarakterisationer af Poisson processen. Sætning 9 Hvis M t M 2 d P opfylder flg. to betingelser a M t {, 1} for alle t P -n.o. og b M 2 t λt MP, så er M t + λt en Poisson proces med parameter λ. Sætning 1 Watanabe Hvis A t VP opfylder flg. to betingelser a A t N og A t {, 1} for alle t P -n.o. og b A t λt MP, så er A t en Poisson proces med parameter λ. Bevis for Sætning 9. Ifølge b er M t a og Sætning 5 viser derfor, at M 2 P med voksende proces λt. Punkt [M] t λt MP og [M] t P = M t 2 P = M t. 58

59 De begrænsede spring sikrer, at der findes en lokalisering τ n, så at [M] τn t λ τ n t M 2 P for alle n, og dermed ifølge Proposition 11 i M 2 d P for alle n. Ved linearitet følger derfor, at M τn t [M] τn t λτ n t M 2 dp for alle n, men da disse processer ifølge det viste er P -kontinuerte, ligger de dermed i M 2 cp M 2 d P. Dette gennemsnit indeholder imidlertid kun nulprocessen, og der må derfor gælde M τn t P = [M] τn t λτ n t for alle n og dermed M t = P [M] t λt. Dvs. M t BVP, og bemærkningen efter Sætning 5A viser derfor sammen med punkt a, at [M] t ω = Mt 2 ω = M t ω N for alle t s t s t for P -n.a. ω. Alt i alt ses at [M] t opfylder betingelserne i Watanabe s sætning, og Sætning 9 er derfor en konsekvens af Sætning 1. Bevis for Sætning 1. Ifølge entydighedssætningen for karakteristiske funktioner er det nok at vise, at E[ exp ira t A s, B] = exp e ir 1 λt s P B for alle s < t, B F s og r R. Lad derfor s < t, B F s og r R være givet, og sæt f : R C x e irx, dvs. f er begrænset og f = 1. For enhver inddeling s = t < t 1 <... t n = t af intervallet fra s til t gælder identiteten fa t A s = 1 + n fa tj A s fa tj 1 A s. Ved at lade inddelingens finhed gå imod samt udnytte, at u A u ω for P -n.a. ω er højrekontinuert og stykkevis konstant med spring af størrelse 1, fås derfor P -n.o., at fa t A s 1 = fa u A s fa u A s A u s<u t = e ir 1 fa u A s A u = e ir 1 s<u t fa u A s 1 ] s, ] u da u 59

60 Men da fa u A s 1 ] s, ] u u er adapteret, venstrekontinuert og uniformt begrænset fås ved benytte martingaludsagnet i Korollar 4 på real- og imaginærdel, at og dermed E[ E[ fa u A s 1 ] s, ] u da u λu, B] = fa u A s 1 ] s, ] u da u, B] = E[ Indsættes dette ovenfor fås derfor E[fA t A s, B] = P B + e ir 1 E[ = P B + λ e ir 1 E[ = P B + λ e ir 1 E[ = P B + λ e ir 1 For givet s gælder altså for alle t > s, at E[ exp ira t A s, B] = P B + dvs. den kontinuerte funktion løser integralligningssystemet fa u A s 1 ] s, ] u dλu, B]. fa u A s 1 ] s, ] u da u, B] fa u A s 1 ] s, ] u du, B] s fa u A s 1 ] s, ] u du, B] s E[fA u A s, B] du. λ e ir 1 E[ exp ira u A s, B] du, φ : t E[ exp ira t A s, B] φt = P B + λ e ir 1 s φu du t s. Standard teori vedrørende lineære integral- eller rettere differentialligninger giver derfor det ønskede resultat. Lad mig i denne sammenhæng blot nævne, at for ethvert M t M 2 P er E[ Ms 2 ] E[Mt 2 ] for alle t s t med lighedstegn til venstre for alle t, hvis og kun hvis M t M 2 cp, og lighedstegn til højre for alle t, hvis og kun hvis M t M 2 d P. Bevisskitse. Da funktioner, som er højrekontinuerte med venstregrænseværdier, kun 6

61 har endelig mange spring numerisk større end ɛ > på ethvert endeligt interval, gælder for alle ɛ, t > Ms 2 lim inf Mi, n, t 2. n s t, M s >ɛ Ifølge Fatou s Lemma har vi derfor E[ Ms 2 ] lim inf E[ Mi, n, t 2 ] = E[Mt 2 ] n i 1 s t, M s >ɛ og derfor ved at lade ɛ gå imod uligheden til højre. Karakterisationen af M 2 d P er ikke helt let. i 1 61

62 Repræsentation af martingaler. Som optakt til afsnittets emne bemærkes, at for ethvert T > er og V 1 T := {X bmf T M t MP : M t = E[X F t ] P -n.o. for alle t} V 2 T := {X bmf T M t M c P : M t = E[X F t ] P -n.o. for alle t} begge såkaldte MVR-rum. jvnf. Det Monotone Klasse Lemma. For derfor at vise at enhver martingal har en kontinuert modifikation, er det altså nok at vise, at for alle T > findes der en multiplikativ klasse K T bmf T, så at σk T = F T og K T V 2 T. Dette gør det muligt at vise flg. vel kendte resultat. Proposition 12 W Antag at F t σf W t N P for alle t for en F t, P - Wiener proces W t. Da findes der for ethvert T > og X L 1 P, F T et M t i M c P, så at M t = E[X F t ] P -n.o. for alle t. Korollar 12 Enhver F t, P -martingal har en kontinuert modifikation. Specielt er rummene MP og M c P og dermed LMP og LM c P identiske. Bevis for korollarret. Lad X t betegne en F t, P -martingal og vælg i h.h.t. Proposition 12 M n t M c P, så at M n t = E[X n F t ] P -n.o. for alle t og alle n 1. Dvs. Mt n n+1 = P Mt n for alle n, hvorefter resultatet let følger af Korollar 1. Bevis for Proposition 12. Lad T > være givet. En simpel anvendelse af Doob s Ulighed og Proposition 1 viser, at det er nok at se på X bmf T og derfor ifølge filterantagelsen nok at se på X bmft W. Ifølge det ovenstående gælder det derfor om at vise, at der findes en multiplikativ klasse K T, så at K T bmf W T, σk T = F W T og K T V 2 T. En oplagt kandidat, der klart opfylder de to første betingelser, er { n f j W tj f 1,..., f n bcr, < t 1 < < t n = T }. Men den opfylder også den tredie. For indføres notationen H W t, fx := E[fW t + x] t, x R og f bcr 62

63 ses ved at udnytte, at Wiener processen har stationære uafhængige tilvækster, at for givne f 1,..., f n bcr og < t 1 < < t n = T er E[ hvor n k 1 f j W tj F t ] = f j W tj H W t k t, h k W t t k 1 t < t k t = h n = f n og h k 1 = f k 1 H W t k t k 1, h k k n. Hvilket viser det ønskede, da W t er P -kontinuert, og t, x H W t, fx bcr + R for alle f bcr. Bemærk at H W, fx = fx for alle x og alle f. Da Poisson processen også har stationære uafhængige tilvækster, følger med nøjagtig samme bevis flg. version af Proposition 12 og tilhørende korollar. Proposition 12 P Antag at F t σf P t N P for alle t for en F t, P -Poisson proces P t. Da findes der for ethvert T > og X L 1 P, F T et M t i MP, så at M t = E[X F t ] P -n.o. for alle t. Specielt har enhver F t, P -martingal en højrekontinuert modifikation. Bemærkning. Beviset viser endvidere, at martingalerne kun kan være diskontinuerte, hvor Poisson processen er diskontinuert. tænk over hvad dette betyder I overensstemmelse med afsnittets titel vises nu, at ovenstående propositioner kan forbedres til såkaldte repræsentationsresultater. Der gælder nemlig flg. udsagn. Sætning 11 W Lad situationen være som i Proposition 12 W. Da findes der til ethvert M t LM c P et Y t HW, P så at M t P = Y s dw s. Sætning 11 P Lad situationen være som i Proposition 12 P og betegn med X t processen P t t. Da findes der til ethvert M t LM 2 P et Y t HX, P så at M t P = Y s dx s. Bemærkning. Ved at skifte til Lebesgue-Stieltjes integraler og dermed udvide mængden af integratorer kan man vise, at repræsentationen Sætning 11 P kan udvides til hele LMP. Bevis for Sætning 11 W. Lad M t LM c P være givet. Kontinuiteten sikrer, at vi kan vælge en lokalisering τ n n 1 så at Mt τn M 2 cp for alle n. Hvis resultatet derfor er vist for M 2 cp, findes der altså processer Yt n n 1 HW, P så at M τn t P = Y n s dw s for alle n 1. 63

64 Sættes Y t = n=1 Y n t 1 ]] τn 1,τ n]]t τ ses at Y t HW, P og ved brug af kalkylereglerne for det stokastiske integral at M t P = Y s dw s. Vi kan derfor nøjes med at se på M t M 2 cp, og med notationen og resultaterne i sidste afsnit in mente drejer det sig derfor om at vise, at L 2 W t kun består af nulprocessen. Antag derfor at M 2 cp L 2 W t indeholder et ikke-trivielt element Z t. Kontinuiteten og stabiliteten af L 2 W t under standsning sikrer, at vi kan antage, at Z t er uniformt begrænset af konstant M. Betragt nu processen R t = M Z t. R t er pr. definition en strengt positiv uniformt begrænset martingal, som er 1 i, og endvidere er W t R t og Wt 2 t R t martingaler. Det sidste følger af, at W 2 t t P = 2 W s dw s L 2 W t. Sandsynlighedsmålet Q svarende til Radon-Nikodym processen R t er derfor lokalt ækvivalent med P, og W t og W 2 t t er Q-kontinuerte martingaler. Ifølge Lévy s sætning er W t derfor også en Q-Wiener proces, dvs. n n P {W ti A i } = Q {W ti A i } = E[ R t, i=1 i=1 n {W ti A i } ] for alle t 1 < < t n < t < og alle A 1,..., A n BR. Men dette er kun muligt, hvis P R t = 1 = 1 for alle t >, eller ækvivalent Z t er nulprocessen. Resultatet er hermed vist. Sætning 11 P er sværere, da overgangen fra L 2 til uniformt begrænsede martingaler ikke umiddelbart er muligt. Vi vil derfor give endnu et bevis for Sætning 11 W, men nu baseret på en metode, der lader sig generalisere. Det afgørende punkt i Sætning 11 W består i at vise, at for givet T > gælder, at i=1 X L 2 F T, P Y t H 2 W, P : X = E[X] + T Y s dw s P -n.o. 64

65 Integralets kontinuitet samt fuldstændigheden af H 2 W, P viser, at det er nok at se på begrænsede X, samt dernæst at mængden af de X bl 2 F T, P, som har den ønskede egenskab, udgør et MVR-rum. Udnyttes endnu en gang filterantagelsen, er det derfor tilstrækkelig at se på et X af formen n f j W tj hvor f 1,..., f n bcr og < t 1 < < t n = T. Da det netop sagte kun udnytter, at W t ligger i M 2 P, gælder udsagnet sammen med nedenstående overvejelser derfor også for P t λt, hvor P t er en Poisson proces med parameter λ. Beviset for repræsentationsformlen for variable af ovenstående art benytter induktion. For antag at formlen holder for ethvert T > og enhver variabel på den angivne form med antallet af faktorer mindre end eller lig n 1 1. Betragt nu tilfældet n. Som allerede tidligere bemærket, sikrer de stationære uafhængige tilvækster, at E[f n W tn F tn 1 ] = E[f n W T F tn 1 ] = H W T t n 1, f n W tn 1 P -n.o. og da h : x H W T t n 1, f n x x R igen er element i bcr findes der ifølge induktionshypotesen derfor processer Y t og Z t i H 2 W, P, så at og hvor Sæt n 2 f j W tj f n 1 hw tn 1 = m + f n W T = m 1 + T n 2 m = E[ f j W tj f n 1 hw tn 1 ] = E[ U t = n 1 Z s dw s Y s dw s P -n.o., P -n.o. n f j W tj ] og m 1 = E[f n W T ]. n 1 Y t 1 [,tn 1 ]t + f j W tj Z t 1 ] tn 1, t. U t ligger da i H 2 W, P, og i følge regneregler for integralet har vi nu at T = U t dw s = n 1 n 1 n 1 T n 1 Y s dw s + f j W tj Z s dw s Z s dw s n 1 T T Y s dw s + f j W tj Z s dw s E[ Z s dw s F tn 1 ] 65

66 n 1 n 1 = Y s dw s + f j W tj f n W tn hw tn 1 n 2 n 1 = f j W tj f n 1 hw tn 1 m + f j W tj f n W tn hw tn 1 = n f j W tj m. Dvs. der udestår kun at vise påstanden for n = 1. Betragt først Wiener tilfældet og lad T > være givet. Endnu et approksimationsargument sikrer, at det er nok at vise formlen for funktioner i mængden Cb 2 R, dvs. de to gange kontinuert differentiable funktioner som tillige med deres afledede af første og anden orden er begrænsede. Lad derfor et sådant f være givet. Sæt for nemheds skyld Hx, s = H W T s, fx x R og s T, dvs. fx Hx, sx = fx + T s y 2π R x R og s = T exp y2 dy x R og s < T. 2 Lebesgue s Sætning viser let, at H C 2 R, T og H CR, T ], og da HW s, s s T = E[ fw T F s ] s T er en martingal, gælder ifølge Itô s for alle ɛ >, at HW T ɛ, T ɛ = HW, + T ɛ / x HW s, s dw s P -n.o. Men da H W W, = E[fW T ] P -n.o., og / x Hx, s = H W T s, f x, fås af integralets kontinuitet ved at lade ɛ gå imod, at fw T = E[fW T ] + dvs. en formel af den ønskede type. T H W T s, f W s dw s P -n.o., Bemærk at vi endog har angivet en eksplicit formel for det søgte Y t. Dette tema kan forholdsvis let udbygges til den såkaldte Clark-Ocone s formel. 66

67 Betragt nu Poisson tilfældet og lad X t betegne P t t, hvor P t er Poisson proces med parameter 1 det generelle tilfælde går analogt. Lad igen T > være givet og antag, at f er af formen x e itx gt dt R for et g L 1 λ 1, C, som er begrænset og opfylder, at x gx L 1 λ 1, C. At det er nok at vise påstanden for sådanne f følger ved approksimation, da denne klasse ifølge vel kendt Fourier teori omfatter enhver funktion af typen samt at der samtidigt gælder x E[hNx, 1 n ] n 1, h bc L1 λ 1, lim E[hNx, 1 ] = hx x R, h bc. n n Da X t har uafhængige stationære tilvækster gælder som ovenfor, at hvor som ovenfor E[ fx T F s ] = H X T s, fx s P -n.o. for alle s T. H X t, hx = E[hx + X t ] x R, t og h bmbr. Bemærk at der som før gælder H X, hx = hx. Igen skrives kort Hx, s i stedet for H X T s, fx. Dvs. Hx, s = E[ e it x+p T s T s gt dt ] R = E[ e it x+p T s T s ] gt dt = e it x T s e T s 1 eit gt dt R R = e itx e T s βt gt dt, R hvor βt = 1 + it e it t R. Formlen viser, at / s Hx, s eksisterer og er kontinuert og begrænset i R, T, idet H 2 x, s := / s Hx, s = e itx e T s βt βt gt dt x, s R, T. R Vælg et s, T og sæt s n j = js/n for j =, 1,..., n. For alle n 1 gælder da HX s, s HX, = n HX s n j, s n j HX s n j 1, s n j 1 = n HX s n j, s n j HX s n j 1, s n j + HX s n j 1, s n j HX s n j 1, s n j 1, 67

68 og da HX s n j, s n j HX s n j 1, s n j = R = = R R expit P s n j R expit X s n j expit X s n j 1 e T sn j βt gt dt expit X s n j X s n j 1 1 expit X s n j 1 e T sn j βt gt dt expit P s n j P s n j 1 1 expit X s n j 1 e T sn j βt gt dt + P s n j 1 exp its n j s n j 1 1 expit X s n j 1 e T sn j βt gt dt for j = 1,..., n fås ved punktvis grænseovergang, at n lim HX s n n j, s n j HX s n j 1, s n j P -n.o. er lig R { s R expit X u e T u βt dp u } e it 1 gt dt { s Tilsvarende er for j = 1,..., n expit X u e T u βt du } it gt dt. HX s n j 1, s n j HX s n j 1, s n j 1 = H 2 X s n j 1, η n j hvor s n j 1 η n j s n j, dvs. ved punktvis grænseovergang fås P -n.o. ligheden n lim HX s n n j 1, s n j HX s n j 1, s n j 1 = s = = R { { R s s H 2 X u, u du expit X u e T u βt βt gt dt } du expit X u e T u βt du } βt gt dt. Indsættes dette ovenfor fås derfor, idet det bemærkes at βt it = 1 e it og HX, = E[fX T ], at HX s, s = E[fX T ] + s { expit X u e T u βt dp u u } e it 1 gt dt = E[fX T ] + s { R R e it 1 expit X u e T u βt gt dt } dp u u; og lader vi dernæst s T, fås heraf ligheden T fx T = E[fX T ] + { e it 1 expit X u e T u βt gt dt } dp u u. R Repræsentationsresultat for Poisson processen er dermed vist. 68

69 Lad fortsat W t og P t betegne hhv. en F t, P -Wiener og F t, P -Poisson proces. For simpelheds skyld antager vi fortsat, at P t har parameter 1, men alt generaliserer uændret til et generelt λ >. Som vist ovenfor er de orthogonale som martingal betragtet. Men ved hjælp af det viste repræsentationsresultat vil vi nu gøre rede for, at de endog er stokastisk uafhængige. Ifølge det Monotone klasse lemma er det hertil nok at vise, at E[ n f j W tj n g j P tj ] = E[ n f j W tj ] E[ n g j P tj ] for alle valg af tidspunkter < t 1 < < t n og alle valg af funktioner f 1,..., f n, g 1,..., g n bcr. Beviset benytter igen induktion efter antallet af tidspunkter, så lad derfor s > og f, g bcr være givet. Ifølge de to versioner af Sætning 11 findes der processer M t L 2 W t og N t L 2 P t t, så at fw s = E[fW s ] + M s og gp s = E[gP s ] + N s P -n.o. Men i hht. til orthogonaliteten er M t N t en martingal og dermed hvilket betyder at eller ækvivalent E[M s N s ] = E[M N ] =, E[ fw s E[fW s ] gp s E[gP s ] ] = E[ fw s gp s ] = E[fW s ] E[gP s ]. Ligheden holder altså for alle udtryk med et tidspunkt og alle valg af tilhørende funktioner. Antag denæst at produktformlen holder for alle valg af n 1 1 tidspunkter og n 1 sæt af funktioner. Betragt tilfældet n. Som allerede udnyttet findes der M t L 2 W t og N t L 2 P t t, så at f n W tn = E[f n W tn ] + M tn og g n P tn = E[g n P tn ] + N tn P -n.o., og da M t N t igen er en martingal, har vi derfor, at E[ n f j W tj n n 1 n 1 g j P tj ] = E[ f j W tj g j P tj E[ f n W tn g n P tn F tn 1 ] ] 69

70 n 1 = E[ f j W tj n 1 g j P tj E[ E[ f n W tn ] + M tn E[ g n P tn ] + N tn F tn 1 ] ] n 1 = E[ f j W tj n 1 g j P tj E[f n W tn ] + M tn 1 E[ g n P tn ] + N tn 1 ] n 1 = E[ f j W tj n 1 = E[ f j W tj n 1 g j P tj E[ f n W tn F tn 1 ] ] E[ g n P tn F tn 1 ] ] n 1 g j P tj H W t n t n 1, f n W tn 1 H P t n t n 1, g n P tn 1 ]. Men dette er et udtryk på den betragtede form med n 1 tidspunkter, og ved brug af induktionshypotesen kan ovenstående streng af ligheder derfor fortsættes med n 1 n 1 = E[ f j W tj H W t n t n 1, f n W tn 1 ] E[ g j P tj H P t n t n 1, g n P tn 1 ] n 1 n 1 = E[ f j W tj E[ f n W tn F tn 1 ] ] E[ g j P tj E[ g n P tn F tn 1 ] ] = E[ n f j W tj ] E[ n g j P tj ] Dette netop viste kan sammenfattes som flg. resultat. Proposition 13 Enhver F t, P -Wiener proces er uafhængig af enhver F t, P - Poisson proces. Betragt nu i stedet to Poisson processer Pt 1 og Pt 2 med parametre λ 1 og λ 2. Ifølge regneregler for Lebesque-Stieltjes integraler er Pt 1 λ 1 t Pt 2 λ 2 t for alle t > P -n.o. lig L.S. Ps 1 λ 1 s dps 2 λ 2 s + L.S. Ps 2 λ 2 s dps 1 λ 1 s + Ps 1 Ps 2. s t Dette viser, at hvis Pt 1 og Pt 2 næsten sikkert ikke har sammenfaldende spring, dvs. hvis Ps 1 Ps 2 = for alle t > P -n.o., så er s t P 1 t λ 1 t P 2 t λ 2 t P = Ps 1 λ 1 s dps 2 λ 2 s+ Ps 2 λ 2 s dps 1 λ 1 s, og dermed ifølge Korollar 4 en martingal. Under antagelsen om ikke sammenfaldende spring er Pt 1 λ 1 t og Pt 2 λ 2 t og dermed som tidligere nævnt også L 2 Pt 1 λ 1 t og L 2 Pt 2 λ 2 t altså orthogonale i martingal forstand, og kopieres nu beviset for Proposition 13 fås tilsvarende flg. resultat. Kun hvis delen overlades til læseren. 7

71 Proposition 14 To F t, P -Poison processer er uafhængige, hvis og kun hvis de næsten sikkert ikke har sammenfaldende spring. Bemærkning. Resultatet spiller en vigtig rolle i beviset for Levy-Khinchine dekompositionen af en Levy-proces. 71

72 Appendiks 2. For en given ikke-tom mængde E betegner R E mængden af reelle funktioner defineret på E og b R E den delmængde af R E, som består af de begrænsede funktioner. Definition En delmængde H br E kaldes et MVR, hvis H opfylder flg. betingelser. i H er et vektorrum. ii H indeholder alle konstante funktioner. iii H er stabil under monoton begrænset konvergens, dvs. f n n 1 H, f n f n+1 f punktvis og f br E f H. Bemærk at bme er et MVR for enhver σ-algebra E på E. Det Monotone Klasse Lemma For ethvert MVR H og enhver multiplikativ delmængde K br E, dvs. f, g K f g K, gælder implikationen K H bmσk H. Resultatet er ofte anvendeligt, hvis man ønsker at vise, at alle elementer i bme, hvor E er en σ-algebra på E, har en given egenskab p. Idet man så først viser, at H := {f bme f har egenskaben p} udgør et MVR, hvorefter resultatet følger, hvis man kan vise, at H indeholder en multiplikativ delmængde K, som er så stor, at σk = E. 72

73 Stokastiske Differentialligninger. En meget vigtig type SDE er dækket ind af flg. beskrivelse, hvor r og d betegner to naturlige tal. Lad der være givet en semimartingalvektor Z t = Z 1 t,..., Z r t, hvor for j = 1,..., r Z j t SM c P med opskrivning M j t + A j t, samt en målelig funktion f = f ij 1 j r 1 i d : R + R d R r d, som opfylder flg. globale Lipschitz betingelse i rumvariablen: L gl n 1 K n > : ft, x ft, y K n x y x, y R d og t n. Hertil knyttes nu for enhver F -målelig variabel X SDE-problemet dx t = ft, X t dz t, X = X, hvor en løsning til er en d-dimensional vektorproces så at X t = X 1 t,..., X d t hvor X i t DP i = 1,..., d, X t P = X + fs, X s dz s, hvilket udskrevet i koordinater er ækvivalent med r Xt i = P X i + f ij s, X s dzs j for i = 1,..., d. Det er implicit indeholdt i løsningsdefinitionen, at integralerne er vel definerede. Da den udviklede integral teori viser, at enhver løsning nødvendigvis er P -kontinuert, er brugen af X s overflødig. Vi vil nu først vise, at opfylder den såkaldte pathwise-uniqueness, dvs. Pathwise uniqueness Hvis X t og Y t begge løser, så er X t P = Y t. Da beviset er det samme, vil vi vise flg. lidt mere generelle resultat. Hvis for en given proces H t CP X t P = H t + fs, X s dz s og Y t P = H t + fs, Y s dz s, så er X t og Y t P -uskelnelige. For at det hele ikke skal drukne i ren notation, vil vi antage d = 1, men reslutatet og endog beviset gælder helt generelt. Vi skal i beviset benytte at for enhver stoptid τ og ethvert Z t SM c P på formen M t + A t, er τ Z t SM c P med opskrivning τ M t + τ A t 73

74 og dermed [ τ Z] t = [ τ M] t og Var τ A t = τ VarA t, hvor vi for enhver stoptid τ og enhver proces X t C h har benyttet betegnelsen Bevis. Sæt U t = X t Y t og τ X t := X t X τ t = X t X τ t. D j t = f j t, X t f j t, Y t j = 1,..., r. Der gælder da U t P = r D j s dz j s = r Ds j dms j + A s s. Da U t CP kan vi vælge en stoptid τ, så at τ n og E[U t τ] < for alle t >. Standard uligheder viser, at der for alle t > gælder flg. vurderinger r Ut τ sup Ds j dms j + sup Ds j da j s u t τ u t τ r sup u t τ r sup u t τ D j s dm j s + sup Du j VarA j t τ u t τ D j s dm j s + K n U t τvara j t τ. Ved brug af Lenglart s Ulighed fås derfor, at r τ E[Ut τ] 3 E[ Ds j 2 d[m j ] s 1/2 ] + K n E[Ut τvara j t τ ] r 3 E[ sup Du j [M j ] t τ] 1/2 + K n E[Ut τvara j t τ ] u t τ 3 K n E[U t τ Dvs. hvis τ yderligere opylder, at for et α, 1, så er r [M j ] 1/2 t τ + VarA j t τ ]. r 3 K n [M j ] 1/2 t τ + VarA j t τ α P -n.o. E[U t τ] α E[U t τ] for t > og dermed U t τ P =. 74

75 Med ovenstående notation in mente fås af regnereglerne for stokastiske integraler, at r r r Ds j d τ Zs j = Ds j dzs j Ds j dzs τ j = U t U t τ = U t. Dvs. på samme måde som ovenfor ses, at hvis S er en stoptid så at τ S n 1, E[U t S] < t > og 3 K n1 r [ τ M j ] 1/2 t S + Varτ A j t S α P -n.o. eller ækvivalent r 3 K n1 [M j ] t S [M j ] t τ + VarA j t S VarA j t τ α P -n.o. så gælder tilsvarende Ut S = P. Dette leder os derfor frem til at se på flg. lokalisering τ n givet ved < α < 1 fast τ = og og for n 2 r τ 1 = inf{t > t > 1, Ut > 1, 3K 1 [M j ] 1/2 t τ + VarA j t τ > α } r τ n = inf{t > τ n 1 t > n, Ut > n, 3K n [ τ n 1 M j ] 1/2 t τ + Var τ n 1 A j t τ > α }. Successiv anvendelse af det ovenstående viser derfor, at U t τ n P = for alle n og dermed U t P =. Hvilket alt i alt beviser den ønskede entydighed Inden vi går i gang med eksistensen, er det værd at bemærke, at den anførte globale Lipschitz betingelse på f kan svækkes til flg. lokale Lipschitz betingelse: L lo n, m 1 K nm > : ft, x ft, y K nm x y x, y B R d, m og t n. Thi antag for givet X F at X t og Y t er løsninger, dvs. opfylder ligningerne og X t P = X + Y t P = X + fs, X s dz s, fs, Y s dz s. Da Z t er en kontinuert vektor semimartingal under ethvert af målene P T, hvor dp T = 1 { H T } dp/p H T for T >, 75

76 da enhver P -martingal også er en P T -martingal overvej, ses at X t og Y t også er løsninger under ethvert af målene P T. Heraf følger da X t P = Y t X t P T = Y t for alle T >, at vi uden tab af generalitet kan antage, at X er en begrænset variabel. Lad os sige X K P -n.o. Vi kan derfor konstruere en lokalisering τ m, så at X τm t og Y τm t er unikormt begrænsede af m + K for alle m 1. Men ifølge regnereglerne for stokastiske integraler gælder τm X τm t = P X + fs, X s dz s, P = X + fs, Xs τm dz τm s = P X + f m s, X τm s dz τm s, og tilsvarende for X τm t, hvor fs, x x m + K og s f m s, x m + K x fs, x x > m + K og s. Da f m for alle m tydeligvis opfylder den globale Lipschitz betingelse, kan vi altså ud fra det ovenstående slutte, at X τm t = P Y τm t for alle m 1 og dermed at X t P = Y t. Dvs. pathwise uniqueness gælder også for under den svagere lokale Lipschitz betingelse. Vi vil dernæst se på eksistensen. Som det er vel kendt fra teorien om ordinære differentialligninger, kan et generelt resultat kun opnås, hvis f pålægges visse vækstbegrænsninger i rumvariablen. Vi vil derfor yderligere antage, at n 1 t [, n] : ft, x K n 1 + x x R d. Ud fra den viste entydighed er det nok at vise, at der for ethvert n 1 findes en proces X n t CP, så at fordi i givet fald vil X n t t n P = H t + X t := H + fs, X s dz s t n X n t 1 ]n 1,n] t n=1 opfylde den ønskede ligning. Tænk over dette Lad derfor n 1 være givet. Af overskuelighedsgrunde betragtes igen kun tilfældet 76

77 d = 1, og vi vil endvidere i beviset antage at E[H t ] < for alle t >. For er dette tilfælde klaret, kan resultatet overføres til det generelle tilfælde ved brug af standsning teknikker samt eventuel skift til mål af typen dp T = 1 { H T } dp/p H T for T >. Ideen i beviset er at anvende sætningen om, at enhver kontraktion i et fuldstændigt metisk rum har et fikspunkt. Betragt til dette formål rummet udstyret med metrikken CP 1 n := {X t t n CP E[X n ] < } d 1 X t, Y t = E[ sup t n X t Y t ] X t, Y t CP 1 n. Proposition 1 viser, at CP 1 n, d 1 er et fuldstændigt metrisk rum, og med baggrund i teknikken fra entydigdighedsdelen, vil vi nu først vise et eksistensresultat under den yderligere antagelse om Z t, at der findes et α, 1 så at r 3 K n [M j ] n 1/2 + VarA j n α P -n.o. Lad J t CP 1 n være givet og betragt for ethvert X t CP 1 n processen J t + fs, X s dz s t n. Simple og nu velkendte vuderinger viser, at denne proces igen er et vel defineret i CP 1 n, dvs. Φ J : X t t n J t + fs, X s dz s t n. kan opfattes som en afbildning fra CP 1 n vurderinger viser, at ind i sig selv, og da endvidere standard d 1 ΦX t, ΦY t α d 1 X t, Y t for alle X t, Y t CP 1 n, findes der ifølge den omtalte fikspunktsætning et X t CP 1 n så at X t t n P = J t + fs, X s dz s t n. Sæt nu for givet α, 1 τ = og for n 1 τ n lig r inf{t > τ n 1 t > n, 3 K n [M j ] t [M j ] τn 1 + VarA j t VarA j τn 1 > α}. 77

78 τ n erne er da stoptider og τ n τ n+1 samt τ n ω = n for n stor for P -n.a. ω. Som tidligere bemærket sikrerer valget af τ n, at semimartingal vektoren τ n 1 Z τn t opfylder for alle n 1. Ved brug af det netop viste kan vi derfor bestemme en følge Xt n n 1 i CP 1 n, så at og X 1 t t n P = H t τ1 + fs, X 1 s dz τ 1 s t n X n t t n P = X n 1 t τ n 1 + τ n 1 H τn t + Definer herudfra X t t n = X 1 t 1 [,τ1 ]t + fs, X n s d τ n 1 Z τn s t n for n 2. n=2 X n t 1 ]τn 1,τ n]t. t n De ovenstående formler viser, at X t t n er P -kontinuert, og ved hjælp af regneregler for stokastiske integraler gælder for ethvert t, n ] og ethvert n 1 flg. streng af identiteter P -n.o. τn fs, X s dz s = n k=1 τn fs, X s 1 ]τn 1,τ n]s dz s Dvs. = = n k=1 n k=1 τk fs, X k s 1 ]τn 1,τ n]s dz s = X k t τ k X k 1 t τ k 1 H t τk H t τk 1 = = n k=1 for alle n og derfor n k=1 τk n k=1 fs, X k s d τ k 1 Z τ k s X k t τ k X k 1 t τ k 1 H t τn X k t τ k X k 1 t τ k 1 1 ]τn 1, t H t τn = X t τn H t τn. X t τn P = H t τn + τn fs, X s dz s X t t n P = H t + fs, X s dz s t n. 78

79 I det følgende vil Z t altid være på formen W r t, t = W 1 t,..., W r t, t, hvor W r t er en r-dimensional Wiener proces. Vort udgangspunkt er nu to givne målelige funktioner σ = σ ij 1 j r 1 i d : R + R d R r d og b = b i 1 i d : R + R d R d, og vort mål er at undersøge, hvad der kan sige om en given d-dimensional proces X t DP, som for et givent X F opfylder med alle integraler vel definerede dvs. ækvivalent X i t P = X i + X t P = X + r σs, X s dw r s + σ ij s, X s dw j s + bs, X s ds, b i s, X s ds for i = 1,..., d. Da et sådant X t nødvendigvis må være en kontinuert semimartingal, er brugen af X s overflødig. Skrevet i gængs notation løser X t altså SDE-ligningen dx t = σt, X t dw r t + bt, X t dt = ft, X t dz t, X = X, hvor Z t = W r t, t og f : R + R d R r+1 d er givet ved ft, x = σt, x, bt, x x R d og t. Udover eksistensen, der, som ovenfor vist, gælder under relevante Lipschizsk og vækstbetingelser på b og σ, er flg. tre spørgsmål nu interessante. I. Er X t s fordeling entydigt bestemt ud fra fordelingen af X? II. Er X t entydigt bestemt op til P -uskelnelighed ud fra variablen X? III. Er X t en funktion af X og W r t? De tre spørgsmål er alle relateret til det såkaldte eσ, b-problem, hvor en løsning til eσ, b er et set-up Ω, F, F t, P, W r t, X t, hvor Ω, F, F t, P er et filtreret sandsynlighedsfelt, W r t en F t, P -r-dimensional Wiener proces og X t en d-dimensional vektorproces, hvis koordinatprocesser alle er elementer i CP, og som opfylder X t P = X + σs, X s dw r s + bs, X s ds, 79

80 med alle integraler vel definerede. Løsningen løser endvidere det såkaldte e x σ, b- problem, hvor x er et punkt i R d, hvis der yderligere gælder X = x P -n.o. I er her relateret til om eσ, b opfylder den såkaldte uniqueness in law, dvs. om det for to løsninger gælder at Ω, F, F t, P, W r t, X t og Ω, F, F t, P, W r t, X t X X X t X t. II er knyttet til, om eσ, b opfylder pathwise uniqueness, dvs. om det for to løsninger gælder at Ω, F, F t, P, W r t, X t og Ω, F, F t, P, W r t, X t X = X P -n.o. X t P = X t, og endelig er III et spørgsmål om, hvorvidt enhver løsning er en såkaldt stærk løsning, dvs. om det for enhver løsning Ω, F, F t, P, W r t, X t gælder, at X t er adapteret til filtret F W r X t, hvor F W r X t = σ{w r s s t} {X } NP for t. Den væsentligste sætning i forbindelse med de tre stillede spørgsmål er ud over at give kriterier for, hvornår de er opfyldte, indeholdt i flg. generelle resultat. σ og b er som ovenfor. Sætning 12 Hvis eσ, b opfylder pathwise uniqueness, opfylder eσ, b også uniqueness in law, og enhver løsning er en stærk løsning. Som det fremgår, er pathwise uniqueness en afgørende egenskab, og vi vil derfor, inden vi går i gang med beviset for Sætning 12, vise, at i dimension 1, dvs. d = 1, kan det ovenfor viste generelle resultat omhandlende Lipschitzsk funktioner forbedres meget. Der gælder nemlig flg. sætning, hvor K betegner mænden af voksende funktioner ρ : R + R +, som opfylder Eksempel: x x. ρx = x = og + 1 du =. ρu 2 Sætning 13 Lad for d = 1 σ og b betegne kontinuerte funktioner fra R + R ind i hhv. R r og R, så at b opfylder L lo samt at n, m 1, ρ nm K : σt, x σt, y ρ nm x y t n, m < x, y < m. Da er X 1 t P = X 2 t, hvis X 1 = X 2 P -n.o. og X i t P = X i + σs, X i s dw r s + 8 bs, X i s ds i = 1, 2.

81 I forlængelse heraf gælder endvidere flg. sammenligningsresultat. Sætning 14 Lad for d = 1 σ, b 1 og b 2 betegne kontinuerte funktioner fra R + R ind i hhv. R r og R, så at b 1 t, x < b 2 t, x for alle t, x R + R. Antag endvidere at enten b 1 eller b 2 opfylder L lo samt at n, m 1, ρ nm K : σt, x σt, y ρ nm x y t n, m < x, y < m. Da er P X 1 t X 2 t X i t P = X i + t = 1, hvis P X 1 X 2 = 1 og σs, X i s dw r s + b i s, X i s ds i = 1, 2. Hvis σ også opfylder L lo gælder endog P X 1 t < X 2 t t > = 1. Af overskueligheds grunde bevises sætningerne 13 og 14 kun for r = 1, men det generelle tilfælde klares analogt. Endvidere følger ved brug af standsningsteknikker samt eventuel skift til mål af typen dp T = 1 { X 1 + X 2 T } dp/p X 1 + X 2 T for T >, at vi i beviserne kan antage, at X 1 og X 2 sammen med σ, b 1 og b 2 er begrænsede, samt at K n erne og ρ nm erne er uafhængige af n og m, og kontinuitetsantagelserne gælder for x, y i hele R. Det skal i denne forbindelse nævnes, at Wiener proces egenskaben bevares under P T -målene. Beviserne for Sætning 13 og første del af Sætning 14 er taget fra Ikeda-Watanabe s bog og udleveret som fotokopier. Der udestår derfor kun sidste del af Sætning 14. Bevis for sidste del af Sætning 14. Lad σ, b 1 og b 2 være begrænsede kontinuerte funktioner fra R + R ind i R, hvor σ og b 1 er Lipshitzsk kontinuerte i rumvariablen. Lad endvidere X 1 t og X 2 t betegne to P -kontinuerte processer, som opfylder X i t P = X i + σs, X i s dw s + med P X 1 X 2 = 1. Sæt U t = X 2 t X 1 t, dvs. U t P = X 2 X 1 + b i s, X i s ds i = 1, 2 σs, X 2 s σs, X 1 s dw s Men da + b 1 s, X 2 s b 1 s, X 1 s ds + σs, X 2 s σs, X 1 s = U s σs, X2 s σs, X 1 s X 2 s X 1 s b 2 s, X 2 s b 1 s, X 2 s ds. 1 {X 2 s X 1 s } og ligeledes b 1 s, X 2 s b 1 s, X 1 s = U s b1s, X 2 s b 1 s, X 1 s X 2 s X 1 s 81 1 {X 2 s X 1 s }

82 følger af Lipschitzsk-antagelserne, at hvor U t P = H t + H t = X 2 X 1 + U s dz s b 2 s, X 2 s b 1 s, X 2 s ds, og Z t = M t + A t er den kontinuerte semimartingal givet ved og M t = A t = σs, X 2 s σs, X 1 s X 2 s X 1 s b 1 s, X 2 s b 1 s, X 1 s X 2 s X 1 s Ifølge et resultat angående lineære SDE gælder derfor U t P = EZ t X 2 X 1 + hvilket viser det ønskede resultat, da 1 {X 2 s X 1 s } dw s 1 {X 2 s X 1 s } ds. EZ 1 s dh s, X 2 ω X 1 ω, EZ s ω > og s H s ω strengt voksende for P -n.a. ω. Det andet tilfælde klares på samme måde. Vi vil nu vende tilbage til det ovenforindførte eσ, b-problem, hvor σ og b er givne målelige funktioner fra R + R d ind i hhv. R r d og R d. Den ovenstående teori viser, at under passende Lipschitzsk antagelser samt vækstbetingelser gælder både eksistens og pathwise uniqueness. Som ligeledes vist, kan den pathwise uniquenes i det en-dimensionale tilfælde vises under svagere kontinutetsbetingelser. Men som flg. eksempler viser, er tingene meget mere komplicerede, hvis enhver form for Lipschitzsk antagelse droppes. Eksempel 1 Sæt d = r = 1 og lad σ og b være funktionerne σ : t, x sgnx og b : t, x. Betragt e σ, b = e sgn, -problemet. Problemet har løsninger. For hvis Ω, F, F t, P, W t er et filtreret sandsynlighedsfelt samt W t en F t, P -Wiener proces, så er B t := sgnw s dw s. 82

83 en vel defineret proces; og den udviklde integralteori viser sammen med Lévy s Sætning, at B t en F t, P -Wiener proces. Men da og ligeledes sgnw s db s P = sgnw s 2 dw s P = W t da ses, at P = sgn W s db s P = {Ws=} dw s P = W t + 2 E[ 1 {Ws=} dw s 2 ] = sgn W s sgnw s dw s 1 {Ws=} dw s P = W t, P W s = ds =, Ω, F, F t, P, B t, W t og Ω, F, F t, P, B t, W t begge er løsninger til e sgn,. Dvs. der eksisterer løsninger, men problemet opfylder ikke pathwise uniqueness. Men det opfylder uniqueness in law. For er en løsning til e sgn,, så er X t P = Ω, F, F t, P, W t, X t sgnx s dw s og dermed [X] t P = sgnx s 2 d[w ] s P = t, hvilket ved fornyet brug af Lévy s Sætning viser, at X t er en Wiener proces, dvs. dens fordeling er entydigt bestemt. Derimod kan X t ikke være en stærk løsning, thi da sgnx s dx s P = sgnx s 2 dw s P = W t ses, at det kompletterede filter frembragt af W t er identisk med det kompletterede filter frembragt af sgnx s dx s. Men ifølge formlen X t P = sgnx s dx s + L X t er dette sidste ifølge Korollar 1 indeholdt i det kompletterede filter frembragt af X t. Et filter som er ægte indeholdt i det kompletterede filter frembragt af X t. Dvs. der findes ingen stærke løsninger. Eksemplet viser også, at det er afgørende for eksistensen af en løsning, at Wiener processen er en del af løsningen. 83

84 Eksempel 2 Sæt d = r = 1 og lad σ og b være funktionerne σ : t, x 1 x α og b : t, x for et α, 1/2. Betragt igen e σ, b-problemet. Da σ = ses umiddelbart, at for ethvert filtreret sandsynlighedsfelt Ω, F, F t, P er Ω, F, F t, P, W t, X t en løsning til e σ, b, hvis W t er en F t, P -Wiener proces, og X t er den trivielle nulproces, dvs. X t for alle t. Dvs. der eksisterer løsninger endog stærke løsninger. Men ved brug af den såkaldte time change -teknik kan man vise, at også er en løsning, hvor for alle t Ω, F, F t, P, W t, X t F t = F τt, Xt = W τt og W t = σw τs 1 dx s, og τ t er den højreinverse hørende til den strengt voksende proces A t = σw s 2 s. Dvs. det betragtede problem opfylder på trods af, at der endog findes stærke løsninger, hverken den ene eller den anden form for entydighed. Bevisskitse. 84

85 For fuldt ud at kunne værdsætte Sætning 12 må vi gøre os klart, hvad entydighed i fordeling betyder. Den dybere forståelse af dette ligger gemt i en genial ide introduceret af Stroock og Varadhan, som sammenkæder differentialligningsproblemet med et såkaldt martingalproblem. For at forstå dette lader vi fortsat σ : R + R d R r d og b : R + R d R d betegne givne målelige lokalt begrænsede funktioner, dvs. målelige og begrænsede på begrænsede mængder, f.eks. begge kontinuerte. Lad nu for givet x R d Ω, F, F t, P, W r t, X t, være en løsning til e x σ, b. Ifølge Itô s formel gælder derfor for ethvert f CK 2 Rd, at d r fx t = P t fx + fs, X x s σ ij s, X s dws j + L s fx s ds, i i=1 hvor L s fx s for alle s er givet ved i,l d r 2 x i x l fs, X s σ ij s, X s σ lj s, X s + d i=1 x i fs, X s b i s, X s = i,l d Ifølge antagelserne er σ σ il s, X s 2 x i x l fs, X s + fx t fx d i=1 L s fx s ds b i s, X s x i fs, X s. derfor en kontinuert martingal, hvilket ifølge Stroock og Varadhan udtrykkes ved at sige, at fordelingsmålet P X. løser det såkaldte Πx, σ σ, b-martingal problem, hvor for givet x R d og målelige lokalt begrænsede funktioner a : R + R d R d d og b : R + R d R d martingalproblemet Πx, a, b er betemt ved, at en løsning til dette problem er et sandsynlighedsmål P på CR +, R d, så at a P ξ = x = 1 b fξ t fξ L sfξ s ds er en F t, P -martingal for alle f C 2 K Rd. hvor ξ t er koordinatprocessen på CR +, R d med tilhørende koordinat-σ-algebraer F t og L s fy = i,l d a il s, y 2 x i x l fs, y + d i=1 b i s, y x i fs, y s, y R d. 85

86 Hvis P kun opfylder punkt b, dvs. uden krav til begyndelsesfordelingen, siges P at være en løsning til martingalproblemet Πa, b. Antag nu omvendt at P er en løsning til Πx, σ σ, b, dvs. er et sandsynlighedsmål på CR +, R d, som opfylder a og b ovenfor. Ved brug af standsningsteknikker ses let, at fξ t fξ L s fξ s ds derfor er en kontinuert lokal martingal for alle f C 2 R d. Specielt gælder dette for funktionerne x x i og x x i x j i, j = 1,..., d, dvs., idet vi kort skriver a i stedet for σ σ, at og M i t = ξ i t ξ i b i s, ξ s ds i = 1,..., d N i,j t = ξt i ξ j t ξ i ξ j a i,j s, ξ s + ξ j s b i s, ξ s + ξ i s b j s, ξ s ds i, j = 1,..., d er P -kontinuerte lokale martingaler. Specielt er ξ i t for i = 1,..., d P -kontinuerte semimartingaler. Påstand [M i, M j ] t P = a i,j s, ξ s ds i, j = 1,..., d. Bevis. Lad i og j være givet. Ud fra definitionen og generel teori har vi P = N i,j t + [M i, M j ] t P = [ξ i, ξ j ] t P = ξ i t ξ j t ξ i ξ j a i,j s, ξ s + ξ j s b i s, ξ s + ξ i s b j s, ξ s ds P = N i,j t + ξ i s dm j s + ξ j s dm i s + hvoraf ovenstående påstand umiddelbart følger. ξ i s dξ j s ξ j s dξ i s ξ i s dξ j s a i,j s, ξ s ds, ξ j s dξ i s Ifølge Theorem 7.1, som klarer tilfældet d = r og σ strengt positiv-definit, eller for det generelle tilfælde Theorem 7.1 i Ikeda-Watanabe findes der derfor en udvidelse kun nødvendig i det generelle tilfælde Ω, F, F t, P af CR +, R d, F, F t, P og en r-dimensional F t, P -Wiener proces W r t, så at M i t P = r 86 σ ij s, ξ s d W j s.

87 Indsættes dette for ethvert i = 1,..., d i formlen for M i t, ses at dette alt i alt viser, at Ω, F, F t, P, W r t, ξ t er en løsning til e x σ, b. Dvs., der er en 1-1 korrespondance via fordelingsmål mellem løsningsmængden til e x σ, b og løsningsmængden til Πx, σ σ, b. Eksistens og entydighed holder derfor for det ene problem, hvis og kun hvis det holder for det andet. Entydigheden for e x σ, b skal her forstås i fordelingsforstand, dvs. uniqueness in law. Ved hjælp af denne sammenkobling af problemerne er vi nu i stand til at vise flg. resultat, hvor σ og b er som ovenfor og x et punkt i R d. Sætning 15 Lad c : R + R d R d betegne en målelig funktion, som er begrænset på begrænsede mængder, og som yderligere opfylder, at < c, σ σ c >=< σ c, σ c >: R + R d R d er begrænset. Lad endvidere γ : R d R + betegne en målelig funktion, så at < r 1 γ r 2 <. Da er eksistens og spørgsmålet om uniqueness in law sammenfaldende for flg. to sæt af problemer i forbindelse med det sidste par antages σ og b tidsuafhængige e x σ, b og e x σ, b + σ σ c samt e x σ, b og e x γ 1/2 σ, γ b. Bevis. Ifølge det ovenstående er det nok at vise sammenfald af eksistens og entydighed for martingalproblemerne Πx, a, b og Πx, a, b + ac samt Πx, a, b og Πx, γ a, γ b. hvor vi igen kort har skrevet a i stedet for σ σ. Vi starter med det sidste. Lad derfor P være en løsning til Πx, γ a, γ b. Sæt A t = γξ s ds og lad τ t betegne den tilhørende højreinverse, dvs. Antagelserne om γ sikrer, at for alle ω er τ t = inf {s > A s > t } t. τ ω =, t τ t ω strengt voksende og kontinuert samt τ Atωω t. Endvidere er τ t en begrænset F t -stoptid for alle t. Definer Q := P φ 1, hvor φ : CR +, R d CR +, R d : φωt = ωτ t ω t. 87

88 Q er tydeligvis et vel defineret sandsynlighedsmål på CR +, R d, og vi vil nu vise, at Q er en løsning til Πx, a, b. Vi skal altså vise a og b på side 85 nederst. Men da a er oplagt, behøver vi kun at se på b. Lad derfor f CK 2 Rd være givet og betragt processen husk at σ og b er antaget tidsuafhængige fξ t fξ Lfξ s ds. Vi skal altså vise, at den er en F t, Q-martingal, eller ækvivalent pr. definition af billedmål vise, at fξ τt fξ τ Lfξ τs ds. er en F t, P -martingal. Men da velkendt substitution i reelle integraler sikrer at = Lfξ τs ds = Lfξ s 1 [,t ] A s da s = Lfξ τs 1 [,t ] A τs ds τt γξ s Lfξ s ds, er martingalegenskaben en umiddelbar konsekvens af optional sampling og det faktum, at P er en løsning til Πx, γ a, γ b. Vi har hermed vist, at enhver løsning til Πx, γ a, γ b giver anledning til en løsning til Πx, a, b, men udnyttes den tilvarende teknik på γ 1 ses, at der er en 1-1 sammnhæng mellem de to løsningsmængder. Lad os dernæst vende os mod det første par. Lad P være en løsning til Πx, a, b. Som ovenfor vist er M i t = ξ i t ξ i derfor P -kontinuerte lokale martingaler så at Sæt [M i, M j ] t P = Y t = b i s, ξ s ds i = 1,..., d a i,j s, ξ s ds i, j = 1,..., d. d i=1 Y t er da en P -kontinuert lokal martingal med [Y ] t = 1 i,l d c i s, ξ s M i s. c i s, ξ s a il s, ξ s c i s, ξ s ds = < c, a c > s, ξ s ds. Antagelserne og Novikov s Sætning sikrer derfor, at EY t er en Radon-Nikodym proces, dvs. vi kan definere et sandsynlighedsmål på CR +, R d ved fastsættelsen Q F t = EY t dp t. 88

89 Ifølge Girsanov s Sætning gælder derfor for alle θ R d, at d d θ i Mt i [M i, Y ] t = θ i Mt i i=1 er en Q-kontinuert lokal martingal med kvadratisk variation < θ, a θ > s, ξ s ds. i=1 < θ, ac > s, ξ s ds Da Qξ = x = 1 igen er oplagt, har vi hermed vist, at Q er en løsning til Πx, a, b + ac, for der gælder nemlig helt generelt flg. omvending til ovenstående påstand: Et sandsynlighedsmål P på CR +, R d løser Πx, a, b, hvis P ξ = x = 1 og M θ, dvs. processen θ 1 M 1 t + +θ d M d t, er en P -lokal martingal med kvadratisk variation for alle θ R d. < θ, a θ > s, ξ s ds. Hermed har vi vist, at en løsning til Πx, a, b giver anledning til en løsning til Πx, a, b+ac, og anvendes samme teknik på c ses, at der er en 1-1 korrespondance mellem de to løsnngsmængder. Sætningen er hermed modulo den netop formulerede omvending af ovennævnte påstand bevist. Beviset, der bygger på en gentagen anvendelse at Itô s formel, er ikke vanskeligt. se den udleverede fotokopi Som en yderligere gevinst af koblingen til martingalproblemet kan vi nu forholdsvis let vise, at entydighed i fordeling betyder, at løsningsprocesserne er såkaldte diffusionsprocesser, dvs. kontinuerte stærke Markov processer. Resultatet gælder generelt, men vi vil for at lette forståelsen koncentrere os om det tidsinvariante tilfælde. Dette er iøvrigt også langt det vigtigste tilfælde. Flg. resultat spiller en afgørende rolle. Proposition 15 Lad a : R d R d d og b : R d R d betegne givne målelige lokalt begrænsede funktioner. Antag at Πx, a, b for ethvert x R d har præcis én løsning P x, samt at disse afhænger måleligt af x, dvs. x P x B er Borel målelig for alle B F. Da er enhver løsning P til Πa, b givet ved P B = P x B P ξ dx B F. I stedet for straks at bevise dette resultat vil vi udlede ovenfor omtalte diffusions egenskab. Resultatet formuleres som flg. sætning. 89

90 Sætning 16 Lad σ : R d R r d og b : R d R d betegne givne målelige lokalt begrænsede funktioner. Da er enhver løsningsproces til eσ, b en diffusionsproces, hvis betingelsen i Proposition 15 er opfyldt for a = σ σ. Bevis. Lad Ω, F, F t, P, W r t, X t være en løsning til eσ, b. Da kontinuiteten er klar, mangler vi kun at vise, at for τ en given begrænset udvidet F t -stoptid gælder E[fX τ+t, B] = E[P t fx τ, B] for alle t, B F τ+ og f bbr d, hvor P t fx = fξ t dp x = E x [fξ t ]. P x betegner her den entydige løsning til Πx, σ σ, b. Lad B F τ+ være givet og betegn med Q fordelingsmålet for X τ+t under P B. Q er da et vel defineret sandsynlighedsmål på CR +, R d, og det er en løsning til Πa, b. For ifølge Itô s formel er for alle f C 2 K Rd en P -martingal og dermed fx τ+t fx τ fx t fx L s fx s ds L s fx τ+s ds = fx τ+t fx τ τ+t τ fx s ds en P B-martingal overvej. Som vist i Proposition 15 gælder derfor repræsentationen QB = P x B Qξ dx B F og dermed for alle t og f bbr d, at E[fX τ+t, B] = P B E[fX τ+t B] = P B P B { fξ t dq = fξ t dp x }Qξ dx = P B E[P t fx τ B] = E[P t fx τ, B]. Bevis for Proposition 15. Lad f i i 1 betegne en følge af funktioner i C 2 K Rd, som er tæt i C 2 K Rd mht. uniform konvergens. Sæt endvidere for alle f C 2 K Rd M f t = fξ τt fξ τ Lfξ τs ds. For ethvert sandsynlighedsmål Q på CR +, R d gælder nu oplagt flg. dobbeltimplikation Q løser Πa, b M f i t er en Q-martingal for alle i 1. 9

91 Udnyttes her at disse processer alle er uniformt begrænsede og kontinuerte, samt at σ-algebraerne Ft er tælleligt frembragte, fås derfor, at Q løser Πa, b hvis og kun hvis E[M f i s M f i t, B] = for alle i 1, < t < s rationale tal og B A t, hvor A t er en tællelig algebra, som frembringer F t. Bemærk at der er i alt højst tællelig mange identiteter. Lad nu P betegner en løsning til Πa, b. Da CR +, R d udstyret med topologien svarende til uniform konvergens på begrænsede intervaller er et polsk rum med tilhørende Borel σ-algebra F, eksisterer der en Markov kerne x, B mx, B x R d, B F, så at mx, {ξ = x} = 1 for alle x R d og P B ξ 1 A = A mx, B P ξ dx for alle A BR d og B F. Ved brug af det ovenstående gælder derfor for alle A BR d, at A mx, M f i s M f i t 1 B P ξ dx for alle i 1, < t < s rationale tal og B A t, hvor A t er en tællelig algebra, som frembringer F t. Da der som nævnt kun er tællelig mange ligninger fås derfor, at for P ξ -n.a. x gælder mx, M f i s M f i t 1 B = for alle i 1, < t < s rationale tal og B A t, hvor A t er en tællelig algebra, som frembringer F t. Dvs. for P ξ -n.a. x er mx, en løsning til Πx, a, b og dermed ifølge entydighedsantagelsen mx, = P x P ξ -n.a. x, hvoraf den ønskede formel er en umiddelbar konsekevens. 91

92 En vigtig ingrediens i beviset for Sætning 12 er flg. i sig selv interessante resultat, hvor σ og b er givne målelige funktioner fra R + R d ind i hhv. R r d og R d. Proposition 16 Hvis Ω, F, F t, P, W r t, X t er en løsning til eσ, b, da løser Ω, F, F t, P, W r t, X t ligeledes eσ, b, hvis Ω, F, F t, P er et filtreret sandsynlighedsfelt, og W r t og X t herpå definerede C P -vektorproccesser opfyldende 1 W r t er en r-dimensional F t, P -Wiener proces. 2 W r t, X t P = W r t, X t P. 92