Uafhængighed af hændelser

Transkript

1 Uafhængighed af hændelser Uafhængighed af to hændelser A og B kaldes uafhængige hændelser hvis P A B P A P B Kaldes også den specielle multiplikationsregel. Så gælder både P A B P A og P B A P B. Bemærk at S og A altid er uafhængige, og det samme for og A. Bemærk: Hvis A og B er disjunkte og uafhængige er enten P A 0 eller P B 0. Bevis: Da P A B P 0måvisåhave 0 P A P B

2 Eksempel Kast med terning, S 1, 2, 3,4,5,6 Lad A 1, 2, 3 og B 2, 4 P A 1/2 P B 1/3 P A B P 2 1/6 Da P A B P A P B er A og B uafhængige. Lad nu C 3, 4, 5, såp C 1/2. Så er B og C også uafhængige (check selv). Men A og C er ikke uafhængige, da P A C P 3 1/6 1/2 1/2 P A P C

3 Mere om uafhængighed Hvis A og B er uafhængige, så er A og B også uafhængige. Bevis: P A B P B A B P B P A B P B P A P B P B 1 P A P B P A, som ønsket. Vi ser altså at A og B uafhængige er ækvivalent med 1. A og B er uafhængige 2. A og B er uafhængige 3. A og B er uafhængige

4 Hvis A og B er uafhængige gælder at P A B 1 P A P B Bevis: P A B P A P B P A B P A P B P A P B 1 1 P A P B P A P B 1 1 P A 1 P B 1 P A P B

5 Uafhængighed af tre hændelser A, B og C kaldes indbyrdes uafhængige hændelser hvis A, B og C er parvis uafhængige, dvs. P A B P A P B P A C P A P C P B C P B P C og der gælder den specielle multiplikationsregel for tre hændelser: P A B C P A P B P C

6 Eksempel: Betragt en roulette med S 1,2,,12. Lad A 1, 2, 3, 4, 5, 6, B 4, 5, 6, 7, 8,9 og C 1, 2, 3, 7, 8, 9, alle med sandsynlighed ½. Så er P A B P A C P B C 1/4, så A, B og C er parvis uafhængige. Men da A B C er den specielle multiplikationsregel ikke opfyldt for de tre hændelser, så A, B og C er ikke indbyrdes uafhængige. Nu definerer vi D 1, 4, 7, 12 med sandsynlighed 1/3. Da A og B er uafhængige, og da 1. A og D er uafhængige, idet P A D 1/6 1/2 1/3 2. B og D er uafhængige, idet P B D 1/6 1/2 1/3 3. Multiplikationsreglen er opfyldt: P A B D 1/12 1/2 1/2 1/3,

7 så er A, B og D indbyrdes uafhængige. Uafhængighed generelt Generelt bruges en rekursiv definition: Tre eller flere hændelser: A 1, A 2,, A k kaldes indbyrdes uafhængige hvis: 1. Alle delsæt af A 1, A 2,,A k bestående af k 1 hændelser er indbyrdes uafhængige. 2. Den specielle multiplikationsregel gælder for de k hændelser gælder: P A 1 A 2 A k P A 1 P A 2 P A k. Bemærk at vi har følgende (har allerede set det for k 2): P A 1 A 2 A k 1 P A 1 P A 2 P A k. Da A 1,A 2,,A k er uafhængige følger det af at

8 P A 1 A 2 A k 1 P A 1 A 2 A k

9 Kombinatorik Produktreglen Et forsøg udføres i k etaper. Ideni te etape er der m i valgmuligheder. Det samlede antal valgmuligheder er så m 1 m 2 m k Eksempel: En Dell PC kan stykkes sammen som følger: 1. Kabinettet kan være sort, hvidt eller gråt (m 1 3) 2. Strømforsyningen kan være på 500 W elle 800 W (m 2 2) 3. Bestykningen med drev kan inkludere CD-Rom, DVD eller begge dele (m 3 3)

10 Det samlede antal forskellige kombinationer er da

11 Tilfældig udtrækning (urnemodellen) En urne som indeholder farvede kugler. En kugle trækkes tilfældigt fra urnen, og farven registreres. Når der trækkes flere kugler kan det enten være: 1. med tilbagelægning: kuglen lægges tilbage før der trækkes igen. 2. uden tilbagelægning: kuglen lægges ikke tilbage før der trækkes igen.

12 Eksempel: En æske med tændstikker skal undersøges. 1. Destruktiv test: det er nødvendigt at stryge tændstikken for at se om den virker. Derfor kræves udtrækning uden tilbagelægning. Eksempel: En kasse med modstande skal undersøges. 1. Ikke-destruktiv test: modstanden måles med et voltmeter, hvorefter modstanden lægges tilbage i kassen, som derefter rystes grundigt. Altså udtrækning med tilbagelægning.

13 Permutationer n fakultet er produket af de n første heltal: n! 1 2 n med konventionen 0! 1 n! antallet af permutationer (rækkefølger) af n objekter. Rekursionsformel: n 1! n 1 n! I R bruges kommandoen: factorial(n

14 Eksempel: En komite består af 5 medlemmer. Komiteen konstituerer sig som følger: 1. Formand (5 muligheder). 2. Næstformand (4 muligheder) 3. Ceremonimester (3 muligheder) 4. Sekretær (2 muligheder) 5. Menigt medlem (1 mulighed) På hvor mange måder kan det ske? Svar: 5! måder. Approximation for n 50: Stirlings formel n! 2 n n e n Eksempel: 5! e

15 Permutation: Antallet af måder der kan vælges k ud af n (uden tilbagelægning): P n,k n n 1 n k 1 n! n k! Eksempel: En komite på 5 skal konstituere sig med formand og næstformand. Antal måder: P 5, ! 5 2! 20

16 Kombinationer Binomialkoefficient: For n k defineres n k n! k! n k! n n 1 n k 1 k! Antallet af måder en k-mængde kan vælges fra en n-mængde. Specialtilfælde: Bemærk: n n k n k n 0 n n n! 0! n! 1 n! n k! k! I R bruges kommandoen: choose n, k. n n 1 k 1 n k!

17 Eksempel: 5-mandsudvalg blandt 33 studerende kan vælges på , 336 måder

18 Sandsynligheder baseret på kombinatorik Ved urnemodellen med tilfældig udtrækning gælder generelt Antal gunstige udfald P Hændelse Antal mulige udfald Eksempel: Anders og Yrsa ønsker brændende at komme i den komite på 5 som skal vælges blandt 33. Sandsynligheden for at det sker for begge er

19 P Anders og Yrsa sammen

20 Eksempel fra poker: Hvad er sandsynligheden for to par (af forskellig værdi) i en hånd på fem? Svar: P To par (vælg først de to værdier, vælg så de to par ud, og vælg så det sidste kort).

21 Multinomialkoefficienten Lad n n 1 n k (alle heltal), og lad n n 1 n k n! n 1! n k! antallet af måder en n-mængde kan inddeles i k mænger af størrelser n 1,, n k. Eksempel: En klasse på 33 skal deles ind i 6 grupper af størrelse 5, 5, 5, 6, 6 og 6. Kan gøres på ! 5! 5! 5! 6! 6! 6! måder. Bevis for multinomialkoefficienten: n! n n 1 n k n 1! n k!,

22 da begge sider angiver antallet af permutationer af en n-mængde.

23 Bemærk: 1. Når k 2 gælder 2. Når k 3 gælder n mn m n m n! m! n m! n n 1 n 2 n 3 n n1 3. Generelt gælder n n 1 n k n n1 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n k

24 Eksempel: Julefrokost på IMADA. 30 deltagere skal deles op i tre hold: skal forberede julefrokosten 2. 8 skal servere maden skal rydde op Antal muligheder for opdelingen i hold er , 493, ,

25 Antag at der er 12 dataloger og 5 mat-øk er. På hvor mange måder kan det ske at alle 10 som rydder op er dataloger, og at alle 5 mat-øk er skal servere? Svar: Blandt de 12 dataloger skal der vælges 10 til oprydning, og efter at de 5 mat-øk er er sat til at servere, skal der vælges 3 blandt de resterende 15 som også skal servere. Antal måder er altså: , Sandsynligheden for at dette sker er 30,