Ekspedition: Erhvervsskolernes Forlag, +45 63 15 17 00

Statik og styrkelære 2. udgave, 1. oplag 2013 Nyt Teknisk Forlag 2013 Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@ef.dk Omslag: Henrik Stig Møller Omslagsfoto: forestiller ARoS, Århus: Adam Mørk og schmidt/hammer/lassen/architects Tegninger: Ebbe Lastein Grafisk tilrettelæggelse: Stig Bing Dtp: Stig Bing og Pihl - grafisk design Tryk: Narayana Press ISBN: 978-87-571-2779-9 Varenummer: 104018-1 Bogen er sat med Palatino Bogen er trykt på 115 g silk Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Hovedreglen er: højst 20 sider af en bog til samme hold/klasse pr. studerende pr. undervisningsår. Og kopier må ikke genbruges. Kopier skal tilføjes kildeangivelse: Forfatter, titel og forlag. Se mere på www.copydan.dk Nyt Teknisk Forlag Ny Vestergade 17 1471 København K info@nyttf.dk www.nyttf.dk Ekspedition: Erhvervsskolernes Forlag, +45 63 15 17 00 Fax +45 63 15 17 28

3 Forord 2. udgave I forhold til 1. udgave er der foretaget en del ændringer og rettelser. Afsnittet Snitkræfter er forenklet, og symboler er rettet til i overensstemmelse med de nye Eurocodes normer, som er blevet indført i Danmark fra januar 2009. I den forbindelse en stor tak til adjunkt Johan Clausen, Institut for Byggeri og Anlæg, Aalborg Universitet, for mange gode kommentarer og forslag. Statik og Styrkelære erstatter bøgerne Teknisk statik og Teknisk styrkelære og er skrevet med henblik på anvendelse inden for erhvervs- og erhvervsakademiuddannelser og htx-uddannelsen. I bogen er der en del billedkompositioner, der skal vise, at hverdagen er fyldt med mange situationer, hvori der indgår elementer, der kan relateres til statik og styrkelære. Nogle af billederne refererer til relevante situationer, mens andre appellerer til den enkelte om at bruge fantasien og se mulighederne. Som eksempel er der bænken i solnedgangen. Personen påvirker gennem sin tyngde bænken, som i statik- og styrkelære-terminologi er et bøjningspåvirket konstruktionselement.

4 Teknisk matematik Forord Bogen er en elementær grundbog og omhandler de grundlæggende principper inden for statik og styrkelære. Endvidere giver bogen eksempler på beregning af enkle konstruktionselementer inden for stålkonstruktion, trækonstruktion og maskinelementer. Bogen er opbygget i en passende rækkefølge med opstilling af regler, eksempler og opgaver. Sidst i hvert afsnit er der et resumeafsnit, hvor de vigtigste formler og regler fra det pågældende afsnit er gengivet. Opgaverne er integreret i bogens enkelte afsnit, og der er facitliste til disse opgaver. Facitlisten finder du på bogens side på ef.dk; gå ind på ef.dk og søg 104018, så ligger de under fanebladet Extra. Endvidere er der et kapitel med blandede opgaver uden facitliste. Bagest i bogen er der et afsnit med bjælkeformler og stikord. Det skal bemærkes, at der findes en del it-beregningsprogrammer og ligeledes en del tegneprogrammer. Bogen indeholder ikke en instruktion til et bestemt program, men det kan anbefales at inddrage itprogrammer og ligeledes tegneprogrammer til afprøvning af de mange grafiske løsningsprincipper, der er i bogen. Januar 2013 Preben Madsen

5 Indhold Indledning 7 1. Kræfter og momenter 9 Kraftbegrebet...9 Definition på kraft...10 Større kraftsystemer med samme angrebspunkt 28 Kraft- og tovpolygonmetoden...36 Moment...40 Parallelle kræfter...46 Kraftpar...51 Parallelforskydning af kraft...51 Loven om aktion og reaktion...53 Ligevægtsbetingelser...54 Resume 1.kapitel...66 2. Konstruktioner påvirket til bøjning 69 Hvordan virker en belastning?...69 Belastningsfigurer...71 Understøtningstyper...73 Ydre kræfter, aktioner og reaktioner........... 74 Simple understøtninger...75 Indspændinger...76 Beregningsmodeller...76 Statisk ubestemte konstruktioner...78 Bestemmelse af reaktioner...79 Ydre kræfter, indre kraft og snitkraft...90 Snitkræfter...91 Sammenhænge mellem V- og M-kurver...107 Momentkurver for aksler...117 Momentpåvirkede konstruktionselementer...124 Resume 2. kapitel...128 3. Gitterkonstruktioner 131 Opbygning...131 Beregningsgrundlag...133 Bestemmelse af reaktioner...134 Ritters metode...139 Knudepunktsmetoden...143 Grafisk bestemmelse af stangkræfter...149 Resume 3. kapitel...159 4. Styrkelærens grundprincipper 163 Styrkelærens opgaver...163 Grundbelastningstyper...165 Tværsnitskonstanter...170 Legemers tyngdepunkter...171 Arealers tyngdepunkt...173 Tyngdepunkt for kvadrat, rektangel, parallelogram og rombe...174 Tyngdepunkt for trekant...175 Tyngdepunkt for cirkel...176 Tyngdepunkt for halvcirkel, cirkeludsnit og cirkelafsnit...176 Tyngdepunkt for sammensat areal...178 Linjers tyngdepunkt...188 Inertimoment af rektangel...192 Inertimoment af cirkel...194 Flytningsformlen...194 Modstandsmoment...199 Modstandsmoment af rektangel og cirkel...199 Polært inerti- og modstandsmoment...200 Normalspænding træk/trykspænding...209 Forskydningsspænding...210 Bøjningsspænding...210 Torsionsspænding...214 Sammensatte spændinger...215 Materialer...218 Trækprøvning...218 Forlængelsen ΔL...221 Styrkebetingelse...223 Resume 4. kapitel...224 5. Stålkonstruktioner 229 Normer...229 Areal-, linje- og punktlast...229 Materialedata...231 Partialkoefficienter...232 Centralt påvirkede trækstænger...232 Centralt påvirkede trykstænger...240 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer...249 Forskydningspåvirkede konstruktionselementer...255 Nedbøjning (deformation)...255 Fladetryk...258 Profiltabeller...261 Resume 5. kapitel...271 6. Trækonstruktioner 273 Normer...273 Materialer...273 Styrke- og stivhedstal...274 Centralt påvirkede trækstænger...276 Centralt påvirkede søjler...282 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer...287 Nedbøjning...291 Profiltabeller...294 Resume 6. kapitel...296 7. Maskinelementer 297 Styrkeberegning af maskinelementer...297 Karakter af en belastning...298 Konstruktionsmaterialer...301 Trækpåvirkede maskinelementer...301 Trykpåvirkede maskinelementer...303 Forskydningspåvirkede maskinelementer...305

6 Teknisk matematik Indhold Bøjningspåvirkede maskinelementer...306 Torsionspåvirkede maskinelementer...308 Fladetryk...309 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning...311 Resume 7. kapitel...321 8. Opgaver 323 Bjælkeformler 343 Stikord 345

7 Indledning Bogens titel er Statik og styrkelære, så det vil være naturligt, at du stiller spørgsmålene: Hvad er statik? og hvad er styrkelære? For at besvare disse spørgsmål kan du kaste et blik rundt på mange af de ting, du har omkring dig. Det kan være ting, som er udformede til ganske bestemte funktioner - det kan være en simpel ting som en gaffel, og det kan være komplicerede ting som fx en bil, der jo er sammensat af rigtig mange dele, hvor den enkelte del er udformet for netop at udfylde en ganske bestemt funktion. I hvert tilfælde kan du opstille nogle krav til den enkelte komponent, for at den netop kan være dig til den nytte, du ønsker. Du får her eksempler på krav, der kan stilles: Ønske om størrelse. Ønske om holdbarhed. Ønske om nem betjening. Ønske om miljøvenlighed. Ønske om at overholde normer og standarder. Ønske om flot design. Ønske om at overholde en pris. De krav, du skal beskæftige dig med i denne bog, er: Styrkekrav og modstand mod deformation. Hvad betyder så det? jo, de komponenter og dele, du anvender i en konstruktion, skal kunne holde til de påvirkninger, du udsætter dem for. Sagt på en anden måde må konstruktionen simpelthen ikke gå i stykker og falde fra hinanden. Du skal derfor beskæftige dig med statik, som er læren om legemer i ligevægt. Statikken vil også sætte dig i stand til at bestemme det punkt i en konstruktion, som er maksimalt belastet. Med den viden kan du så få styrkelæren på banen. Styrkelæren hjælper dig derefter med at bestemme de rigtige og nødvendige dimensioner på din konstruktion.

8 Teknisk matematik Indledning For at illustrere et sådant forløb har du en håndværker på en stige. Du skal forestille dig, at du skal bestemme dimensionerne på trinet, han står på. 1. Du skal starte med at bestemme belastningen. Kender du håndværkerens masse (vægt), kan statikken hjælpe dig med at bestemme belastningen (kraften på trinet). 2. Du skal så videre og se på konstruktionen. I statikken er trinet et konstruktionselement, som du kalder en bjælke. I kapitlet Konstruktioner påvirket til bøjning, kan du finde frem til det punkt på bjælken, der er maksimalt belastet. 3. Nu skal du vælge materiale, og i kapitlet Trækonstruktioner kan du finde et egnet materiale. 4. Med det maksimalt belastede punkt på bjælken og materialet som udgangspunkt har du så muligheden for at komme videre og bestemme en nødvendig dimension på trinet. 5. I profiltabellerne kan du gå ind og finde et tværsnit, der kan leve op til den nødvendige dimension, du har bestemt. Du har dermed løst opgaven, og som det fremgår af eksemplet, kommer du langt omkring i bogen. Du kan så stille spørgsmålet: Hvordan skal bogen så anvendes? De enkelte kapitler er opbygget med eksempler og opgaver og fremstår hver for sig som selvstændige enheder. Som illustreret ved eksemplet er det også muligt at springe i bogen og gennemgå de afsnit eller dele deraf, der er nødvendige for at komme til en helhed set ud fra et undervisningsmæssigt synspunkt. I den forbindelse kan der peges på de eksempler og opgaver, der er gennemgående fra afsnit til afsnit og som netop illustrerer sådanne forløb.

9 Kræfter og momenter 1 Kraftbegrebet I dette kapitel skal du arbejde med kræfter og momenter. På billedet herover har du en kran, og skal kranen løfte en byrde, kan du omsætte byrdens masse til en kraft. Kender du den vinkelrette afstand fra kraften og til kranens drejningspunkt, kan du gange kraften med den vinkelrette afstand, og du har et moment. Som sagt er det disse to størrelser, du skal i gang med. Du skal nu starte med at se lidt nøjere på kraftbegrebet. Du har et billede af en mand med en kuffert. Kufferten vil give et træk i armen, som skyldes jordens tiltrækningskraft. Tiltrækningskraften kalder du kuffertens tyngdekraft.

10 Statik og styrkelære Kræfter og momenter Bliver kufferten skiftet ud med en kuffert med en anden masse, vil trækket i armen på tilsvarende vis være forskelligt. Du kan derfor formulere følgende sætning: En kraft kan opfattes som en størrelse, der holder ligevægt med tyngdekraften. Du skal nu forestille dig, at der bliver givet slip på kufferten som vist på figur 1.01, og den falder frit mod jorden. Fig.1.01 På grund af tyngdekraften vil kuffertens hastighed stige og stige. Du kan derfor formulere en ny sætning: En kraft kan opfattes som en størrelse, der giver et legeme en hastighedsændring. Definition på kraft Du skal have defineret en kraftenhed, og du har det såkaldte S.I.- målesystem, som er en forkortelse af Systeme Internationale d Unites. Dette målesystem er opbygget af seks grundenheder for størrelserne: Længde. Masse. Tid. Elektrisk strøm. Temperatur. Lysstyrke. Ud fra disse grundenheder afledes så alle øvrige enheder. I statik har kraftenheden den største interesse. Du måler kræfter i enheden Newton, som forkortes N. Definitionen lyder: 1 N (Newton) er den kraft, der ved at påvirke et legeme med masse 1 kg, giver det en acceleration på 1 m/s². Med denne baggrund får du, at et legeme med masse 1 kg placeret et sted, hvor tyngdeaccelerationen er 9,81 m/s², bliver påvirket af en kraft på 9,81 N.

Definition på kraft 11 Hvis du vender tilbage til billedet med kufferten og sætter dens masse til 20 kg, får du, at tyngdekraften G bliver: G = 20 9,81 G = 196,2 N Generelt kan du opstille følgende ligning: hvor G er tyngdekraften i N, m er legemets masse i kg og g er tyngdeaccelerationen i m/s 2 G = m g Inden for statikken kan du ved langt de fleste opgaver afrunde og regne tyngdeaccelerationen g til 10 m/s². Hvor meget er 1 Newton? For at give dig fornemmelsen af størrelsesbegrebet 1 N, må du forestille dig et æble med masse 0,1 kg eller 100 gram placeret som vist på billedet. Du kan bestemme tyngdekraften, idet du kan sætte tyngdeaccelerationen g til 10 m/s². G = 0,1 10 G = 1 N Du har altså, at et æble med masse 0,1 kg (100 gram) udøver en tyngdekraft på 1 N.

12 Statik og styrkelære Kræfter og momenter Når du regner kræfter i måleenheden Newton (N), vil det for fleste opgavers vedkommende give store tal. Du kan derfor for overskuelighedens skyld arbejde i kilonewton (kn) eller MegaNewton (MN). Du får her omregningsfaktorerne: 1 kn = 10³ N 1 MN = 10 6 N Afbildning af kræfter Det har primært været tyngdekraften, du har set på, men andre fysiske forhold kan give samme virkning, og så må du naturligvis også kalde dem for kræfter. Du får nogle eksempler. Figur 1.02 viser en bjælke i balance under påvirkning af et legeme med tyngdekraft G. Figur 1.02 På figur 1.03 opnår du balancen ved hjælp af tiltrækningskraften mellem to magneter. Figur 1.03 På figur 1.04 opnår du balancen ved hjælp af en fjeder. Figur1.04 Endelig har du figur 1.05, hvor du opnår balancen ved hjælp af muskelkraft. Figur 1.05

Definition på kraft 13 Det vil være mest praktisk, at du benytter et fælles symbol, når du afbilder en kraft. Da kræfter virker efter rette linjer, vil det være naturligt at afbilde en kraft ved hjælp af et linjestykke forsynet med en pilespids, der angiver, hvilken retning kraften virker i. Figur 1.06 På figur 1.06 har du billedet af en kraft, og på figur 1.07 har du bjælken forsynet med dette symbol. Figur 1.07 I matematikken kalder man sådan en pil for en vektor, og du skal i de kommende afsnit se på de specielle regneregler, som er gældende for vektorer eller kræfter. Langt de fleste opgaver kan du løse ved hjælp af to metoder, enten grafisk (tegningsmæssig løsning) eller analytisk (beregningsmæssig løsning). Har du adgang til et it-tegneprogram, vil det være oplagt at benytte det til grafiske løsninger.

14 Statik og styrkelære Kræfter og momenter Bestemmelse af kraft Du skal forestille dig, at du har en bokser, som bliver slået ud som vist på figur 1.08. Du er ikke i tvivl om, hvor kraften rammer, og i hvilken retning den har virket. Figur 1.08 Skal den slagne bokser hjælpes op som vist på figur 1.09, skal kraften og dens retning placeres et helt andet sted. Figur 1.09 Du får et andet eksempel. Du har en vogn, der er vist i tre situationer som vist på figur 1.10. Figur 1.10

Definition på kraft 15 Kraften er den samme i de tre situationer, men retning og angrebspunkt er forskelligt. Virkningen på vognen i de tre situationer vil være forskellig, og du kan derfor fastslå, at følgende tre punkter hører med til en fuldstændig bestemmelse af en kraft (se figur 1.11). 1. Kraftens angrebspunkt. 2. Kraftens retning. 3. Kraftens størrelse. Figur 1.11 Når du løser opgaver, er det altså ikke tilstrækkeligt at nøjes med at angive kraftens størrelse angrebspunktet og retningen skal du også have med. Du får et eksempel. En kraft er indlagt i et koordinatsystem som vist på figur 1.12. Figur 1.12 Du kan beskrive kraften således: Angrebspunkt: (x,y) = (2,1) Retning: vinkel v = 35º Størrelse: F = 25 kn Grundsætninger om kræfter Når du skal arbejde med, hvordan kræfter påvirker et legeme, er teorien bygget om nogle grundsætninger eller regler. Du kan ikke bevise disse grundsætninger, da de er et resultat af iagttagelser og erfaringer.

16 Statik og styrkelære Kræfter og momenter Du får grundsætning nr. 1: En kraft kan forskydes i sin virkelinje, uden at det ændrer noget i legemets bevægelsestilstand, blot forbindelsen mellem kraft og legeme bibeholdes (se figur 1.13). Figur 1.13 Umiddelbart er denne regel kendt, idet du jo får samme resultat ud af at skubbe en vogn som at trække med samme kraft som vist på figur 1.14. Figur 1.14 Du får grundsætning nr. 2: To lige store modsatrettede kræfter, som har samme virkelinje, ophæver hinandens virkning på et legeme (se figur 1.15). Figur 1.15

Definition på kraft 17 Du får grundsætning nr. 3, som omhandler kræfternes parallelogram: To kræfter, der angriber i samme punkt på et legeme, kan sammensættes og erstattes af en kraft R, som du kalder resultanten. Konstruktionen fremgår af figur 1.16. Figur 1.16 Figur 1.17 Du behøver imidlertid ikke at konstruere hele parallelogrammet, men kan tegne som vist på figur 1.17 eller figur 1.18. Figur 1.18 Denne måde at bestemme resultanten på kan du formulere således: Kræfterne afsættes efter hinanden resultanten er beliggende fra begyndelsespunktet af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft. Ud fra sætningen om kræfternes parallelogram kan du også løse den omvendte opgave, nemlig at opløse en enkeltkraft i to kræfter, når deres virkelinjer er givet. Du får et eksempel.

18 Statik og styrkelære Kræfter og momenter På figur 1.19 har du en kraft, som skal erstattes af to kræfter med virkelinjer m og n. Figur 1.19 På figur 1.20 har du den geometriske løsning. Figur 1.20 Gennem R s endepunkt tegner du linjer, der er parallelle linjer med de givne linjer m og n. Herved får du kræfterne F m og F n. Disse to kræfter kalder du i almindelighed for komposanter, altså, kraften R kan du erstatte af to komposanter F m og F n. Det var som nævnt den geometriske løsning, du fik vist. Skal du beregne en løsning, skal du have hjælp af trigonometri. Det får du at se i det kommende eksempel. Eksempel 1.01 På figur 1.21 har du en kraft på 75 N, der danner en vinkel på 25º med vandret. Figur 1.21

Definition på kraft 19 Du skal beregne størrelsen på kraftens vandrette og lodrette komposant. Du tegner som vist på figur 1.22 og kan anvende formlerne for beregning af retvinklede trekanter. Figur 1.22 Rækkefølgen er vilkårlig, men du kan starte med at beregne den vandrette komposant H: H cos 25 = : H= 75 cos 25 = 67,97 N 75 Herefter den lodrette komposant: V sin 25 = : V = 75 sin 25 = 31,70 N 75 Eksempel 1.02 Du har et legeme, der er påvirket af to kræfter F 1 = 20 N og F 2 = 30 N som vist på figur 1.23. Figur 1.23 Du skal bestemme resultanten både grafisk og analytisk.