OM KAPITLET I dette kapitel om matematiske undersøgelser skal eleverne løse og undersøge problemer ved hjælp af matematik. Eleverne skal både undersøge rene matematiske problemer og hverdagsrelaterede problemstillinger. Kapitlet har en lidt anden opbygning end de øvrige i bogen. Det vil sige, at kapitlet ikke inde holder følgende: temaer, evaluering samt træn 1 og 2 i færdigheder og problemløsning. Eleverne bliver indledningsvis præsenteret for en række forskellige forslag og strategier til, hvordan de kan arbejde med en matematisk undersøgelse og problemstilling. Efterfølgende arbejder eleverne med otte forskellige matematiske undersøgelser: Hvad er sandsynligheden? Pythagoras Kuber Et spil med tændstikker Påstande om areal og omkreds i et rektangel Sammenhænge i geometriske figurer Opmærksomhed! Dungeon Key Undersøgelserne kan også anvendes som mundtlige prøveoplæg til fx terminsprøve i mundtlig matematik, så eleverne får indsigt i, hvordan den mundtlige gruppeprøve foregår. ELEVFORUDSÆTNINGER Eleverne har tidligere i MULTI 6 arbejdet med matematiske undersøgelser. I MULTI 7 er kapitlet om matematiske undersøgelser bygget op på nogenlunde samme måde, hvorfor opbygning og arbejdsform er genkendelig for eleverne. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med: at løse problemer fra hverdagen ved hjælp af matematik at lave undersøgelser for at løse matematikproblemer at forklare, hvordan de har tænkt og har løst problemer, og hvad de har fundet ud af at begrunde, hvorfor de mener, at deres resultat er rigtigt at arbejde sammen med andre om at løse problemer i matematik. De otte undersøgelser har fokus på forskellige fagområder, og til hver undersøgelse er det her i lærervejledningen beskrevet hvilket eller hvilke fagområder, der er fokus på. Eleverne enten kan eller skal i arbejdet med undersøgelserne anvende et digitalt værktøj og/eller div. konkrete materialer, fx karton, centicubes, tændstikker m.m. Man kan organisere arbejdet med undersøgelserne på forskelligvis. Der skal dog gøres opmærksom på, at der i undersøgelsen `Opmærksomhed! skal indsamles data fra alle elever i klassen, hvorfor det kan være hensigtsmæssigt, at hele klassen arbejder med denne undersøgelse på samme tid. I de øvrige syv undersøgelser er det mest hensigtsmæssigt, at der er 2-3 elever i hver gruppe. Det kan fx være, at alle elever skal arbejde med alle undersøgelser. På den måde får de prøvet mange forskellige typer undersøgelser og forskellige faglige områder. Undersøgelserne kan også anvendes som en løbende træning, hvor de enkelte kapitler i bogen fx afrundes med en matematisk undersøgelse.
ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan planlægge og gennemføre undersøgelser, som sætter dem i stand til at kunne løse matematiske problemer og problemer relateret til hverdagen kan afgrænse, forstå og fortolke problemstillinger fra hverdagen ved hjælp af matematik kan anvende matematiske ord og begreber til at forklare, hvordan de har tænkt de matematiske processer kan argumentere for deres valg af matematiske hypoteser og løsninger både skriftligt og mundtligt kan arbejde sammen med andre om at løse matematiske problemer kan vælge og anvende relevante hjælpemidler i arbejdet med de matematiske undersøgelser. PRINTARK U8 Tal- og regnekort U9 Gå-bane Centicubes Farvet karton Lette markeringer (kegler, ærteposer eller lign.) Mobiltelefoner Sakse Stopure Terninger Tændstikker DIGITALE VÆRKTØJER Geometriprogram Regneark I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Undersøgelse Argumentation Hypotese Konklusion Påstand Matematisk definition Matematisk model Matematiske hjælpemidler Matematisk sætning.
På figuren er midtpunktstransversalen halvt så lang som den tredje side. Man kan overveje, om det altid forholder sig sådan. Sådan en påstand kaldes en hypotese. Hvis man kan bevise hypotesen, så har man en matematiske sætning. Vær opmærksom på, at der i opgave 1 evt. kan bruges et digitalt værktøj, og i opgave 3 skal der bruges en sekssidet- og en firesidet terning. På dette opslag bliver eleverne introduceret til emnet Matematiske undersøgelser. Eleverne bliver først præsenteret for kapitlets elevmål, fagord og begreber. I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med opgaver, der skal aktivere deres forhåndsviden om emnet. Vær opmærksom på, at der i opgave 3 skal bruges en sekssidet og firesidet terning. I introteksten gives en kort beskrivelse af, hvad emnet handler om. Herefter præsenteres eleverne for kapitlets seks elevmål samt fagord og begreber. Eleverne bør indledningsvis læse elevmål, fagord og begreber. Derefter kan de parvis eller i mindre grupper tale om deres forståelse af de enkelte mål, så de på den måde får aktiveret deres forforståelse. Der vil formentlig være fagord og begreber, som eleverne umiddelbart ikke kender. Når man skal argumentere for matematiske sammenhænge, så kan det være hensigtsmæssigt at kende nogle bestemte fagord. Det kan fx være matematisk definition, hypotese, bevis og sætning. En definition er en formulering, der præcist beskriver betydningen af et fagord. En definition kan ikke bevises. Et eksempel på en definition kunne være følgende definition af fagordet `midtpunktstransversal : Et linjestykke, der i en trekant forbinder midtpunkterne af to sider, kaldes en midtpunktstransversal. Dette kapitel har som tidligere nævnt en lidt anden opbygning end de øvrige kapitler og i modsætning til introopslaget i de øvrige kapitler, så indeholder dette en teoriboks. I teoriboksen bliver det beskrevet, hvordan eleverne kan arbejde med en matematisk undersøgelse eller problemstilling. Evt. et digitalt værktøj sekssidede terninger firesidede terninger OPGAVE 1 A Rumfanget er 64 cm 3. Der er 9 kasser med heltallige kantlængder og rumfanget 48 cm 3. De fremgår af skemaet herunder: Side 1 Side 2 Side 3 1 1 48 1 2 1 3 16 1 4 12 1 6 8 2 2 12 2 3 8 2 4 6 3 4 4 B Individuelle elevforklaringer. Eleverne kan med fordel anvende et digitalt værktøj til at undersøge på hvor mange forskellige måder, de kan lave en kasse med rumfanget 48 cm 3 af centicubes. Linjestykket DE er midtpunktstransversal i trekant ABC.
TEORI: PROBLEMER OG UNDERSØGELSER I MATEMA- TIK I teoriboksen er beskrevet nogle strategier, som eleverne kan bruge, når de skal arbejde med matematiske undersøgelser og problemstillinger. Det er ikke alle strategier, der passer til alle undersøgelser. Så eleverne skal i arbejdet med den enkelte undersøgelse forholde sig til, hvilken eller hvilke strategi(er) der er mest hensigtsmæssige at bruge. Eleverne skal lære at lave en konklusion på en undersøgelse, hvor de forklarer og begrunder, hvordan de har tænkt og løst problemet, samt hvad de har fundet ud af, og hvorfor de mener, det er rigtigt. Der kan være mange forskellige måder, hvorpå eleverne kan præsentere deres konklusion, og de kan opfordres til at prøve forskellige muligheder af i arbejdet med undersøgelserne. De kan fx lave en skærmvideo, en kort film, en Prezi-præsentation eller lign.. Lad fx eleverne læse teoriboksen igennem og skrive de fagord og begreber ned, som de ikke forstår. Herefter kan de tale om indholdet i teoriboksen med en makker for på den måde at hjælpe til at forstå teksten og eksemplerne. Inden eleverne arbejder med opgaverne på opslaget, kan der være en fælles samtale i klassen om at arbejde undersøgende i matematik. Tal fx med eleverne om, at man ikke altid ved, hvor man ender, når man begynder arbejdet med en undersøgelse. Derfor kan det være en god ide, at man løbende gør rede for, hvad man har gjort, hvordan man har tænkt, og hvad man kommer frem til, så andre bagefter kan følge med i det arbejde, man har lavet, mens man udførte undersøgelsen. Det kan fx være, man samler sine resultater i tabeller, tegner grafer, geometriske figurer, tager billeder af centicubes-figurer, tegner figurmønstrer eller lignende. Men det kan også være, at man undervejs skriver ideer og forslag til løsninger ned, så man kan huske dem til konklusionen. Det er vigtigt, at eleverne bliver gjort opmærksomme på, at der til en konklusion bør være en begrundelse. Når eleverne arbejder med opgaverne på opslaget, kan de fx blive bedt om at forholde sig til, hvilke strategier fra teoriboksen de bruger undervejs. OPGAVE 2 A C Individuelle elevsvar, som afhænger af de aktuelle priser, som eleverne finder på Internettet. Eleverne kan fx anvende et regneark til at sammenligne priserne for Patricks rejse. OPGAVE 3 A B Sum Individuelle elevundersøgelser, som afhænger af deres chanceeksperimenter. I skemaet herunder er den teoretiske sandsynlighed for hvert af de ti tal angivet: Sandsynlighed 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 4 7 4 8 3 9 2 10 1 Det kan tydeliggøres for eleverne, hvad de forskellige mulige udfald er, og hvor ofte de kan forekomme, hvis der tegnes en tabel: + 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10
C Af chancetræet herunder fremgår, at sandsynligheden for, at pladen med summerne 9 og 4 vinder efter to kast med terningen, er 6 + 6 = 12 = 1 2,08 %. 576 576 576 48 Kun de tre grene, der er relevante for udfaldet er ført videre. Grene, der fører til andet end det, vi er interesserede i, er blot mærket Andet.
I de første fire hjælpespørgsmål lægges der op til, at eleverne undersøger sandsynligheden for forskellige resultater. Der er tale om en ordnet stikprøve uden tilbagelægning. Eleverne kan fx i et regneark vise de forskellige resultater, samt beregne sandsynligheden for hvert resultat. De felter, der herunder er markeret med gult er de resultater, der ikke kan forekomme, da der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning. HVAD ER SANDSYNLIGHEDEN? På denne side arbejder eleverne med undersøgelsen `Hvad er sandsynligheden? Som titlen beskriver, så er det faglige fokus i undersøgelsen sandsynlighed. Da eleverne kan beregne sandsynligheden for de forskellige udfald, kan de anvende deres viden om teoretisk sandsynlighed. Til undersøgelsen skal eleverne anvende talkort (tallene fra 0-9) og regnekort (regnetegnene + og ). Eleverne skal undersøge, hvilke resultater og hvilken sandsynlighed der er for hvert resultat, hvis de først trækker et tilfældigt talkort, så et regnekort og igen et talkort. Sakse PRINTARK U8 Tal- og regnekort Det er i alt 40 forskellige regnestykker, og i skemaet til højre er vist hyppigheden samt frekvensen af de forskellige resultater: Er det for nogle elever svært at overskue både plus og minus, så kan de opfordres til kun at arbejde med en af regningsarterne - evt. til at starte med. x h(x) f(x) -4 1 3% -3 2 5% -2 3 8% -1 4 10% 1 4 10% 2 3 8% 3 4 10% 4 3 8% 5 4 10% 6 4 10% 7 4 10% 8 2 5% 9 2 5% I alt 40 HJÆLPESPØRGSMÅL Tallene fra 1-5, regnetegnene minus og plus Mindste resultat: 4 (1 5). Højeste resultat: 9 (4 + 5). Mulige resultater: 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nogle resultater (fx -4) kan opnås på én måde, andre kan opnås på flere forskellige måder (fx 1 = 2 1 = 3 2 = 4 3 = 5 4). Svaret afhænger af det regnestykke, eleven først har lavet. Tallene fra 0-9, regnetegnene minus og plus Mulige resultater: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17. Man kan få 10 2 9 = 180 forskellige regnestykker. Svaret afhænger af det regnestykke, eleven først har lavet. Eleverne kan på tilsvarende vis som vist ovenfor undersøge tallene fra 0 til 9 og regnetegnene plus og minus. Eleverne kan fx præsentere deres resultater ud fra de regneark, de evt. har lavet.
Fx PYTHAGORAS På denne side arbejder eleverne med undersøgelsen `Pythagoras. Eleverne skal undersøge sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Det faglige fokus i undersøgelsen er geometriske egenskaber og sammenhænge mellem sidelængder i retvinklede trekanter Eleverne har ikke tidligere arbejdet med Pythagoras sætning. Da undersøgelsen alene handler om, at eleverne skal forklare sammenhængen mellem sidelængderne, og de ikke skal beregne længder i retvinklede trekanter, kan de godt arbejde med det bevis, der tages udgangspunkt i i undersøgelsen. Et digitalt værktøj Farvet karton, Sakse HJÆLPESPØRGSMÅL En retvinklet trekant og tre forskellige kvadrater, der hver har en trekantside som sidelængde. Eleverne tegner fem forskellige retvinklede trekanter med kvadrater tegnet på siderne. Eleverne finder i hvert af de fem tilfælde arealerne af de tre kvadrater. Arealet af det største kvadrat = summen af arealerne af de to mindste kvadrater. Sammenhængen er a 2 + b 2 = c 2. Nej, denne sammenhæng gælder kun for retvinklede trekanter. For spidsvinklede trekanter gælder a 2 + b 2 < c 2 og for stumpvinklede trekanter (med C > 90 ) gælder a 2 + b 2 > c 2, og disse sammenhænge har eleverne mulighed for at opdage. Bemærk, at når man ved, at sammenhængen a 2 + b 2 = c 2 ikke gælder for andre trekanter end retvinklede (med C som den rette vinkel), så har man også vist det, der kaldes den omvendte pythagoræiske læresætning : Hvis der i en trekant ABC gælder, at a 2 + b 2 = c 2, så er trekanten retvinklet, og C er den rette vinkel. Eleverne kan opfordres til at arbejde med sammenhængene i et dynamisk geometriprogram, hvor de fx kan forklare og beskrive sammenhængen mellem sidelængderne ved at inddrage både tegneflade og et regneark. På den måde behøver eleverne ikke tegne en masse retvinklede trekanter. Elevernes præsentation kan fx være skærmbilleder af de forskellige trekanter og en oversigt, fx i et regneark, der viser sammenhængen mellem arealet på de kvadrater, der er tegnet på siderne af de forskellige trekanter. De kan også lave en skærmvideo, der fx viser sammenhængen i et dynamisk geometriprogram.
Individuelle elevargumenter. Eleverne kan i deres præsentation af undersøgelsen fx tegne isometriske tegninger eller tage billeder af de første tre figurer. Præsentationen kan underbygges med skemaer, der viser udviklingen i antallet af centicubes i de forskellige figurfølger. KUBER På denne side arbejder eleverne med undersøgelsen `Kuber. Eleverne skal undersøge, om de kan lave regler for, hvor mange centicubes der skal bruges til at bygge forskellige kuber, der udvikler sig efter samme mønster. Det faglige fokus i undersøgelsen er anvendelse og udvikling af formler og algebraiske udtryk. Centicubes HJÆLPESPØRGSMÅL Svarene hørende til de to første punkter fremgår af tabellen herunder: Kube Antal centicubes 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 n n 3 Der skal tilføjes 37 (64 27). Når antallet af centicubes, der skal bruges for at bygge kube nr. n, kaldes Kube(n), gælder Kube(n + 1) Kube(n) = (n + 1) 3 n 3 = 3n 2 + 3n + 1.
HJÆLPESPØRGSMÅL ET SPIL MED TÆNDSTIKKER På denne side arbejder eleverne med undersøgelsen `Et spil med tændstikker. Eleverne skal undersøge hvorvidt forskellige hypoteser, der handler om spillet med tændstikker, er sande eller falske. Det faglige fokus i undersøgelsen er ræsonnements- og tankegangskompetencen. Eleverne spiller spillet med forskellige antal tændstikker. Første spiller kan vinde, når spillet starter med 3 eller 4 tændstikker, da der kan deles i udelelige bunker med samme: 3 deles i (1, 2); 4 deles i (2, 2). Ved 5 starttændstikker kan første spiller ikke vinde (hypotese 2). Ved 6 starttændstikker kan første spiller vinde ved at dele i to bunker på 3. I et spil med 2 bunker med 3 i hver, vil anden spiller vinde ved for hvert træk at gøre det samme som første spiller men på den bunke, første spiller ikke vælger. Den samme taktik kan bruges af anden spiller på alle spil, hvor der kun er to ens bunker. Den kan derfor også bruges på et spil, hvor der er et lige antal bunker, der to og to er ens. Første spiller kan derfor ikke vinde, hvis der er to bunker med 5 tændstikker i hver men det følger også af hypotese 3. Eleverne kan i deres præsentation fx vise billeder af de forskellige situationer, der er beskrevet ovenfor, og forklare ud fra dem, hvorvidt de mener, de enkelte påstande er sande eller falske. Tændstikker 1. Sand hypotese. Hvis du deler de 6 tændstikker i to bunker med 3 tændstikker i hver bunke, vil du vinde. Din modstander er tvunget til at dele den ene bunke i (1, 2), og så kan du dele den anden på samme måde. 2. Sand hypotese. En bunke med 5 tændstikker kan ikke vindes af første spiller (som nu er din modstander). Første spillers muligheder er (1, 4) eller (2, 3). Så kan anden spiller dele 4 i (2, 2) eller 3 i (1, 2). I begge tilfælde har du vundet den ene 5-bunke, og kan gøre det samme med den anden. 3. Falsk hypotese. Hvis vi blot kan vise, at hypotesen er falsk for ét ulige antal større end tre, er den ikke sand generelt. Det er rigtigt, at du ikke kan vinde, hvis der er 5 tændstikker i bunken (hypotese 2). Men hvis der er 7 tændstikker, kan du starte med at fjerne en bunke på 2 tændstikker. Så er der 5 tilbage, og så ville din modstander (som nu er første spiller ) ikke kunne vinde.
Her kan b isoleres: b = 2a a 2. Det betyder, at ethvert talpar af formen (a, 2a ), hvor a > 2, a 2 vil være løsning, dvs. ethvert rektangel med sidelængderne a og 2a, a > 2 vil have same måltal for omkreds og areal. a 2 De eneste heltallige løsninger vil være (3, 6) og det symmetriske (6, 3) samt talparret (4, 4). Men sidelængder som fx 5 og 10 3, 7 og 14 5 2. Falsk. osv. er også løsninger. PÅSTANDE OM AREAL OG OMKREDS I ET REK- TANGEL På denne side arbejder eleverne med undersøgelsen `Påstande om areal og omkreds i et rektangel. Eleverne skal undersøge, hvorvidt forskellige påstande der handler om firkanter, er sande eller falske. Det faglige fokus i undersøgelsen er geometriske egenskaber og sammenhænge, samt evt. formler og algebraiske udtryk. Et digitalt værktøj Den mindste omkreds for et rektangel med et bestemt areal opnås, hvis rektanglet er et kvadrat. Hvis arealet er 18, vil kvadratets side være 18, og omkredsen vil være 4 18 16,97. Mindre kan omkredsen ikke blive, hvis arealet skal være 18. 3. Sandt. For eksempel vil et rektangel med sidelængderne 0,1 og 8,9 have omkredsen 2 (8,9 + 0,1) = 18 og arealet 8,9 0,1 = 0,89. Et rektangel med en fast omkreds kan have et areal, der er så tæt på 0, som man ønsker det. Herunder er et skærmdump fra et regneark, hvor længden af den mindste side (side 1) divideres med 10 for hvert skridt, side 2 indrettes så omkredsen er 18 og arealet udregnes. Som man ser, kan arealet komme vilkårligt tæt på 0, blot man fortsætter beregningerne til højre. PÅSTANDE 1. Falsk. Et kvadrat (som jo også er et rektangel) med sidelængden 4 cm vil have samme måltal for omkreds og areal. Det vil de fleste elever formentlig kunne opdage. Den tænksomme elev vil muligvis indvende, at en figur aldrig kan have samme omkreds som areal, da omkredsen er et længdemål (fx cm), mens arealet er et flademål (fx cm 2 ). Det er ret beset rigtigt, men her søger vi naturligvis rektangler, hvis omkreds i en længdeenhed har samme måltal som arealet har i kvadratet på den pågældende længdeenhed. Der kan være noget forskel på, hvordan eleverne har arbejdet med undersøgelsen. De fleste elever vil sikkert primært anvende et dynamisk geometriprogram, som der lægges op til i hjælpespørgsmålene. De elever, der har brug for ekstra udfordringer, kan fx opfordres til at prøve at arbejde mere algebraisk med den første påstand. Eleverne kan i deres præsentation fx vise en skærmvide, hvor de argumenterer for, hvorvidt de enkelte påstande er sande eller falske. Dem er der faktisk uendeligt mange af. Hvis sidemålene i rektanglet kaldes a og b vil omkredsen være 2(a + b) og arealet vil være ab. Vi søger derfor løsningspar (a, b) til ligningen ab = 2(a + b)
HJÆLPESPØRGSMÅL Rektangler Elevundersøgelse. Kan fx munde ud i et skema som dette: b: Omkreds (O): 1 10 2 12 3 14 4 16 5 18 n 2n + 8 SAMMENHÆNGE I GEOMETRISKE FIGURER På denne side arbejder eleverne med undersøgelsen `Sammenhænge i geometriske figurer. Eleverne skal undersøge, hvorvidt forskellige påstande, der handler om sammenhænge ved rektangler og trekanter, er sande eller falske. Det faglige fokus i undersøgelsen er geometriske egenskaber og sammenhænge, samt formler og algebraiske udtryk. Et digitalt værktøj PÅSTANDE 1. I et kvadrat er sammenhængen mellem omkreds (O) og sidelængde (s) lineær (og ligefrem proportional): O = 4s. 2. Der er ingen funktionssammenhæng mellem areal og omkreds i et rektangel. Der er kun den sammenhæng, at omkredsen sætter en øvre grænse for arealet (et kvadrat). 3. Ja, der er en lineær (og ligefrem proportional) sammenhæng mellem areal A og højde h i trekant med fast grundlinje g: A = 1 g h, hvor h er variabel, og 1 g 2 2 er stigningstallet. 4. Der er ingen funktionssammenhæng mellem areal og omkreds i en trekant. Der er kun den sammenhæng, at omkredsen sætter en øvre grænse for arealet. Størst areal med en given omkreds O har en ligesidet trekant med sidelængden 1 O. 3 Eleven tegner grafen for funktionen f(x) = 2x + 8. Når omkredsen er 36 er b = 14. Hvis siden a øges, og siden b fastholdes til 1, får vi: a: Omkreds (O): 4 10 5 12 6 14 7 16 8 18 n 2n + 2 Hvis både a og b øges med 1 i hvert trin, får vi: (a, b): Omkreds (O): (4, 1) 10 (5, 2) 14 (6, 3) 18 (7, 4) 22 (8, 5) 26 (m, n) 2(m + n) Der er lineær sammenhæng i punkt 1 og 4. Trekanter Elevundersøgelse. Kan fx munde ud i et skema som dette: h: Areal (A): 1 1,5 2 3 3 4,5 4 6 5 7,5 h 1,5 h Eleven tegner grafen for funktionen f(x) = 1,5x. Eleverne kan fx præsentere deres undersøgelse vha. tabeller som vist herover, eller de kan tegne grafer.
Individuelle elevundersøgelser, som afhænger af de data, eleverne indsamler. Eleverne kan hente inspiration og viden fra kapitlet `Statistik, når de skal behandle datamaterialet. OPMÆRKSOMHED! På denne side arbejder eleverne med undersøgelsen `Opmærksomhed!. Eleverne skal undersøge, hvorvidt det påvirker ens opmærksomhed i trafikken, hvis man er optaget af andre ting, mens man går. Eleverne skal undersøge dette ved at gennemføre en hjemmelavet gå-bane med en række forskellige poster. Banen skal gennemføres to gange - én gang, hvor de skriver en sms, mens de går, og én gang hvor de blot går banen. På arket Gå-bane (U9) er der forslag til, hvordan eleverne undervejs kan blive udsat for uhensigtsmæssige hændelser. Der er fx en række signalkort, der kan bruges til at distrahere eller på anden måde kan lægge uforudsete forhindringer ind undervejs. Det faglige fokus i undersøgelsen er statistik. Eleverne skal bruge deres viden om indsamling, behandling og præsentation af data. Man skal være opmærksom på, at den del af undersøgelsen, der handler om at indsamle data, er fælles for hele klassen. Den anden del af undersøgelsen, der handler om at behandle og præsentere data, er for to til tre personer. Det kan være hensigtsmæssigt at samle alle data i samme regneark og efterfølgende dele det med eleverne. Cirka 20 lette markeringer (kegler, ærteposer eller lignende) Mobiltelefoner Stopure PRINTARK U9 Gå-bane
Tegning af bane 1 Individuelle elevovervejelser. Eleverne kan eksempelvis overveje følgende: DUNGEON KEY På denne side arbejder eleverne med undersøgelsen `Dungeon Key. Dungeon Key er et fiktivt computerspil, hvor det handler om, at man på hver bane skal finde den dør, der fører til den næste bane. Til hver bane hører en bestemt type nøgle. Der udleveres til hver bane færre nøgler end antallet af døre, men hvis man tænker sig om, så er der altid nøgler nok til at komme videre til den næste bane. Der findes tre forskellige typer døre med hver deres egenskaber. Hvis første dør er en Type 1 dør: Vi er videre til næste bane og har brugt én nøgle. Type 2 dør: Prøv døren til venstre. Hvis den ikke leder til næste bane, vil det være døren til højre. Vi har brugt to eller tre nøgler. Type 3 dør: Gå rundt i en bestemt retning fx mod uret, og spring 2 døre over. Den næste dør derefter vil da enten være en type 1 dør (figur 1 herunder) og så er vi videre eller en type 2 dør (figur 2 herunder). Hvis det er en type 2 dør, vil næste dør i retning med uret være en type 1 dør. Vi har brugt to eller tre nøgler. Tre nøgler er altså nok til at komme videre til bane 2. Eleverne skal nu undersøge, hvor få nøgler man kan nøjes med at have, for at være sikker på at kunne komme til næste bane. Det faglige fokus i undersøgelsen er ræsonnements- og tankegangskompetencen. Et digitalt værktøj HJÆLPESPØRGSMÅL Herunder er skemaet udfyldt: Banenummer Antal døre 1 5 2 6 3 7 4 8 5 9 6 10 7 11 8 12 9 13 10 14 11 15 Hvis den første dør er af type 1 eller 2, bruger man 1, 2 eller 3 nøgler. Det værste tilfælde (n 2) opstår, hvis man starter med den type 3 dør, der er nr. 2 efter type 1 døren i den valgte omløbsretning. Først når man kommer til type 2 døren, der er nr. 2 før type 1 døren, kan man med sikkerhed udpege type 1 døren som den midterste af de tre resterende døre. Og på det tidspunkt har man brugt n 3 nøgler, og skal bruge nøgle nr. n 2 til at åbne type 1 døren. Man kan nedbringe antallet af nødvendige nøgler ved at tage større spring og fx åbne hver tredje dør. Større bør springet ikke være, da man så risikerer at springe over de tre interessante døre. Med den strategi fremgår antallet af nødvendige nøgler for de første 10 baner af dette skema:
Banenummer Antal døre Antal nødvendige nøgler 1 5 3 2 6 4 3 7 4 4 8 4 5 9 5 6 10 5 7 11 5 8 12 6 9 13 6 10 14 6 Eleverne kan i deres præsentation fx tegne de enkelte baner og forklare, hvordan de har undersøgt de enkelte baner.