Introuktion til Moelanalyse Note til Økonomiske Principper B ve Claus Thustrup Kreiner Gitte Ying Michaelsen Hans Jørgen Whitta-Jacobsen
Introuktion til moelanalyse Claus Thustrup Kreiner Gitte Ying Michaelsen Hans Jørgen Whitta-Jacobsen August 2007 Inholsfortegnelse. Typer af variable s. 2 2. Typer af relationer.. s. 3 3. Kausalanalyse s. 3 4. Løsning af moel ve substitution.. s. 5 5. Totalifferentiation... s. 6 6. Case: Klassisk moel... s. 9 7. Opgaver... s. 0 8. Løsninger... s. 2 9. Litteraturliste... s. 20
. Typer af variable Man skelner mellem eksogene og enogene variable: ) Enogene variable bestemmes af moellens relationer. 2) Eksogene variable, heruner parametre, er e variable, er betragtes som givne. Moellen har altså ingen inflyelse på em. De kan og variere over ti på grun af forhol uenfor moellen, og i nogle tilfæle forestiller vi os, at e kan ænres via økonomisk politik. Hvis en eksogen variabel har form af en rate, kvote eller teknisk koefficient, f.eks. en marginale forbrugskvote eller eksponenten i en Cobb-Douglas prouktionsfunktion, så kales en for en parameter. Betragt følgene makromoel for en lukket økonomi i velkent notation (fotegn står for efterspørgsel og s for ubu): Moel () Y = C + I + G (2) C = a + b (Y -T) (3) Y s = K c L -c (4) Y s = Y Eksogene: I, G, T, K, a, b og c, heraf parametre a, b og c. Enogene: Y, C, Y s og L Relation () angiver en samlee efterspørgsel efter varer og tjenesteyelser i økonomien, (2) er en simpel Keynesiansk forbrugsfunktion (jf Mankiw (2006), kapitel 3), (3) angiver, at et samlee ubu af prouktion er givet ve en Cobb-Douglas-funktion af kapital og arbejskraft, mens (4) siger, at ubu og efterspørgsel af prouktion er lige store. De aggregeree private investeringer I, et offentlige forbrug G, skatteprovenuet T og kapitalapparatet K er i enne moel eksogene (ofte markeres ette ve at sætte en streg over variablene). Parametrene a, b og c antages at være forholsvis stabile over ti og kan estimeres ve statistiske metoer: a er en inkomstuafhængig el af forbruget, b er en marginal forbrugstilbøjelighe (anel er forbruges af ekstra inkomst) og c er en teknisk koefficient. Aggregeret efterspørgsel Y, ubu Y s, forbrug C og arbejskraft L bestemmes af moellen. Herme menes, at hver enogen variabel bestemmes som en funktion af uelukkene eksogene variable, heruner parametre. Når ette er tilfælet, siger vi, at moellen er fulstænig. Som hoveregel er moellen fulstænig, når er er lige mange ligninger og enogene variable. 2
2. Typer af relationer Man skelner typisk mellem følgene typer af relationer. ) Definitionsligninger Kales også ientiteter. Definerer blot en variabel som funktion af anre variable. Der ligger ingen antagelser til grun for relationen. 2) Afærsrelationer Beskriver agenters afær i økonomien, vs. hva e gør som funktion af forskellige variable. Til grun for en afærsrelation ligger sålees en specifik afærsantagelse. 3) Tekniske relationer Angiver rent tekniske sammenhænge, f.eks. en prouktionsfunktion. 4) Ligevægtsbetingelser Utrykker, at ubu skal være lig efterspørgsel (på et eller anet marke), iet en eller flere variable tilpasser sig, så ligevægt sikres. I et FK-marke vil et være tilpasning af priser, er sikrer lighe mellem ubu og efterspørgsel. I moel svarer rækkefølgen af relationer til ovenståene typer. Relation () er en ientitet, a en samlee aggregeree efterspørgsel for en lukket økonomi består af e tre komponenter pr. konvention (jf. Nationalregnskabet). Relation (2) er en afærsrelation, som antager, at et private forbrug er en lineær funktion af inkomsten/prouktionen. Relation (3) er en teknisk relation. Relation (4) er en ligevægtsbetingelse for varemarkeet og utrykker, at en aggregeree efterspørgsel er lig et aggregeree ubu (som erfor også er lig aggregeret prouktion og aggregeret inkomst). 3. Kausalanalyse Moel er en meget simpel moel, men kan alligevel fejlfortolkes. Betragt følgene usagn: a) En ænring i en offentlige vareefterspørgsel G påvirker en aggregeree efterspørgsel Y og erve Y s. b) En ænring i kapitalmængen K påvirker prouktionen Y s. Begge usagn virker plausible u fra moellen. Alligevel er et ene forkert hvilket? Til at besvare ette er kausalanalysen et nyttigt reskab. En kausalanalyse afslører moellens struktur, vs. hvoran e enogene variable påvirker hinanen, og i hvilken rækkefølge e bestemmes. Først opskrives et skema me antal kolonner og rækker svarene til antal enogene variable og relationer (se skema.a). De enogene variable opskrives over kolonnerne og relationernes numre skrives til venstre for rækkerne. Man betragter nu hver relation og sætter krys u for e enogene variable, er ingår i en pågælene relation. 3
Eksogene variable og parametre, som ingår i en pågælene relation, skrives i en kolonne til højre for rækkerne. I skema.a er ette gjort for moel. Skema a. Uornet kausalanalyse Nr. Enogene Y C Ys L Eksogene & parametre () x x I G (2) x x a b T (3) x x K c (4) x x Skema b. Ornet Kausalanalyse Nr. Enogene Y C Ys L Eksogene & parametre () x x I G (2) x x a b T Oren 0. (4) x x. (3) x x K c 2. Næste skrit er at orne skemaet, som et er gjort i skema.b. Først søges efter en række me kun ét krys. Hvis såan en (eller flere) eksisterer, placeres en (e) øverst i et ny skema og betegnes 0. oren. For moel er er ingen rækker me kun ét krys. Der søges nu efter en 2- ligningsblok, om hvilken et gæler, at er højst er kryser u for e samme to enogene variable. For moel ugør relation () og (2) en 2-ligningsblok, a er er kryser u for e to variable Y og C. Relation (3) og (4) ugør ikke en 2-ligningsblok, a er i alt er kryser u for tre variable. Den funne 2-ligningsblok () og (2) placeres øverst i et nye skema og betegnes 0. oren, a blokken ikke afhænger af enogene variable uenfor blokken (Y s og L). Man søger nu efter -ligningsblokke igen, men uner hensynstagen til, at Y og C er bestemte. Betragt relation (3). Den ineholer to enogene variable, Y s og L. Da begge er ukente kan en ikke blive til en -ligningsblok. Relation (4) ineholer også 2 enogene variable, Y og Y s, men a Y alleree er bestemt, bliver en en slags énligningsblok, er bestemmer Y s, og en placeres i et ornee skema lige neen uner blokken af 0. oren. Den ny blok kales en -ligningsblok af. oren, a en afhænger af 0. orensblokken. Relation (3) opskrives til sist som en -ligningsblok af 2. oren, a en afhænger af Y s, er blev bestemt i. oren. 4
Den kausale struktur kan også vises i et pileiagram, hvor er er cirkler om eksogene variable og firkanter om enogene, og pile har betyningen er me til at bestemme. Når Y og C er samlet inenfor én firkant me stiplet askillelse, markerer et, at isse to variable bestemmes inenfor en simultan 2-ligningsblok. Ellers skulle iagrammet gerne være selvforklarene: Figur a. Pileiagram over en kausale struktur I G Y Y s L a C b K c T Den kausale struktur, hva enten en illustreres i et pileiagram eller i et ornet skema, beskriver e årsagsmæssige sammenhængene mellem moellens variable. Generelt gæler: Enogene og eksogene variable har ingen inflyelse på enogene variable af en lavere oren. Enogene og eksogene variable har som hoveregel inflyelse på enogene variable af en højere oren. Enogene variable inenfor en blok har gensiig inflyelse på hinanen. Vi kan nu uen uregning eller reucering af moellen fine u af, om usagnene a) og b) er korrekte i henhol til moel. En ænring i G påvirker Y i 0. oren, som påvirker Y s i. oren, altså er usagn a) korrekt. En ænring i K har kun inflyelse i blokken af 2. oren, hvor en bevirker ænringer i L. Usagn b) er altså forkert, a K ingen inflyelse har på Y s i enne moel. 4. Løsning af moel ve substitution Kausalanalysen birager til forståelsen af moellen, men giver ikke et eksplicit utryk for størrelsesorenen af e enogene variable. La os antage, at regeringen har spurgt sine økonomiske rågivere om følgene: (a) Hvor stor er en aggregeree vareefterspørgsel som funktion af investeringerne og et offentlige forbrug? (b) Hvor stor er effekten af en ekspansiv finanspolitik på prouktionen? 5
Vi ve fra vores kausalanalyse, at Y og C i moel bestemmes samtiigt i 0. oren. Vi kan a se bort fra resterene relationer, når a) skal besvares. Relation () og (2) er sålees to ligninger me to ubekente, som kan løses. For at fine Y substitueres C i relation (2) in i (): Y ab Y T I G ( b) Y abt I G Y a bt I G b Herme er a) besvaret, Y er opskrevet uelukkene som funktion af eksogene variable og parametre. Kausalanalysen viser, at Y s bliver bestemt af Y (svarene til, at proucenterne tilpasser ubuet fulkommen til efterspørgslen). Vi kan erfor besvare b) ve at insætte Y s på Y s plas og ifferentiere mht. G: Ys a I G b Ys a I G G b G G G Ys 00 G b b Da en marginale forbrugstilbøjelighe b er mellem 0 og, bevirker en stigning i G en ennu kraftigere stigning i prouktionen Y s. Antag, at et offentlige ansætter en person til kontorarbeje. Personen birager til prouktionen via sit arbeje og får løn, hvilket forøger personens privatforbrug (me b gange inkomstforøgelsen). Det øgee privatforbrug øger prouktionen. Prouktionsforøgelsen betyer øget inkomst i økonomien, øget forbrug og erme øget prouktion osv. Dette er Keynes berømte multiplikatorvirkning. Virkningen ør langsomt u, a b er minre en. Den samlee virkning på Y s af en stigning på én i G er erfor /(-b), som uregnet. 5. Totalifferentiation Ofte kan man ikke eksplicit isolere en enogen variabel som funktion af kun eksogene variable og parametre, vs. man kan ikke løse moellen ve substitution som beskrevet ovenfor. Man kan erfor ikke svare på spørgsmål af typen (a), vs. et er ikke muligt at bestemme en enogene variabels niveau. Dette problem kan for eksempel opstå, hvis e ingåene funktioner er ikkelineære. 6
Heligvis bliver økonomer oftest spurgt om spørgsmål af typen (b), vs. om ænringer, som jo også er mest interessante: Vi ve got, hvor stor inkomsten/prouktionen er; et, vi er interesseree i, er, hvoran vi kan påvirke en ve økonomisk politik. I moel var er ikke noget problem me isoleringen af Y. Antag nu at relation (2) i moel uskiftes me en generelle funktion (alt anet er uænret): (2 ) C = C(Y -T) 0 < C ' (Y -T) < Når (2 ) substitueres in i (), bliver moellen reuceret til én relation, men Y kan ikke isoleres. Vi kan altså ikke svare på spørgsmål a) længere, men ve brug af totalifferentiering kan vi svare på (b). Totalifferentiering anvener en matematiske sætning, at hvis y kan skrives y =f(x), så er ænringer i y forårsaget af en ænring i x u fra et givet punkt (x,y) tilnærmelsesvis: y f (x) x, for små x. Man siger i en forbinelse, at man har lineariseret moellen, for y afhænger jo lineært af x. Ve en totalifferentiering lineariseres alle relationerne ve enne metoe. Når er i relation () fx står G, skal en ifferentieres mht. G og ganges me ænringen, G. Ligelees giver lineariseringen af venstresien i (2 ) C, mens højresien giver C ' (Y -T) Y. La os nu besvare spørgsmål (b). Kausalanalysen ænres ikke ve uskiftningen af (2) og viser altså, at relationerne (), (2 ) og (4) skal anvenes: () Y C I G (2 ) C C '( Y T ) Y (4) Ys Y Nu kan man løse ve substitution: Y C '( Y T ) Y I G Y I GYs C'( Y T) Ys G C '( Y T ) Vi har herme vist - uen angivelse af funktionsform for forbruget og uen isolering af Y - at prouktionen vil stige kraftigere en stigningen i e offentlige ugifter (for små ænringer i e offentlige ugifter). Bemærk, at me kenskab til C'( Y T), altså til en marginale forbrugstilbøjlighe blot lokalt, kan vi også fine effekten på Y s af en ænring i G. Den tiligere multiplikator, /(-b), er et specialtilfæle af /( C'( Y T) ). 7
Moel er et eksempel på en simpel keynesiansk moel, som vi ikke skal iskutere viere her (vi uskyer iskussionen til gennemgangen af Mankiws lærebog). Det vigtige i enne forbinelse er at forstå brugen af reskaberne : Kausalanalyse, substitution og totalifferentiering. Sysæter (2005) omtaler totalifferentiering i afsnit.9 sie 402 i. bin. Det kan også være nyttigt at se på implicit ifferentiation afsnit 7. s. 239, hvis matematikken bag ligger langt væk. 6. Case: Klassisk moel Betragt en klassiske moel fra Mankiw (2006), kapitel 3: Moel 2 () Y = C + I + G (2) C = C(Y-T) (3) I = I(r) (4) Y = F(K,L) Eksogene: G, T, K og L. Enogene: Y, C, I og r Moel 2 ligner moel på mange punkter. Relation () og (2) er uforanree. Ligevægtsbetingelsen fra før Y = Y s (= Y) er implicit her, iet Y blot er insat i () og (4). Dette shortcut anvenes tit, a man så får en relation minre. Den vigtige forskel fra moel består i, at beskæftigelsen L nu er eksogen, og at investeringerne I er blevet gjort afhængige af en enogene rente. Dette lyer umielbart som uskylige ænringer, men som en neenståene kausalanalyse vil afsløre, er er tale om en moel me næsten mosatte konklusioner. Skema 2a. Uornet kausalanalyse Nr. Enogene Y C I r Eksogene & parametre () x x x G (2) x x T (3) x x (4) x K L 8
Skema 2b. Ornet kausalanalyse Nr. Enogene Eksogene & parametre Y C I r Oren (4) x K L 0. (2) x x T. () x x x G 2. (3) x x 3. Figur 2a. Pileiagram for kausalanalysen K T C G L Y I r Som man kan se af skema 2b og figur 2a, kan ekspansiv finanspolitik G ikke påvirke prouktionen Y i enne moel, a G befiner sig i 2. oren og Y bestemmes i 0. oren. Prouktionen er bestemt af beholningerne af kapital K og arbejskraft L (samt teknologi) og kan sålees kun ænres ve ænringer i isse variable. Konsekvensen af ænret K eller L kan uregnes ve totalifferentiering: (4) Y F ( K, L) K F ( K, L) L K Y Y FK( K, L), FL( K, L) K L L Mosat moel påvirker ænringer i K prouktionen Y. Ekspansive finanspolitik påvirker investeringerne I i 2. oren. Effekten fines ve at totalifferentiere () og sætte Y og C lig 0, a e er bestemt i en lavere oren: () Y C I G I G Heraf kan vi se, at er ve en øget ekspansiv finanspolitik blot sker en tilsvarene negang i e private investeringer (igen mosat moel, hvor investeringerne var eksogene). At øget G bevirker falene I kales fortrængning eller crowing-out. I vores moel er er fulkommen crowing-out (effekten er én til én), hvilket er et typisk klassisk resultat. 9
Stigningen i e offentlige ugifter minsker en offentlige opsparing og erve en totale opsparing, S = Y - C -G (jf. Mankiw (2006), kapitel 3). Ligevægtsbetingelsen Y = C + I + G kan skrives: Y - C G = I, eller S = I, og kan fortolkes som en betingelse for clearing på e finansielle markeer, at en totale opsparing skal svare til e totale investeringer i ligevægt. Når opsparingen faler, må investeringerne altså også fale. Falet i investeringerne påvirker renten r i 3. oren: (3) I r I r G I '( r) r I '( r) I '( r) Da I (r) er negativ (jf. kapitel 3 i Mankiw (2006)), bliver resultatet en rentestigning. Når renten stiger, faler investeringerne og nærmer sig en nye opsparing. Renten stiger, intil investeringerne I svarer til opsparingen S. Vi får igen et typisk klassisk resultat: Det er renten, som skaber ligevægt på varemarkeet. I moel 2 er opsparingen S uafhængig af renten r, men en ubygning af moellen på ette punkt giver kun små ænringer i resultaterne (jf opgave 8 neenfor samt Mankiw, kapitel 3, s. 70-7), som staig vil være klassiske. 7. Opgaver. I følgene moel er Y, Y isp og C enogene. Y isp er isponibel inkomst, og T er eksogene skatter. Det antages, at ubuet tilpasser sig en aggregeree efterspørgsel. () Y = C + I + G (2) Y isp = Y T (3) C = a + by isp.a Hvilken type relation er (2)?.b Ufør en kausalanalyse. Hva viser en?.c Uregn ve substitution Y som function af eksogene variable og parametre.. Hvoran vil en stigning i I påvirke Y, Y isp og C? 2. Uskift relation (2) i ovenståene me: (2 ) Y isp = (-t)y, t er en parameter mellem 0 og. 2.a Beskriv forskellen mellem (2) og (2 ). 2.b Ænres moellens kausale struktur? 2.c Uregn Y. 2. Vil en stigning i I have samme virkning på Y som før? 0
3. I følgene moel er Y, C og I enogene. Det antages, at ubuet tilpasser sig en aggregeree efterspørgsel. () Y = C + I + G (2) C = C(Y) (3) I = I(r) 3.a Beskriv relationerne. 3.b Ufør en kausalanalyse. Hva viser en? 3.c Hvilke eksogene variable kan påvirkey? 3. Kan Y isoleres i enne moel? 3.e Totalifferentier moellen og uregn Y Gog Y r. 4. Betragt følgene mikro-moel: () S træ = S(V) (2) D træ = D(P træ, P lys ) (3) D træ = S træ () angiver aggregeret ubu af juletræer. 24. ecember. Ubuet er uafhængigt af prisen, a juletræerne formentlig ikke er meget vær agen efter. V er en vejrfaktor. Det antages, at er ubyes færre juletræer, når V stiger (enten fori juletræerne ikke kan komme frem til nogle sælgere, eller fori nogle sælgere ikke gier stå og sælge em i årligt vejr). (2) er efterspørgslen efter juletræer, som afhænger af prisen på juletræer og prisen på lys til træet. Vi vil antage, at efterspørgslen efter juletræer faler, når P lys stiger. La os ikke filosofere mere over problemstillingen, men blot sige, at S træ, D træ og P træ er e enogene variable. 4.a Hvilken type relation er (3)? 4.b Ufør en kausalanalyse. Hva viser en? 4.c Hvilke(n) eksogen(e) variable har inflyelse på D træ? 4. Totalifferentier moellen og beregn effekten på P træ af en stigning i henholsvis V og P lys. 5. Vi betragter nu markeet for juletræer. 8. ecember og antager erfor, at ubuet af juletræer afhænger af prisen på juletræer P træ. Deruover er moellen uænret fra 4. 5.a Opstil en ny relation (). 5.b Ænres kausalanalysen? 5.c Hvilke(n) eksogen(e) variable har nu inflyelse på D træ? 5. Totalifferentier moellen og beregn effekten på P træ af en stigning i henholsvis V og P lys. 6. I moel blev Y G uregnet, og kausalanalysen viste, at ænringer i K ikke have effekt på Y. Betragt igen moel. 6.a Uregn L i moel som funktion af kun eksogene variable og parametre. 6.b Uregn L G og L K.
7. Betragt moel 2 igen. 7.a Hvilke enogene variable kan T påvirke? 7.b Beregn e enogene variables følsomhe overfor T. 7.c Beregn C K, I K, r K. 8. I Figure 3-2 i Mankiw (2006) er opsparingen S gjort afhængig af renten r. Mankiw opstiller ikke en revieret moel, men man kunne utrykke enne sammenhæng ve at ænre relation (2) i moel 2 til: (2 ) C = C(Y - T, r), C Y-T > 0, C r < 0 8.a Fortolk (2 ). 8.b Ufør en kausalanalyse. Sammenlign me skema 2.b s. 0 i enne note. 8.c Er er staig fulkommen crowing out ve en stigning i G? 8. Beregn e enogene variables følsomhe overfor T. Sammenlign me spørgsmål. 7.b. 8. Løsninger.a Definitionsligning. Definerer en isponible inkomst Y isp som inkomst Y minus skatter T..b Resultat af kausalanalyse: Nr. Enogene Eksogene & parametre Y Y isp C Oren () x x I G (2) x x T 0. (3) x x a b Kausalanalysen viser, at alle relationer ugør én stor blok (erfor af 0. oren). Det vil sige, at alle enogene variable har gensiig inflyelse på hinanen og bestemmes simultant (er er ingen variabel, er bestemmes før e anre). Resultatet betyer, at alle eksogene variable har inflyelse på alle enogene variable. En ænring i fx T påvirker sålees alle enogene variable Y, Y isp og C..c Den enogene variabel Y skal isoleres som funktion af kun eksogene variable og parametre. Dette gøres ve en substitution, og et er ligegyligt, om man starter me at substituere C u i () eller Y isp u i (3). Her insætter vi relation (2) i (3) og efterfølgene (3) i (): 2