Sandsynlighed og kombinatorik Simpel sandsynlighed... 94 Kombinatorik... 95 Sandsynlighed og kombinatorik... 97 Kombinatorik og kugletrækning... 97 Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 93
Sandsynlighedsregning og kombinatorik er to matematik-områder, som ofte hæftes sammen. Det er fordi, at kombinatorik kan anvendes som hjælpemiddel i sandsynlighedsregning. Men man kan dog: - både arbejde med sandsynlighedsregning uden brug af kombinatorik. Det kaldes herunder for simpel sandsynlighed. - og bruge kombinatorik til andet end sandsynlighedsregning. Simpel sandsynlighed Sandsynlighed beregnes på denne måde: Sandsynlighed = Antal gunstige udfald Antal mulige udfald Eksempler på opgaver Du kaster med en almindelig terning. - hvad er sandsynligheden for at få en 6 er? - hvad er sandsynligheden for at få et lige tal? Terningen kan lande på 6 måder, så der er 6 mulige udfald. Men kun et 1 af udfaldene (6 er) er gunstigt. 1 som kan omregnes til 0,17 = 17 % 6 Der er stadig 6 mulige udfald. Nu er 3 af udfaldene (2, 4 og 6) gunstige. 3 1 = som kan omregnes til 0,5 = 50 % 6 2 Hvad er sandsynligheden for, at en bus er forsinket over 5 min? 16 = 29 + 42 + 16 16 87 = 0,18 = 18% En optælling viser at: - 29 busser kørte præcis til tiden - 42 busser var forsinket 1-5 min. - 16 busser var forsinket over 5 min. Eksemplerne med terningen kaldes teoretisk sandsynlighed. Eksemplet med busserne kaldes statistisk sandsynlighed. Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 94
Kombinatorik Du kaster med en sort og en hvid terning. På hvor mange måder (antal kombinationsmuligheder) kan terningerne lande? Begge terninger kan lande på 6 måder. 6 6 = 6 2 = 36 kombinationsmuligheder. Mulighederne er vist som 36 felter i skemaet til højre. Pilen peger på kombinationen af en sort 3 er og en hvid 2 er. Der er også 36 kombinationsmuligheder, når terningerne er ens. Slår man med to ens terninger rigtig mange gange, vil man få kombinationen en 5 er og en 6 er (eller en 6 er og en 5 er) dobbelt så ofte som kombinationen to 6 ere. På en restaurant kan man frit sammensætte en 3 retters-menu ud fra det viste menu-kort. Hvor mange kombinationsmuligheder er der? Forret Salat Suppe Hovedret Bøf Steg Pizza Lasagne Dessert Is Kage Frugt 2 4 3 = 24 kombinationsmuligheder. Mulighederne er vist på tegningen til højre. Tegningen kaldes et tælletræ. Den viser, at man: - først vælger mellem 2 forretter - derefter vælger mellem 4 hovedretter Suppe Bøf Steg Pizza Lasagne Is Kage Frugt - til sidst vælger mellem 3 desserter Hver grenspids svarer til en kombinationsmulighed, men der er ikke plads til at skrive tekst over alt. Salat Den øverste pil peger på: Suppe - lasagne - kage Den nederste pil peger på: Salat - steg - frugt Tælletræer er gode til at vise kombinatorik, men de er svære at tegne. De bliver let for store. Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 95
Eksemplerne på denne side ligner hinanden to og to, men er alligevel forskellige. Hold hovedet koldt og tænk grundigt over forskellene. Eksempler på opgaver En alarm har de viste tryk-knapper. For at slå alarmen fra skal man indtaste en kode på 4 bogstaver. er der, hvis hvert bogstav må bruges flere gange? F.eks. DCAC eller BBCB eller FEAB. Det første bogstav kan vælges på 6 måder, det andet bogstav kan vælges på 6 måder, og så videre.. 6 6 6 6 = 4 6 = 1.296 kombinationsmuligheder er der, hvis hvert bogstav kun må bruges en gang? F.eks. FEAB. Det første bogstav kan vælges på 6 måder, men det andet bogstav kan kun vælges på 5 måder, da der allerede er valgt et bogstav. Det tredje bogstav kan vælges på 4 måder og det fjerde bogstav på 3 måder. 6 5 4 3 = 360 kombinationsmuligheder Eksempler på opgaver På et VUC-hold med disse 12 kursister skal der vælges 2 personer til skolens kursistråd. er der, når der: - først vælges et medlem til rådet - derefter vælges en suppleant? Medlemmet kan vælges på 12 måder. Suppleanten kan kun vælges på 11 måder, da der allerede er valgt en person. 12 11 = 132 kombinationsmuligheder F.eks. Ida som medlem og Bo som suppleant, eller Bo som medlem og Ida som suppleant, eller.. Anna Carl Ida Kaj Mie Pia Bo Else Jens Lis Ole Ulf er der, når begge personer skal være medlemmer af rådet? Det første medlem kan vælges på 12 måder. Det andet medlem kan kun vælges på 11 måder, da der allerede er valgt en person. Men man får kun: 12 11 = 66 kombinationsmuligheder 2 fordi mulighederne er parvis ens. Der er lige meget om Ida eller Bo vælges først. Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 96
Sandsynlighed og kombinatorik Ved en fodboldturnering kan man gætte på resultatet af nogle kampe. Man skal udfylde den viste tipskupon. Hvad er sandsynligheden for at gætte alle resultaterne rigtigt? Man skal først finde antal kombinationsmuligheder. Den første kamp kan ende på 3 måder (sejr til Gåsedal, uafgjort eller sejr til Andebjerg). Den næste kamp kan også ende på 3 måder o.s.v. Der er i alt 3 3 3 3 3 = 3 5 = 243 muligheder, fordi der er 5 kampe. Sandsynligheden for at ramme den rigtige er: 1 = 0,004 = 0,4% 243 Tælletræet til højre viser ideen i udregningen, men det er næsten umuligt at tegne træet helt færdigt 1 X 2 Kombinatorik og kugletrækning Alle kombinatorik-opgaver kan "oversættes" til, at man et antal gange skal trække en kugle fra en pose med et antal kugler. (Men det kan være svært at oversætte) Kombinatorik-opgaver handler om situationer, hvor der et antal gange skal vælges mellem et antal valgmuligheder. Hvis man udfylder en almindelig tipskupon, skal man 13 gange (ud for hver kamp) vælge mellem 3 valgmuligheder (1, X eller 2). Det svarer til, at man 13 gange trækker en kugle fra en pose med 3 kugler. Hvis man kaster 2 terninger, skal terningerne 2 gange "vælge" mellem 6 valgmuligheder. Det svarer til, at man 2 gange trækker en kugle fra en pose med 6 kugler. På næste side er en oversigt over forskellige "kugle-træknings-modeller". Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 97
På hvor mange måder kan man sammensætte en 3-retters menu ud fra et menukort med 3 forretter, 4 hovedretter og 2 desserter? Opgaven svarer til, at man har 3 forskellige poser, med forskellige antal kugler. Der er: 3 4 2 = 24 kombinationsmuligheder Poserne er forskellige: Hvor mange kombinationsmuligheder er der på en cykellås med 6 trykknapper, der kan stå i 3 positioner? Opgaven svarer til, at man har 6 ens poser, med 3 kugler i hver pose, eller at man bruger den samme pose 6 gange og lægger den trukne kugle tilbage efter hver trækning. Der er: 3 3... 3 = 3 6 = 729 kombinationsmuligheder Posen kan genbruges. Kuglerne lægges tilbage. I en bestyrelse med 5 medlemmer skal der vælges en formand, en næstformand og en kasserer. På hvor mange måder kan det gøres? Opgaven svarer til, at man 3 gange fra den samme pose trækker en kugle. Man starter med 5 kugler i posen, og der må ikke lægges tilbage. Der er: 5 4 3 = 60 kombinationsmuligheder. Posen kan genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen har betydning. Posen genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen er ligegyldig. På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på 5 medlemmer finde 2 personer til en arbejdsgruppe? 5 4 Der er = 10 kombinationsmuligheder. 2 Man kunne tro, at der var 5 4 = 20 muligheder, men mulighederne er parvis ens. (De samme 2 personer fundet i forskellig rækkefølge). På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på 5 medlemmer finde en arbejdsgruppe på 3 personer? 5 4 3 Der er = 10 kombinationsmuligheder. 3 2 1 Hvis rækkefølgen havde haft betydning, var der 5 4 3 = 60 muligheder, men mulighederne kan samles i grupper af muligheder med de samme 3 personer fundet i forskellige rækkefølger. Og 3 personer kan findes på 3 2 1 = 6 måder. Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 98