6 ARMEREDE BJÆLKER 1

BETONELEMENTER, SEP. 009 6 ARMEREDE BJÆLKER 6 ARMEREDE BJÆLKER 1 6.1 Brudgrænetiltande 3 6.1.1 Bøjning 3 6.1.1.1 Tværnitanalye generel metode 3 6.1.1. Kanttøjning 5 6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering 5 6.1.1.4 Minimum- og makimumarmering 8 6.1. Forkydning 9 6.1..1 Diagonaltrykmetoden 10 6.1.. Minimumarmering 15 6.1..3 Dimenioneringforløb 15 6.1.3 Vridning 17 6.1.3.1 Kombineret vridning og forkydning 19 6.1.4 Beregning af forankringkraft 0 6.1.4.1 Forankring ved ren forkydning 0 6.1.4. Forankring ved ren vridning 1 6.1.4.3 Forankring ved kombineret forkydning og vridning 6.1.5 Ekempel Bjælkeberegning i brudgrænetiltanden 3 6.1.5.1 Beregningforudætninger 3 6.1.5. Bøjning 3 6.1.5.3 Forkydning 5 6.1.5.4 Vridning 8 6.1.5.5 Kombineret vridning og forkydning 30 6.1.5.6 Forankringkraft 31 6. Anvendelegrænetiltande 3 6..1 Udbøjning 3 6..1.1 Krybning 3 6..1. Svind 3 6..1.3 Tenion tiffening 33 6..1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværnit 35 6..1.5 Udbøjning for urevnet tværnit 36 6.. Revnevidder 38 6..3 Ekempel Bjælkeberegning i anvendelegrænetiltanden 39 6..3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværnit 41 6..3. Udbøjning for urevnet tværnit 4 6..3.3 Udbøjning for tværnit mellem fuldt revnet og urevnet 4 6.1

BETONELEMENTER, SEP. 009 6..3.4 Revnevidder 44 6.

BETONELEMENTER, SEP. 009 6.1 Brudgrænetiltande I dette afnit bekrive beregning af lapt armerede bjælker i det regningmæige brudtadie. Afnittet omhandler dimenionering af bjælker udat for bøjning, forkydning og vridning. Deuden angive en beregningmetode til betemmele af den forankringkraft, om kal anvende ved eftervining af armeringen forankring ved vederlaget. 6.1.1 Bøjning I forbindele med tyrkeeftervining af lapt armerede betonbjælker anvende den generelle metode for tværnitanalye i EC. Den generelle metode baerer ig på en ikke-lineær arbejdkurve af betonen og en lineær-elatik ideal-platik arbejdkurve af armeringen. 6.1.1.1 Tværnitanalye generel metode Tværnittet ligevægtbetingeler i brudgrænetiltanden optille om bekrevet i afnit.1.1. Her blev betonen trykbidrag til ligevægtligningerne fundet. I dette afnit finde armeringbidraget og ligevægtligningerne for en bjælke optille og løe. N a e 0 N y h N at M Rd N at1 1 b e Figur 6-1: Definitioner, om anvende ved tværnitanalye Tværnittet, der benytte, er armeret med et lag tryktænger med et areal A og to lag træktænger med arealerne A t1 og A t og med den geometrike plaering givet ved, 1 og. For en given værdi af den variable trykzonehøjde og betonen tryktøjning i tværnitkanten e 0, kan de geometrike betingeler for armeringtøjningerne i tryklaget e og i træklagene e t1 og e t krive om: 6.3

BETONELEMENTER, SEP. 009 e e e - = e0 h--1 = e h-- = e t1 0 t 0 Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved: Trykarmeringen N a = min - e 0 AE A f yd Trækarmeringen N at1 = min h--1 e 0At1E A f t1 yd N at = min h-- e A A f t 0 t yd E Hvor f yd er armeringen regningmæige flydepænding. Det er nu muligt at optille ligevægtligningerne, om vil betemme tværnittet bæreevne. Projektionligningen: 0 = - a + Nat1 + Nat N - N Momentligningen om tværnittet nullinje: ( ) ( ) ( ) M = y' N + - N + h-- N + h-- N Rd a 1 at1 at Hvor y er aftanden fra nullinjen til betontrykpændingen reultant, om betemme i afnit.1.1. M Rd er tværnittet momentkapaitet. Her give en kort opummering af iterationproeen: 1. Ført vælge en værdi for kanttøjningen e 0.. Herefter betemme ud fra projektionligningen. 3. Tværnittet amlede momentkapaitet M Rd få af momentligningen om tværnittet nullinje. 6.4

BETONELEMENTER, SEP. 009 4. En ny værdi af kanttøjningen vælge og det underøge om reultatet for M Rd er guntigere. 6.1.1. Kanttøjning I tedet for at udføre iterationen om bekrevet i foregående afnit, har det vit ig rimeligt at antage, at kanttøjningen er lig med betonen brudtøjning, dv. e 0 = e u. Figur 6- vier kurver for arealet under pændingblokken, N, og plaering af trykreultanten, N. De fuldt optrukne kurver er betemt ud fra antagelen om at kanttøjningen er lig brudtøjningen. For de tiplede kurver er kanttøjningen blevet optimeret, å tværnittet momentkapaitet bliver å tort om muligt. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,74 ' N '' N 0,1 0,0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 f k [MPa] Figur 6-: N' og N'' optegnet for e 0 = e u og for optimeret e 0 Forkellen på kurverne med kanttøjning at lig brudtøjningen og kurverne med optimeret kanttøjning e at være meget lille, hvorfor det ved praktik dimenionering er rimeligt at antage e 0 = e u. Hermed kan iterationen af kanttøjningen pringe over og nullinjen beliggenhed,, betemme direkte af projektionligningen og momentkapaiteten, M Rd, af momentligningen. 6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering Trykarmering i en bjælke har normalt meget lille betydning for brudmomentet og det er derfor ofte rimeligt at e bort fra den i brudgrænetiltanden. Derimod har trykarmeringen langt tørre betydning ved beregninger i anvendelegrænetiltanden. For en bjælke uden trykarmering kan der optille en impel formel for momentkapaiteten på baggrund af tværnittet armeringgrad, F. Armeringgraden er givet ved: 6.5

BETONELEMENTER, SEP. 009 F= Af bdf yd d Hvor d er aftanden fra trækarmeringen til betonkanten. e 0 d h N y M Rd N at b e Figur 6-3: Definitioner, om anvende i tværnitanalye Betonen trykreultant N, arealet under pændingblokken, N, og plaering af trykreultanten, N finde om bekrevet i afnit.1.1.1. Nullinjen plaering ligger indenfor tværnittet, dv. h, hvilket giver: 1 ( ( )) 0 N = bk fd 1+ B + B+ ln 1-B 3 e 1 Ł B N N ' = bf N '' = d yn ' e b fd A- B ł Projektionligningen tille op og trykzonen udbredele betemme: Fd 0= Nat - N 0 =Fbdfd - bfd N ' = N ' Reultanten plaering målt fra nullinien få jævnfør afnit.1.1.1: N '' y' = N ' Den indre momentarm er givet ved følgende, idet ammenhængen Fd N ' = udnytte: 6.6

BETONELEMENTER, SEP. 009 z '' N N - N = h - - ( - y' ) = d - 1 - = d 1 - F @ d 55 ' ' Ł N ł Ł ( N ) ł ' '' ( 1-0, F) Værdien N ' - N ' ( N ) '' = 0,55 er valgt om en konervativ betragtning på baggrund af en antagele om, at den kanttøjning, der giver den tørte momentbæreevne, er brudtøjningen e u. Værdien e at være rimelig ud fra Figur 6-4, hvor N ' - N ' ( N ) '' er optegnet for et bredt pektrum af betontyrker. Den kraftigt optrukne linje er udregnet for en kanttøjning lig brudtøjningen. Den tiplede linje angiver de tilvarende værdier for et tværnit, hvor kanttøjningen er optimeret. 0,60 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 ' N - N ' ( N ) '' 0,5 0,51 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 f k [MPa] Figur 6-4: N ' - N '' ( N ' ) optegnet for e 0 = e u og for optimeret e 0 Momentligevægten opkrive for moment om betonen trykreultant. Hermed få kun et bidrag fra trækarmeringen og momentkapaiteten kan betemme direkte: ( 1 0,55 ) M = z N =F - F bd f for e t e y Rd at d 6.7

BETONELEMENTER, SEP. 009 Oventående udtryk gælder kun, når der er flydning i armeringen. Dette kontrollere ved at underøge om tværnittet armeringgrad er mindre eller lig den balanerede armeringgrad. Den balanerede armeringgrad, F bal, er et udtryk for den armeringgrad, der netop giver flydning i armeringen. F F bal Sammenhængen mellem tøjning og armeringgrad kan krive: ' ' d - d dn N et = eu = eu - 1 = eu - 1 = eu -1 Ł ł Ł Fd ł Ł F ł Herved få den balanerede armeringgrad ved at ertatte armeringtøjningen, e t, med armeringen flydetøjning, e y : ' N F bal = e 1+ e y u På den ikre ide kan der regne med følgende værdier; e ogå Figur 6-: ' N 0,74 for f 50 MPa e 0,003 for f 600 MPa y k yk En armeringgrad på den ikre ide få ålede til: 0,74 F 0,003 1+ 0,0035 = 0,40 6.1.1.4 Minimum- og makimumarmering En armeret betonbjælke kal ifølge EC minimum have et armeringareal, A,min, for den langgående trækarmering givet ved: A,min = ma 0, 6 f f tm yk bd 0, 0013bd t t b t er trækzonen middelbredde, for rektangulære tværnit få b t = b. f tm er middelværdien for betonen enakede træktyrke. 6.8

BETONELEMENTER, SEP. 009 f tm ( 3) = 0,30 f for betoner med f k 50 MPa k Armeringen begræne i EC ogå med et makimum for træk- eller trykarmeringen tværnitareal, A,mak : Amak, = 0,04A Udtrykket gælder uden for områder med tød. 6.1. Forkydning En bjælke forkydningbæreevne verifiere i et kritik nit ved at ammenholde forkydningkraften V Ed med forkydningkapaiteten V Rd. Når en bjælke reaktioner er fatlagt, finde forkydningkraften i et nit ved at kræve ligevægt for en af de to bjælkedele, om det pågældende nit deler bjælken i. Ved betemmele af forkydningkraftkurven er det vigtigt at tage henyn til om laten er bunden eller fri, da forkydningkraften i vie nit øge ved at fjerne lat fra dele af bjælken. Dette gælder iær ved tore enkeltkræfter. Den farligte latoptilling kan finde på følgende måde: - Al lat opfatte på den ikre ide om fri lat. - Forkydningkraften i et givent nit betemme henholdvi umiddelbart til ventre og til højre for nittet, idet laten opfatte om fri for den betragtede bjælkedel. Den makimale værdi af forkydningkraften for de to beregninger benytte. For bjælken Figur 6-5 betemme den kritike forkydningkraft i nit A. A p Ed R A A R B l Figur 6-5: Betemmele af forkydningkraften for en bjælke Ventre bjælkedel betragte ved at opfatte laten på tykket om fri: 6.9

BETONELEMENTER, SEP. 009 1 V = R = p Ed, ventre A Ed ( l- ) l Højre bjælkedel betragte og nu opfatte laten på tykket l- om fri: 1 V = R = p Ed, højre B Ed l Forkydningkraften i nit A få nu om den tørte værdi af forkydningkraften henholdvi til ventre og til højre for nittet. V Ed = ma V Ed, ventre V Ed, højre Betemme forkydningkraftkurven på almindelig vi for udelukkende bunden lat, vil kurven for bjælken i Figur 6-5 danne en ret linje med et nulpunkt på midten. Ved at benytte oventående metode til betemmele af forkydningkraftkurven, få en forkydningkraftkurve på den ikre ide uden nulpunkter, om vit på Figur 6-6. 140 10 100 80 60 40 0 0 Forkydningkræfter i kn : : : : Figur 6-6: Forkydningkraftkurve for en bjælke 6.1..1 Diagonaltrykmetoden For armerede betonbjælker betemme forkydningkapaiteten ved diagonaltrykmetoden. Det forudætte i det følgende, at bjælken er forynet med lodret forkydningarmering, enten i form af lukkede bøjler eller om en kombination af bøjler og opbøjede tænger, ekempelvi i T-tværnit. Op til 50 % af forkydningarmering må udføre om opbøjede tænger. 6.10

BETONELEMENTER, SEP. 009 Figur 6-7: Forkydningarmering udført om lukkede bøjler og opbøjede tænger Ved betemmele af bjælken forkydningkapaitet i nit A betragte det vite rombeformede udnit af bjælken. Udnittet overfører de lodrette kræfter om vit på Figur 6-8, men vandret ligevægt og momentligevægt ikre via kræfter i bjælken trykzone N og i hovedarmeringen N at. Trykzone og trækzonen regne her konentreret i dere repektive tyngdepunkter. A N V z N at b w A Figur 6-8: Plaering af udnit i bjælkekrop 6.11

BETONELEMENTER, SEP. 009 A P Ed N N * N t N t = N t - a p Ed z N t N t N at N t q N t N at* a A z otq Figur 6-9: Udnit med diagonale tryklameller Selve bjælkekroppen tænke nu opdelt i en række diagonale tryklameller, der om vit på Figur 6-9 forbinder et knudepunkt mellem en bøjle og hovedarmeringen på den ene ide af nit A med et tilvarende knudepunkt mellem bøjle og trykzone på den anden ide af A. Forkydningkraften V Ed kal nu optage af de n bøjler over trækningen z otq for at paere nit A, hvor z er den indre momentarm. Som en tilnærmele kan z = 0,9d normalt benytte. d er aftanden fra trækarmeringen til den trykkede betonkant. V Ed = n N t Bemærk at n ikke nødvendigvi er et heltal. Med bøjleaftanden bliver n: n = z otq Den lodrette trækkraft i den enkelte bøjle finde til: bw Nt = VEd Nt = t z otq otq Hvor forkydningpændingen i tværnittet er indført ved følgende udtryk: VEd t = bz w 6.1

BETONELEMENTER, SEP. 009 b w betegner betonkroppen tykkele. For et rektangulært tværnit få b w = b. Det e, at jo tørre otq vælge, jo mindre bliver trækket i bøjlerne. Imidlertid kan otq ikke vælge vilkårlig tor, hvilket kan inde ved at betragte en enkelt tryklamel. b N b N t T q T + N b oq a Figur 6-10: Forhold i knudepunkt mellem bøjle og hovedarmering Den krå kraft i tryklamellen få ved at kræve lodret ligevægt af knudepunktet mellem bøjle og hovedarmering: Nt Nt - Nb' inq = 0 Nb' = inq Kraften N b optage om enakede betontrykpændinger i den krå tryklamel: Nb' Nt Nt = = = b' b b' b inq b in q w w w Idet tryklamellen bredde er b = inq. Herefter indætte det tidligere fundne udtryk for N t : bw t otq 1+ ot q = = t 1 b otq w 1+ ot q 6.13

BETONELEMENTER, SEP. 009 Hvor det ved indætningen er benyttet, at in 1 q =. 1 + ot q I henhold til EC kal trykpændingen i de krå tryklameller overholde følgende: n f v d Effektivitetfaktoren n v betemme for forkydning i henhold til det nationale annek: fk n v = 0,7-00 Derfor må otq ikke vælge tørre ende at følgende ulighed er opfyldt: 1+ ot q t n v otq fd Er dette overholdt finde den nødvendige forkydningarmering over trækningen z otq ud mod vederlaget fra det betragtede nit A ved at kræve Nt Awfywd A w f ywd er forkydningarmeringen tværnitareal i nittet, det vil ige for bøjlearmering nitte gennem begge bøjlen ben. er forkydningarmeringen regningmæige flydepænding Med det fundne udtryk for N t må bøjleaftanden ikke vælge tørre end A w f t ywd b otq w For lapt armerede bjælker med lodrette bøjler kal otq deuden holde indenfor følgende intervaller: 1 otq,5 1 otq,0 for afkortet hovedarmering (normalt ikke intereant for elementer) Forkydningbæreevnen kan kort opummere med følgende formler, hvor den førte gælder flydning i forkydningarmeringen og den anden varer til det krå betontrykbrud: 6.14

BETONELEMENTER, SEP. 009 Aw zf ywd otq VRd = min bz w n vfd 1 otq + otq 6.1.. Minimumarmering I det nationale annek til EC tille nogle minimumkrav til forkydningarmeringforholdet og aftanden mellem forkydningarmeringen. Forkydningarmeringforholdet er givet ved: A w r w = hvor w w,min bw 0,063 fk r r = f ywk f k f ywk er betonen karakteritike tryktyrke er forkydningarmeringen karakteritike flydepænding Den makimale aftand mellem forkydningarmering målt lang bjælkeaken må ikke overtige ma. Bøjlearmering:,ma = 0, 75d Opbøjede tænger:,ma = 0, 6d l b Deuden må tværaftanden mellem benene i en række af bøjler ikke overtige t,ma : t,ma = 0, 75d 600mm 6.1..3 Dimenioneringforløb Ved dimenionering efter diagonaltrykmetoden finde ført den makimale forkydningkraft i bjælken, hvilket normalt i bjælkeelementer vil være ude ved et vederlag. Bøjleaftanden kan vælge kontant lang hele bjælkeaken, varende til den makimale forkydningkraft. Dette er naturligvi på den ikre ide. For tørre bjælker kan det imidlertid være henigtmæigt at optimere bøjleaftanden lidt mere. Her vælge en bøjleaftand over trækningen l 1, betemt på baggrund af forkydningen V 1 i nit 1, og en anden bøjleaftand over l betemt på baggrund af forkydningen i nit. 6.15

BETONELEMENTER, SEP. 009 0 1 V = 0 z q 0 q 1 zotq 0 zotq 1 l 1 l Figur 6-11: bjælke med forkellige trykhældninger Dimenioneringen forløber på følgende vi. Diagonaltrykket vinkel ved vederlaget, otq 0, vælge å begge nedentående udtryk opfylde: 1+ ot q t n v fd og 1 otq,5 otq Aftanden mellem bøjlearmeringen over trækningen l 1 betemme af: A f zotq w ywd 0 1 =, 1 ma V1 Hvor A w er en bøjle tværnitareal, f ywd er bøjlen regningmæige flydepænding og V 1 er forkydningkraften i aftanden z otq fra vederlaget. På tilvarende vi finde bøjleaftanden over trækningen l. Som vit er det tilladt at regne med forkellig værdi af otq hen lang bjælkeaken. I å fald betemme otq 0 ved V 0, otq 1 ved V 1, ov. Større konentrerede later, P, kræver ektra forkydningarmering. Dette kan der tage henyn til ved ekempelvi at betemme bøjleaftanden over trækningen l varende til, at der i nit regne med en formel forkydningkraft af tørrelen V + P, hvor V er den reelle forkydningkraft i nit. Over trækningen l finde ålede bøjleaftanden: 6.16

BETONELEMENTER, SEP. 009 ' = A f zotq w V ywd + P 1, ma På trækningen l -l betemme bøjleaftanden varende til den reelle forkydningkraft V i nit. 0 1 P V = 0 z q 0 q 1 l l l l 1 l Figur 6-1: bjælke med tørre enkeltkræfter 6.1.3 Vridning En bjælke vridningbæreevne verifiere i et kritik nit ved at ammenholde vridningmomentet, T Ed, med vridningkapaiteten, T Rd. Vridning i en bjælke optår ekempelvi, hvi forkydningkraften eller reaktionen er plaeret eentrik i forhold til bjælkeaken. Betemmele af vridningbæreevnen er baeret på diagonaltrykmetoden og minder i høj grad om betemmele af forkydningbæreevnen. Vridningmomentet forudætte optaget om et lodret og et vandret kraftpar, V l og V v, om vit på Figur 6-13. Snitkræfterne antage at fordele ig varende til en jævn fordelt forkydningpænding t t over et tyndfliget tværnit rundt lang bjælken periferi. 6.17

BETONELEMENTER, SEP. 009 V v h V l V l T d = b V l + h V v V v b Figur 6-13: Indre kraftpar t ef h = h t ef b = b t ef Figur 6-14: Tyndfliget tværnit Den effektive vægtykkele af det tyndfligede tværnit ætte til: t ef = A u Hvor A er tværnittet totale areal, inkluive hulrum, og u er den udvendige omkred: A= bh ( ) u = b+ h t ef bør ikke regne mindre end to gange aftanden mellem betonen yderkant og længdearmeringen midtpunkt. For vridningmomentet T Ed få forkydningpændingen i en væg i tværnittet til: 6.18

BETONELEMENTER, SEP. 009 TEd t = At k ef Hvor Ak ( b tef )( h tef ) hulrum. = - - er arealet omluttet af midterlinjerne i det tyndfligede tværnit, inkluive Forkydningpændingen t t omkrive til en forkydningkraft i en væg i tværnittet, V Ed,i. V = t t z Ed, i t ef i Hvor z i er idelængden i den betragtede tværnitvæg. Efterviningen af vridningmomentet optagele er nu redueret til en opgave betående i at eftervie forkydningoptagelen i det tyndfligede tværnit vægge. Løningen af denne opgave er helt analog til efterviningen af bjælken forkydningbæreevne ved hjælp af diagonaltrykmetoden. Forkydningpændingen t t indætte i udtrykkende for forkydningkapaiteten og der iolere med henyn til T Rd : A A w w zf ot ot ywd q Ak fywd q VRd = min bz Rd min w n v f T = t d ef Akn t fd 1 1 otq + otq + otq otq Her er udnyttet at den indre momentarm z = z i og tværnitbredden b w = t ef. Endvidere er armeringarealet A w det amme om ved forkydningberegningen, det vil ige for en bøjle nitte gennem begge bøjlen ben. Effektivitetfaktoren for vridningpåvirkning er i det nationale annek til EC givet ved: fk n t = 0,7 0,7 - Ł 00 ł 6.1.3.1 Kombineret vridning og forkydning Når bjælken påvirke af kombineret forkydning og vridning, kal det eftervie, at nedentående udtryk er opfyldt. T T Ed Rd VEd + 1 V Rd 6.19

BETONELEMENTER, SEP. 009 Vridningmomentet udtrykke ved forkydningkraften T Ed = V Ed e. Ved indættele i oventående og iolering af V Ed få: TEd VEd TRd VRd + 1, 0... VEd T V V e+ T Rd Rd Rd Rd Hermed få en reduktion af tværnittet forkydningkapaitet om kan ammenligne direkte med forkydningkraftkurven. Eentriiteten e varierer gennem bjælken. På den ikre ide kan den makimalt forekommende eentriitet, e ma, anvende i alle bjælkenit. Alternativt lave en beregning for hvert kritik nit, med anvendele af den nøjagtige eentriitet i nittet. 6.1.4 Beregning af forankringkraft Forkydning- og vridningpåvirkning af en bjælke giver anledning til trækkræfter i længdearmeringen, e ekempelvi Figur 6-15. Ved dimenionering af længdearmeringen er det tiltrækkeligt at vælge en armeringmængde varende til det makimale moment. Ved vederlaget, hvor forkydningen er ofte er tørt, er det imidlertid vigtigt at ikre, at længdearmeringen er forankret for den trækkraft om forkydning og vridning er årag til. I dette afnit betemme forankringkraften for henholdvi forkydning og vridning, hvorefter de kombinere. 6.1.4.1 Forankring ved ren forkydning Forankringkraften for forkydningpåvirkning betemme ved impel momentligevægt. Der tage moment om trykreultanten i aftanden zotq fra vederlaget. Under forudætning af at der er tiltrækkeligt med bøjler og at de er jævnt fordelt, kan forkydningreultanten antage at angribe ½ z otq fra vederlaget. Det e at den lodrette kraft, der kal forankre for, er forkydningkraften ved vederlaget, V 0. 1 1 Vzotq = Vzotq + F z F = V otq Momentligevægt: 0 0 td td 0 6.0

BETONELEMENTER, SEP. 009 1/ z ot(q) V 0 F z F td V 0 z ot(q) Figur 6-15 Forankringkraft ved ren forkydning 6.1.4. Forankring ved ren vridning Ved vridningoptagele kan tværnittet opfatte om et tyndfliget tværnit med forkydningpændinger i de tynde vægge om vit på Figur 6-14. Forankringkraften for længdearmering ved vridning kan herefter finde for de enkelte tynde vægge om forankring ved forkydning, afnit 6.1.4.1. Dette giver en trækforankringkraft i hvert af tværnittet hjørner. Den længdearmering, der tilføre tværnittet af henyn til vridning bør fordele over idelængden, men for mindre tværnit kan den konentrere i hjørnerne. t t t ef t h F td,l F td,v t b F td,v F td,l Figur 6-16: Tværnit påvirket til vridning Forkydningpændingerne i en enkelt tynd væg, t, kan betemme jævnfør afnit 6.1.3 om: T Ed Ed t t = = At k ef h tef b tef tef T ( - )( - ) 6.1

BETONELEMENTER, SEP. 009 Forkydningkraften i hver af de fire vægkiver kan nu betemme af, = t t z, hvilket giver følgende forkydningkræfter i henholdvi de lodrette og vandrette vægge: V Ed i t ef i TEd TEd VL = ( t h- tef ) = t ( h-t )( b-t ) ( b-t ) ef ef ef ef TEd TEd VV = tef ( b- tef ) = t ( h-t )( b-t ) ( h-t ) ef ef ef ef Forankringkraften i de fire hjørner få af 1 Ftd V otq = : F F td, L td, V TEd = ot( q ) 4( b- t ) ef TEd = ot( q ) 4( h- t ) ef Forankringkraften i det ene hjørne kan være forkellig fra forankringkraften i det andet hjørne, afhængigt af tværnittet dimenioner. 6.1.4.3 Forankring ved kombineret forkydning og vridning Som udgangpunkt betemme den amlede forankringkraft for vridning og forkydning om ummen af de to bidrag. Forankringkraften i bunden af bjælken få ålede prinipielt til: F = F + F + F td, bund td td, L td, V Tilvarende få forankringkraften i toppen af bjælken prinipielt til: F = F + F td, top td, L td, V Da forankringkraften ikke nødvendigvi er en i hjørnerne bør kræfterne på den ikre ide betemme om vit nedenfor, ålede at forankringkraften kan fordele ligeligt mellem de to hjørner. ma { ; } { } F = F + F F td, bund td td, L td, V F = ma F ; F td, top td, L td, V 6.

BETONELEMENTER, SEP. 009 6.1.5 Ekempel Bjælkeberegning i brudgrænetiltanden I dette ekempel betragte en impelt undertøttet betonbjælke i brudgrænetiltanden. Bjælken bæreevne betemme med henyn til bøjning, forkydning, vridning og forankring. 6.1.5.1 Beregningforudætninger Tværnit 40 mm 300 mm Karakteritik betontryktyrke f k = 35 MPa Regningmæig betontryktyrke f d = 35 MPa/1,4 = 5 MPa Armering 4 tk. Y16, én i hvert hjørne. A = 40 mm A t = 40 mm = 40 mm Karakteritik flydepænding for længdearmeringen f yk = 500 MPa Regningmæig flydepænding for længdearmeringen f yd = 500 MPa/1, = 417 MPa Forkydningarmering bøjler Y6. A w = 8 mm Karakteritik flydepænding for bøjlearmeringen Regningmæig flydepænding for bøjlearmeringen f yk = 410 MPa f yd = 410 MPa/1, = 34 MPa Bjælkelængde L = 5000 mm tk. Y16 40 mm Bjl. Y6 pr. 150/00 Q d = 35 kn p d = 14,0 kn/m 300 mm tk. Y16 a=0,7 m L=5,0 m Figur 6-17: Bjælketværnit og tatik ytem 6.1.5. Bøjning Det makimale regningmæige moment betemme ud fra latoptillingen Figur 6-17. Momentkurven er givet ved: 6.3

BETONELEMENTER, SEP. 009 1 L- 1 1 Qa d M ( ) = pd( L- ) + Qda =- pd + pdl- + Qda L Ł L ł Punktet for momentmakimum finde: 1 Qa d pl 1 d - Qa d M '( ) = 0 - p 0 L d+ pdl- = = L p 1 kn 35kN 0,7m 14 5,0m - m 5,0m = =,15m kn 14 m d Det makimale moment finde ved indættele af i udtrykket for momentkurven: ( 5, 0m-,15m) 1 kn MEd = 14,15 m ( 5,0 m-,15 m) + 35 kn 0,7 m = 56,9 knm m 5,0m Der e bort fra trykarmeringen. Hermed kan de imple formler fra afnit 6.1.1.3 benytte. Armeringgrad: Af yd 40mm 417MPa F= = = 0, 0588 bdf 300mm 380mm 5MPa d F 0,4 det vil ige, at armeringgraden er mindre end den balanerede armeringgrad. Der er flydning i armeringen og nedentående udtryk for momentkapaiteten kan anvende. Momentkapaitet: M Rd ( 1 0,55 ) bd fd ( ) ( ) M = 0, 0588 1-0,55 0, 0588 300mm 380mm 5MPa= 61, 6kNm Rd =F - F Momentbæreevnen e at være tiltrækkelig: M = 56,9kNm M = 61,6kNm Ed Rd Den indre momentarm betemme til brug for forkydningberegningen: ( ) ( ) z = d 1-0,55 F = 380mm 1-0,55 0,0588 = 367,7mm 6.4

BETONELEMENTER, SEP. 009 6.1.5.3 Forkydning Tværnittet foryne med bøjlearmering betemt efter diagonaltrykmetoden. Diagonaltrykket vinkel ved vederlaget vælge til otq = 1,5, hvilket er indenfor intervallet 1 otq,5. Vinklen holde kontant i hele bjælken længde. Bjælken inddele i længder af zotq = 367, 7mm 1,5 = 0,55m. Minimumarmeringgrad og den makimale bøjleaftand finde: 0,063 fk A f w ywk rw rw,min = f b 0,063 f ywk w k 8mm 410MPa = 05mm 300mm 0, 063 35MPa l,ma = 0,75d = 0,75 380mm= 85mm Det vil ige at bøjlerne plaere pr. minimum 00 mm. Herudover tjekke, om tværnittet er å bredt, at der behøve mere end én bøjle pr. nit: t,ma = 0, 75d = 0, 75 380mm= 85mm 600mm Aftanden mellem bøjlebenene få til: 300mm - 40mm - 6mm = 08mm = 85mm, t,ma hvilket er ok. Der behøve kun én bøjle pr. nit. Forkydningkraften betemme for hvert område. Prinippet fra afnit 6.1. benytte. 6.5

BETONELEMENTER, SEP. 009 l 1 l l l Q d = 35 kn p d = 14,0 kn/m V 1 V V 3 a=0,7 m L=5,0 m Figur 6-18: Betemmele af forkydningkræfter V 1 (=0,55m) V 1, ventre ( L-) Q ( L-a) 1 = pd + L ( 5, 0m-0,55m) 35kN( 5, 0m-0, 7m) 1 kn = 14 + = 7,7 kn + 30,1 kn = 57,8 kn m 5,0m 5,0m ( 0,55m) 1 1 kn d 14 0, 4 V1, højre = p = = kn L m 5,0m d L V1, ventre 57,8kN V = 1 ma ma 57,8kN V = 0, 4kN = 1, højre Aftand mellem armeringbøjler: Aw fywd zot 0 8mm 34MPa 367,7mm 1,5 1 3 183 V1 57,8 10 N q = = = mm, 1 ma = 00mm Bøjleaftanden vælge til 150 mm. 6.6

BETONELEMENTER, SEP. 009 V (=1,10m) ( L-) kn ( 5, 0m-1,10 m) 1 1 V, ventre = pd = 14 = 1,3 kn L m 5,0m ( 1,1m) 1 Qa d 1 35 0,7 d kn kn m V, højre = p + = 14 + = 1, 7kN + 4,9kN = 6, 6kN L L m 5,0m 5,0m V = V, ventre 1,3kN ma ma 1,3kN V = 6,6kN =, højre Punktlaten Q d er beliggende på trækningen l. Derfor kal forkydningarmeringen øge på trækningen l. Her regne med forkydningkraften V + Q d. Aftand mellem armeringbøjler på trækningen l : Aw fywd zotq1 8mm 34MPa 367,7mm 1,5 3 V 1,3 10 N = = = 496mm, ma = 00mm Bøjleaftanden er givet ved ma og ætte til 00 mm. Aftand mellem armeringbøjler på trækningen l : Aw fywd zotq1 8mm 34MPa 367,7mm 1,5 3 3 V + Qd 1,3 10 N + 35 10 N ' = = = 188mm ' = 00mm, ma Bøjleaftanden vælge til 150 mm. V 3 (=4,45m) I den modatte ende af bjælken betemme forkydningkraften V 3 beliggende 0,55 m fra undertøtningen. Snit 3 er det nit, der giver den tørte forkydningkraft for den reterende del af bjælken. ( L-) kn ( 5,0m-4, 45m) 1 1 V3, ventre = pd = 14 = 0,4 kn L m 5,0m ( 4,45m) 1 Qa d 1 35 0,7 d kn kn m V3, højre = p + = 14 + = 7, 7kN + 4,9kN = 3, 6kN L L m 5,0m 5,0m V3, ventre 0, 4kN V = 3 ma ma 3, 6kN V = 3,6kN = 3, højre 6.7

BETONELEMENTER, SEP. 009 Aftand mellem armeringbøjler: Aw fywd zotq 8mm 34MPa 367,7mm 1,5 3 3 V3 3,6 10 N = = = 34mm, 3 ma = 00mm Bøjleaftanden er givet ved ma og ætte til 00 mm, og den reterende del af bjælken forkydningarmere ligelede med minimumarmering. Til lut underøge om tryktyrken i betonen overkride for den valgte vinkel q: Størte forkydningpænding: Effektivitetfaktor for forkydning: 3 VEd 57,8 10 N t = = = 0,5MPa bz 300mm367, 7mm w fk 35 n v = 0, 7 - = 0, 7 - = 0,55 00 00 Følgende udtryk ligning kal opfylde: 1 + ot q 1 1,5 t + n v d 0,5 = 1,1 0,55 5 = 13,1 f MPa MPa MPa MPa otq 1,5 Der er ålede ikke problemer med betontrykket i forhold til diagonaltrykket vinkel. Forkydningkapaiteten udregne for henholdvi bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 00 mm og for trykbrud i beton. Die kapaiteter er praktike i forhold til den følgende underøgele af kombineret vridning og forkydning. Bøjler pr. 150 mm: Bøjler pr. 00 mm: Aw 8mm VRd = z fywd otq = 150mm 367,7mm 34MPa 1,5= 70,4kN Aw 8mm VRd = z fywd otq = 00mm 367,7mm 34MPa 1,5= 5,8kN Trykbrud i beton: V Rd bz wn v fd 300mm 367, 7mm 0,55 5MPa = = = 668, kn 1 1 otq + 1,5 + otq 1,5 6.1.5.4 Vridning De påatte later antage nu at angribe bjælken med en eentriitet, hvilket giver en vridningpåvirkning. Eentriiteten for den jævnt fordelte lat p d ætte til 0 mm, men den for enkeltkraften Q d ætte lig 50 mm. Vridningmomentet betemme i de amme tre nit, om vit i ekemplet afnit 6.8

BETONELEMENTER, SEP. 009 6.1.5.3. Vridningmomentet er givet ved TEd = VEd e, hvilket giver følgende værdier for vridningmoment og amlet eentriitet i de tre nit vit på Figur 6-19: T = V e + V e = 7, 7kN 0mm+ 30,1kN 50mm=,1kNm 1 1, p p 1, Q Q,1kNm e1 = = 36mm 7, 7kN + 30,1kN T = V e + V e = 1,3kN 0mm= 0, 4kNm e, p p, Q Q = 0mm T = V e + V e = 7, 7kN 0mm+ 4,9kN 50mm= 0,8kNm e 3 3, p p 3, Q Q 3 0,8kNm = = 5mm 7, 7kN + 4,9kN Det kritike nit e at være nit 1, både med henyn til vridningmoment og eentriitet. I den videre beregning benytte følgende makimale vridningmoment og eentriitet: TEd e ma =,1kNm = 36mm De geometrike parametre betemme. Tværnitareal: A= bh= 300mm 40mm= 16000mm u = b+ h = 300mm+ 40mm = 1440mm Udvendig omkred: ( ) ( ) Effektiv tykkele: Tværnitareal: t ef = A 16000mm 87,5mm u = 1440mm = Hvilket er tørre end = 40mm= 80mm ( )( ) ( 300 87,5 )( 40 87,5 ) 70656 A = b-t h- t = mm- mm mm- mm = mm k ef ef Effektivitetfaktoren for vridning er fk 35 n t = 0,7 0,7 - = 0,7 0,7 - = 0,368 Ł 00 ł Ł 00 ł Vridningkapaiteten for henholdvi bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 00 mm og for trykbrud i beton få nu af: 6.9

BETONELEMENTER, SEP. 009 Bøjler pr. 150 mm: Aw 8mm TRd = Ak fywd otq = 70656mm 34MPa 1,5= 13,5kNm 150mm Bøjler pr. 00 mm: Aw 8mm TRd = Ak fywd otq = 70656mm 34MPa 1,5= 10,1kNm 00mm Trykbrud i beton: T Rd tef Akn t fd 87,5mm 70656mm 0,3685MPa = = = 5,5kNm 1 1 otq + 1,5 + otq 1,5 Det e at vridningkapaiteten et ioleret er fuldt tiltrækkelig, da T Ed =,1 knm T Rd for begge bøjleameringgrader. 6.1.5.5 Kombineret vridning og forkydning Vridning og forkydningkapaiteterne kal kombinere, hvilket giver en redueret forkydningkapaitet, der kan ammenligne direkte med V Ed i det pågældende nit. På den ikre ide benytte e = 36 mm for alle nit. Bøjler pr. 150: V Ed TRd VRd 13,5kNm 70, 4kN = = 59,3kN V e+ T 70,4kN 0,036m+ 13,5kNm Rd Rd På trækningen l 1 få V 1 = 57,8 kn 59,3 kn OK! På trækningen l få V + Q d = 1,3 kn + 35 kn = 56,3 kn 59,3 kn OK! Bøjler pr. 00: V Ed TRd VRd 10,1kNm 5,8kN = = 44,4kN V e+ T 5,8kN 0,036m+ 10,1kNm Rd Rd På trækningen l få V = 1,3 kn 44,4 kn På trækningen l 3 få V 3 = 3,6 kn 44,4 kn OK! OK! Den nødvendige forkydningarmering for en kombineret påvirkning med forkydning og vridning er vit på Figur 6-19. 6.30

BETONELEMENTER, SEP. 009 l 1 l l l Q d = 35 kn / e= 50 mm p d = 14,0 kn/m / e = 0 mm V 1 V V 3 0,7 m 4,3 m Bjl. Y6 pr. 150 mm Bjl. Y6 pr. 00 mm Figur 6-19: Nødvendig bøjlearmering for kombineret forkydning og vridning 6.1.5.6 Forankringkraft Længdearmeringen kal forankre for vridning og forkydning. Forankringen kal ke for den makimale forkydningkraft, hvilket i dette tilfælde er V 0 ved vederlaget nærmet enkeltkraften. V 0 betemme: ( - ) kn 35 ( 5,0-0,7 ) 1 Qd L a 1 kn m m V0 = pd L+ = 14 5,0 m+ = 65,1 kn L m 5,0m Forankring ved ren forkydning: td 0 Forankring ved ren vridning: 1 1 F = V otq = 65,1kN 1,5 = 48,8kN F F td, L td, V TEd,1kNm = ot( q ) = 1,5 = 3, 7kN 4( b-t ) 4 300mm-87,5mm ef ( ) TEd,1kNm = ot( q ) = 1,5 =, 4kN 4( h-t ) 4 40mm-87,5mm ef ( ) Forankring ved kombination af forkydning og vridning: { } { } F = F + ma F ; F = 48,8kN + 3, 7kN = 56, kn td, bund td td, L td, V F = ma F ; F = 3,7kN = 7, 4kN td, top td, L td, V 6.31

BETONELEMENTER, SEP. 009 6. Anvendelegrænetiltande I anvendelegrænetiltanden er der prinipielt to væentlige emner, nemlig udbøjning og revnevidder. Der tille normalt krav til udbøjningerne makimale tørrele, del af ætetike årager, men ogå rent funktionelt, hvor kontruktionen bygge ammen med andre og mere følomme bygningdele, ekempelvi en glafaade. Revnevidder har betydning for betonen holdbarhed og modtandevne mod vandindtrængning. 6..1 Udbøjning Der er mange faktorer, der piller ind når der lave en tværnitanalye i anvendelegrænetiltanden. Størrelen på udbøjninger er betinget af belatningen tørrele amt krybning og vind. Krybning afhænger af laten varighed, men vind relaterer ig til betonen alder. Begge dele er detaljeret bekrevet i afnit.1.3 amt i afnit 6..1.1 og 6..1.. Beregningerne vankeliggøre yderligere, fordi betonen tivhed varierer afhængig af, hvor vidt tværnittet er revnet eller urevnet. I anvendelegrænetiltanden regne med en lineærelatik arbejdlinje for betonen, hvor træktyrken tage med i regning. Det urevnede tværnit beidder ålede en trækkapaitet, men der ikke kan overføre træk gennem et fuldt revnet tværnit. I praki befinder mange tværnit ig i grænetiltanden mellem urevnet og fuldt revnet tværnit, hvor trækkapaiteten er begrænet men dog til tede. Tenion tiffening er et udtryk for denne effekt i grænetiltanden. Ved analye af udbøjninger er det oftet nødvendigt at lave en beregning både for det urevnede og det revnede tværnit, hvorefter effekten fra tenion tiffening kan vurdere og den endelige udbøjning betemme. Dette vie i afnit 6..1.3. 6..1.1 Krybning Ved langvarig belatning kryber betonen, det vil ige at betonen tøjning øge men pændingen forbliver kontant. Dette har betydning for betonen tivhed og dermed tørrelen af udbøjninger. Den lettete måde at tage højde for krybning i anvendeletadiet er ved at benytte faktoren a, om angiver forholdet mellem armeringen og betonen elatiitetmodul. Grunden til at dette er den met rationelle måde er, at belatninger ofte betår af en kombination af korttid- og langtidlate, hvor kun langtidlaten giver anledning til krybning. Førte kridt i en udbøjninganalye er ålede at kønne hvor tor en andel af belatningen, der er henholdvi langtid- og korttidlat og dermed betemme a. Dette er nærmere bekrevet i afnit.1.. 6..1. Svind Svindet bidrag til udbøjningen kan beregne med følgende formel: 1 S u = e a L a 10 IT 6.3

BETONELEMENTER, SEP. 009 u er udbøjningtillægget fra vind e er vindtøjningen, der betemme iht. afnit.1.3 S a I T a L er det tatike moment af armeringen om tværnittet tyngdepunktake er tværnittet tranformerede tværnit er forholdet mellem armeringen elatiitetmodul og betonen elatiitetmodul, om bekrevet i afnit 6..1.1 er øjlelængden For ymmetrike urevnede tværnit e vindbidraget at falde bort, da det tatike moment af armeringen om tyngdepunktet er nul. 6..1.3 Tenion tiffening Kontruktionelementer udbøjning afhænger af om tværnittet er revnet eller urevnet. I overgangtiltanden mellem det urevnede og det fuldt revnede tværnit er der en redueret trækkapaitet omkring de begyndende revner. Effekten af dette kalde tenion tiffening. Grafen Figur 6-0 vier en udbøjningberegning del for et urevnet og et revnet tværnit amt overgangen mellem de to kurver givet ved en beregning, hvor tenion tiffening medregne. 300 M 0Ed [knm] 50 00 150 100 Beregnet udbøjning inkl. tenion tiffening Udbøjning ved urevnet tværnit Udbøjning ved revnet tværnit 50 Bæreevnen iht EC 0 u [mm] 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 Figur 6-0: Udbøjning for revnet og urevnet tværnit, amt tenion tiffening Udbøjningen i betemme ud fra følgende formel: revnet ( 1 z ) u = z u + - u urevnet 6.33

BETONELEMENTER, SEP. 009 z er fordelingkoeffiient, der tager henyn til tenion tiffening og den betemme ved r z = 1 - b Ł ł For urevnet tværnit er z =0. På den ikre ide kan e bort fra tenion tiffening (i.e. z =1), og u urevnet er i å fald ikke nødvendig at beregne. b er en koeffiient der tager henyn til latvarigheden. For vægge og øjler, hvor en tor andel af laten om regel er egenvægt kal b ætte til 0,5. For en enkelt forekommende korttidlat ætte b = 1. er pændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagele om at tværnittet er fuldt revnet. r er pændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagele af revnet tværnit, men påvirket af den lat, der netop forårager den førte revne. r betemme ud fra det moment, der fremkalder pændingen f tm i den nederte betonfiber, når tværnittet er påvirket af den normalkraft, der er antaget i anvendeletadiet. u revnet er udbøjningen betemt ud fra en antagele om at tværnittet er fuldt revnet, dv. træktyrken af betonen ikke længere har nogen betydning. u urevnet er udbøjningen betemt ud fra en antagele om at tværnittet er urevnet. For urevnet tværnit ætte z =0, hvilket betyder at der ikke er en kontinuert overgang mellem revnet og urevnet tværnit for b = 0,5. Det er vigtigt at gøre ig klart, at bidraget til udbøjningen fra tenion tiffening gør, at de beregnede udbøjninger og tværnitpændinger ikke giver en tatik ækvivalent løning. For aymmetrik tværnit kal der om nævnt i afnit 6..1. tillægge et udbøjningbidrag fra vind. Ogå for dette udbøjningbidrag anvende formlen for tenion tiffening, nu på formen: u 1 S = e a z + - Ł ( 1 z ) arevnet, aurevnet, 10 ITrevnet, ITurevnet, S L ł Betemmele af r Det moment, der netop revner tværnittet, M r, få ved at ætte betonpændingen i den trækpåvirkede betonkant lig træktyrken f tm. Momentet betemme ved hjælp af Navier, på baggrund af antagele om urevnet tværnit: 6.34

BETONELEMENTER, SEP. 009 M h f = + y M = f r tm T r tm ITurevnet, Ł ł I Turevnet, h + y Ł T ł f tm er middelværdien for betonen enakede træktyrke. f tm ( 3) = 0,30 f for betoner med f k 50 MPa k I T,urevnet er det tranformerede inertimoment for urevnet tværnit, om betemme i afnit 6..1.5. y T er aftanden fra tværnittet enterlinje til tyngdepunktaken, ligelede betemt i afnit 6..1.5. Bemærk fortegnregningen. r er pændingen i trækarmeringen betemt på baggrund af antagele om revnet tværnit. Momentet M r påføre tværnittet og der udføre en tværnitanalye om bekrevet i afnit 6..1.4. Hvi tværnittet har mere end et trækarmeringlag, kan pændingen r betemme om en vægtet værdi af trækarmeringpændingerne. 6..1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværnit Nedenfor optille den tatike ækvivalen for et betontværnit med trykarmering amt to lag trækarmering påvirket af moment. I anvendelegrænetiltanden benytte en lineær-elatik arbejdlinje, hvor forholdet mellem pændingerne i beton og armering er givet ud fra tværnittet geometri amt tørrelen a. e 0 (1+j ef ) /a h t /a t1 /a M Ed 1 b e Figur 6-1: Definitioner, om anvende ved tværnitanalye Betonen kantpænding benævne. De geometrike betingeler giver hermed armeringpændingerne: 6.35

BETONELEMENTER, SEP. 009 t1 t - = a h--1 = a h-- = a Ligevægtligningerne kan nu optille. Projektionligningen: 1 0 = b + A - A - A t1 t1 t t Momentligningen om tværnittet enterlinje: 1 MEd = b h - + A h - + t1a h h t1-1 + t At - Ł 3ł Ł ł Ł ł Ł ł Nullinjen beliggenhed finde ved at indætte de geometrike betingeler i projektionligningen. Dette giver en.grad-ligning, der kan løe for. Tværnitpændingerne kan betemme på følgende måde: Betonkantpændingen finde ved indættele af i momentligningen og armeringpændingerne få til lut af de geometrike betingeler ved at indætte. Bjælken udbøjningkurve antage at være parabelformet. Udbøjningen kan tilnærmelevi krive: 1 u = k L 10 Hvor k er bjælken krumning. Udtrykke krumningen ved hjælp af betonkantpændingen få: u revnet 1 = 10 a E L 6..1.5 Udbøjning for urevnet tværnit Når betontværnittet er urevnet er pænding og udbøjningbetemmelen end del lettere end for revnet tværnit. Beregningerne for urevnet tværnit baere på tranformeret tværnit, hvor areal, tatik moment og inertimoment betemme. Armering- og betonpændinger kan herefter finde ved 6.36

BETONELEMENTER, SEP. 009 hjælp af Navier formel. I denne fremtilling påvirke tværnittet af både et bøjende moment og en normalkraft. Den anvendte metodik gælder derfor både for bjælker og øjler. y e 0 (1+j ef ) /a tyngdepunktake ½ h y T N Ed M Ed t/a 1 t1/a Figur 6-: Definitioner, om anvende ved tværnitanalye For et rektangulært tværnit med et lag trykarmering og to lag trækarmering kan tværnitkontanterne optille på følgende vi. A = A + a A = A + a( A + A + A ) Tranformeret areal: T C S C t1 t Tranformeret tatik moment om enterlinjen: h h h ST = SC + ass = 0 + a Ø ŒA - - At1-1 - At - ø œ º Ł ł Ł ł Ł łß y T angiver plaering af tværnittet tyngdepunktake i forhold til tværnittet enterlinje: y T = S A T T Bemærk at y T her regne poitiv, når den ligger over enterlinjen. Dette betyder, at y T ofte vil være negativ. Tranformeret inertimoment om tyngdepunktaken: 1 3 h h h T = C + a S = + T + a - T - + t1 + T - 1 + t + T - I I I bh bhy A y A y A y 1 Ł Ł ł Ł ł Ł ł ł 6.37

BETONELEMENTER, SEP. 009 Udbøjningen for en given momentpåvirkning M Ed er nu tilnærmelevi givet ved: u urevnet = 1 10 M Ed ES I T a L Hvor bjælken krumning er udtrykt ved det påførte moment og det tranformerede inertimoment: k = M Ed E I T a Armeringpændinger og betonkantpændingen for urevnet tværnit finde af Navier formel: NEd MEd h = + - yt A I Ł ł T T NEd MEd h = a + - y - Ł AT IT Ł łł T N M h = a - + + y - Ł łł Ed Ed t1 T 1 AT IT Ł N M h = a - + + y - Ł łł Ed Ed t T AT IT Ł N Ed er lig nul for bjælker uden normalkraft, men er om nævnt medtaget her af henyn til enere øjle/væg beregninger. 6.. Revnevidder Revnevidder betemme i henhold til EC. Revnevidderne betemme for langtidlat ud fra en antagele om, at tværnittet er fuldt revnet. Dette betyder, at de beregnede udbøjninger og revnevidder ikke varer til den amme pændingtiltand. Den makimale revnevidde er givet ved: w k = r, mak ( e -e ) m m r,mak e m er den makimale revneaftand. er middeltøjningen i armeringen under den relevante latkombination, inkluiv virkningen af tvangdeformationer og under henyntagen til virkningen fra tenion tiffening. 6.38

BETONELEMENTER, SEP. 009 e m er middeltøjningen i betonen mellem revnerne. Forkellen mellem e m og e m kan beregne om: e m ft, eff - kt ( 1+ aerp, eff ) r peff, - em = 0,6 E E f t,eff a e r p,eff er pændingen i trækarmeringen under antagele af revnet tværnit. er middelværdien af betonen effektive træktyrke på det tidpunkt, hvor revnerne tidligt kan forvente at optå. For betonelementer og andre betonkontruktioner hvor revnedannelen ført forvente efter 8 døgn få: f t,eff = f tm. er forholdet E /E m er armeringforholdet betemt om A A 3A A r peff, = = min ; ; A b,5 b h bh t t t t eff, ( - ) k t er en faktor, der afhænger af belatningen varighed. k t = 0,4 for langtidlat. r,mak er den makimale revneaftand om beregne af: = rmak, k3 f kk 1 k f 4 3, 4 f 0,17 f 1,3 h Ł - ł + r = Ł - ł + r - peff, peff, ( ) Her er koeffiienterne at til: k 1 = 0,8 for armering med tor vedhæftning k = 0,5 for bøjning k 3 = 3,4 anbefalet værdi k 4 = 0,45 anbefalet værdi f er armeringdiameteren for trækarmeringen 6..3 Ekempel Bjælkeberegning i anvendelegrænetiltanden Bjælken fra afnit 6.1.5 betragte i anvendelegrænetiltanden. Latoptillingen er den amme om ved brudgrænetiltanden, dog regne med følgende karakteritike later: p k k = 1,0kN m Q = 35kN 6.39

BETONELEMENTER, SEP. 009 Det makimale moment få af momentkurven: 1 L- 1 1 Qa k M ( ) = pk( L- ) + Qka =- pk + pkl- + Qka L Ł L ł Punktet for momentmakimum finde: 1 Qa k pl 1 k - Qa k M '( ) = 0 - p 0 L k+ pkl- = = L p 1 kn 35kN 0,7m 1 5,0m - m 5,0m = =,09m kn 1 m k Det makimale moment finde ved indættele af i udtrykket for momentkurven: ( 5,0m-,09m) 1 kn MEd = 1,09 m ( 5,0 m-,09 m) + 35 kn 0,7 m = 50,8 knm m 5,0m Som udgangpunkt benytte følgende elatiitetmodul for korttidpåvirkninger af betonen i anvendelegrænetiltanden: E K, = fk 35MPa 0, 7 51000 0, 7 51000 6031MPa f + 13 = 35MPa+ 13 = k Ved langtidpåvirkninger kal krybning medtage. Dette gøre ved at benytte faktoren a, der indirekte giver en reduktion af betonen elatiitetmodul. For beton med en karakteritik tryktyrke på 35 MPa forelå i afnit.1. følgende a-værdier: Langtidlat: a = 3,6 Korttidlat: a = 7, 7 L K I dette ekempel vurdere a. 75% af latvirkning at kylde langtidlat men de reterende 5% kylde korttidlat. Den effektive a-værdi betemme ved vægtning: a = 3,6 0,75 + 7,7 0,5 = 0 eff 6.40

BETONELEMENTER, SEP. 009 6..3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværnit De geometrike betingeler få til: - -40mm = a = 0 h-- 40mm--40mm 380mm- t = a = 0 = 0 Dette indætte i projektionligningen og betemme: 1 1 0= b + A - tat = 300mm -40 380mm- + 0 40mm -0 40mm 0= 150 + 16080-3376800 = 105,7mm Betonkantpændingen finde ved at tage moment om tværnittet enterlinje: 1 h h h MEd = b - + A - + t At - Ł 3ł Ł ł Ł ł 1 40mm 105,7mm 50,8kNm = 300mm 105,7mm - + Ł 3 ł 105,7mm - 40mm 40mm 0 40mm - 40mm + 105,7mm Ł ł 380mm -105,7mm 40mm 0 40mm -40mm 105,7mm Ł ł 50,8kNm = = 7,1MPa 6 3 7,167 10 mm Der er ikke brud i betonen da fd = 5 MPa Armeringpændingerne få af de geometrike betingeler: -40mm 105,7mm-40mm = 0 = 0 7,1MPa = 88MPa 105,7mm 380mm - 380mm -105,7mm t = 0 = 0 7,1MPa = 369MPa 105,7mm 6.41

BETONELEMENTER, SEP. 009 Der er ikke flydning i armeringen da 417 yd f = MPa. Hvi der havde været flydning i armeringen må nullinje og tværnitpændinger betemme forfra, hvor armeringpændingen ætte lig flydepændingen. Udbøjningen for revnet tværnit betemme: 1 1 7,1MPa ( ) urevnet = L = 5000mm = 16,8mm 5 10 E 10,0 10 MPa a 0 105,7mm 6..3. Udbøjning for urevnet tværnit For urevnet tværnit finde udbøjningen ved hjælp af tranformeret inertimoment. Tranformeret areal: A = A + a A = 300mm 40mm+ 0 40mm = 14080mm T C S Tværnittet er ymmetrik hvorfor tyngdepunktaken er ammenfaldende med tværnittet enterlinje. Tranformeret inertimoment om tyngdepunktaken: 1 3 h h T = C + a S = + a - + t - t I I I bh A A 1 Ł Ł ł Ł ł ł 3 mm 9 4 1 40 = ( 40mm) 300mm + 0 40mm - 40mm =,317 10 mm 1 Ł ł Udbøjningen for en given momentpåvirkning M Ed er nu for urevnet tværnit, tilnærmelevi givet ved: 1 M 1 50,8kNm ( ) 5000 5,9 Ed uurevnet = L = mm = mm 5 10 ES 10,0 10 MPa 9 4 IT,317 10 mm a 0 6..3.3 Udbøjning for tværnit mellem fuldt revnet og urevnet Tværnittet befinder ig et ted mellem fuldt revnet og urevnet. Den faktike udbøjning i denne tiltand finde ved at tage henyn til tenion tiffening. 6.4

BETONELEMENTER, SEP. 009 Det moment, der netop revner tværnittet og armeringpændingen r betemme jævnfør afnit 6..1.3. Træktyrken få til: ( 3) ( 3) f = 0,30 f = 0,30 35 = 3, MPa tm k Revnemoment udregne på baggrund af urevnet tværnit: 9 4 ITurevnet,,317 10 mm Mr = ftm = 3, MPa = 35,3kNm h 40mm + y' + 0mm Ł ł Ł ł Betonkantpændingen betemme på baggrund af revnet tværnit, hvor nullinjedybden er givet ved = 105,7 mm. Der ætte ind i momentligningen: 1 h h h Mr = b - + A - + tat - Ł 3ł Ł ł Ł ł 1 40mm 105,7mm 35,3kNm = 300mm 105,7mm - + Ł 3 ł 105,7mm - 40mm 40mm 0 40mm - 40mm + 105,7mm Ł ł 380mm -105,7mm 40mm 0 40mm -40mm 105,7mm Ł ł 35,3kNm = = 4,9MPa 6 3 7,177 10 mm Armeringpændingen finde ved de geometrike betingeler: r 380mm - 380mm -105,7mm = 0 = 0 4,9MPa = 54MPa 105,7mm Fordelingkoeffiienten, der tager henyn til tenion tiffening betemme af: r 54MPa z = 1- b = 1-0,65 = 0,704 Ł ł Ł369MPa ł Hvor b = 0,5 + 0,5 ( 1-0, 75) = 0, 65 varer til, at belatning vurdere at betå af 75 % langtidlat og 5 % korttidlat. Den faktike latbetingede udbøjning af bjælken kan nu betemme: 6.43

BETONELEMENTER, SEP. 009 ( z ) ( ) u = zu + 1- u = 0,704 16,8mm+ 1-0,704 5,9mm= 13,6mm revnet urevnet Da det betragtede tværnit er ymmetrik, vil der ikke være noget vindbidrag til udbøjningen. Den amlede udbøjning for karakteritik lat få derfor om u = 13,6 mm. Hvi vind havde givet et bidrag, ville den amlede udbøjning været givet ved ummen af latindueret udbøjning og tillægget fra vindudbøjningen. 6..3.4 Revnevidder Revnevidden for langtidlat betemme jævnfør afnit 6... Ført finde forholdet e m - e m : e m ft, eff ( 1, ) 3, - kt + aer MPa p eff r 369MPa - 0,4 ( 1+ 5,87 0,0064) peff, - e 100 m = = = 0,00 5 E,0 10 MPa Kontrol: e m 369MPa - em 0,6 = 0,6 = 0,001 5 E,0 10 MPa Følgende hjælpetørreler er benyttet i beregningen: ft, eff = ftm = 3, MPa udregnet i afnit 6..3.3. 5 a = E,0 10 MPa e 5,87 E = 34077MPa = m A A 3A A r peff, = = min ; ; A b,5 b h bh t t t t eff, ( - ) 40mm 3 40mm 40mm = min ; ; 300mm,5 40mm 300mm 40mm 105, 7mm 300mm 40mm { } = min 0, 0134;0, 018;0, 0064 = 0, 0064 ( - ) Den makimale revneaftand udregne: f f f f rmak, = k3 - + kk 1 k4 = 3, 4 - + 0,17 Ł ł r Ł ł r peff, peff, 16mm 16mm = 3, 4 40mm - + 0,17 = 108,8mm Ł ł 100 rmak, 1,3 h- = 1,3 40mm- 105, 7mm = 408, 6mm Kontrol: ( ) ( ) 6.44

BETONELEMENTER, SEP. 009 Den makimale revnevidde få til: ( e e ) wk = r, mak m - m = 108,8mm 0,00 = 0,mm 6.45