1 INDLEDNING... 4 1.1 PROBLEMFORMULERING... 4 1.2 AFGRÆNSNING... 6 2 GRUNDLÆGGENDE OMKRING AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 7 2.1 PRODUKTET... 7 2.2 NULKUPONOBLIGATIONEN... 8 2.3 OPTIONEN... 10 2.4 DELTAGELSESGRADEN... 12 2.5 DELKONKLUSION... 13 3 MARKEDSBESKRIVELSE... 15 3.1 UDSTEDERE... 15 3.1.1 Kreditrisiko på udstedere... 17 3.1.2 Funding rente... 19 3.2 ARRANGØRER... 19 3.3 DELKONKLUSION... 21 4 TEORIEN BAG PRISFASTSÆTTELSE AF OPTIONER... 22 4.1 TEORIEN BAG PLAIN VANILLA OPTIONER... 22 4.2 TEORIEN BAG ASIATISKE OPTIONER... 24 4.2.1 Average price og average strike... 25 4.2.2 Typer gennemsnit... 26 4.2.3 Prisfastsættelse af asiatiske optioner med Monte Carlo Simulation... 27 4.2.3.1 Antithetic Variable Technique... 29 4.2.3.2 Control Variate Technique... 30 4.3 AVERAGE PRICE CALL OPTION... 31 4.4 BASKET OPTION... 36 4.5 QUANTO OPTION... 40 4.6 DELKONKLUSION... 40 5 THE GREEKS...42 5.1 DELTA... 42 5.2 GAMMA... 43 5.3 THETA... 44 5.4 VEGA... 45 1
5.5 RHO... 46 5.6 DELKONKLUSION... 47 6 SALG FØR UDLØB... 49 6.1 DELKONKLUSION... 53 7 SKAT... 54 7.1 BESKATNING AF AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER KØBT FOR FRIE MIDLER... 54 7.1.1 Danske kroner 14 stk. 2... 54 7.1.2 Udenlandsk valuta 16... 54 7.2 BESKATNING AF AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER KØB FOR PENSIONSMIDLER... 55 7.3 BESKATNING AF NULKUPONOBLIGATIONER OG OPTIONER KØBT FOR FRIE MIDLER... 55 7.4 BESKATNING AF NULKUPONOBLIGATIONER OG OPTIONER KØBT FOR PENSIONSMIDLER... 56 7.5 BESKATNING I VIRKSOMHEDSORDNINGEN... 56 7.6 BESKATNING I SELSKABER, FONDE M.V... 56 7.7 BESKATNING AF AKTIER KØBT FOR FRIE MIDLER... 56 7.8 DELKONKLUSION... 57 8 BESKRIVELSE OG ANALYSE AF FIRE AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 59 8.1 DK000344044-4 HNG CHANCE 2006... 60 8.1.1 Beskrivelse af HNG Chance 2006... 60 8.1.2 Analyse af afkast mulighederne for HNG Chance 2006... 61 8.1.3 Omkostningerne ved HNG Chance 2006... 63 8.1.4 Samlet vurdering af HNG Chance 2006... 63 8.2 DK000344214-3 LBC STABIL BASIS... 64 8.2.1 Beskrivelse af LBC Stabil Basis... 64 8.2.2 Analyse af afkast mulighederne for LBC Stabil Basis... 65 8.2.3 Omkostningerne ved LBC Stabil Basis... 66 8.2.4 Samlet vurdering af LBC Stabil Basis... 67 8.3 NO001017749-6 KOMMUNINVEST GLOBAL 100... 67 8.3.1 Beskrivelse af KommunInvest Global 100... 67 8.3.2 Analyse af afkast mulighederne for KommunInvest Global 100... 69 8.3.3 Omkostningerne ved KommunInvest Global 100... 71 8.3.4 Samlet vurdering af KommunInvest Global 100... 71 8.4 DK000344540-1 PLUS 5 SUPER 2008... 71 2
8.4.1 Beskrivelse af PLUS 5 SUPER 2008... 71 8.4.2 Analyse af afkast mulighederne for PLUS 5 SUPER... 73 8.4.3 Omkostningerne ved PLUS 5 SUPER... 75 8.4.4 Samlet vurdering af PLUS 5 SUPER... 75 8.5 ANALYSE AF OMKOSTNINGERNE VED AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 75 8.6 DELKONKLUSION... 78 9 AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER SAMMENLIGNET MED ALTERNATIVE INVESTERINGSMULIGHEDER... 80 9.1 INVESTORS SELVBYGGEDE AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATION... 80 9.2 SAMME RISIKO VED EN BLANDING AF AKTIER OG OBLIGATIONER... 80 9.3 SAMMENLIGNING AF AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER MED EN BLANDING AF AKTIER OG OBLIGATIONER... 82 9.4 DELKONKLUSION... 83 10 PERSPEKTIVERING... 84 11 KONKLUSION... 86 12 LITTERATURLISTE... 90 13 BILAG... 94 3
1 Indledning Op i gennem 1990 erne begyndte flere og flere danskerne at købe aktier i takt med at renterne på obligationerne var faldende 1 og man kunne se at aktiemarkederne gav høje afkast. I slutningen af 1990 erne og starten af 2000, var der en helt euforisk stemning og ingen troede at aktierne kunne begynde at falde, men det skete alligevel og mange mistede store summer på dette. Dette har betydet at mange er blevet bange for at investere i aktier. Dette sammenholdt med stigende uro i verden, blandt andet i form af terror og krige - herunder terror angrebet på World Trade Center 11. september 2001 og krigene i Afghanistan og Irak har betydet, at investorer har søgt mod de mere sikre investeringer som obligationer. Dette har presset renteniveauet yderligere, hvilket har fået flere personer til at søge andre alternativer til obligationer og aktier, som for eksempel aktieindekserede obligationer. Årsagen til at en del netop vælger aktieindekserede obligationer, skal nok ses i lyset af deres opbygning. Hovedstolsgaranti og en optionsstrategi giver mulighed for et afkast der minder om en akties. Dette sammenholdt med en stigende markedsføring har medført, at udbud og efterspørgsel efter aktieindekserede obligationer er vokset markant de senere åringer. Min interesse for dette emne kommer fra mit arbejde som investeringsrådgiver, og jeg ønsker med opgaven er, at belyse de positive og negative aspekter omkring aktieindekserede obligationer, samt at se på om det er en attraktiv investeringsform for den private investor. 1.1 Problemformulering Formålet med denne opgave er, at lave en analyse af aktieindekserede obligationer på det danske marked - hovedsagelig set i forhold til den private investor. Aktieindekserede obligationer, som første gang blev introduceret på det danske marked i 1996 2, er ofte blevet markedsført som en investering med afkast muligheder som en 1 Danmarks statistik, Statistisk tiårsoversigt. 2 www.cse.dk den 19. august 2003. 4
aktie og sikkerhed som en obligation, hvilket vil sige en aktie investering uden risiko 3. Da aktieindekserede obligationer er et relativ kompliceret produkt, set i forhold til aktier, obligationer og investeringsforeningsbeviser, kan man få den opfattelse, at kunderne ikke kan gennemskue det. De lader sig derved forblinde af de til tider farvestrålende brochurer og de veltalende bank rådgivere. Derfor vil der i opgaven blive set på om produkterne holder hvad der bliver lagt op til i salgsmateriale og prospekter, omkring afkast og risiko. Om kunderne får det de forventer og om der eventuelt skulle være skjult noget. Desuden vil jeg se på de dordele og ulemper der vil være for investor. For at komme frem til dette vil det være nødvendigt først at kigge på det mere grundlæggende omkring aktieindekserede obligationer, hvilket vil ske på følgende måde: Først vil den teoretiske opbygning af aktieindekserede obligationer blive analyseret. Herunder vil der blive fokuseret på de elementer der indgår i de aktieindekserede obligationer samt prisfastsættelse heraf. I dette afsnit vil der være en beskrivelse af det danske marked for aktieindekserede obligationer, herunder vil der også blive set på kreditrisiko på udsteder og dennes betydning for prisfastsættelsen af obligationen. Omkring optionsdelen vil hovedvægten blive lagt på asiatiske optioner, da disse til dato er de mest anvendte i aktieindekserede obligationer på det danske marked. Der vil i optionsdelen også blive arbejdet med andre typer optioner samt risikonøgletallene The Greeks. Der vil også blive set på købers muligheder for salg før udløb. Slutteligt i afsnittet vil de skattemæssige konsekvenser ved køb og salg af aktieindekserede obligationer blive belyst. Anden del af opgaven vil fokusere mere på den praktiske del omkring aktieindekserede obligationer, hvilket vil ske på følgende måde: Først vil der blive analyseret på nogle af de nyere aktieindekserede obligationer som er blevet introduceret på det danske marked. I denne del af opgaven vil der også blive set på omkostningerne ved produkterne samt om der skulle ligge skjulte omkostninger, som ikke bliver omtalt i salgsmateriale og prospekterne. Der vil også blive set på investering i aktieindekserede obligationer sammenlignet med andre investeringer. Dette gøres for at finde ud af om de giver et merafkast eller om det blot er endnu en måde hvorpå den 3 BG Bank, Aktieinvestering uden risiko, Investering december 2001 side 10. 5
kloge forsøger at narre den mindre kloge. Sidst i afsnittet vil der blive lavet en kort perspektivering omkring aktieindekserede obligationer. Slutteligt vil der være en konklusion som samler op på ovennævnte problemstillinger, med henblik på at give læserne størst mulig indblik omkring investering i aktieindekserede obligationer. 1.2 Afgrænsning Der findes flere forskellige former for indekserede obligationer, med forskellige bagved liggende aktiver for eksempel valuta og råvarer, men der vil i denne opgave kun blive arbejdet med dem hvor det bagved liggende aktiv er aktier eller aktieindeks. Omkring prisfastsættelse af plain vanilla optioner vil der ikke blive set på selve udledningen af Black-Scholes formel på grund af pladsmæssig begrænsning i opgaven. På tilsvarende vis vil der omkring prisfastsættelse af asiatiske optioner heller ikke blive set på selve udledningen af Monte Carlo metoden på grund af pladsmæssig begrænsning i opgaven. Desuden vil disse teorier være af begrænset interesse for målgruppen, som denne opgave retter sig mod. Det forudsættes at læseren kender til følgende aktier og aktieindeks, med hensyn til deres indhold og opbygning, KFX, Dow Jones Eurostoxx 50SM, Dow Jones Global Titans 50, FTSE Xinhua China 25, Nasdaq Biotechnology Index, Goldman Sachs Industrial Metals Excess Return, Standard & Poor s 500, Nikkei 225 og Nokia Oyj. Det forudsættes at læseren kender til forskellen mellem europæiske- og amerikanske optioner. Der ses bort fra dividende i alle beregninger. 6
2 Grundlæggende omkring aktieindekserede obligationer Aktieindekserede obligationer er et eksempel på, hvordan der hele tiden kommer nye produkter på de finansielle markeder. Produktet, som er sammensat med det formål at finansiere udsteder og tilbyde investor en attraktiv investering, med up-side potentiale, som ved investering i en aktie. Dog uden den down-side risiko, som er forbundet med en aktieinvestering. Denne produkt-sammensætning vil umiddelbart være interessant for enhver risikoavers investor. 2.1 Produktet Aktieindekserede obligationer er et stående lån, som oftest udstedes af finansielle- og offentlige institutioner, men de kan også udstedes af andre virksomheder. De udstedes for det meste, med det formål at finansiere udsteders generelle virksomhed, men det er også set at de bliver udstedt som en del af virksomhedens kapitalgrundlag 4. De aktieindekserede obligationer udstedes normalt med en kuponrente på 0%, hvilket der så kompenseres for ved at give investor en option på en aktie, et aktie indeks eller en valuta, for blot at nævne nogle af mulighederne samt en hovedstolsgaranti, som sikrer en bestemt minimums indfrielseskurs på udløbtidspunktet. Ved store stigninger i det aktiv der er givet option på, vil det betyde at udsteder kommer til at betale meget i afkast til investoren, og dermed får udsteder en høj fundingrente. For ikke at løbe denne risiko, afdækker udsteder sig ved at købe en option på det valgte aktiv. Denne option er for det meste en call option, da der i de fleste tilfælde gives et afkast, hvis det underliggende aktivet stiger i værdi, men der er intet til hindre for at man bruger en put option. Dette bruges i de tilfælde, hvor man giver et afkast hvis aktivet falder i værdi. Således opnår udsteder en kendt rente i lånets løbetid. Ved at kæde en nulkuponobligation og en option sammen får man en indekseret obligation, i denne opgave arbejdes der kun med optioner på aktier eller aktieindeks, hvorved vi får aktieindekserede obligationer. Da det er en nulkuponobligation betyder det, at investor ikke får nogen kuponrente. Ved udløb får han hovedstolen plus et afkast som afhænger af deltagelsesgraden og stigningen i det underliggende aktiv. 4 Østjydsk bank Prospekt, Kapitalbeviser, indekseret med udviklingen i Nasdag100, EuroStoxx50, og Nikkei225 2001. 7
Deltagelsesgraden afhænger af hvor mange optioner der bliver købt, og antallet af optioner afhænger af nulkuponrenten og prisen på optionen. Det beløb som udsteder har til at købe optioner for, er udstedelseskursen på den aktieindekserede obligation fratrukket omkostninger og prisen på nulkuponobligationen. Prisen og dermed renten på nulkuponobligationen er således afgørende for, hvor meget der kan bruges på køb af optioner. Det er investors interesse med størst mulig rente, da højere rente giver lavere pris på nulkuponobligation og dermed flere penge til køb af optioner og dermed større deltagelsesgrad. Dette giver en interessekonflikt, da det altid er i udsteders interesse at få den lavest mulige nulkuponrente og dermed fundingrente. Det betyder, at der vil være en afvejning, indtil udsteder finder et passende niveau. Prisen på optionen er således også af afgørende betydning, da lavere pris giver højere deltagelsesgrad. 2.2 Nulkuponobligationen Den mest kendte form for nulkuponobligationer i Danmark er Skatkammerbeviser. Nulkuponobligationer er som navnet siger, en obligation med nul kupon, hvilket er ensbetydende med, at den ikke udbetaler rente i løbetiden. Det man får når man køber en nulkuponobligation, er en udbetaling af hovedstolen ved udløb. Prisen for nulkuponobligationen er således det der afgøre, hvilken rente den giver, jo lavere pris desto højere rente giver den. Udfra nedenstående formel 5, kan man beregne nulkuponrenten, når man kender prisen og løbetiden: Formel 1: 1 t UK r = K Hvor, r = nulkuponrenten, UK = udløbskursen, K = kursen på obligationen, t = tid til udløb Eksempel: Ønsker vi at beregne nulkuponrenten på en obligation med 3 års løbetid som kan købes til kurs 90 og som udløber til kurs 100 får man 100 1 r = 3 = 3,57%. 90 5 Michael Christensen Obligations investering 2001 side 50. 8
Nulkuponrenten vil være ens for alle betalinger, der falder på samme termin uanset hvilken obligation du kigger på 6. Da der er tale om et stående lån uden løbende kuponrenter, betyder det, at værdien af obligationen, som hovedregel, vil nærme sig hovedstolen desto nærmere man kommer udløbtidspunktet. Man kan dog forestille sig et eksempel, hvor obligationen i eksemplet ovenfor bliver mindre værd - selvom man er kommet tættere på udløbtidspunktet. Det kunne være når renten efter udstedelse er steget, og kursen dermed faldende. Se nedenstående eksempel. Eksempel: Nulkuponrenten er nu steget til 4,5% og der er en restløbetid på 2 år og 6 måneder, så får vi at kursen på obligationen er følgende: K = 100 2,5 ( 1+ 0,045) = 89, 58 Teorien omkring prisning af nulkuponobligationer gør, at investor specielt i situationer, hvor optionsdelen handles langt out-of-the-money, kan beregne en ret præcis fair value på den aktieindekserede obligation. Da prisen på den aktieindekserede obligation her stort set vil være lig værdien af nulkuponobligationen. Den måde værdien af nulkuponobligationen udregnes, er ved hjælp af den såkaldte bootstrapping metode, hvor man opspalter almindelige kuponobligationer i nulkuponobligationer 7. Nulkuponobligationen har det formål at sikre hovedstolen på den aktieindekserede obligation, og dermed sikring af investors investering. Årsagen til at man vælger en nulkuponobligation er, at så slipper udsteder for at betale for de optioner der købes. Det bliver så i stedet investor der betaler dem, fordi han giver afkald på rentetilskrivning. Den kurs, som investor er garanteret på sin aktieindekserede obligation, varierer mellem de forskellige udstedelser, men er for det meste 100. Der findes også udstedelser med for eksempel kurs 90, dette betyder at kursen på nulkuponobligationen bliver mindre og derved får man et større beløb til køb af optioner. 6 Michael Christensen Obligations investering 2001 side 49 7 Michael Christensen Obligations investering 2001 side 49 9
2.3 Optionen Optionen har til formål, at give investor det afkast, som ligges oveni hovedstolsgarantien fra nulkuponobligationen. Afkastet er meget afhængig af, hvad det er man har en option på og hvor stor en deltagelsesgrad man har i den pågældende option. Der findes mange forskellige former for optioner og priserne på disse er vidt forskellige. Det ses ofte at de optioner, som anvendes til aktieindekserede obligationer, er af de billigere af slagsen, da dette betyder større deltagelsesgrad. Dette hænger sammen med at deltagelsesgraden ofte bruges i markedsføringen af produkterne. De fleste optioner, som bruges i aktieindekserede obligationer har været rettet mod en stigning i det underliggende aktiv, hvilket man gør ved at købe en call option. Men der har også været eksempler, hvor optionerne har været rettet mod et fald, hvilket man gør ved at købe en put option. I forbindelse med at vi kigger på optioner, er det vigtig at have følgende begreber på plads: Spot kurs, er den aktuelle kurs på det underliggende aktiv. Exercise kurs, er kursen på det underliggende på aktiv på options udløbtidspunkt. Strike kurs, også kaldet aftale kursen, er den kurs som fra trækkes exercise kursen på udløbtidspunktet, for at bestemme værdien af optionen. Strike kursen fastsættes i de fleste tilfælde på det tidspunkt, hvor optionen udstedes. Volatilitet, angiver de procentvise kursudsving på det underliggende aktiv. Der arbejdes både med historisk volatilitet, hvor volatiliteten bestemmes udfra hvordan kursen på det underliggende aktiv har udviklet sig i den tid der er gået. Der arbejdes også med implicit volatilitet, hvor man forsøger at fastsætte volatiliteten udfra flere forskellige ting blandt andet forventninger til fremtiden. Risikofrie rente, den rente man kan placere penge til uden at løbe den mindste form for risiko. Selv en dansk statsobligation er ikke 100% risikofri - selvom den er tæt på. Løbetid, den tid som optionen løber i. Tiden fra udstedelsestidspunktet til udløbtidspunktet. Sampling frekvens, den tid der er mellem måle punkterne i forbindelse med fastsættelse af gennemsnit, for eksempel hver uge, hver måned eller hver år. 10
De mest almindelige og mest simple optioner er plain vanilla optioner, de hører til i den dyrere ende af optionerne, og bruges ikke særligt ofte i forbindelse med aktieindekserede obligationer. Til sammenligning har vi asiatiske optioner, som ofte bruges i de aktieindekserede obligationer, de er noget billigere, men til gengæld mere komplicerede at arbejde med. Der findes flere former for asiatiske optioner, den almindelig asiatisk option, den asiatiske kurve option, optioner med asiatisk start eller med asiatisk hale. Ved en plain vanilla beregnes værdien på udløbtidspunktet udfra forskellen mellem den aftalte strike kurs og exercise kursen på det underliggende aktiv. Ved de asiatiske optioner beregnes den udfra forskellige former for gennemsnit. For eksempel udregnes spot kursen på en option med asiatisk hale, som et gennemsnit af et på forhånd angivet antal observationspunkter i slutningen af optionens løbetid. De mest brugte i forbindelse med aktieindekserede obligationer, er dem med asiatisk hale og dem der kombinere gennemsnitsoptionerne med en kurv af forskellige indeks også kaldt asian average price basket optioner. For det meste begrunder man valget af asiatiske optioner med, at det giver investor større sikkerhed. Denne sikkerhed opstår fordi man fastlåser en eventuel stigning, som man ikke ville have fået ved en plain vanilla option, hvor det underliggende aktiv havde faldende kurs i slutningen af løbetiden. Dette er også rigtig, men der undlades ofte at fortælle, at det også fastlåser et eventuelt tab, samt at det begrænser tidsværdien af optionen. Når man beregner gennemsnit i stedet for at tage slutkursen betyder det, at optionens følsomhed overfor pludselige ændringer i det underliggende aktivs værdi reduceres, hvilket er ensbetydende med mindre volatilitet 8. Ved at tage gennemsnittet på det underliggende aktiv, i stedet for slutkursen, får man også en reduktion af tidsværdien. Jo længere tid der er mellem punkterne som gennemsnittet beregnes udfra og jo længere periode gennemsnittene beregnes over, desto mindre bliver tidsværdien. Det vil sige at tidsværdien på en almindelig asiatisk option er lavere end en option kun med asiatisk hale. Prisen på en option er meget afhængig af volatilitet og løbetid, så ved at reducere disse får man en billigere option. Det er derfor meget vigtigt af investor er opmærksom på, hvilken form for option der bruges i det enkelte produkt. 8 Svend Jakobsen, Aktie- valuta og råvareindekserede obligationer, Finans/Invest 8/00 side 19. 11
I nedenstående figur kan vi se eksempel på, hvor stor forskellen kan være på det endelige resultat, når du vælger den ene option frem for den anden. Dette medtages for at pointere vigtigheden af at investor er meget opmærksom herpå. Tabel nr. 1 Sammenligning af afkast på plain vanilla option og en almindelig asiatisk option med 2 målepunkter Hovedstolsgaranti 100 Start kurs 200 Løbetid 2 år Midt kurs 210 Deltagelsesgrad 1,25 Slut kurs 260 Plain vanilla ( 260 200) 1, 25 Afkast 75,00 Alm. asiatisk ((( 210 260) 2) 200) 1, 25 + Afkast 43,75 I afsnit 4 vil der blive arbejdet med prisfastsættelse af nogle af de forskellige optioner samt der vil blive set på forskellene mellem de forskellige typer. 2.4 Deltagelsesgraden Deltagelsesgraden er den andel af stigningen i det underliggende aktiv, som investor får ved at købe en aktieindekseret obligation. Deltagelsesgraden kan ses som et udtryk for, hvor mange optioner investor modtager på den til den aktieindekserede obligationen underliggende portefølje af aktiver. Deltagelsesgraden kan beregnes udfra nedenstående formel: Formel 2: Udstedelseskurs omkostninger nulkuponobligationsprisen Deltagelsesgraden = optionspris De ting der kan få deltagelsesgraden til at stige er, jo mere investor er villig til at risikere at tabe, som følge af forskellen mellem udstedelseskursen og hovedstolsgarantien, jo lavere omkostningerne er, jo lavere optionsprisen er samt jo højere rente der er på nulkuponobligationen. I nedenstående eksempel kan man se hvordan deltagelsesgraden påvirkes under forskellige scenarier. 12
Eksempel: Udstedelseskurs 103, omkostninger 3, nulkuponobligationsprisen 90 og optionspris 8. I scenarierne er det kun den nævnte variabel der ændres, de andre variable holdes konstante med ovennævnte værdier. 103 3 90 Deltagelsesgraden = = 1,25 eller 125 % 8 Tabel nr. 2 Deltagelsesgradens påvirkning under forskellige scenarier. Variabel: Deltagelsesgraden: Udstedelseskursen ændres fra 103 til 105 1,500 (150%) Omkostningerne ændres fra 3 til 6 0,875 (87,5%) Nulkuponobligationsprisen ændres fra 90 til 85 1,875 (187,5%) Optionsprisen ændres fra 8 til 12 0,833 (83,3%) Det må forventes at investor er risikoavers, og derved fortrækker mindst mulig risiko og højest mulig afkast. Dette betyder at han vil gå efter at få den størst mulige deltagelsesgrad og lavest mulig forskel mellem udstedelseskursen og hovedstolsgarantien. Det er selvfølgelig også i udsteders interesse at få deltagelsesgraden så høj som mulig, da han ønsker, at gøre produktet så attraktivt som muligt. Men fra udsteders side vil det altid blive en afvejning af de forskellige variabler i forbindelse med fastsættelsen af deltagelsesgraden. Det skal dog lige pointeres, at deltagelsesgraden selvfølgelig ikke er den eneste afgørende faktor, valget af option er måske endnu vigtigere. Optionsprisen er nok det vigtigste scenario, da udsteder ikke selv fastsætter prisen på optionen, har han kun den mulighed at vælge mellem de forskellige typer af optioner. Ved de andre scenarier har han mulighed for at påvirke deres størrelse. 2.5 Delkonklusion I dette afsnit har vi set på det grundlæggende omkring aktieindekserede obligationer. Vi har fundet ud af at produktet består af to grundelementer, en obligationsdel og en optionsdel. Omkring obligationsdelen har vi fundet ud af at det er en nulkuponobligation, som bruges. Den har til formål, at sikre investor en hovedstol på udløbtidspunktet. Vi har 13
endvidere klarlagt at nulkuponrenten og løbetiden er de vigtigste faktor i forbindelse med prisfastsættelsen af obligationen. Omkring optionsdelen har vi fundet ud af at der findes mange typer optioner og at optionen har til formål, at give investor et afkast udover den garanterede hovedstol. Vi så at den mest bruge option i forbindelse med aktieindekserede obligation, var den asiatiske option. Vi har desuden klarlagt at investor skal være meget opmærksom på, hvilken option der er valgt i den aktieindekserede obligation, da dette har stor betydning for det endelige afkast. Vi har også set på deltagelsesgraden, som viser hvor mange optioner investor får på det underliggende aktiv samt vi har set på de variable som kan påvirke den i positiv og negativ retning. Vi har fundet ud af at jo større deltagelsesgrad desto større er ens afkast mulighed, dog afhængig af hvilken option der er tilknyttet produktet. 14
3 Markedsbeskrivelse Aktieindekserede obligationer blev første gang introduceret på det danske marked i 1996. I årene fra 1996 og frem til og med 1999, var der kun en enkelt eller to udstedelser hver år, men herefter begyndte det at tage fart. I 2000 var der 7 udstedelser, i 2001 var der 16, i 2002 var der 14 og her i 2003 har der indtil videre været 23 udstedelser. Som det ses af nedenstående grafer har værdierne af udstedelserne haft samme kraftige udvikling som antallet af udstedelser. Figur 1. - Oversigt over antal og værdi af udstedte aktieindekserede obligationer. Antal udstedelser Værdi af udstedelser 25 20 15 10 5 0 Milliarder 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 Årsagerne til stigningerne skal sikkert findes i, at en større og større del af den danske befolkning er blevet interesseret i aktier op igennem slutningen af 1990 erne. Mange har måske set sig blind på at aktiemarkedet steg og steg og derved ikke opfattet at der er en risiko ved at investere i aktier. Det fandt folk dog ud af, da markederne begyndte at falde. Det betyder at flere og flere folk finder ud af, hvad risikoafdækning er og hvad det kan betyde for ens investering. Her viser aktieindekserede obligationer sig som et produkt, hvor du kan spille med på aktiemarkedet uden dog at løbe den store risiko. 3.1 Udstedere Aktieindekserede obligationer udstedes for det mest af finansielle- og offentlige institutioner, men de kan også udstedes af andre erhvervsvirksomheder. De udstedes for det meste, med det formål at finansiere udsteders generelle virksomhed, men det er 15
også eksempler på at de er udstedt som kapitalgrundlag i form af kapitalbeviser, her kan nævnes Østjysk bank og Skjern bank. På det seneste har vi også set udstedelser fra BIG 1, BIG 2 og BIG 3, hvor formålet ikke har været nogle af ovenstående eksempler. Formål er meget uklart, men det virker som om, at de ønsker at tilbyde endnu et investeringsprodukt til de eksisterende formidlere af Bank Invest. Selskaberne er oprettet udelukkende med det formål at udstede de aktieindekserede obligationer. I nedenstående figur kan man se, hvordan udstedelserne fordeler sig beløbsmæssig på de forskellige udstedere. Figur 2. - Værdi af udstedelser og procentvis fordeling, fordelt på udstedere. Østjysk Bank Svensk Exportkredit Skjern Bank LB Kiel (HSH Nordbank) Kommuninvest KommuneKredit HNG Handelsbanken Forstedernes Bank FIH Dexia Danske Bank Christiania Bank (Nordea) BIG 1, BIG 2 & BIG 3 Amtsparkassen Fyn 0,27% 1,89% 0,55% 2,25% 1,82% 1,40% 1,42% 4,74% 3,48% 3,14% 7,01% 13,02% 13,44% 11,16% 34,41% 0 250 500 750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500 Millioner Det kan ses af figuren at de Bank Invest relaterede firmaer BIG 1, BIG 2 og BIG 3 står for den største mængde udstedelser på markedet, en position de har skaffet sig på godt 1 år. Af andre store udsteder LB Kiel, KommuneKredit og HNG, her er formålet med udstedelserne meget klart at finansiere den generelle virksomhed. Det skal bemærkes at flere af udstedelserne er lavet af udenlandske institutioner, hvilket formentlig skal ses i lyset af at der er større tradition og erfaring for, at udstede aktieindeksede obligationer i andre europæiske lande. Hvis de kombinere denne erfaring med, at det danske marked har været præget af få udbydere og udstedelser, giver det med stor sandsynlighed mulighed for en billig finansiering. Hvis de så yder mere har en eksponering i DKK, som ønskes afdækket, kan dette være den ideelle måde at gøre det på. 16
3.1.1 Kreditrisiko på udstedere Vi har tidligere i opgaven set, at obligationen som er en del af den aktieindekserede obligation har til formål at sikre hovedstolen, det som kaldes hovedstolsgaranti. Vi vil nu kigge på hvor meget der ligger i denne garanti. Hovedstolsgarantien som sikres ved at obligationen udløber til kurs 100 (i enkelte tilfælde andet end kurs 100). Det betyder, at udsteder på udløbtidspunktet skal betale garantibeløbet. Hovedstolsgarantien er således afhængig af om udsteder kan betale dette. Det er derfor vigtig at den private investor er opmærksom på, hvem udsteder er og hvilken kreditrating denne har. De mest kendte kredit ratings kommer fra Moodys og fra Standard & Poors. Deres ratings af de udsteder af aktieindekserede obligationer vi har på det danske marked kan ses af nedenstående tabel. Tabel nr. 3 Kredit ratings på udstederne. 9 Selskab Standard & Poors Moodys Amtsparkassen Fyn BIG 1, BIG 2 & BIG 3 Christiania Bank A+ Aa3 Danske Bank AA- Aa2 Dexia AA Aa2 FIH A1 Forstedernes Bank Handelsbanken A+ Aa2 HNG Aa1 KommuneKredit Aaa Kommuninvest Aaa LB Kiel (HSH Nordbank) AA- Aa1 Skjern Bank Svensk Exportkredit AA+ Aa1 Østjysk Bank Blanke felter er ens betydende med at der ikke er en rating på det pågældende firma. 9 www.moodys.com og www.standard-poors.com den 27. september 2003. 17
Hos Moodys 10, arbejder man med følgende kategoriseringer: Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B, Caa, Ca, C, hvor Aaa er det bedste og C er det dårligste. Hver kategori med udtagelses af Aaa underopdeles i 1, 2 eller 3, hvor 1 er det bedste og 3 er det dårligste. Hvad vil det sige hvis man får en rating på A1 som FIH har fået, det betyder at man ligger i øvre del af middel og hos Moodys kalder de det lav risiko. Hos Standard & Poors 11, arbejder man med følgende kategoriseringer: AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, CC, hvor AAA er det bedste og CC er det dårligste. Hver kategori kan gradueres med + eller -. Hvis vi tager Standard & Poors rating af Danske Bank som er AA-, betyder det at de har en meget stærk kapacitet til at i møde gå deres finansielle forpligtelser, minuset gør at de ligger i den dårligere ende af de firmaer, som har meget stærk kapacitet. Firmaerne BIG 1, BIG 2 og BIG 3, som for den almindelige investor er ukendte firmaer og som ingen rating har, vil man stå på bar bund til hvor stor ens risiko er. Her bliver investor nød til at gå dybere i prospektet for at finde ud af hvordan tingene hænger sammen. I disse tilfælde ligger der obligationer bagved, som har en meget høj rating. For eksempel udstedt af Realkredit Danmark, som er rated Aaa hos Moodys, hvilket er samme rating som den danske stat. I tilfælde hvor udsteder er et mindre dansk pengeinstitut, er investor selv nød til, at finde ud af hvor stor risikoen er. I nogle af disse udstedelser skal provenuet bruges til finansiering af pengeinstituttet 12, det er specielt i disse tilfælde man skal være forsigtig og nøje overveje sin investering inden den foretages. Udover den risiko som er forbundet med obligationen, har investor reelt også en risiko på den anvendte option. Denne risiko opstår hvis udstederen af optionen ikke kan betale sin forpligtelse og udsteder af den aktieindekserede obligation efterfølgende heller ikke er i stand til at betale investor. På det danske marked er denne risiko nok mest tydelig på de produkter udstedt af BIG 1, BIG 2 og BIG 3, da disse firmaer kun har en egenkapital på 6 millioner kroner. 10 Moody s, Rating symbols & definitions august 2003, side 6. 11 Standard & Poors, Ratings Definitions den 4. marts 2003. 12 Amtsparekassen Fyn Prospekt 0% AMPS Global 2005, oktober 2001 side 5. 18
Men generelt må det siges at kreditratings på de udstedelser at aktieindekserede obligationer på det danske marked, er meget fornuftige. 3.1.2 Funding rente Funding rente, er den rente udstederen af den aktieindekserede obligation betaler for at låne pengene af investorerne. Hvis en udsteder låner penge i det almindelige lånemarked, vil renten afhænge af den kreditrating udsteder har. Jo bedre kreditrating desto lavere rente skal udsteder betale. Det hænger sammen med, at jo mindre risiko der er for, at tabe de penge man har lånt ud, desto mindre er den risikopræmie som udlåneren kræver. Vi så tidligere, at jo højere rente var på nulkuponobligationen desto flere penge er der til at køb optioner for. Ved at sammenholde disse oplysninger kan man sige, at jo mindre sikkerhed der er for, at investoren får udbetalt hovedstolen ved udløb, desto større beløb er der til at købe optioner for og dermed stiger deltagelsesgraden. Det betyder også, hvis du har to udsteder med forskellig kreditrating, som udsteder to ens produkter vil udstederen med den dårligst kreditrating kunne give den højeste deltagelsesgrad eller gøre den bedste forretning, ved at have ens deltagelsesgrader. Grunden til at der er nogen der vælger at udstede aktieindekserede obligationer, er jo ofte for at låne penge, men hvorfor gør de det, når de bare kan låne dem i det normale lånemarked. Stort set alle de udstedere vi har set har en meget god kreditrating, hvilket gør at de absolut ikke har svært ved at låne penge, hvorfor vælger de så at udstede aktieindekserede obligationer. Der kan kun været et svar på, at nogen vil påtage sig det ekstra arbejde der er forbundet med, at udstede aktieindekserede obligationer, nemlig at de kan låne pengene billigere her end på det almindelige lånemarked. 3.2 Arrangører Arrangørens formål er at klare alle de praktiske ting omkring udstedelsen af de aktieindekserede obligationer. De sørger blandt andet for udarbejdelse af prospekt og salgsmateriale. Det er ofte også arrangører som har eget salgsled eller har meget tæt samarbejde med et salgsled. Det er også arrangørerne som ofte har de eksperter, der opbygger produkterne, da dette kræver en meget dybde gående viden inden for området og denne viden ligger udsteder sjældent inde med. 19
De typiske arrangører på det danske marked er de store pengeinstitutter eller en sammenslutning af en række mindre pengeinstitutter. I nedenstående figur kan du se antallet af udstedelser fordelt på arrangører. Figur 3. - Antal udstedelser fordelt på arrangører. Andre Artesia BI Asset Management Fondsmæglerselskab A/S Handelsbanken & Midtbank Gudme Raaschou Nordea Danske Bank & BG Bank Danske Andelskassers Bank 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Som det kan ses af figuren er Danske Andelskassers Bank (DAB) en af de arrangører, som har arrangeret det største antal udstedelser af aktieindekserede obligationer. Produkterne herfra markedsføres under navnet Garanti Invest og sælges gennem en lang række sparekasser og mindre banker. Udover at være arrangør er DAB også formidler af flere produkter, hvor Gudme Raaschou har været arrangør. Af andre store arrangører kan nævnes Danske Bank og Nordea, hvor Danske Bank var de første på markedet og har været pænt repræsenteret over hele perioden. Nordea er først kommet med på markedet i 2001, men har siden været godt repræsenteret. En af de nyere aktører er BI Asset Management Fondsmæglerselskab A/S (BIAM) som kom med på markedet i september 2002, men er siden da kommet med 6 afdelinger. BIAM som har tætte relationer til Bank Invest markedsfører aktieindekserede obligationer under navnet PlusInvest og de sælges som Garanti Invest gennem en lang række banker og sparekasser. Beløbsmæssig, har BIAM som arrangører, stået for de største udstedelser, hvilket nok skal ses som et resultat af en kraftig markedsføring og et stort salgsled. 20
3.3 Delkonklusion I dette afsnit har vi set på det danske marked for aktieindekserede obligationer. Vi fandt ud af, at det først er her de senere år at der for alvor er kommet gang i antallet af udstedelser og vi så også at værdierne af udstedelserne er vokset med hastige skridt. Omkring udsteder fandt vi ud af, at det typiske er finansielle- eller offentlige institutioner, som bruger aktieindekserede obligationer til at finansiere deres generelle virksomhed. Vi så også på den kredit risiko, som investor har på udstederen, det viste sig at de fleste udstedere har en høj kreditrating og derved er forbundet med meget begrænset risiko. Der er dog eksempler, hvor investor skal være ekstra opmærksom. Vi så også at desto større risiko der er for ikke, at få de investerede penge retur jo højere kunne deltagelsesgraden blive. Vi fandt også ud af, hvorfor der er nogen der vil have besværet med at udstede aktieindekserede obligationer, nemlig at de her kan låne penge billigere end i det almindelige lånemarked. Vi så også at den typiske arrangør er et større dansk pengeinstitut eller en sammenslutning af en række mindre pengeinstitutter. Vi fandt ud af at arrangørens rolle er at lave alt det praktiske i forbindelse med udstedelsen. 21
4 Teorien bag prisfastsættelse af optioner I aktieindekserede obligationer bruges der for det meste asiatiske optioner eller enkelte tilfælde andre typer af eksotisk optioner. Prisfastsættelsen af asiatiske optioner sker på baggrunde af beregningsmetoder, som eksempel kan nævnes, en af de mest brugte, Monte Carlo metoden. Black-Scholes formlen, som bruges til prisfastsættes af almindelige plain vanilla optioner, er den grundlæggende formel når man arbejder med optioner. Da mange af variablene som bruges ved begge metoder er de samme, har jeg valgt at medtage den teoretiske prisfastsættelsen af plain vanilla optioner. 4.1 Teorien bag plain vanilla optioner Plain vanilla optioner prisfastsættes som sagt ved hjælp af Black-Scholes formel, som blev udledt af Amerikanerne Fisher Black og Myron Scholes i 1973 13. Filosofien bag Black-Scholes formel 14 går på det arbitrageargument, at man kan konstruere en risikofri portefølje bestående af en kombination af det underliggende aktiv og optioner udstedt på det underliggende aktiv, således at det forventede afkast af porteføljen kan sættes lig med den risikofrie rente. Black-Scholes formel bygger på følgende fem variable: Spotkurs på det underliggende aktiv. Aftalekurs (strike). Risikofrie rente. Volatiliteten på det underliggende aktiv. Tid til aftale udløb. Optionspræmien på en call option med en aktie som underliggende aktiv kan bestemmes udfra følgende formel 15 : 13 Peter G. Zhang Exotic Options 2nd Edition 1998 side 28. 14 Michael Christensen Aktie investering 1998 side 230. 15 Michael Christensen Aktie investering 1998 side 226-227. 22
r n Formel 3: P = p N d ) e S N( ) c ( 1 d2 Hvor, 2 p σ ln + r n S + = 2 d 1, σ n d 2 p ln + r S = σ n 2 σ 2 n P c = Præmien på call option, p = spotkursen, N = standardnormalfordeling, r = risikofrie rente, n = optionens løbetid, S = aftalekursen, σ = standardafvigelsen Optionspræmien på en put option kan bestemmes udfra følgende formel: r n Formel 4: P = p N( d ) 1) e S ( N( d ) 1) p ( 1 2 Samme notation som formel 3 Følgende forudsætninger skal i realiteten være opfyldt, for at man kan bruge Black- Scholes formel 16 : Den risikofri rente er konstant og kendt i hele løbetiden. Det underliggende aktiv udbetaler ingen dividende. Det skal være en Europæisk option. Der må ikke være transaktion omkostninger, hverken ved køb eller salg af optionerne eller på det underliggende aktiv. Der er uhindret mulighed for at låne til den risikofrie rente. Der kan handles kontinuerligt. Der er ingen restriktioner på kort salg af det underliggende aktiv. Det underliggende aktiv skal følge en lognormalfordelt geometrisk Brownsk bevægelse. Der må ikke være mulighed for arbitrage. Der skal være konstant volatilitet. Disse forudsætninger er nødvendige for at den grundlæggende arbitrage filosofi holder, men de fleste af dem holder ikke i virkeligheden. Forudsætningerne omkring den risikofri rente og volatilitet skal være konstant, holder ikke, da de begge to ændrer sig over tid. Jo længere løbetid der er på den 16 Peter G. Zhang Exotic Options 2nd Edition 1998 side 30-31. 23
aktieindekserede obligation, desto mere problematisk bliver det at anslå konstant volatilitet og rente. Hvis det underliggende aktiv er en enkelt aktie og den udbetaler dividende, kan man korrigere kursen ved hjælp af denne formel 17 : Formel 5: D KK = p n 1+ r 360 Hvor, KK = korrigeret kurs, p = spotkursen, D = dividende, r = risikofrie rente, n = tid til dividende udbetaling Hvis det underliggende aktiv er et aktieindeks for eksempel bestående af 100 aktier, som udbetaler dividender på vidt forskellige tidspunkter, så vil det være meget kompliceret at bruge denne formel. Det man i stedet gør er, at man forudsætter at udbytte betalingerne kommer jævnt fordelt over hele året, og at det er en vis procentdel af aktiekursen Black-Scholes modellen bygger på, at der konstant kan opretholdes en risikofri portefølje. Men forudsætningerne omkring ingen transaktions omkostninger, uhindret mulighed for at låne til den risikofrie rente, ingen restriktioner på kort salg og kontinuerlig handel holder ikke, hvilket er problematisk for modellen. Det underliggende aktiv skal følge en lognormalfordelt geometrisk Brownsk bevægelse, hvilket vil sige at kursen ikke må springe på kort sigt og den skal følge en kontinueret bane. Den forudsætning holder heller ikke, da kursen ofte kan ændre sig kraftigt, for eksempel ved offentliggørelse af regnskab eller andre vigtige informationer omkring firmaet. 4.2 Teorien bag asiatiske optioner Mange aktieindekserede obligationer i Danmark, har en eller anden form af asiatisk option indbygget. Asiatiske optioner er en af mange typer eksotiske optioner, som alle er 17 Michael Christensen Aktie investering 1998 side 228. 24
en videre udvikling fra den traditionelle plain vanilla option. At en option er eksotisk betyder, at optionens payoff-struktur er mere kompliceret end plain vanilla optioner. Generelt opdeler man eksotiske optioner i to kategorier path independent og path dependent. Det afgørende for om optionen er det ene frem for det andet er, om værdien er afhængig af det forløb option har haft eller ej. Asiatiske optioner høre til kategorien path dependent eller på dansk stiafhængig, af andre stiafhængige optioner kan nævnes barrier options, lookback options, clique options og ladder options. Af de eksotiske optioner vil der i opgaven kun blive behandlet asiatiske optioner, selvom vi har set flere af de andre typer optioner brugt i aktieindekserede obligationer, her kan nævnes en lookback clique option som er brugt i PLUS Basisrente 2008 18 At en option er stiafhængig betyder, at værdien af optionen på udløbtidspunktet er afhængig af det forløb, kursen på det underliggende aktiv har haft i optionsperioden. Modsat en plain vanilla option, hvor afkastet kun er afhængig af start- og slutkursen. 4.2.1 Average price og average strike Asiatiske optioner opdeles i to overordnede varianter: Average price, som er kendetegnet ved at strikkursen ligger fast og spotkursen beregnes som et gennemsnit. Payoff findes udfra følgende formel 19 : Formel 6: max(a-x,0) Hvor, A = gennemsnitspris på det underliggende, X = strikekursen Average strike, som er kendetegnet ved at spotkursen ligger fast og strikekursen beregnes som et gennemsnit. Payoff findes udfra følgende formel 20 : Formel 7: max(s-a,0) Hvor, A = gennemsnitspris på det underliggende, S = spotkursen 18 BIG 2 A/S Prospekt, Obligationslån 2003/2008 med sikkerhed i AAA-ratede obligationer og calloptioner på aktieindeks 10. februar 2003. 19 Izzy Nelken Pricing, Hedging and Trading Exotic options 1999 side 187. 20 Izzy Nelken Pricing, Hedging and Trading Exotic options 1999 side 187. 25
Beregning af gennemsnit kan ske på følgende måder. 4.2.2 Typer gennemsnit Afkastet på en asiatisk option afhænger af en række gennemsnitsværdier, det har derfor stor betydning, hvilken form for gennemsnitsberegninger der anvendes. Man skelner mellem aritmetisk- (AA) og geometrisk gennemsnit (GA) samt mellem diskret- og kontinueret gennemsnit. Forskellen mellem aritmetisk- og geometrisk gennemsnit, skal findes i den måde hvorpå de beregnes. Aritmetisk gennemsnit som er det vi almindeligvis forbinder med gennemsnit, hvor vi tager summen af værdierne og dividere med antal observationer, formlen til AA ser således ud 21 : ( a1 + a2 +... + a Formel 8: AA = n) n Hvor, a = værdi nr. 1, a = værdi nr. 2, a = værdi nr. n, n = antal observationer 1 2 n (2 + 6 + 9 + 3) Eksempel: AA = = 5 4 Geometrisk gennemsnit som er ikke er så kendt som aritmetisk gennemsnit, bruges heller ikke så meget i forbindelse asiatiske optioner 22, formlen til GA ser således ud 23 : Formel 9: GA = n a1 a2... a n Hvor, a = værdi nr. 1, a = værdi nr. 2, a = værdi nr. n, n = antal observationer 1 2 n 4 Eksempel: GA = 2 6 9 3 = 4, 243 21 Izzy Nelken Pricing, Hedging and Trading Exotic options 1999 side 207. 22 Peter G. Zhang Exotic Options 2nd Edition 1998 side 114. 23 Izzy Nelken Pricing, Hedging and Trading Exotic options 1999 side 207. 26
Såfremt alle værdierne er ens, vil AA = GA, hvis det ikke er tilfældet vil AA > GA. Det betyder at det er en fordel for investor, at gennemsnittet er beregnet udfra AA, da det vil give det største afkast. Størstedelen af de asiatiske optioner er europæiske optioner, hvor gennemsnittet beregnes ved hjælp af aritmetisk gennemsnit. Prisfastsættelse ved hjælp af det aritmetiske gennemsnit giver imidlertid problemer, da disse priser ikke kan udtrykkes i en lukket form under betingelse af lognormalitet og risikoneutralitet. Dette medfører brud på nogle af de vigtigste forudsætninger i Black-Scholes modellen. Det aritmetiske gennemsnit vil selv hvis de underliggende værdier følger en lognormalfordelt proces ikke være lognormalfordelt. Ved det geometriske gennemsnit gælder derimod, at det er lognormalfordelt, såfremt de værdierne på det underliggende er lognormalfordelte 24. Som følge af de problemer der er ved at bruge aritmetisk gennemsnit, har man gennem tiden forsøgt at approksimere værdier på asiatiske optioner baseret på det aritmetiske gennemsnit, ved at anvende modellen som bruges ved de geometriske gennemsnit. Det diskrete gennemsnit bliver udregnet på baggrund af et lille udsnit af værdier for det underliggende aktiv. Det kunne for eksempel være ved at tage månedlige lukke kurser og bruge dem til at beregne et gennemsnit. Det kontinuere gennemsnit er grænsen af diskrete gennemsnit, der hvor hver enkelt punkt på den kontinuere sti bliver brugt som en observation i forhold til at beregne gennemsnittet. Dette kommer til udtryk ved at jo flere observationer der bruges til at beregne det diskrete gennemsnit, jo tættere kommer det diskrete gennemsnit på det kontinuere gennemsnit. Det kontinuere gennemsnit bliver lig det diskrete gennemsnit, ved et uendeligt antal diskrete observationer. Det betyder at det stort set er umulig at bruge kontinuere gennemsnit i praksis. 4.2.3 Prisfastsættelse af asiatiske optioner med Monte Carlo Simulation Prisfastsættelse af asiatiske optioner kan ske på flere måder, der vil i denne opgave blive arbejdet med Monte Carlo Simulation (MC) som er den mest anvendte. Monte Carlo Simulationen er en approksimationsmetode, der tager udgangspunkt i, at man gennem simulation af et stort antal stier for en options underliggende aktiv opnår mulige afkast for 24 Peter G. Zhang Exotic Options 2nd Edition 1998 side 114. 27
en given option ved udløb. Dette gør, at MC simulationen er specielt anvendeligt, når der er tale om stiafhængige optioner som for eksempel asiatiske optioner. Monte Carlo Simulationen er en prisfastsættelsesmetode, som ofte anvendes i forbindelse med prisfastsættelse af stærkt stiafhængige optioner. Metoden er specielt anvendelig på aktiver, hvor payoff kan beskrives som en funktion af en stokastisk variabel. Som i Black Scholes er det variablene volatilitet, den risikofrie rente og kursen på det underliggende aktiv i dag som indgår i MC simulationen, derudover indgår også samplingsfrekvens, gennemsnitstype og start-/sluttidspunkt for første-/sidste sampling. Optionens payoff beregnes i MC simulationen, som den forventede værdi, givet ved ˆ r T E[ max( AT X, 0)] ved udløb, hvorefter den tilbagediskonteres med faktoren e gør at vi får følgende formel 25, som udtryk for værdien på tidspunkt T., hvilket r T Formel 10: c = e Eˆ [ max ( A X,0 )] T Hvor c = optionsprisen på tidspunkt 0, r = risikofrie rente, T = tid til udløb, Ê = forventet værdi, A T = gennemsnitspris på det underliggende aktiv ved udløb, X = exercise kursen Prisfastsættelsen er baseret på en ikke udbytte betalende aktie og tager udgangspunkt i en risikoneutral verden. Problemet er, at vi ikke kender A T, hvorfor MC simulationen simulerer den udfra prisudviklingen og med udgangspunkt i S 0 som angiver prisen på det underliggende aktiv i dag og A t som angiver aktivets fremtidige gennemsnitlige prisproces. Prisudviklingen er givet ved følgende formel. Formel 11: ds = rsdt + σsdz Hvor S = spotkursen, r = risikofrie rente, t = tid, σ = volatiliteten, dz = wienerprocess Den risikoneutrale randomwalk er således givet som en geometrisk brownsk bevægelse, med den risikoneutrale rente som driftsled. MC simulerer herefter N mulige A T givet ved 25 Eric Briys m.fl. Options, Futures and Exotic Derivatives 1998 side 413. 28
A T, 1 AT,2... AT, N, hvorefter vi kan beregne værdien af optionen, som gennemsnit af resultatet af simuleringerne, som vist i nedenstående formel. N MC r T 1 i Formel 12: c = e max( AT X,0) N I = 1 Hvor MC c = pris på call option, r = risikofrie rente, T = tid til udløb, N = antal simulationer, A T = gennemsnitspris på det underliggende aktiv ved udløb, X = exercise kursen Jo flere simulationer man laver desto tættere vil man komme den sande værdi af A T, det betyder at processen bliver meget krævende, da man jo selvfølgelig ønsker så præcise beregning som muligt. Ofte laves beregningerne med 10.000 simulationer, hvilket jo selvsagt er en meget langsommelig proces, såfremt man ikke bruger computer til at foretage beregningerne. I denne opgave vil beregningerne blive lavet udfra programmet FinancialCAD 26. En af ulemperne ved MC simulationen er, at der aldrig opnås to helt ens resultater, det skyldes at simulationen genererer tilfældige tal i hver simulation. Således betyder en forøgelse af antal simuleringer fra 100 til 1.000 at prisen på optionen ændre sig. Undersøgelser har vist, at jo flere simulationer der laves desto nærmere kommer resultatet den sande værdi. Usikkerheden omkring korrektheden af resultaterne beregnet ved hjælp af MC simulationen, har medført at der er blevet udviklet flere metoder til, at forbedre eller kontrollere den beregnede pris på optionen. I det følgende vil der blive set på et par af disse metoder. 4.2.3.1 Antithetic Variable Technique Antithetic variable technique er en metode til at forbedre Monte Carlo simulationen. Teknikken går på, at man via tilføjelse af en antitetisk variabel reducere variansen på beregningerne foretaget ved hjælp af MC simulationen og derved opnår et mere korrekt billede af den sande værdi på optionen. 26 www.fincad.com 10. oktober 2002 29